高中數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)：數(shù)列解答題

數(shù)列解答題

、設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中,％+/=。嗎.設(shè)

11+4=40d=log2an.

(1)求數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若q=1,c"+|=c"+%，求證:cn<3;

(3)設(shè)I=—+--I-----F—,是否存在關(guān)于n的整式g(〃),使刀+T2H------?g(〃)

“b2bn

對(duì)一切不小于2的整數(shù)n都成立？若存在，求出g(〃)，若不存在，說明理由。

333

2、設(shè)數(shù)列｛a/的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意nGN,,都有a1+a2+a3+……

其中Sn為數(shù)列的前n項(xiàng)和.

2

(I)求證：an=2sn—an；

(ID求數(shù)列｛a/的通項(xiàng)公式；

(ID)設(shè)bn=3n+(—l)nT九?2211(人為非零整數(shù)，neN*),試確定入的值，使得對(duì)任意的

nGN*,都有、+1>%成立.

解：（I）由已知，當(dāng)n=l時(shí)，a，=S]2又；apoa1=l................1分

當(dāng)n22時(shí)，aj1^+a2^+a3^+.......+an^=sn^................①

a|*^+a2^+a3^+.......+an_j^=sn_|2.................②........................2分

=

①一②得：&n^（sn—Sn-p（Sn+sn-i）=an（Sn+Sn_p'?*an>0/.an^=sn+sn_j

又sn-l=sn-an二an2=2sn-an................3分

2

當(dāng)n=l時(shí)，a]=l也適合上式an=2sn—an................4分

（II）由（1）知，an"=2Sn—...........③當(dāng)n>2時(shí)，]2=2$門_]—....④

a―a=s-sa—

③一④得：n2n-l^2（nn-l+n-l................6分

Van+an_j>0，an—=1/.數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，，an=n................8分

(Ill);an=n:.%=3“+(-1尸-1九?2n.要使%+1>?恒成立，則％+1—％=3舊1+(-1尸

X-2n+1-3n-(-l)n-1X-2n=2X3n-3X(-l)?2門〉0恒成立，即(一人<(|)廠1恒

成立........9分，

(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即衣恥-1恒成立，又(|)nT的最小值為1,.?.九<1；.............io分

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),即心一(y1恒成立，又一.尸"1的最大值為一|,.?.九>一|……11分

即一件。，又九為非零整數(shù)，RlI能使得對(duì)任意的nGN*,都有bn+i>bn成立.…12分

3、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛冊(cè)｝的首項(xiàng)由=1，且log2%+i=10g2冊(cè)+1,數(shù)列團(tuán)-冊(cè)｝

是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為2,其中〃eN*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和S”.

解：(1)由題可得：巴出■=2,數(shù)列｛〃“｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

；?an=2〃-1.....................................................6分

(2)由題知：/?〃一?！?2〃一l,n/?〃=2"一+2〃-1,

2

Sn=(1+2+22+…+2"T)+0+2〃二業(yè)=2"+n-1................12分

4、已知〃x)=_「Z數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S“，點(diǎn)在曲線y=/(x)上

(〃GN')且q=l,a〃>0.

(I)求數(shù)列｛樂｝的通項(xiàng)公式；

(II)求證：+

2

解：(1)」=/(%)=-卜+3且4>0

___二.物蚱泗),數(shù)列｛一1｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)-L公差d=4；.

%”Va；%??,；,明如

工=1+4("-1)??a,,2=—^―

at~4/1-3

*,>0：?an=/1、(/7GN*)

j4〃-3

⑵*-------

J4--3

_2>2_+1-J4〃-3

2J471-3yl4n—3+J4—+12

*?*Sn=Q]+。)+…+。〃>—(V5-1)+(V9-V5)

+???+—(J4/2+1-J4.-3)=—J4-+1-1

22

5、設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，對(duì)一切〃eN*,點(diǎn)都在函數(shù)/(x)=x+&的

nJ2x

圖象上.

(I)求6,出，%的值，猜想見的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（II）將數(shù)列｛%｝依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（q）,（4,%），（%，%，

）,（a[,48，,aio）；（4u），（。曾，a13），（。14，415，。忖），（。17，“i8，a”，

?20）：（出]），…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號(hào)的前后順

序構(gòu)成的數(shù)列為｛b,,｝,求%+伉皿的值；

思路點(diǎn)撥：（本題將函數(shù)與數(shù)列知識(shí)交匯在一起，考查了觀察、歸納、猜想、用數(shù)學(xué)歸納法

證明的方法，考查了等差數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式，考查了同學(xué)們觀察問題、解決問

題的能力。（1）將點(diǎn)代入函數(shù)/（x）=X+2中，通過整理得到Sn與a”的關(guān)系，

vnJ2x

則%,外,%可求；（2）通過觀察發(fā)現(xiàn)％）（）是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，各組第

4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成首項(xiàng)為68、公差為80構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式

可求.bl00

解：（I）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)/（x）=x+4?的圖象上,

n）2x

故工=〃+所以s“=〃2+，---------------------1分

n2n2

令〃=1,得4=1+5。],所以4=2；

令〃=2,得/+出—4+—，所以。2=4；

令〃=3,得％+。2+。3=9"I---%，所以的=6?

由此猜想：an=2n.................................4分

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)〃=1時(shí)，有上面的求解知，猜想成立.--------5分

②假設(shè)”=4伏21)時(shí)猜想成立，即ak=2k成立，

則當(dāng)〃=k+1時(shí)，注意到S=n2(neN*),

n“2

7191

故S?+1=(k+l)~，sk=k-+-at.

兩式相減，得%+]=2k+1+/%+1—'%，所以4+]=4A+2—a*.

由歸納假設(shè)得，ak=2k,

故ak+\=4Z+2—4=4k+2-2k=2(&+1).

這說明〃=Z+1時(shí)，猜想也成立.

由①②知，對(duì)一切neN”，an=2n成立.............................8分

(II)因?yàn)閍“=2〃(〃eN*),所以數(shù)列｛%｝依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地

分為(2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20)；(22),(24,26),(28,30,

32),(34,36,38,40)；(42),….每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循環(huán)含有4個(gè)

括號(hào)，故Am是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和.由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括

號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中

所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差

均為20.故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.注意到第一組中

第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68,

所以%=68+24x80=1988.又.=22,所以仄+a=2010.............14分

1VAzJDIW0n

歸納總結(jié)：由已知求出數(shù)列的前兒項(xiàng)，做出猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，是不完全歸納

法與數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合的一種重要的解決數(shù)列通項(xiàng)公式問題的方法。證明的關(guān)鍵是根據(jù)已知

條件和假設(shè)尋找《與4華或5*與耳”間的關(guān)系，使命題得證。

6、已知數(shù)列｛4｝滿足，一％,且%+1?%<().(〃eN*)

21+an+lan+\+an

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)若｛九｝=區(qū)3-4，試問數(shù)列｛3｝中是否存在三項(xiàng)能按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列？

若存在，求出滿足條件的等差數(shù)列，若不存在；說明理由.

解：(D由4]=(■,a”+「a”<0知，

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，<0；當(dāng)幾為奇數(shù)時(shí)，%>0；2分

由普九三大得…卜F',

所以4（。*—1）=3（。；—1）,

33

即數(shù)列｛端一1｝是以%2-1=一；為首項(xiàng),士為公比的等比數(shù)列

4

................5分

(II)由⑴知",=嫁1一片=1一(2-1+3弟）:

則對(duì)于任意的weN*，d>"“7分

假設(shè)數(shù)列｛仇』中存在三項(xiàng)瓦，瓦,〃（r<s<f）成等差數(shù)列,

則br>bs>b,,即只能有2bs=b,+0成立，

所以2m且［+半］,2-f-Y=［-Y+

4UJ4UJ4UJUJ9分

所以，2?3'-4-'=3'-41+3',

因?yàn)閞vsvi,所以，-s〉0,r-r>0,

所以2?3匕4一是偶數(shù)，3。4~+3'是奇數(shù)，而偶數(shù)與奇數(shù)不可能相等，

因此數(shù)列｛。“｝中任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列...............12分

7、已知數(shù)列｛《,｝滿足：％=3,區(qū)用=%二2,〃eN*.

怎

a_1

（I）證明數(shù)列廣立為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)瓦=%（4+「2）,數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“,求證：S“<2；

2

（HI）設(shè)%=n（an-2）,求c,c向的最大值.

證明：(I)???411二L=a"—=2(

2分

a

n+i-23a“二_2a“-2

又紅二?UZHO,

卜等比數(shù)列，且公比為2,3分

6Z]—2

ci—12"+l-l

二巴」=2〃，解得為■4分

a,「22n-l

2"+1-12,,+2-11

(D)bn=an(an+i-2)-2)=?5分

2"-12n+I-l2"-l

111

.,?當(dāng),N2時(shí)，b.=<---r6分

2"-12"-'+2'-'-12"i

1

S=b,+b+b+--■+b<\+-+?H-------r

n2}22"~'

J-11

2

l+———=2-(5尸<2?8分

1---

2

〃2(〃+1)2

(III)c“=〃-(a“-2)=——n%c“+i=9分

L—1(2M-l)(2n+l-l)

令％色±2一=皿=(〃:2)：*=J.>1------------1。分

c”c“+ic“2"-1n-

=>[(〃+2)2-4〃2]2"〉(〃+2f-〃2-------------------11分

=>(3〃+2)(2一〃)2">4〃+4=>〃=1

C”+￡+2=皿=(〃；2)2=-------r分

㈤g2"+2-1〃2

所以：CjC2<C2c3>c3c4>-??

12

故(C“C“+|)1ra*=c2c3=—,-------14分

8、已知等差數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和為S,，。2=4,55=35.

（I）求數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和S”;

（II）若數(shù)列｛2｝滿足b?=ea",求數(shù)列｛，｝的前"項(xiàng)和T“

解：（I）設(shè)數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4,公差為d.

氏+d=4(.

則45(5-1),5分

〕54+八1=35Id=3

2

/.an=3n-2.

前〃項(xiàng)和Sn(3H-l)

=^+3n-2)=7分

22

(II)an=3n—2,

3n28分

：.bn=e-且bi=e.

當(dāng)n>2時(shí)，

，數(shù)列｛或｝構(gòu)成首項(xiàng)為e,公比為e3的等比數(shù)列

e(l-g3n)e3"+'-e

13分

]-e3~e3-l

數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)的和是7；=e'—e

9、已知等差數(shù)列｛4｝的公差大于0,且。3，%是方程一-14%+45=0的兩根，數(shù)列｛2｝

的前A項(xiàng)和為S“，且S”=1一夕“

(1)求數(shù)列｛%｝、｛6“｝的通項(xiàng)公式；

(2)記c“=anbn,求證：c“+]<c?.(neN*)

19解：(1);&\旬一a：=2且的=1.

謔以1為首項(xiàng)，，2為公差的等差數(shù)列。2分

a：=2萬一1又aK>0,：,a*=-j2n-1(?eN")

..........6分

(2)當(dāng)“22時(shí)，；看=以一3=E一標(biāo)1......8分

:.---F—H----1-----+—=4---F.z-<1+(^3-1)+(V5-六月)H----F

的a2aK1J372?-1

/22-1+-3=J2g-1

....................10分

又力=1時(shí),」-=1=、/2xl-l,所以當(dāng)neAT,

ai

.'.—H----F?■?H---VW2H-1

。2a*..............................................12分

方法二：數(shù)學(xué)歸納法

(1)當(dāng)n=l時(shí)，左邊=1,右邊=1,不等式成立。

7分

(2)假設(shè)n=k結(jié)論成立,即:

111111r-~7

---1----F…4----I+,??H/4y/2k—1

a1。2a卜1-\/3J2A—18分

那么當(dāng)n=k+l時(shí)，+'+??J-='+??+-/=+/■=WJ及-1+-」=

4%/］白V2^1辰+1V2U1

=^2k-\+,2<72^4+,2.=72^4+72^+1-72^4

Wk+\V21+1+V3P1

=7^71=』2(k+I)T

所以當(dāng)n=k+l時(shí)，結(jié)論成立。

11分

綜合以上(1)(2)不等式對(duì)于任意的〃eN*成立。

12分

(其它證法以例給分)

10、已知數(shù)列｛““｝的前”項(xiàng)和為S"，若q=2,n-an+l=S?+n(n+l)0

⑴令b“=(j2)M.S?,是否存在正整數(shù)加，使得對(duì)一切正整數(shù)〃，總有2<m,若存在,

求出m的最小值；若不存在，說明理由。

(2)令C,='g(〃eN+),｛C,,｝的前〃項(xiàng)和為7；,求證：4<3neN*。

解：(1)令〃=1,1?4=。1+1?2,即出一。1二2

1〃,%=S“+〃("+l)

由I

(n-l)-a?=S(l.1+n(?-l)

=?-%+i一(〃-1)%=冊(cè)+2n=>an+l-an=2(n>2)

：%%=2，；.a“+i-a“=2(〃eN),

即數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，Aa?=2n..........................2分

27

???S“=n(n+1),bn=(-)"-5?=(?”?〃(〃+1)

.?.導(dǎo)=(g)(l+：)21,解得nW4,.........................................................................4分

.??4<W<“=&>%>%>……>b,>……

a=少320最32大0，...mN—,Am的最小值為4..............................................6分

458181

丁9i

?“，=。+。2+……%=Z72K

k=\akk=l7k

n1n6

<i+y.___________=i+E

k=2J(Z—1)(A+1)-J(Z+1)+(A—1)

n2

<1+Z+乙依-i）（%+i）9分.

k=27（^-i）（^+i）-（VT+T+VTH）k=2

1+Z(i一一r——)=1+(1+—------7=--1)<2+—<3.

MyJk_1y/k+12y/nJn+l2

分.

'-Tn<312

FLi

另解?,?(=C|+C2+.........%=￡F=Z-/=T

&=]cikk=i7k

<1+\-；==

B&k_l)k(k+1)

=]+寸]_______2_<1+y]2

一+右京<+右展—l)(k+DJk+h

I<，1\、、“啦11、°加°

=1+〉(；——j=)=1+(1+-----=——1=)<2+——<3.

金Nk-1Nk+124nJ.+l2

I1<3。...............................................12分.

11、已知數(shù)列｛4｝滿足:01=02=03=2,4+產(chǎn)。曾2…4T(O》3),記

bn_2=Q；+%4------卜a；-aia2…(心3).

(1)求證數(shù)列｛兒｝為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)c“=1+，?+/?,數(shù)列｛后｝的前0項(xiàng)和為工，求證：n<Sn<n+l.

b〃

解：⑴方法一當(dāng)n23時(shí)，因4_2+…+“：-q/…?！雹?，

故"-I=a；+a2+.,,+4：+aLi-a\a2-"a?an^\?-........................................................2分

②-①，得6「，2=。3-《的…a”(a“+i-1)=〃3-(%+1)(",,“T)=L為常數(shù)，

所以，數(shù)列｛兒｝為等差數(shù)列..............................................5分

因bi=a；+a；+a；-qa2%=4,故bn=n+3..........................................................8分

-

方法二當(dāng)n23時(shí)，。道2…。"=1+。"1，aia2"anan+i=l+an+2>

將上兩式相除并變形，得alt=a?+2-all+l+\..........................................................2分

于是，當(dāng)neN*時(shí)，

bn=af+?2+--.+a，一…4+2

-aaa

=a；+a；+a；+(%-q+1)+…+(??+34+2+D-\2'",.+2

=a；+“；+“；+(a?+3-a4+?-!)-(>+a?+3)

=10+n-a4.

又2a3-1=7,故b"=n+3(neN*).

所以數(shù)列｛bj為等差數(shù)列，且b/n+3..........................................................................8分

h1?1(5+3)(〃+4)+1>

12分

(〃+3)2(n+4)2-(”+3)2(〃+4尸

(〃+3)(〃+4)+1山1=uJ1

(n+3)(及+4)(〃+3)(〃+4)M+3〃+4

所以5=(l+---)+(l+---)+---+(l+—--------!-)="+，,......15分

4556〃+3幾+44〃+4

即n<Sn<n+l..................................................................................................................16分

方法二因q,=l+——+—^>1,故而>1，S?>n..................................10分

"(“+3)2(〃+4/7

,11,11

C=1H----------4----------<1H---------------------1------------------

"("+3)25+4)2("+2)(”+3)(”+3)(〃+4)

n+2n+4幾+2〃+2

故&7<1+---，于是+―-—)<〃+1?........................................................16分

〃+2〃+2

12、已知數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d,s,為其前〃項(xiàng)和，且滿足

4；=$21，"WN*.數(shù)列｛4｝滿足《=--—,7；為數(shù)列｛"｝的前"項(xiàng)和.

a“?°”+i

(I)求為、d和T.；

(II)若對(duì)任意的N*,不等式入7；<〃+8?(-1)"恒成立，求實(shí)數(shù)X的取值范圍;

(HI)是否存在正整數(shù)機(jī),〃(1<〃?<〃)，使得(，Tm,7；成等比數(shù)列？若存在，求出所

有機(jī)，〃的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：(I)解法一：在a；=S2“_|中，令〃=1,〃=2,

a,"=S],

得｛1,1即

a2=S3>

f2

a=3,

<](2分)

(〃]+d)?-3〃]+3d,

解得卬=1,d=2,................(3分)

/.an=2n-\.

=______1_()

anan+.(2〃-1)(2〃+1)22n-l2n+l

-----)=-----(5分)

2〃+12〃+1

解法二：?.?｛%｝是等差數(shù)列,,色+十2〃一1

2

4+.2,1

：.s2n-l一（2n-l）=（2/?-l）a?.（2分）

由an=S2n-1>得知2=Q〃T）%，

又丁a0,an=2/7—l,則。]=1,d=2?（3分）

(Tn求法同法一)

(H)①當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，要使不等式入(<〃+8?(-1)”恒成立，即需不等式

.（〃+8）（2〃+1）。8「卜一山一

A<---------i=2〃+—+17恒成立.（6分）

nn

Q

v2H+->8,等號(hào)在〃=2時(shí)取得.

n

二此時(shí)4需滿,足4<25.（7分）

②當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，要使不等式九7；<”+8<-1)"恒成立，即需不等式

.（〃一8）（2〃+1）8,,八

A<------------------=2n-------15恒成v立%,……（8分）

nn

QQ

???2〃——是隨〃的增大而增大，.??〃=1時(shí)2〃-？取得最小值一6.

nn

???此時(shí)4需滿足4<—21.……（9分）

綜合①、②可得；I的取值范圍是X<—21.……(10分)

1En

（III）7]-T=---------

3''〃2加+12〃+1

即，一二3

若工，7；〃，7；成等比數(shù)列，貝|J(—―)2…（11分）

2m4-132n+l4m~+4加+16〃+3

/、」、」m-n3-2〃?~+4〃？+1?

（法一）由一w--------=------,可得一=-------------->0,

4〃廠+4m+16/1+3nm~

即一2/??+4m+1>0,.......（12分）

1--<m<l+—.......（13分）

22

又且機(jī)>1,所以m=2,此時(shí)〃=12.

因此，當(dāng)且僅當(dāng)加=2,〃=12時(shí)，.數(shù)列也｝中的幾小1成等比數(shù)列.……（14分）

Yl]|i

（法二）因?yàn)椤?—故------------<-,即.2，〃2-4/n-l<0,

6〃+36+364m-+4/n+16

n

1-—<m<l+—>（以下同上）.（13分）

22

13、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列僅“｝的公比為q,且0<q<g。

（1）在數(shù)列｛%｝中是否存在三項(xiàng)，使其成等差數(shù)列？說明理由;

（2）若q=l,且對(duì)任意正整數(shù)出,-+4+2）仍是該數(shù)列中的某一項(xiàng)。

（i）求公比q；

（ii）若6“=-log*（應(yīng)+1）,S"==+=+…+匕，7；=E+S2+…+S“，試用S20H

表水72sL

⑴由條件知：a“=qq"T,0<q<；,a,>0,

所以數(shù)列｛%｝是遞減數(shù)列，若有4,am,（&<〃?<"）成等差數(shù)列，

則中項(xiàng)不可能是（最大），也不可能是?！埃ㄗ钚。?，.........2分

,nknk

若2a,n=ak+an。2q~=1+q~,（*）

由2q*kW2q〈l,1+qh~k>1,知（*）式不成立，

故4,an不可能成等差數(shù)列.......................4分

⑵。）方法—：%_%+]_。八2=qqi（i_q_r）=aMT-0+；）2+（，…6分

151

由_（4+]）2知，4_以+1_%+2<4<%1<…，

且4+2>4+2>?+3>…，....................8分

所以4--4+2=ak+\9即4~+2q—1=°，

所以q=V^-l,............................................10分

a9k

方法二：設(shè)cik—4+]—4+2=m貝!J1—q—彳=q"，...........6分

由]-q_q2e,1|知，九一k=1,即，〃=%+1,8分

以下同方法一.10分

(ii)b“=一,…12分

n

方法一：S=1+—+-+■??+—

"23n

7；,=l+(l+1)+(l+i+1、Z1111