高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第二冊(cè) 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

4.3.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和同步練習(xí)

一.選擇題（共8小題）

1.明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一座豐碑.其中有

一段著述“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一”.注：“倍加增”

意為“從塔頂?shù)剿?，相比于上一層，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”，則該塔正中

間一層的燈的盞數(shù)為（）

A.3B.12C.24D.48

2.已知｛《,｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（）

①②4+。5-2。3；③q+%.42+%；④若憑＞“3，貝的.

A.1B.2C.3D.4

3.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，若邑=4,S4=20,則公比q=（）

A.-3B.3C.+2D.2

4.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足S“=2"-l,則為=（）

A.256B.512C.1024D.2048

5.等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為5"，己知邑=4%+1。4，%=9，貝）

6.《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，程大位著，共17卷，書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)

題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，

要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”大致意思是：有一個(gè)人要到距離出發(fā)地378

里的地方，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，

走了6天后到達(dá)目的地.那么該人第1天所走路程里數(shù)為（）

A.96B.126C.192D.252

7.等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為5“，邑=24,§6=21,則％=（）

A.36B.32C.—D.18

7

8.記S,是等比數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和已>知q=1,$3=（,則$4=（）

A.。BC.12D.11

88824

二.多選題（共4小題）

9.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為q,其前〃項(xiàng)的和為s“，前〃項(xiàng)的積為7；,并滿(mǎn)足條

9

件4>1,。2019。2020>1，20,97<0下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

a2（no~1

A.$刈9>SzgoB.“刈9.”2021—1>°

C.4期是數(shù)列區(qū)｝中的最大值D.數(shù)列｛7J無(wú)最小值

10.設(shè)U｝（〃eN*）是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，儲(chǔ)是其前”項(xiàng)的積，

且（<（，（=則下列選項(xiàng)中成立的（）

A.0<^<1B.%=1

c.K9>K5D.與勺均為K“的最大值

11.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛6｝滿(mǎn)足q=2,q=2%+%,若設(shè)其公比為q,前〃項(xiàng)和

為s“，則（）

n

A.q=2B.an=2C.Sl0=2047D.an+an+[<an+2

12.在公比為4等比數(shù)列｛4｝中,是數(shù)列｛%｝的前I項(xiàng)和,若4=1,%=27%,

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.q=3B.數(shù)列｛S,+2｝是等比數(shù)列

3

C.55=121D.2lgan=lga“_2+k可+2（〃…）

三.填空題（共4小題）

13.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿(mǎn)足4=g,S2+2a3=1,則

Sio=---?

14.已知S.是等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，若q-q=3,4-。2=6，則鳥(niǎo)■=.

15.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝,S“為它的前”項(xiàng)和，若的6=4,%+2%=|,則

§5二-----

16,已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛叫，若火嗎2+5%。=14,則

log24+log2%+log2々3+…+log2《9=；

四.解答題（共4小題）

17.（1）求等比數(shù)列」，1,…從第6項(xiàng)到第10項(xiàng)的和;

42

（2）求等比數(shù)列3,3,3,...從第3項(xiàng)到第7項(xiàng)的和.

248

18.已知等比數(shù)列，首項(xiàng)為3,第四項(xiàng)為24,求：公比、通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)的和？

19.設(shè)S“是等差數(shù)列的前”項(xiàng)和，已知%=6,$9=36.

(1)求a“和Sn;

(2)設(shè)d=p"p為大于1的常數(shù))，證明:數(shù)列電｝是等比數(shù)列；

(3)在(2)的條件下，設(shè)c"=”?瓦…b”’試求使c“最小時(shí)〃的值.

20.已知5,是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和,且S“>=10,S2(,=30,

(1)若｛%｝為等差數(shù)列，求取;

(2)若?。秊榈缺葦?shù)列,求取.

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1?【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)從塔頂?shù)剿?，每一層燈的盞數(shù)組成數(shù)列則

數(shù)列｝是公比為2的等比數(shù)列，

又由“共燈三百八十一”，則有S,=竿9=1274=381,解可得4=3,

則中間層的燈盞數(shù)4=《/=24,

故選：C.

2.【解答】解：對(duì)于①，根據(jù)等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可知①正確;

對(duì)于②，設(shè)公比為式4>0),則q+/=/(與+42)..2%，所以②正確；

q-

23

對(duì)于③，a,+a5-(a2+a4)=a3(-^-+q---q)=^-(l-qXl-q)..O,所以③正確；

q-qq~

對(duì)于④，因?yàn)椋?｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若6>4,則4>1，

所以4>外,④正確.

故選：￡>,

3.【解答】解：根據(jù)題意，正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，S2=q+/=4,

又由*=20,貝1」4+4=54-8=20-4=16,

又由的+/=k(4+%)，變形可得〃2=3=4,

4

又由數(shù)列｛%｝為正項(xiàng)等比數(shù)列,則q=2；

故選：D.

4.【解答】解:根據(jù)題意，數(shù)列｛”"｝滿(mǎn)足，=2"-1,

109

則為=S10-59=(2-l)-(2-l)=512；

故選：B.

5.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛《,｝的公比為q,

若尾=4%+10卬，貝Uq+生=4%+10卬，則有l(wèi)+g=W+10,

解可得q=_3,

乂由％=9'貝觴=十號(hào)

故選：C.

6?【解答】解：由己知列式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,

本題的行程路程構(gòu)成以;為公比的等比數(shù)列，其前6項(xiàng)和為378,

4口--)]

則臬=----^—=378.

1——

2

解得4=192,

故選：C.

7.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛““｝的公比為小

若$3=24,則S3=。|+“2+見(jiàn)=q(i+*?+q2)=24,①

若S3=24,S6=21,Ml]S6—S3=+a5+a6=(1+(7+)=21-24=-3,②

筌可得：幺=二U「，即八」，則4=」,

①424882

又由q（l+q+/）=24,即q（l—g+；）=24,解可得4=32,

故選：B.

8.【解答】解：：S“是等比數(shù)列｛a,J的前〃項(xiàng)和已知4=1,53=

?S一九3

\-q4

解得q=-g，

故選：A.

二.多選題（共4小題）

9.【解答】解：?.?等比數(shù)列｛a,,｝的公比為4,其前〃項(xiàng)的和為s“，前〃項(xiàng)的積為T(mén)“,

并滿(mǎn)足條件4>1,。2019”2期>1，一-<0，

a2020

，a20l9>1,0<aM20<1,：.0<q<],

在A中，^2020>0，,,5,20l9<S2020，口乂Af曰；

在8中，〃2019>1，。2021-1<0，

〃2019,。2021T=々202（：一1<。，故5錯(cuò)誤；

.??4019是數(shù)列"J中的最大項(xiàng)，故C錯(cuò)誤；

在。中，數(shù)列｛7J無(wú)最小值，故。正確.

故選：ABC.

10.【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于B,若（=￡,則為=壇=1,故B正確；

K6

對(duì)于A,由K5V（可得必=">1，則4=立仁（0,1），故A正確；

￡?6

對(duì)于C,由｛q｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列且4€（0,1）可得數(shù)列單調(diào)遞減，則有

Kg<Ks,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡）,結(jié)合（=￡>（,可得。正確.

故選：ABD.

11.【解答】解：根據(jù)題意，

對(duì)于A,正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝滿(mǎn)足2/=4q+2q2,變形可得如一匕？為,解得q=2或

q=-l9

又由｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，則q=2,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于5,an=2x2"-'=2",選項(xiàng)3正確；

對(duì)于C,5=卷寧1=2向-2,所以品,=2046,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于￡）,根據(jù)8的結(jié)論：4=2",則4+4用=2"+2向=3、2"=3見(jiàn)，而

n+2

an+2=2=4x2"=4an>3%,選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

12.【解答】解：%=27%，二4’=27q,解得：q=3,故選項(xiàng)A正確；

又.2+2=二皿上=j=瑞，常數(shù)，故選項(xiàng)

"1-32"2S“+23〃+3

3錯(cuò)誤；

,.@=匕工=121,.?.選項(xiàng)C正確；

1-3

又；a?=3'i，lgan_2+lgan+2=/g(a,,”???+2)=W=2lga.(〃..3),故選項(xiàng)。正確,

故選：ACD.

三.填空題（共4小題）

13.【解答】解：根據(jù)題意,設(shè)比數(shù)列｛q｝的公比為q,

若q=g,S2+2a3=1>貝U有g(shù)(l+g)+q2=1,

解可得q或-1（舍）,

則九="=心=喘

故答案為：黑

14?【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛為｝的公比為q,

a_q=—q=3

若/_q=3,q-%=6,則3

aA-a2=%q，-%q=6

解可得q=2,q=1,

2

貝lj%=a}q=4,53=——=7,

i-q

故邑=工,

44

故答案為：N.

4

15.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的公比為外

若〃2。6=4，則(%)2=44=4,貝!]有〃4=2或一2(舍)，

又由q+2%=-1,則%=；,

則有q3=—=—9則q=L

a282

故q=，=16,

q

,,5、16x(1--)

故$址山=——產(chǎn)=31,

1-q1」

2

故答案為：31.

16?【解答】解：?.?各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛4),/.④+5%=14,

.q02+5q°-14=0,解得%=2,

4。＞0

/.log2ax+log2a2+log2/+...+log2a]9

=log2(qx4X/X…X《9)

=bg2as

=/。?2'9

=19.

故答案為：19.

四.解答題（共4小題）

17?【解答】解：⑴等比數(shù)列;，《L…從第6項(xiàng)到第1。項(xiàng)的和為:

j[l-(-2)，ol:0一(一2月

S-s=4_________4________=_更

1051-(-2)1-(-2)6

⑵等比數(shù)列|，%I…從第3項(xiàng)到第7項(xiàng)的和為:

Ss-X)2(1-2?)_93

1------1------

22

18.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該等比數(shù)列的為飽｝,其公比為外

若有項(xiàng)為3,第四項(xiàng)為24,q=3,q=24,則/=幺=8,則4=2,

4

通項(xiàng)公式q=3X2"T,

前〃項(xiàng)和5,=4(1-/“)=3(2"-1).

i-q

19.【解答】解：（1）%=6,§9=36,設(shè)公差為d,

4+5d=6

八9(9-1)J“，

9a,+————=36

12

解得d=2,4=-