高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 (五)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(5)

1.如圖，在三棱錐V-4BC中，VA=VB=VC,ACIBC,O,M

分別為AB,3的中點(diǎn).

(I)求證：平面4BCJL平面VAB；

(口)若4。=8配△SAB是面積為舊的等邊三角形，求四棱錐C-

80MIZ的體積.

2.如圖，PA平面ABCD,四邊形ABC。是正方形,PA=AD=2,

M、N分別是4B.PC的中點(diǎn).

⑴求證：平面MN。_L平面PCD；

(2)求點(diǎn)P到平面MND的距離.

3.如圖，在四棱錐M-4BCD中，ABLAD,AB=AM=AD=2,MB=MD=2V2.

(1)證明：AM1平面ABCD；

(2)若CD〃/IB,2CD=AB,E線段BM上一點(diǎn)，且BE=2EM,求直線EC與平面BCM所成

角的正弦值.

4.在四棱錐P-4BC0中，PAABCD,AB=BD=DA=2V3,BC=

CD=2.

(1)求證：平面PAC1平面尸B￡＞；

(2)若直線CD與平面尸BC所成角的正弦值為4,求平面PCO與平面PBC

所成銳二面角的余弦值.

5.在四棱錐P-ABCD中，AP=PD=DC=CB=1,AB=2,^APD=Z.DCB=/.CBA=90°,

平面PADJ?平面ABCD.

(I)求證：PB=PC；

(n)求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

6.如圖，四棱柱4BC0—4BiG0i的底面為菱形，M為中點(diǎn)，N為441中點(diǎn)，P為當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn).

AB

(1)證明：直線PN〃平面AMD;

(2)若44I1平面ABCD,AB=2,AAr=4,乙BAD=60°,求平面AMD與平面PN%所成的銳二面

角的余弦值.

7.如圖，在四棱錐S—4BCD中，AB1AD,AB//CD,平面SAD_L平面A8CZ),M是線段相＞上

一點(diǎn)，AM=AB,DM=DC,SMI40.

(1)證明：BMJ■平面SMC；

(2)若CD=3AB,設(shè)三棱錐C-SBM與四棱錐S—4BCD的體積分別為匕與V,求子的值.

8.如圖，在三棱錐P-4BC中，點(diǎn)M,N分別是棱A8,AC的中點(diǎn)，且P4=PC,PNLAB.

p

A.'z^,---------

V

(I)求證：MN〃平面PBC；

(n)求證：PN1BC.

9.如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SO垂直于底面ABCQ,SD=1.

(1)求證BC1SC；

(2)求平面S8C與平面A8CD所成二面角的大??；

(3)設(shè)棱S4的中點(diǎn)為求異面直線。用與S8所成角的大小

10.如圖，在正方體48(?。―4/道1。1中，CG=gCG，BE=抑,BF=|AB,B^G與￡E交于點(diǎn)、

O.

(1)證明：E,F,G四點(diǎn)共面;

(2)求證：BiGIDiE.

11.已知四棱錐￡—/BCD中，四邊形A8CO為等腰梯形，AB//DC，AD=DC=2,48=4,

△4DE為等邊三角形，且平面4DE_L平面ABCD

(1)求證：力E18。；

(2)是否存在一點(diǎn)F,滿足血(0<2<1)，且使平面ACF與平面BCE所成的銳二面角

的余弦值為遐.若存在，求出；I的值，否則請(qǐng)說明理由.

13

12.在四棱錐P-ABC。中，底面ABC。為直角梯形，BC//AD,AADC=^°,BC=CD=；AD,

PA=PD,E,F為AD,PC的中點(diǎn).

(I)求證：PA〃平面BEE

(H)求證：AD1PB.

13.如圖，在平行六面體4BCD中，AA1=ArD,AB=BC,AABC=120°.

(1)證明：AD1BA1；

(2)若平面4DD1&_L平面A8CD,且求直線與平面A/iCD所成角的正弦值.

14.如圖所示的多面體中，四邊形ABCZ)是正方形，平面ZED_L平面ABC。，EF//DC,ED=EF

1

-CD=1,Z.EAD=30°.

(I)求證：AE1FC；

(II)求點(diǎn)。到平面8b的距離.

15.如圖，ABCD-ABiGDi是棱長(zhǎng)為1的正方體.

(I)求證：平面ABDL平面為ACC1；

(n)在棱CC1上是否存在點(diǎn)P,使得二面角4一8D—P的平面角與二

面角P-BC-C的平面角相等，如果存在，求出CP的長(zhǎng)，如果

不存在，請(qǐng)說明理由.

16.如圖，在三棱柱ABC-4B1G中，CG1平面ABC,D,E,F,G分別為AC,A^,的

中點(diǎn)，AB=BC=娼,4c=7L4i=2.

Ci

(1)求證：AC_L平面BEF；

(2)求二面角B-CD-G的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面8CZ)相交.

17.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4,M,N分別為棱為劣，CQ的中點(diǎn)，P為。劣上一

(1)證明：CP〃平面BiMN；

(2)求點(diǎn)C到平面/MN的距離.

18.如圖，在四棱錐P-ABCO中，AB//CD,AB1BC,CD=2AB,PAABCD,E為PZ）的

中點(diǎn).

(/)證明：4E〃平面P8C;

(11)若「4=(?。=2,求點(diǎn)E到平面P3C的距離.

19.如圖，四邊形ABCZ)中，AD//BC,^BAD=90°,AB=BC=?AD=20,E,F分別是線

段A。，CO的中點(diǎn).以EF為折痕把^DEF折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，G為線段PB的中點(diǎn).

p

(1)證明：平面G4C〃平面PEF；

(2)若平面PEF1平面ABCFE,求直線AG與平面PAC所成角的正弦值.

20.如圖，在多面體A8CZJE尸中，平面ADEFJ■平面4BCD.四邊形AOEF為正方形，四邊形ABC。

為梯形，S.AD//BC,ABAD=90°,AB=AD=1,BC=3.

(1)求證：AF1CD；

(2)求直線BF與平面CQE所成角的正弦值.

【答案與解析】

1.答案：解：(I)證明：VVA=VB,。為AB的中點(diǎn)，二7。！AB,

???VO2+OA2=VA2,

???AC1BC,OC=0A,

■：VA=VC,：.VO2+OC2=VC2,VO1.0C,

OCQAB=0,：.VO_L平面ABC.

VOU平面.,.平面ABCJ■平面VAB.

(n)?,?AC=BC,OCLAB,:.OCL平面VAB,

△匕4B是面積為舊的等邊三角形，??.IM=VB=AB=2,OC=1,

.??四棱錐C-BOMV的體積為:

1.3

V四邊形BOMV-X1X-X

C-BOMV=-XOCXS=34^^VAB—~

解析：(I)推導(dǎo)出VOJL48,VOIOCf推導(dǎo)出，0_L平面ABC,由此能證明平面/BC，平面以B.

(11)推導(dǎo)出。018,。。_1平面以8,VA=VB=AB=2,OC=1,四棱錐C-BOMIZ的體積為

VC-BOMV=-XOCXS四邊形80MV?

本題考查面面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

2.答案：(1)證明：??,PAJ_平面ABCD,AB1ADf/.AB.AD.

A尸兩兩互相垂直，

如圖所示，分別以48、A。、AP所在直線為x軸、y軸和z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，可得4(000),8(2,0,0),C(2,2,

0),0(0,2,0),P(0,0,2),

M(l,0,0),N(l/，1),

???麗=(0,1，1),ND=(-1,1,-1),而=(0,2,-2)

設(shè)沆=(x,y,z)是平面MND的一個(gè)法向量,

可得伯亞=y+z=。取了…得-2,z=l,

[m-ND=-x+y-z—O

???隹=(一2,-1,1)是平面MND的一?個(gè)法向量，同理可得元=(0,1,1)是平面PC￡＞的一個(gè)法向量，

???m-n=-2x0+(―1)xl+lxl=0,mln,

即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MNDJL平面PCD-

(2)解：由⑴得沅=(-2,-1,1)是平面MND的一個(gè)法向量，

~PD=(0,2,-2),得而-m=0x(-2)+2x(-1)+(-2)x1=-4,

???點(diǎn)P到平面MND的距離d=粵=于*=乎.

|m|V4+1+13

解析：(1)作出如圖所示空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題中數(shù)據(jù)可得而、而、麗的坐標(biāo)，利用垂直向量

數(shù)量積為零的方法算出平面平面PC。的法向量分別為訪=(—和亢=(0,1,1),算

出布?詁=0可得沅1元，從而得出平面MNDJ■平面PCQ；

(2)由(1)中求出的平面MVZ)法向量沅=(一2,-1,1)與向量方=(0,2,-2),利用點(diǎn)到平面的距離公

式加以計(jì)算即可得到點(diǎn)P到平面MND的距離.

本題在特殊的四棱錐中證明面面垂直，著重考查了利用空間向量研究平面與平面所成角、二面角的

定義及求法和點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，屬于中檔題.

3.答案：解：(1)?；AB=AM==2,MB=MD=2五,

AM2+AD2=MD2,AM2+AB2=MB2

所以AM_LAD,AMIAB,

因?yàn)?4AD,4Bu平面ABC。，

所以AM，平面A8CZX

(2)因?yàn)?B1AC,所以A。、AM、AB兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角單標(biāo)

系，

E

材y

因?yàn)?B=4M=4D=2,

所以4(0,0,0),0(2,0,0),M(0,2,0),B(0,0,2),C(2,0,1)

BD=(2,0,-2),DM=(-2,2,0),

■：BE=2EB

???E(0,泊，=

設(shè)平面BOM的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

rfafnBD=0zg[2x_2z=0

In.DM=0*l-2x+2y=O-

取x=1,得記=(1,1,1),

所以cos(元，3>=器=尊=一簪?

所以直線EC與平面3QM所成角的正弦值為運(yùn).

53

解析：本題考查了線面垂直的判定、直線與平面所成角和利用空間向量求線面的夾角，屬于中檔題.

(1)由勾股定理得4BA.AM,AD14M.由線面垂直的判定即可得證;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線與平面所成角即可.

4.答案：(1)證明：連接AC,

?:AB=BD=DA=2V3，BC=CD=2,

.?.△ZBD為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，

AC1BD,

???PA_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

PA1BD,

又AC介PA=A,AC、PAu平面PAC,

???BD，平面PAC,

vBDu平面PBD,

平面PAC_L平面PBD.

(2)解：以4為原點(diǎn)，AD,AP為y、z軸，在平面48C￡>內(nèi)，作Ax1面PAO,建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

設(shè)P4=a(a>0),則P(0,0,a),5(3,73,0),。(2,2啟0),￡)(0,2-,0),

CD=(-2,0,0),'BC=(-l,V3,0).PC=(2,273,-a)-

設(shè)平面PBC的法向量為沅=?y,z),則但,匣=。，即卜"+丹=°,

令y—1,則無=V3>z=#，二沆=(V3,l>?)，

???直線CD與平面P8C所成角的正弦值為更，

4

?1?Icos<CD.7n>1-1同而1-1心；V4，

解得a=2或—2(舍負(fù))，

PC=(2,2V3,-2)，rn=(V3,l.2?

同理可得，平面PC。的法向量元=(0,1,V3).

—>t、mn1+67

?1?cos<7711]>=而=屈1+屈=/

故平面PC。與平面PBC所成銳二面角的余弦值為巳

O

解析：⑴連接AC,易知4cl8。，由24_L平面ABC。，推出24180,再根據(jù)線面垂直、面面垂

直的判定定理，即可得證；

(2)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=a(a>0),用a表示平面PBC的法向量記,由|cos(而，

沅>|=更，求得a的值，再求出平面PCO的法向量記，然后計(jì)算出cos<訪，元〉的值，即可.

14

本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、線面角和二面角的求法，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)

定理，以及利用空間向量處理線面角和二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯

推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

5.答案：解：(1)設(shè)A。、BC的中點(diǎn)分別為O、E,連接PO、OE、EP,

則0E為直角梯形ABC。的中位線，故BC10E.

由4P=PD,所以P。_L4D,

又平面P4。1平面ABCD,平面P40D平面ABC。=AD,POu平面PAD,

所以P。1平面ABCD,PO1BC,又P。C0E=0,PO,0Eu平面PEO,

所以BC_L平面PEO,

又PEu平面PEO,故BCLPE,又E為8c中點(diǎn)，所以P8=PC.

(2)在A8上取一點(diǎn)F,使得4B=4A/，則OF,OE,OP兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，射線。凡OE,0P分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

P(0,0,y),4點(diǎn)心,0),C(-i,|,0),

從而：PA==(0,1,0),

設(shè)平面PCD的法向量為五=(x,y,z),

.n-DC=y=0

可取元=(四,0,—1),

一一PA-nV6

cos<PA,n>=--------=—.

I^llnl3

故直線P8與平面PC。夾角的正弦值為漁.

3

解析：本題考查利用空間向量求解線面角以及線面垂直的判定和性質(zhì)，屬于中檔題.

(I)利用線面垂直的判定和性質(zhì)即可得BC1平面PEO,進(jìn)而得證；

(U)建立空間坐標(biāo)系，求出平面PC。的法向量，然后利用空間向量夾角公式求出結(jié)果.

6.答案：解：(1)連&N,由B、P〃BC〃AD,C平面AM。，二〃平面AMD

?:N為AAi，：.AN=B[M,AN//BtM,故四邊形制8泌為平行四邊形，

???B、N“AM???BjNC平面AMD,AMu平面AMD???BiN〃平面AMD.

?:NB、CB[P=B],B[N,BJu平面NB[P,

二平面NBiP〃平面AMD.

vPNu平面NBiP,

PN〃平面AMD.

(2)連AC交8。于O,有4C1B。，以。為原點(diǎn)，OA、OB為x軸、y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)

系

4(何)，0),0(0,-1,0),M(0,l,2),P(-^,|,4),N(何),2),&(0,-1,4),

DA=(V3,1-0),兩=(0,2,2),而=(苧而=(今一|,0)，

設(shè)平面AMD法向量左=(xj,z)

a-DA=0=

度氏:加6）

.a-DM=0

設(shè)平面PN￡）i法向量3=（x；y,,z,）

3V3,1,,

—x--y-2z=0

/??PN=0

一—>=

F?PD=。V3,3,n

.Tx-2y=°

取口=(V3,l>2)

平面AMD與平面PNDi所成銳二面角余弦值為

邛?一同曠N

解析：（1）連BiN,證得8止〃平面AMD,根據(jù)四邊形ANBiM為平行四邊形，可證得B】N〃平面AMD,

進(jìn)而證得平面NB$〃平面AMD,判定可得直線PN〃平面AMD,

（2）連AC交8。于。，有4c18。，以。為原點(diǎn)，0A、08為x軸、），軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)

系，

求出平面AM。法向量4和平面PN。1法向量瓦可通過夾角公式計(jì)算平面AM。與平面PN。1所成銳二

面角余弦值.

本題考查了直線與平面平行的判定問題，也考查了空間想象能力與思維能力，以及利用空間向量求

二面角余弦值，是中檔題.

7.答案：（1）證明：?.?平面$4。_L平面ABCD,平面SADn平面4BC。=AD,SMu平面SAD,SM1AD

SM_L平面ABCD,

???BMu平面ABCD,SM1BM.

???四邊形ABC。是直角梯形，AB13AM=AB,DM=DC,

AMDC都是等腰直角三角形，

???乙4MB=乙CMD=45°,4BMC=90°,BM1CM.

?：SMu平面SMC,CMu平面SMC,SMPtCM=M,

：.BM1平面SMC.

(2)解：三棱錐C-SBM與三棱錐S-CBM的體積相等，

由(1)知SM1平面ABC。，

可/jSMxl(4B+CD)xzlD，

設(shè)4B=a,由CC=34B,AM=AB,DM=DC,

得CD=3a,BM=V2a,CM=3>/2a,AD=4a，

11V2(ZX3V2(13

從叫"=訴訴=3

解析：本題綜合考查了面面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，線面垂直的性質(zhì)定理以及棱錐

的體積公式等，涉及到的知識(shí)較多，綜合性很強(qiáng)，對(duì)答題者根據(jù)題設(shè)條件及要解決的問題進(jìn)行知識(shí)

的重新組合、靈活轉(zhuǎn)化的能力要求較高，屬于中檔題.

(1)證明平面&WC,由題意及圖形，先證SM1BM,再證BM1CM,然后由線面垂直的判定定

理直接得出結(jié)論即可.

(2)由圖形知，三棱錐C-SBM與三棱錐S-CBM的體積相等，而三棱錐S—CBM與四棱錐S—ABCD

等高，故體積比可以轉(zhuǎn)化成面積比，代入數(shù)據(jù)計(jì)算既得.

8.答案：證明：

(I)因?yàn)樵凇鰽BC中，點(diǎn)M,N分別是AB,AC中點(diǎn)，

所以：MN〃BC,

又因?yàn)镸NC平面PBC,BCu平面PBC,

所以：MN〃平面PBC.

(11)因?yàn)辄c(diǎn)％是47的中點(diǎn)，月/4=。。，

所以PN14C,

又因PN14B,48u平面ABC,ACu平面ABC,ABnAC=A,

故PN1平面ABC,

因?yàn)?cu平面ABC,

所以：PN1BC.

解析：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線面平行的判定的應(yīng)用，線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)

生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

(I)直接利用中位線的性質(zhì)的應(yīng)用和線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

(n)利用線面垂直的判定和性質(zhì)即可得證.

9.答案：(1)證明???底面ABCO是正方形，

???BC1CD,

vSDJL底面ABCD,BCu底面ABCD,

■.SD1BC,

又DCCSD=D,

BC1-TffiSDC,

■：SCu平面SDC,

：.BC1SC.

(2)由(1)知BC_LSC,

又CD1BC,

???NSCD為所求二面角的平面角，

在Rt團(tuán)DSC中，

■■SD=DC=1,

乙SCD=45".

故平面SBC與平面所成二面角的大小45。；

(3)取A8中點(diǎn)P,連結(jié)MP,DP,

在回4BS,由中位線定理得MP〃SB,

NDMP或其補(bǔ)角是異面直線。M與SB所成角,

.?.MP=.4,DM=爭(zhēng)即=乒=爭(zhēng)

所以中，有Qp2=Mp2+DM2,

:.乙DMP=9?！?

故異面直線。河與SB所成角的大小90。.

解析：本題考查線面垂直，線線垂直，考查線線角，面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判斷,

正確找出線線角，面面角，屬于中檔題.

(1)由題意得到BC_L面SCC,即可證明結(jié)論；

(2)NSLO為所求二面角的平面角，在RtE)DSC中，即可得到結(jié)論.

(3)由題意得到NDA/P或其補(bǔ)角是異面直線DM與S3所成角，求解即可.

10.答案：證明：(1)如下圖，連接AC,41cl.

因?yàn)榕?器號(hào)，所以即〃居,

又A\C\〃AC,所以EF〃&C],

所以E,F,4,Ci四點(diǎn)共面；

(2)易得RtAB]C[G三Rt△C[CE,所以NC/IG=乙CJE,

所以NC/iG+“"Bi=ZtCjE+“"Bi=90°,

所以4GOG=90。，即&GJ.EC1.

因?yàn)镚A1平面BCGBi，所以GDiIBjG,

又EGnRD】=G，EC]、C1D1u平面EG。],

所以8"1平面ECR1，

又DRu平面EC】Di，

所以aG1D、E.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定，考

查空間思維能力，是中檔題.

(1)連接AC,QG，證得E尸〃&G，即E,F,4,G四點(diǎn)共面;

(2)易得Rt△BiCiG三Rt△gCE,得4C】OG=90。，即BiG_LECi，證得B】GJ■平面EGZ\,即可得

證1D]E.

11.答案：(1)證明：取48的中點(diǎn)G,連接。G,

?：BG=^AB=CD,BG//CD,

四邊形8CCG是平行四邊形，DG=BC=AG=AD=2,

.?.△ADG為等邊三角形，DG=\AB,

???△4BD是直角三角形，AD1BD.

???平面4DE平面ABCD,BDu平面ABCD,平面4DECl平面ABC。=AD,

???BD，平面ADE,

vAEu平面ADE,AE1BD-,

(2)尸為E8中點(diǎn)即可滿足條件.

取A。的中點(diǎn)“，連接E”，則EH=V^,BD=2V3，

?.?平面4DE_L平面ABC。，EHADE,平面ADEC平面ABC。=4。，EH1AD,

：.EH_L平面ABCD,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

E

則D(0,0,0),4(2,0,0),8(0,26,0),C(-l,V3,0),E(l,0,回

則育=(2,0，0),CB=(l,V3,0).EB=(-1.2V3,-V3).

EF=.X~EB=(-2,2V3A,-V3A)，

DF=D^E+EF=(1-A,2V3A,V3-V3A)，

設(shè)平面AOF的法向量為記=Qi，yi，Zi),平面BCE的法向量為元=(如為々).

由jDF-m=0得［(1—A)xx+2y/3Ay+(V3—V5%)zi=0

1曲.記=0匕尤1=0

取市=(CM-1,24),

由怦,三=0,得卜2+后廣。，

(E8-n=01一孫+275y2一遮z?—0

取五二(一次/，3).

于是|cos(沅，記＞I=卷卷

|A-1+6A|_，65

-V13-V5A2-2A+1-13*

解得"刎U=一"舍去)

所以存在；I=3使得平面ADF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為迤.

213

解析：本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)和二面角，屬于中檔題.

(1)取AB的中點(diǎn)G,連接QG,先證BD1平面AOE,由ZEu平面AQE,可得ZE，BD

(2)取A。的中點(diǎn)H,連接EH,如圖建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,求出平面49F的法向量為記=

(0,2-1,22),平面3CE的法向量為元=(一丹1,3).由|cos＜記，元＞1=磊=等可得％=也即

可求解.

12.答案：證明：(I)如圖:

連接AC交8E于0,并連接EC,FO,

因?yàn)锽C〃4。，BC=\AD,E為A。中點(diǎn)，

所以AE^BC，因此四邊形ABCE為平行四邊形，

所以。是AC中點(diǎn).

又因?yàn)镕為PC中點(diǎn)，所以。尸〃PA.

又因?yàn)镺Fu平面8E居P4,平面BEE所以P4〃平面BEE

(口)連接PE.

因?yàn)镻4=4。，E為AO中點(diǎn)，所以PE14D.

又因?yàn)锽C〃4D,BC=\AD,E為A。的中點(diǎn)，

所以四邊形BC￡>E為平行四邊形，因此BE〃CD.

又因?yàn)镹/WC=90。，即4D1CD,所以4DJLBE.

又因?yàn)镻EnBE=E,PE、BE都在平面PBE內(nèi).所以40_L平面PBE,

而PBu平面PBE,因此4D1PB.

解析：本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定和線面垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(1)連接4。交8￡于0,并連接EC,FO,利用平面幾何知識(shí)，結(jié)合題目條件得0F〃P4再利用線

面平行的判定得結(jié)論；

(U)連接PE,利用平面幾何知識(shí)，結(jié)合題目條件得PE_LA0和AD_LBE,再線面垂直的判定得4。_L

平面PBE,最后利用線面垂直的性質(zhì)得結(jié)論.

13.答案：證明：(1)取A。中點(diǎn)O,連接。8,。&,BD,

H

AAr=A1D,■■AD10Ar,

又NABC=120°,ABAD60，

又AD=AB=BD,

???△4BD是等邊三角形，。為AO的中點(diǎn)，

???AD1OB,

OArnOB=0,(7.41.013C平面0.小3,

AD1平面&OB,

vAyBu平面40B,

???AD1BAr.

解：(2)?.?平面4。0遇11平面ABCD,

平面4。。出n平面4BCD=AD,

又A。.LAD,4Q(Z平面4DD|J4I,

???&。_L平面ABCD,013C平面，13C'D,

:,4］。1OB,

?1.OA.。&、08兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以04。8、。4所在射線為x、y、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

xy

設(shè)AB=4D=4iD=2,

則4(1,0,0),4(0,0,V5),

B(0,V3,0),D(-l,0,0),

則西=（1,0,遮），DC=AB=（-1,73,0）.

而7=（0,-百,百），

設(shè)平面為B1CD的法向量記=（x,y,z）,

則（五?DC=-x+V3y=0

In-DA-i=x+V3z=0'

令x=b，則y=l，z=-1,

則五=（遮,1,一1），

設(shè)直線與平面&B1CD所成角為。，

則sinJ=|cos<元，西>|=I高翳I

_利_叵

???直線B七與平面4出6所成角的正弦值為手.

解析：本題考查線線垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

(1)取AO中點(diǎn)。，連接。8,。&,BD,推導(dǎo)出ADJ.O&,△2BD是等邊三角形，從而4。1OB,

進(jìn)而4。1平面&OB,由此能證明401A$；

(2)推導(dǎo)出。4、。&、OB兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OB、。公所在射線為x、y、z

軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,利用向量法能求出直線與平面4BiCD所成角的正弦值.

14.答案：解：(I)???四邊形A8C。是正方形，-CDLAD,￡___________￡

a

又?.?平面4ED1平面ABCD,平面4EDn平面4BCC=AD,CDu面/；\\

ABCD,

CD1平面ADE,（2分）/—

又AEu平面ADE,.-.CD1AE,（3分）.

???在△40E中，AD=2,DE=1,Z.EAD=30°,

由余弦定理得，AE=V3,?1.AE2+DE2=AD2,AE1EO.（4分）

又CDCiED=D,；.AE1平面EFCD.（5分）

又FCu平面EFCDAAE1FC.（6分）

（II）過點(diǎn)E做EH_L4D交AO于點(diǎn)”，連結(jié)FD

???平面4￡>E1平面A8CD平面4DEn平面48C。=40,EHu平面ADE,

EHABCD,在RtZkHE。中，￡77=亨（7分）

5LEF//DC,???DCu面ABCD,EFC面ABCD

EF//^ABCD,-,E到面ABCD的距離等于尸到面ABCD的距離（8分），

???VF-BCD=?“CD.EH=3x24=今（9分）

在直角梯形EF2A中，EF=1,AE=陋，DC=2,AB=2,可得BF=2,

???SABFC=；x夜x孚=?（10分）

設(shè)D點(diǎn)到平面BFC的距離為d,vVD_BCF=NCD，

即:SABCF?d=9，；?點(diǎn)D到平面BCF的距離”.(12分)

解析：(1)首先證明<:。_1平面4。,CDLAE,又在AAOE中，由余弦定理得可得4E_LED即可得

AE_L平面EFCC.4E1FC.

(11)過點(diǎn)￡做"_14。交4。于點(diǎn)/7,連結(jié)皿求得砒=爭(zhēng)易知E到面A8CD的距離等于F到

面A3CO的距離，設(shè)。點(diǎn)到平面BFC的距離為d,得到點(diǎn)。到平面3b的距離聲.

7

本題考查了空間線線垂直的證明，等體積法求點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.

15.答案：(I)證明：由題意可知，AArABCD,又BOu平面ABC。，所以

又因?yàn)榈酌鍭BC。是正方形，所以對(duì)角線4C1B。，

又4Cn44i=4,AC,u平面414CC],所以BDJ_平面414CCi，

又BDu平面&BD,所以平面4BD1平面44CC1；

(II)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，'：,

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1,設(shè)CP=a,,/1匚二

則P(0,l,a),4i(l,0,1),0),0(0,0,0),C(0,l,0),

所以麗=(1,1,0),西=(1,0,1),DP=(0,1,a)油[、_/

設(shè)平面4BD的法向量為元=(x,y,z),

則有g(shù),竺="+y=°,令x=-1,則y=z=1,故元=(-1,1,1),1

In-DAX=x+z=0

設(shè)平面PBD的法向量為沅=(p,q,r),

則有佇'空一P+"°，令p=-l,則q=l,r=故沆=(一1,1,-2),

因?yàn)?4i_L平面ABCD,不妨取平面CBD的一個(gè)法向量為元=(0,0,1)，

因?yàn)槎娼钦家?。一P的平面角與二面角P-BD-C的平面角相等，

所以|cos<n,m>|—|cos<m,n^>,

即需=解，所以占解得a=”史，

|n||m|g12+^lx」2+表2

所以CP=11更＞1,

2

故在棱CC1上不存在點(diǎn)P,使得二面角4一BD-P的平面角與二面角P-BD-C的平面角相等.

解析：(I)先證明_LBD,再利用正方形的性質(zhì)證明ACLBD,從而可證BD_L平面為ACG，由面

面垂直的判定定理證明即可：

(□)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CP=a,求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出三個(gè)平面的法

向量，利用向量的夾角公式列出等式關(guān)系，求出a的值判斷即可.

本題考查了面面垂直的判定定理的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間角問題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直

角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

16.答案：(1)證明：?：E,尸分別是AC,4G的中點(diǎn)，

：.EF//CCr,

???CCi1平面ABC,

???EF，平面ABC,

又ACu平面ABC,

???EF±AC,

"AB=BC,E是4c的中點(diǎn)，

BE1AC,

又BEnEF=E,BEu平面BEF,EFu平面BEF,

AC，平面BEF；

(2)解：由(1)可知，EF1AC,BELAC,EF1平面ABC,

又BEu平面ABC,

EF±BE,

故以E為原點(diǎn)，以EB,EC,即為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示:

則8(2,0,0),C(0,l>0),D(0,—1,1),

，就0),而=(0,-2,1),

設(shè)平面BCD的法向量為前=(%j,z),

元?匣=0(—2x+y=0

[—2y+z=0,

元-CD=0

令y=2,可得五=(1,2,4),

又EFLBE,BELAC,

且EFCAC=E,EFu平面/CCp4i，4Cu平面

???EBJ"平面4CCi4i，

EB=(2,0，0)為平面CDG的一個(gè)法向量，

t云甘n-EB2V21

：?cos<n,EB>=――<="=-=—,

|n||EB|VHX221

由圖形可知，二面角B-CD—G為鈍二面角，

???二面角B-CD-G的余弦值為一宗；

(3)證明:尸(0,0,2),G(2,0,1),

???FG=(2,0,—1),

FG?元=2+0—4=—2力0,

而與元不垂直，

???FG與平面BCD不平行,

又FG仁平面BCD,

???FG與平面BC￡＞相交.

解析：本題考查了線面垂直的判定，利用空間向量求二面角，空間中直線和平面的位置關(guān)系，屬于

中檔題.

(1)證明EFJ.AC,BEVAC,即可得出4C_1_平面8ER

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量的夾角的余弦值進(jìn)行求解即可；

(3)根據(jù)題意，利用向量而與平面的法向量不垂直即可得解.

17.答案：(1)證明：在。劣上取點(diǎn)Q使得。iQ=l,連接QMQN,

則由已知易得MQ〃當(dāng)N,

所以M,Q,N,8i四點(diǎn)共面,

Y.PQ//CN,且PQ=CN=2,

所以四邊形PQNC為平行四邊形，

所以CP〃QN,

因?yàn)镼Nu平面/MN,CP仁平面/MN,

所以CP〃平面&MN.

(2)解：因?yàn)楫?dāng)"=B[N=CjM=V42+22=2V5.

所以取MN中點(diǎn)H,連接可得BiHJ.MN,

在Rt團(tuán)NCiM中，MN=J(2通＞+22=2逐，

故SmBWN=j\MN\\B.H\=|x2A/6xJ(2V5)2-(V6)2=2同,

又S?BGN=[x2x4=4,點(diǎn)M到平面&CN的距離為棱長(zhǎng)4,

設(shè)點(diǎn)C到平面&MN的距離為d,

則由N為CCi的中點(diǎn)可得Q到平面&MN的距離也為cl.

由匕:1-JMN=KM-BIQN可得三x2A/2T,d=-x4x4,

解得d=晅，

21

故點(diǎn)C到平面B1MN的距離為等.

解析：本題考查了線面平行的判斷，空間中點(diǎn)到平面的距離，是中檔題,

(1)在。。[上取點(diǎn)。使得DiQ=1,連接QM,QN,可得M,Q,N,8i四點(diǎn)共面，進(jìn)而四邊形PQNC為平

行四邊形，所以CP〃平面&MN.

(2)因?yàn)?B[N=GM=V42+22=2通,

所以取MN中點(diǎn)”，連接Bi",可得B[HJ.MN,在Rt回NGM中，MN=J(2通/+22=2遍，求

得=：x2乃xJ(2>/5)2-(V6)2=2721-設(shè)點(diǎn)C到平面B】MN的距離為4,

則由N為CQ的中點(diǎn)可得Q到平面&MN的距離也為d.由憶用MN=NM-BGN可得答案.

18.答案：(I)證明：設(shè)線段C。的中點(diǎn)為匕連接EEFA,

在APCO中，EF為中位線，

故E/7/PC,

又EF仁平面PCB,PCu平面PCB,

所以EF〃平面PCB,

在底面直角梯形A8C。中，F(xiàn)C"BA,且FC=AB,故四邊形QFBC為平行四邊形，

^FA//CB,

又FAC平面PCB,CBu平面PCB,所以F4〃平面PCB,

又因?yàn)镋Fu平面EFA,FAu平面EFA,S.EFC\FA=F,所以平面EF4〃平面PCB,

又4Eu平面EE4,所以有4E〃平面PC8.

(口)解：由(I)可知，點(diǎn)E到平面PCB的距離是點(diǎn)O到平面PC8的距離的一半.

因?yàn)镻A1平面ABC。，AB1BC.PA^AB=A,所以BC1平面PAB,所以BC1PB.

1112

所以%-BCD=：SABCDPA=^X^X2XBCX2=IBC.

在RtZsP43中，AB=1,PB=>JPA2+AB2=74+7=V5>

所以SAPCB=|XBCXV5=yBC.

設(shè)點(diǎn)D到平面PBC的距離為d,

則二xdx更BC=2BC，解得d=延，

3235

所以點(diǎn)E到平面PBC的距離為獨(dú).

5

解析：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)E到平面PCB的距離、三棱錐體積的求法，屬于中

檔題.

(I)設(shè)線段CD的中點(diǎn)為凡連接￡/，R4.通過線面平行證明平面￡尸4〃平面PC8,再證明：4E〃平

面PCB；

(D)由(I)可知，點(diǎn)E到平面PC3的距離是點(diǎn)。到平面PC3的距離的一半，利