內(nèi)蒙古自治區(qū)通遼市科爾沁左翼后旗甘旗卡第二高級(jí)中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若均為任意實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．2．已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．3．設(shè)全集U=R，集合，則（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}4．把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象．給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱軸是③的一個(gè)對(duì)稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．45．復(fù)數(shù)（）．A． B． C． D．6．已知符號(hào)函數(shù)sgnxf（x）是定義在R上的減函數(shù)，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），則（）A．sgn[g（x）]＝sgnx B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]7．已知是邊長(zhǎng)為的正三角形，若，則A． B．C． D．8．以下關(guān)于的命題，正確的是A．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B．直線需是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸C．點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心D．將函數(shù)圖象向左平移需個(gè)單位，可得到的圖象9．命題：的否定為A． B．C． D．10．若函數(shù)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．11．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，，，為拋物線上三點(diǎn)，若，則（）.A．9 B．6 C． D．12．如圖，拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若直線與以為圓心，線段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）長(zhǎng)為半徑的圓交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于值的說(shuō)法正確的是（）A．等于4 B．大于4 C．小于4 D．不確定二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則實(shí)數(shù)的值是__________．14．已知雙曲線（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)，且，tan∠PF2F1＝﹣2，則雙曲線的離心率為_____．15．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，若是的共軛復(fù)數(shù)，則____________．16．已知數(shù)列滿足,且,則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）為響應(yīng)“堅(jiān)定文化自信，建設(shè)文化強(qiáng)國(guó)”，提升全民文化修養(yǎng)，引領(lǐng)學(xué)生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”，某廣播電視臺(tái)計(jì)劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中，在某高中學(xué)校隨機(jī)抽取了120名學(xué)生做調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：樣本中男女比例為3:2，而男生中喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)和不喜歡的比例是7:5，女生中喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)和不喜歡的比例是5:3.（1）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)系？男生女生總計(jì)喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)不喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)總計(jì)（2）為做好文化建設(shè)引領(lǐng)，實(shí)驗(yàn)組把該校作為試點(diǎn)，和該校的學(xué)生進(jìn)行中國(guó)古典文學(xué)閱讀交流.實(shí)驗(yàn)人員已經(jīng)從所調(diào)查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表，這7個(gè)代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國(guó)古典文學(xué).現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會(huì)，記為參加會(huì)議的人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù)，求5的分布列及數(shù)學(xué)期望附表及公式：.18．（12分）已知函數(shù)（，），且對(duì)任意，都有.（Ⅰ）用含的表達(dá)式表示；（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求出的取值范圍，并證明；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的值；（2）求證：（，且）.20．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識(shí)，高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組，分為兩組，討論學(xué)習(xí)．甲組一共有人，其中男生人，女生人，乙組一共有人，其中男生人，女生人，現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.（1）設(shè)事件為“選出的這個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須來(lái)自不同的組”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和期望21．（12分）某省新課改后某校為預(yù)測(cè)2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計(jì)圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖，估計(jì)本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬(wàn)，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個(gè)考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬(wàn)，假設(shè)該市每個(gè)考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.22．（10分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設(shè)，∠，∠，將沿折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

該題可以看做是圓上的動(dòng)點(diǎn)到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離的平方的最小值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動(dòng)點(diǎn)的距離減去半徑的平方的最值問(wèn)題，結(jié)合圖形，可以斷定那個(gè)點(diǎn)應(yīng)該滿足與圓心的連線與曲線在該點(diǎn)的切線垂直的問(wèn)題來(lái)解決，從而求得切點(diǎn)坐標(biāo)，即滿足條件的點(diǎn)，代入求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，其結(jié)果應(yīng)為曲線上的點(diǎn)與以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點(diǎn)與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點(diǎn)，曲線有在點(diǎn)M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點(diǎn)滿足條件，其到圓心的距離為，故其結(jié)果為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處切線斜率的應(yīng)用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關(guān)系，屬中檔題.2、C【解析】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C．考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積．3、C【解析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】由，解得或.因?yàn)榛颍?故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域；利用代入檢驗(yàn)法判斷②③；對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,②正確；當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱中心是,③正確；,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.5、A【解析】試題分析：，故選A.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算的法則是進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù)，加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng)，乘法法則類似于多項(xiàng)式的乘法法則，除法運(yùn)算則先將除式寫成分式的形式，再將分母實(shí)數(shù)化.6、A【解析】

根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式，結(jié)合f（x）的單調(diào)性分析即可得解.【詳解】根據(jù)題意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的減函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，x＜ax，則有f（x）＞f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此時(shí)sgn[g（x）]＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，x＝ax，則有f（x）＝f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此時(shí)sgn[g（x）]＝0，當(dāng)x＜0時(shí)，x＞ax，則有f（x）＜f（ax），則g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此時(shí)sgn[g（x）]＝﹣1，綜合有：sgn[g（x）]＝sgn（x）；故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，涉及函數(shù)單調(diào)性辨析，關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)自變量的取值范圍分類討論.7、A【解析】

由可得，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正三角形，所以，故選A．8、D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)得到，再逐項(xiàng)判斷正誤得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，函數(shù)先增后減，錯(cuò)誤B選項(xiàng)，不是函數(shù)對(duì)稱軸，錯(cuò)誤C選項(xiàng)，，不是對(duì)稱中心，錯(cuò)誤D選項(xiàng)，圖象向左平移需個(gè)單位得到，正確故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)稱軸，對(duì)稱中心，平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其中化簡(jiǎn)三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.9、C【解析】

命題為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題的否定為，故選C．10、B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象，即可排除；對(duì)B滿足函數(shù)定義，故符合；對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象，故可否定．故選B．11、C【解析】

設(shè)，，，由可得，利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè)，，，由及，得，故，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問(wèn)題，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.12、A【解析】

利用的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，然后聯(lián)立方程得，最后利用韋達(dá)定理求解即可【詳解】據(jù)題意，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，.討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，據(jù)，得，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的相交問(wèn)題，解題核心在于聯(lián)立直線與拋物線的方程，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】∵=（1，2），=（x，1），則=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），=2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3），∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=1，解得：x=．點(diǎn)睛:由向量的數(shù)乘和坐標(biāo)加減法運(yùn)算求得，然后利用向量共線的坐標(biāo)表示列式求解x的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），則⊥?a1a2+b1b2=1，∥?a1b2﹣a2b1=1．14、【解析】

根據(jù)正弦定理得，根據(jù)余弦定理得2PF1?PF2cos∠F1PF23，聯(lián)立方程得到，計(jì)算得到答案.【詳解】∵△PF1F2中，sin∠PF1F2═，sin∠PF1F2═，∴由正弦定理得，①又∵，tan∠PF2F1＝﹣2，∴tan∠F1PF2＝﹣tan（∠PF2F1+∠PF1F2），可得cos∠F1PF2，△PF1F2中用余弦定理，得2PF1?PF2cos∠F1PF23，②①②聯(lián)解，得，可得，∴雙曲線的，結(jié)合，得離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.15、【解析】

由于，則．16、【解析】

數(shù)列滿足知，數(shù)列以3為公比的等比數(shù)列，再由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得的值即可.【詳解】，數(shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，又，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列定義，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析，沒有（2）見解析，【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計(jì)算出的值，由此判斷出沒有的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)系.（2）先判斷出的所有可能取值，然后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）男生女生總計(jì)喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)423072不喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)301848總計(jì)7248120所以，沒有的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)系.（2）設(shè)參加座談會(huì)的男生中喜歡中國(guó)古典文學(xué)的人數(shù)為，女生中喜歡古典文學(xué)的人數(shù)為，則.且；；.所以的分布列為則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.18、（1）（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：利用賦值法求出關(guān)系，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù).試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意：令，可得，所以，經(jīng)驗(yàn)證，可得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以，令，要使存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，則須有有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，所以或解得或無(wú)解，所以的取值范圍，可得，由題意知，令，則．而當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，所以即時(shí)，．（Ⅲ）因?yàn)?，．令得，．由（Ⅱ）知時(shí)，的對(duì)稱軸，，，所以.又，可得，此時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以最多只有三個(gè)不同的零點(diǎn)．又因?yàn)?，所以在上遞增，即時(shí)，恒成立．根據(jù)（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)：，1，．綜上所述，恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】利用賦值法求出關(guān)系，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，要求函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需在內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是近年高考?jí)狠S題的熱點(diǎn).19、（1）1；（2）見解析【解析】

（1）分別求得與的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求得的值；（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因而，構(gòu)造，由對(duì)數(shù)運(yùn)算及不等式放縮可證明，從而不等式可證明.【詳解】（1）∵函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在上恒成立，∴，又∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即在上恒成立，，∴綜上可知，.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.∴∴即，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系，放縮法在證明不等式中的應(yīng)用，屬于難題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，.【解析】

（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由題得可能取值為,再求x的分布列和期望.【詳解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值為,,,,,的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21、(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】

（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i）利用二項(xiàng)分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【詳解】（1）估計(jì)本科上線率為.（2）（i）記“恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線”為事件A，由圖可知，甲市每個(gè)考生本科上線的概率為0.6，則.（i