高中數(shù)學(xué)：黃金橢圓的性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)：黃金橢圓的性質(zhì)

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離心率為了的橢圓被稱做“黃金橢圓”，它有不少有

x?y?

趣的性質(zhì)，本文約定橢圓方程為君(a>b>0)o

1.若橢圓是黃金橢圓，則a,b,c成等比數(shù)列。

證明：因?yàn)闄E圓為黃金橢圓,

c

苴匚，即c二正二1a

所以二29

b2=a2-c2=a：

A/5-12

=ac,故a,b,c成等比數(shù)歹h

上述命題的逆命題也真。

事實(shí)上，ib2=acAb2=a2—c2,得

a2—c2=ac,e2+e-1=0,

—1

因?yàn)?〈e<1,所以g-7-,故此橢圓為黃金橢圓。

2.若橢圓為黃金橢圓，設(shè)A(a,0),B(0,b),F

(-c,0),則AABF為直角三角形。

證明：在4ABF中，版I'a'bz,

|BF|2=b2+c2,|AFj2=(a+c),

所以網(wǎng)2+|BFf=『+2b2+c2,

又橢圓為黃金橢圓。

由性質(zhì)1有b2=ac,

所以|AB|2+|BF|2=a2+2ac+c2

22

=(a+c)=|AF|,

即AABF為直角三角形。

上述命題的逆命題也為真命題。

事實(shí)上，由4ABF為直角三角形，得

|AB|2+|BF|2=|Aif,

即(a2+b2)+(b2+c2)=(a+c)2,

所以，b2=aco

故此橢圓為黃金橢圓。

3.若橢圓是黃金橢圓，P、Q為橢圓上任意兩點(diǎn)，M為

線段PQ的中點(diǎn)，若PQ與0M的斜率存在，則

..6-1

kpQ?k°M=——--

No

證明：設(shè)M(xo,yo)，P(xo+m,yo+n),

則Q(xo-m,yo-n),

Yo.k=￡

PQ

于是koM=xjmo

因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在橢圓上，

2

(x()+m)2(y0+n)

所以一^-,①

2

(x0-m)(y0-n)

②

4mx。4ny0

①-②，得KF=°,

2

n__bx0

2

所以may0,

乂橢圓為黃金橢圓,

所以b2=ac,

,ny0132c75-1

PQ,kOM=—,—=~-=--=—-；—

mx0aa2o

上述命題的逆命題也成立。

事實(shí)上，由上得知

2

11ny0b

KPQ?KOM=-?一=一丁

mx0a

_A/5-1__c

2a,

所以b2=ac,

故此橢圓為黃金橢圓。

4.若橢圓是黃金橢圓，P為橢圓上任意一點(diǎn)，P在x軸

上的射影為M,橢圓在P點(diǎn)的法線交x軸于N,則

網(wǎng)，石T"

|OM|2，。

證明：設(shè)P(xo,yo)o

將b2x2+a2y2=a2b2兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

2b2x+2a2y-y'=0,

b2x

所以y二-訪。

即橢圓在點(diǎn)p的法線的斜率

k—=學(xué)

y小。，

故點(diǎn)P的法線方程為

詈2"(x-x。)

y-yo=bxoo

.2_<2

令y=0,得網(wǎng)=國(guó)=^-或

又|OM|=%|,

222

|ON|=a-b=c

所以西=^^二/。

又橢圓為黃金橢圓，

網(wǎng)c2

所以1叫？〈2L

上述命題的逆命題也成立。

事實(shí)上，由上可知

222

|ON|a-bcJ5-l2

西=a[=F=(2),

cV5-1.2

=ac

所以1T「bo

故此橢圓為黃金橢圓。

5.若橢圓是黃金橢圓，設(shè)Ai(―a,0),A2(a,

0),Bi(0,-b),B2(0,b),則菱形A1B1A2B2

的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)。

-y

證明：設(shè)A2B2:Ib,即

bx+ay=abo

ab

d1=——

又點(diǎn)(0,0)到直線bx+ay=ab的距離好壽，

.2_a2b2_a2ac_a2c

所以a2+b2a2+aca+c

_(b2+c2)c_(ac+c2)c

a+ca+c

_(a+c)d

a+c,

故焦點(diǎn)在內(nèi)切圓上。

上述命題的逆命題也成立。

ab

d1=_=c

事實(shí)上，由上知「在