專題10 有理數(shù)的乘方（原卷版）-2024小升初數(shù)學(xué)暑假銜接講義

專題10.有理數(shù)的乘方1.理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義；2.會(huì)求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪；3.熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算（含乘方）順序和法則；4.感受發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)到從特殊到一般的思考方法，從而增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。題型探究題型1、有理數(shù)乘方的概念 3題型2、有理數(shù)乘方的運(yùn)算 5題型3、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律 6題型4、有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算（簡(jiǎn)算） 8題型5、含乘方的混合運(yùn)算 10題型6、偶次方的非負(fù)性的運(yùn)用 12題型7、有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用 13題型8、有理數(shù)乘方的新定義問(wèn)題 16培優(yōu)精練A組（能力提升） 20B組（培優(yōu)拓展） 26【思考1】手工拉面是我國(guó)的傳統(tǒng)面食，制作時(shí)，拉面師傅將一團(tuán)和好的面，揉搓成1根長(zhǎng)條后，手握兩端用力拉長(zhǎng)，然后將長(zhǎng)條對(duì)折，再拉長(zhǎng)，再對(duì)折（每次對(duì)折稱為一扣），如此反復(fù)操作，連續(xù)拉扣若干次后，便成了許多細(xì)細(xì)|的面條.你能算出拉扣7次后共有多少根面條嗎？【乘方的趣事】關(guān)于國(guó)際象棋的起源，有一個(gè)傳說(shuō)：在古時(shí)候，在某個(gè)王國(guó)里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國(guó)際象棋，獻(xiàn)給了國(guó)王，國(guó)王從此迷上了下棋。為了對(duì)聰明的大臣表示感謝，國(guó)王答應(yīng)滿足這個(gè)大臣的一個(gè)要求。大臣說(shuō)：“第1格放1粒小麥，第2格放2粒小麥，第3格放4粒小麥，然后是8粒、16粒、32?！?，一直到第64格……即每一個(gè)次序在后的格子中放的小麥都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的兩倍，直到最后一個(gè)格子放滿為止”。國(guó)王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了大臣的要求。然而，國(guó)王最終發(fā)現(xiàn)，按照與大臣的約定，全印度的麥子竟然連棋盤一小半格子數(shù)目都不夠。大臣索要的麥粒數(shù)目實(shí)際上是天文數(shù)字，總數(shù)將是一個(gè)十九位數(shù)，折算重量約為2000多億噸，即使現(xiàn)代，全球小麥的年產(chǎn)量也不過(guò)是數(shù)億噸。1.有理數(shù)的乘方乘方的概念：一般地，個(gè)相同的乘數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當(dāng)看作的次方的結(jié)果時(shí)，讀作的次冪。求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。注意：①乘方運(yùn)算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒(méi)有；②乘方運(yùn)算，代表的是多個(gè)相同乘數(shù)相乘，要與乘法運(yùn)算區(qū)分開來(lái)；③在運(yùn)算時(shí)要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰(shuí)；④帶分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，一定要先化成假分?jǐn)?shù)后再運(yùn)算。2．整數(shù)指數(shù)冪的符號(hào)規(guī)律：1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。注意：除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1。題型1、有理數(shù)乘方的概念【解題技巧】求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪，即：。在中，叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。例1．（23-24七年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）在中，底數(shù)是，指數(shù)是，冪是．例2．（23-24七年級(jí)上·山西臨汾·期末）（

）A． B． C． D．變式1．（23-24七年級(jí)上·安徽安慶·期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．的底數(shù)是B．表示5個(gè)2相加C．與意義相同D．的底數(shù)是2變式2．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·階段練習(xí)）對(duì)于式子，下列說(shuō)法正確的是（

）A．指數(shù)是 B．底數(shù)是3 C．冪為 D．表示3個(gè)相乘變式3．（23-24九年級(jí)·山東德州·階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．題型2、有理數(shù)乘方的運(yùn)算【解題技巧】有理數(shù)乘方的運(yùn)算：（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值。例1．（23-24七年級(jí)·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）下列計(jì)算正確的是（

）A．B．C．D．例2．（2023秋·河北石家莊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5變式1．（2023春·浙江衢州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知在，，，這4個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（

）A． B． C． D．變式2．（2023春·上海靜安·七年級(jí)校考期中）下列各式中，正確的是

）A．B．C．D．題型3、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律【解題技巧】乘方的符號(hào)規(guī)律：1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0。例1．（23-24七年級(jí)上·河南信陽(yáng)·期中）在，，，0中，非負(fù)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（2023·廣西·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知為正整數(shù)，計(jì)算的結(jié)果是（）A．1 B．-1 C．0 D．2變式1．（23-24七年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·期末）計(jì)算：變式2．（2023·廣東·七年級(jí)期中）若非零數(shù)a，b互為相反數(shù)，下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）①與；②與；③與；④與A．0 B．1 C．2 D．3變式3．（22-23七年級(jí)上·安徽蕪湖·期末）若是負(fù)數(shù)，則下列各式正確的是（

）A． B． C． D．題型4、有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算（簡(jiǎn)算）【解題技巧】性質(zhì)：例1．（22-23七年級(jí)上·福建三明·期中）（1）計(jì)算下面兩組算式：①與；

②與；（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開去：等于什么?（直接寫出結(jié)果）（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，等于什么?請(qǐng)你利用乘方的意義說(shuō)明理由．（4）利用上述結(jié)論，求的值．變式1．（2023七年級(jí)上·江蘇·專題練習(xí)）計(jì)算：（

）A． B．1 C．0 D．2023變式2．（23-24七年級(jí)上·河北石家莊·期中）若，則的值可以表示為（

）A． B． C． D．題型5、含乘方的混合運(yùn)算【解題技巧】有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．例1．（2024·廣西賀州·三模）計(jì)算：．例2．（23-24七年級(jí)·湖北·七年級(jí)期中）計(jì)算下列各題：(1)(2)(3)(4)變式1．（23-24七年級(jí)·上?！て谥校┯?jì)算：．變式2．（2023春·上海徐匯·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）題型6、偶次方的非負(fù)性的運(yùn)用例1．（23-24七年級(jí)上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）若，則，．例2．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）為有理數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是（）A．是正數(shù)B．是正數(shù)C．是負(fù)數(shù)D．的值不小于變式1．（22-23七年級(jí)上·云南昆明·期中）若，則．變式2．（23-24七年級(jí)·上海寶山·期中）若，那么．題型7、有理數(shù)乘方的實(shí)際應(yīng)用【解題技巧】此類題型的難點(diǎn)在于分析問(wèn)題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型?；静襟E為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計(jì)算結(jié)果。例1．（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）有一種細(xì)菌，經(jīng)過(guò)1分鐘分裂成2個(gè)，再過(guò)1分鐘，又發(fā)生了分裂，變成4個(gè)．把這樣一個(gè)細(xì)菌放在瓶子里繁殖，直至瓶子被細(xì)菌充滿為止，用了1小時(shí)，如果開始時(shí)，就在瓶子里放入這樣的細(xì)菌16個(gè)，那么細(xì)菌充滿瓶子所需要的時(shí)間為（

）A．44分鐘 B．56分鐘 C．半小時(shí) D．1小時(shí)例2．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再拉伸，反復(fù)幾次，如草圖所示．這樣捏合到第8次后可拉出根細(xì)面條．例3．（23-24七年級(jí)·山東淄博·期中）在日常生活中，我們用十進(jìn)制來(lái)表示數(shù)，如．計(jì)算機(jī)中采用的二進(jìn)制，即只需要0和1兩個(gè)數(shù)字就可以表示數(shù)，如二進(jìn)制中的，可以表示十進(jìn)制中的10，那么二進(jìn)制中的表示十進(jìn)制中的．變式1．（2024·四川達(dá)州·三模）在我國(guó)古書《易經(jīng)》中有“上古結(jié)繩而治”的記載，它指“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”．如圖，一遠(yuǎn)古牧人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿6進(jìn)1，用來(lái)記錄他所放牧的羊的只數(shù)，由圖可知，他所放牧的羊的只數(shù)是（

）A．1234 B．310 C．60 D．10變式2．（22-23七年級(jí)·浙江溫州·期中）小明的文檔中有一個(gè)如圖1的實(shí)驗(yàn)中學(xué)，他想在這個(gè)文檔中用1000個(gè)這種，設(shè)計(jì)出一幅如圖2樣式的圖案．他使用“復(fù)制粘貼”（用鼠標(biāo)選中，右鍵點(diǎn)擊“復(fù)制”，然后在本文檔中“粘貼”的方式完成，則他需要使用“復(fù)制粘貼”的次數(shù)至少為（）A．9次 B．10次 C．11次 D．12次變式3．（23-24七年級(jí)上·遼寧丹東·期中）一根1米長(zhǎng)的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第7次后截去的木棒長(zhǎng)為（

）A．米 B．米 C．米 D．米變式4．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（

）A． B． C． D．題型8、有理數(shù)乘方的新定義問(wèn)題【解題技巧】“新定義”型問(wèn)題是指在問(wèn)題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識(shí)銜接“新知識(shí)”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對(duì)“新定義”的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將“新定義”的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.例1．（23-24七年級(jí)·黑龍江綏化·階段練習(xí)）用“※”定義一種新運(yùn)算，規(guī)定，如，(1)求的值；(2)求的值．例2．（23-24七年級(jí)上·云南昆明·期中）【概念學(xué)習(xí)】規(guī)定：若求若干個(gè)相同的有理數(shù)均不等于的除法運(yùn)算叫做除方，如，，我們把記作，讀作“的圈次方”，記作，讀作“的圈次方”．一般的，我們把記作，讀作“的圈次方”．【初步探究】（1）直接寫出計(jì)算結(jié)果________，________，________．【深入思考】我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算（2）試一試：仿照上面的算式，將下列運(yùn)算結(jié)果直接寫成冪的形式：___，___，___．（3）想一想：將一個(gè)非零有理數(shù)的圈次方寫成冪的形式是________．變式1．（2023·湖南·七年級(jí)?？计谥校┒x一種運(yùn)算符號(hào)“★”：，如：，那么的結(jié)果是_______．變式2．（2023·廣東·七年級(jí)?？计谥校┒x一種對(duì)正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n＋5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如，取n＝26，則：若n＝449，則第2020次“F運(yùn)算”的結(jié)果是______．變式3．（2023秋·湖南常德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，記作，已知，記作，已知，記作，那么：（1）______；（2）()．A組（能力提升）1．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期末）一張紙的厚度大約為，如圖，將其對(duì)折、壓平，稱作第1次操作，再將其對(duì)折、壓平，稱作第2次操作…假設(shè)這張紙足夠大，每一次也能壓得足夠平整，如此重復(fù)，則第10次操作后的厚度最接近于（

）A．?dāng)?shù)學(xué)課本的厚度B．姚明的身高C．一層樓房的高度D．一支中性筆的長(zhǎng)度2．（2024·河北廊坊·二模）已知：，則（

）A． B． C． D．3．（2024·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）的相反數(shù)是（

）A． B． C． D．4．（23-24七年級(jí)·上海黃浦·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A．B．C．D．5．（2023·安徽合肥·?？寄M預(yù)測(cè)）式子與的正確判斷是（

）A．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，這兩個(gè)式子互為相反數(shù) B．這兩個(gè)式子是相等的C．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，它們互為相反數(shù) D．為偶數(shù)時(shí)它們相等6．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在算式中的“”里填入一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，使得它的結(jié)果最?。?/p>

）A． B． C． D．7．（2024·江蘇南京·一模）計(jì)算的結(jié)果是．8．（2023·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，底數(shù)是______，指數(shù)是______.計(jì)算：______.9．（23-24七年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）如下是張小琴同學(xué)的一張測(cè)試卷，她的得分應(yīng)是．填空（每小題25分，共100分）姓名：張小琴得分：①的底數(shù)是；②的立方是；③若，則；④若，則．10．（23-24七年級(jí)上·四川南充·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．11．（22-23七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）已知第一個(gè)正方體紙盒的棱長(zhǎng)為，第二個(gè)正方體紙盒的體積比第一個(gè)正方體紙盒的體積大．(1)求第二個(gè)正方體紙盒的棱長(zhǎng)；(2)第二個(gè)正方體紙盒的表面積比第一個(gè)正方體紙盒的表面積多多少？12．（23-24七年級(jí)上·福建福州·階段練習(xí)）生活中常用的十進(jìn)制是用這十個(gè)數(shù)字來(lái)表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：；計(jì)算機(jī)常用二進(jìn)制來(lái)表示字符代碼，它是用0和1兩個(gè)數(shù)來(lái)表示數(shù)，滿二進(jìn)一，例：二進(jìn)制數(shù)10010轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)：；其他進(jìn)制也有類似的算法…(1)【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，將二進(jìn)制數(shù)“10110”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是________；(2)【遷移】按照上面的格式將八進(jìn)制數(shù)“4372”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；(3)【應(yīng)用】在我國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖所示是遠(yuǎn)古時(shí)期一位母親記錄孩子出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，根據(jù)圖示，求孩子已經(jīng)出生的天數(shù)．B組（培優(yōu)拓展）1．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）定義運(yùn)算：若，則，例如，則．運(yùn)用以上定義，計(jì)算：（

）A． B．2 C．1 D．42．（2023·廣東東莞·七年級(jí)期中），由此你能算出（

）A．6 B．8 C． D．十分麻煩3．（2023·福建廈門·七年級(jí)?？计谥校┢吣昙?jí)某班的學(xué)生共有49人，軍訓(xùn)時(shí)排列成的方陣，做了一個(gè)游戲，起初全體學(xué)生站立，教官每次任意點(diǎn)n個(gè)不同學(xué)號(hào)的學(xué)生，被點(diǎn)到的學(xué)生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學(xué)生都正確完成指令同一名學(xué)生可以多次被點(diǎn)，則m次點(diǎn)名后，（n，m為正整數(shù)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，無(wú)論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個(gè)B．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，無(wú)論m何值，對(duì)下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個(gè)C．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，無(wú)論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個(gè)D．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，無(wú)論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個(gè)4．（2023·廣東東莞·九年級(jí)?？计谥校┠彻珗@將免費(fèi)開放一天，早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)公園，第一個(gè)30min內(nèi)有4人進(jìn)去并出來(lái)1人，第二個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去8人并出來(lái)2人，第三個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去16人并出來(lái)3人，第四個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去32人并出來(lái)4人，······按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是（

）A． B．4039 C．8124 D．163045．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，221+311的末位數(shù)字是（

）A．3 B．5 C．7 D．96．（2023·河南漯河·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算的值，結(jié)果正確的是（

）A．1 B． C．0 D．或07．（23-24七年級(jí)上·貴州六盤水·期末）如圖，將面積為1的長(zhǎng)方形紙片分割成8個(gè)部分，部分①的面積是原長(zhǎng)方形紙片面積的一半，部分②的面積是部分①面積的一半，部分③的面積是部分②面積的一半，依次類推，陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．8．（2022·四川成都·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若a，b為有理數(shù)，下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）總是正數(shù)；（2）總