新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算課后提能訓(xùn)練新人教A版必修第二冊(cè)

第六章6.26.2.3A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)下列非零向量a，b中，確定共線的有()A．a(chǎn)＝2e，b＝－2e B．a(chǎn)＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2C．a(chǎn)＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝e1－eq\f(1,10)e2 D．a(chǎn)＝e1＋e2，b＝2e1－2e2【答案】ABC【解析】對(duì)于A，b＝－a，有a∥b；對(duì)于B，b＝－2a，有a∥b；對(duì)于C，a＝4b，有a∥b；對(duì)于D，a與b不共線．2．(多選)設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的有()A．a(chǎn)與－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|C．a(chǎn)與λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a【答案】ABD【解析】當(dāng)λ取負(fù)數(shù)時(shí)，a與－λa的方向是相同的，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)|λ|＜1時(shí)，|－λa|≥|a|不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)棣恕?，所以λ2確定是正數(shù)，故a與λ2a的方向相同．|－λa|＝|λ|a中等號(hào)左邊表示一個(gè)數(shù)，而等號(hào)右邊表示一個(gè)向量，不行能相等，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選ABD．3．(2024年烏魯木齊模擬)設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則()A．k＝0 B．k＝1C．k＝2 D．k＝eq\f(1,2)【答案】D【解析】若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使m＝λn，∴－e1＋ke2＝λ(e2－2e1)＝－2λe1＋λe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝－2λ，,k＝λ，))解得k＝eq\f(1,2)．故選D．4．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ等于()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)【答案】A【解析】(方法一)由eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，可得eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝2(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))?eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3)．故選A．(方法二)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(2,3)．故選A．5．在四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝3a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－5a，且|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．菱形C．等腰梯形 D．非等腰梯形【答案】C【解析】由條件可知eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up6(→))，所以AB∥CD．又因?yàn)閨eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，所以四邊形ABCD為等腰梯形．6．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，則eq\o(PB,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))【答案】C【解析】由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))．7．(2024年重慶模擬)設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－nb，eq\o(AC,\s\up6(→))＝ma＋b(n，m∈R)，則A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)有()A．m＝n B．mn－1＝0C．mn＋1＝0 D．m＋n＝0【答案】C【解析】∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線．∵a，b不共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))≠0，∴存在λ，使eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即ma＋b＝λa－nλb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝m，,－nλ＝1，))∴mn＋1＝0．故選C．8．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝__________．【答案】－4【解析】因?yàn)橄蛄縦a＋2b與8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4(因?yàn)榉较蛳喾?，所以λ??k＜0)．9．已知點(diǎn)P在線段AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)λ＝__________．【答案】eq\f(1,3)【解析】因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則eq\o(AP,\s\up6(→))的長(zhǎng)度是eq\o(PB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度的eq\f(1,3)，二者的方向相同，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))．10．化簡(jiǎn)：(1)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(2)4(a－b)－3(a＋b)－b．解：(1)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0．(2)原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．B級(jí)——實(shí)力提升練11．(多選)已知向量a，b是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，確定能使a，b共線的有()A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相異實(shí)數(shù)λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中實(shí)數(shù)x，y滿意x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b【答案】AB【解析】對(duì)于A，可解得a＝eq\f(2,7)e，b＝－eq\f(8,7)e，故a與b共線；對(duì)于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全為0，不妨設(shè)λ≠0，則由λa－μb＝0，得a＝eq\f(μ,λ)b，故a與b共線；對(duì)于C，當(dāng)x＝y(tǒng)＝0時(shí)，a與b不愿定共線；對(duì)于D，梯形中沒有條件AB∥CD，可能AD∥BC，故a與b不愿定共線．12．聞名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同始終線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理．設(shè)O，H分別是△ABC的外心、垂心，且M為BC中點(diǎn)，則()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(HM,\s\up6(→))＋3eq\o(MO,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(HM,\s\up6(→))－3eq\o(MO,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(HM,\s\up6(→))＋4eq\o(MO,\s\up6(→)) D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(HM,\s\up6(→))－4eq\o(MO,\s\up6(→))【答案】D【解析】如圖，Rt△ABC中，其中∠B為直角，則垂心H與B重合．∵O為△ABC的外心，∴OA＝OC，即O為斜邊AC的中點(diǎn)．又∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))．∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2(eq\o(AH,\s\up6(→))＋eq\o(HM,\s\up6(→)))＝2(2eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(HM,\s\up6(→)))＝4eq\o(OM,\s\up6(→))＋2eq\o(HM,\s\up6(→))＝2eq\o(HM,\s\up6(→))－4eq\o(MO,\s\up6(→))．故選D．13．已知在△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，滿意eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，則△PBC與△ABC的面積之比是__________．【答案】2∶3【解析】因?yàn)閑q\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))．所以點(diǎn)P在邊CA上，且是靠近點(diǎn)A一側(cè)的三等分點(diǎn)．所以△PBC和△ABC的面積之比為2∶3．14．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且BD＝2DC，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，則m－n＝__________．【答案】－2【解析】干脆利用向量共線定理，得eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(AC,\s\up6(→))－3eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))．又因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))，所以m＝－eq\f(1,2)，n＝eq\f(3,2)，故m－n＝－eq\f(1,2)－eq\f(3,2)＝－2．15．設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共線，且eq\o(OC,\s\up6(→))＝aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))(a，b∈R)．(1)若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若A，B，C三點(diǎn)共線，則a＋b是否為定值？請(qǐng)說明理由．(1)證明：當(dāng)a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)時(shí)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以eq\f(2,3)(eq\o(OC,\s\up6(→))－