高考高中數(shù)學(xué)必考高頻考點(diǎn)全總結(jié)

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高考高中數(shù)學(xué)必考高頻考點(diǎn)全總結(jié)

一、三角函數(shù)部分

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin?a+cos2a=1、——?=tanatanacota=1

cosa

2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

sin(a±/?)=sinacos/?±cosasin>9

cos(a±b)=cosacos/7干sinasin尸

tang±tan/?

tan(a±^)=

1￥tanatan0

3、降基公式：

1?日2；2二

sinxcosx二-sinzx；sinx=-i(l-cos2x)cosx^(l+cos2x)

2

4、asin&r十boon的=4a?+公sin(cox+*)(輔助角夕由(a,6)所在象限決定，tan。g)

5、二倍角的正弦、余弦、正切公式：

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos'a-sin2a=2cos?a-l二1一2sin'a

-2tana

Un2a--------：一

1-tan'a

6、正弦定理：3='=f=2R(R是△NBC外接圓的半徑)

sin力sin2?sinC

7、余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosAJb2=a2+c2-2accosB;c2=b2+a1-2hacosC.

8、三角形面積公式：

①5=3殞=T她=也

②S=gbcsin月二gacsin8=gabsinC

③§=坐(R為△4BC外接圓半徑)

4R

④S=g(a+b+c)r(r為△月方。內(nèi)切圓半徑)

⑤海倫公式：S=Jp(p-a)(p-b)(p-G(其中p=；(a+b+c))

⑥坐標(biāo)表示：刀二(玉,乂)，AC=(x2,y2)f則5=3w匕一工2%|

9、常用名稱和術(shù)語(yǔ)：坡角、仰角、俯角、方位角、方向角

二、數(shù)列部分

1°、砧S”的關(guān)系："!』（必）

11、等差數(shù)列：

①定義：=d（〃eN+，力》2）或4+1-4=d（〃丘N_）

②等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形：

%=6+（〃—1）4=加+%—4（weN,）；an=an（m、weN.）

d=———（"%m、neN.）

n-m

③等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“：

n（CL+an）n（n-\\t

Sn=-------=叫;S”=%+—--d

12、等比數(shù)列：

①定義：—=Q（WGN+,底2）或d二夕（gwO,"N+）

a

*n

②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其變形：

%;/"二］亍|夕”（qwo,〃wN+）

m

an=an（f（q=0,mN.）

*=/（尹。，凡〃wM）

S*n=Sm+SH=Sn+SH

叫（夕=1）

③等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和凡：s*q（i—力,_/夕_

.1一g二一g（小）

13、求數(shù)列的通項(xiàng)公式4的方法

①公式法：

若數(shù)列｛q｝是等差數(shù)列：找/和d,再利用公式4二4+（〃-l）d（〃EN.）；

若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列：找4和%再利用公式q=4?。ā╡N.）.

國(guó)（〃=i）

②知S“求4法：利用%二/；

［，一與乂必）

③疊加法：形如：/=%+〃〃）（〃eN.,〃》2）或〃i=4+g5）（WGN+）；

④構(gòu)造法：形如：4—（攵、b均為常數(shù),且％工1,6=0,力匚N.,〃32）；

構(gòu)造一：設(shè)（q+制=左（*+㈤=血+可是等比數(shù)列

ay—Cl

構(gòu)造二：由4=?_1+6=>a”+i=hr“+b,相減整理：*---*=>{4-4-J式

an-an-l

等比數(shù)列

⑤廣義疊加法：形如：。"=機(jī)-1+/（"）（"為常數(shù)，且上Hl,"WN.,吟2）或

4+1=粒,+8（”）（上為常數(shù)，且左wl，?eN.）

構(gòu)造一：“"=—+〃"）=A含'+42'令，=/轉(zhuǎn)化成4=bi+g（”）

再疊加；

構(gòu)造二：a?i=*a“+g（"）=>符=2+鬻,令黑產(chǎn)總，轉(zhuǎn)化成%=以+方（"）

KKKK

再疊加；

?疊乘法：形如：（力GN,,典>2）或乎?=g（"）（〃eN.）；

an

⑦對(duì)數(shù)變換法：形如：/=如/（6>0,4>0,〃三N,,哈2）或a.[:3/">0,

%>0,WGN.,ri^l）；

構(gòu)造一：％="：=>lga〃=%Igau+Ig6,令，=lg%,化成，二%%十肋再用構(gòu)

造法即可

k

構(gòu)造一：an+1=ban=>lga,J+1=klga?+1g6,令鼠]=lg4+】，化成％產(chǎn)他+加再用

構(gòu)造法即可

注意：底數(shù)不一定要取10,可根據(jù)題意選擇

⑧倒數(shù)變換法：形如：勺-4-=應(yīng)4T（左為常數(shù)且上工0，力CN.,同》2）或

man

M”（X為常數(shù)且為=0,"eN,）或4+廣,b均為不

為零常數(shù)，〃eN.）

構(gòu)造一：4-q”=%4_]=>；-；=-*：=>是等差數(shù)列；

4%⑷

構(gòu)造二：%“-%=啊+產(chǎn)“=>73=>是等差數(shù)列

。用a”[aj

ma1k\b.1

構(gòu)造三：%=嬴藐na二七工令以廣二，化成卻產(chǎn)？4+9再用

構(gòu)造法.

⑨遞推公式：形如：q+2=她+1+6%（入b均為不為零常數(shù),〃￡此）

法一（待定系數(shù)法）*=%“+%=>（限-g%）=M*-卯”）=｛,

［-pg=b

NEM-卯”｝是等比數(shù)列，進(jìn)而化歸為。⑨=眄+g（〃）形式再用廣義疊加法即可.

法二（特征根法）?！?2=+i+ba“,a1—oc,6=夕=若占，。是特征方程

x?-Ax-b=O的兩個(gè)根，當(dāng)占x電時(shí)，a?=Ax!；''+B4'（4,3由，=a,a2=/J,

"=L2決定）；

當(dāng)苦=2時(shí)，an=（A+Bn）x^~'（A,8由q=a,az=P,"=L2決定）.

說(shuō)明：若數(shù)列｛4｝是斐波那契數(shù)列：滿足/=4_1+。7（?sN+,哈3）

pa+qk

⑩不動(dòng)點(diǎn)法:形如：%=茄n工（k.b,P,9均為常數(shù),且pkHqb,bHO,a,H-g,

W6N+)

構(gòu)造：“e=詈詈n特征方程“=既詈’當(dāng)特征方程有且僅有一根X。時(shí)’則

,」一［是等差數(shù)列；當(dāng)特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根％,超時(shí)，貝卜&二±］是等

比數(shù)列.

14、求數(shù)列的前a項(xiàng)和公式S.的方法:主要看通項(xiàng)的形式，選擇不同的方法.

①公式法：

%=初+b=>先猜后證｛4｝是等差數(shù)列=>S.=或S"=照+；

〃4（g=i）

4=W=先猜后證｛q｝是等比數(shù)列ns”=q（l-g”）

（-1）

；i-q.

②倒序相加法：如：等差數(shù)列前"項(xiàng)和5,=幽吆。由此法得到.

2

③裂項(xiàng)相消法：形如：［」一］（｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，?GNT）常見(jiàn)的拆項(xiàng)

Ianan+yJ

如下:

1——1-----1--

w(n+1)nn+\

―!—_J_=白必而)

(2n-l)(2n+l)2(2〃-l2n+lJ1?+亞

1j

(左為常數(shù)，且X);

n(n+k)kn'+1)

④錯(cuò)位相減法：形如：｛4?2｝或[去;(｛?！埃堑炔顢?shù)列，%｝是等比數(shù)列)

四步：乘以公比、錯(cuò)位相減、等比求和、化簡(jiǎn).

⑤十秒錯(cuò)位相減法：

rin

形如：an=[lcn+b)q~',Sn=(Jw+B)q-B(其中月=｝1，B=。)

@九秒錯(cuò)位相減法：

/\/、

形如：a=｛kn+b')q",S=-：n+——：-/----一q

nn(g-1g-i(g-1)J("I(”1)J

⑦分組求和法：形如通項(xiàng)為=等差土等比土常見(jiàn)數(shù)列，分類求和再相加減.

⑧奇偶求和法：針對(duì)奇、偶數(shù)項(xiàng)，要考慮符號(hào)的數(shù)列求用，就必須分奇偶來(lái)討論，最

后進(jìn)行綜合

⑨分類討論法：針對(duì)數(shù)列｛4｝的其中幾項(xiàng)符號(hào)與另外的項(xiàng)不同，而求各項(xiàng)絕對(duì)值的和

的問(wèn)題，主要是分段求.如：求數(shù)列｛|。“|｝的前〃項(xiàng)和.

⑩數(shù)學(xué)歸納法：針對(duì)無(wú)法求出通項(xiàng)或無(wú)法根據(jù)通項(xiàng)求出各項(xiàng)之和的數(shù)列，先用不完全

歸納法猜出色的表達(dá)式.然后用數(shù)學(xué)歸納法證明之.

三、立體幾何部分

15、三視圖：將三視圖還原實(shí)物圖：（三步法）

看視圖，明關(guān)系-分部分，想整體一綜合起來(lái)，定整體.

16、六大必考定理：（碼條件）

①線面平行

符號(hào)：

條件：aua,b（na,b//a

結(jié)果：b//（X

②線面垂直：

符號(hào)：

條件：aua,bua,a^\b=P,ILa,lib

結(jié)果：/la

③面面平行：

符號(hào)：

條件：au。,bu0,aC\b=P,a//a,b//a

結(jié)果：a//P

④面面垂直

條件：/_La,lc/3

結(jié)果：

⑤線面平行=>線線平行

符號(hào)：

條件：a//a,aup,a（}p=b

結(jié)果：b//a

⑥面面垂直二＞線面垂直

符號(hào)：

條件：al.fi9lu』,aC\p=a,ILa

結(jié)果：Zia

17、空間向量與立體幾何（理科）

CD空間向量

①空間兩點(diǎn)間的距離：設(shè)點(diǎn)力（玉,乂，4）,以起，%?），

貝IJ|月耳=J（電-%）2+（%一乂）2+k2-馬）2

②空間向量直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)￡二（斗必,彳），心值,為?）則：

a+g=（芯+與，必+%，4+私）；a—坂=（七一々，乂一多，4一馬）；

XjX+

=（以毛,4必,2馬）（2GR）；a-b-2yxy2+z}z2.

③空間向量的坐標(biāo)表示：設(shè)力二（冷乂烏），3二（生必必），

貝ij：BA=OA-OB=（x}-x2,yl-y29zx-z2）

④空間的線線平行、垂直、夾角公式：設(shè)2=（4必,zj,'=（/,必，4），則：

\=AX2

a//ba=Xb（1/6）=乂=4％；

4=乜

aLboab=0=與與+乂必+z\z2=。；

夾角公式：8s（詞飛式；卻;：；"，（叫e”]）

推論：（4X2+My2+4zj4（x；+y；+zj（x；+y；+z；）（三維柯西不等式）

異面直線所成的角6：06（0°,90°]

上吃+乂%+42』

（其中e為異面直線“，b所

Cl耳舊+y；+z；Jx；+蘇+z；

成的角，￡,B分別為異面直線。，6的方向向量）;

直線，山？與平面a所成的角e：6?e[0°,90°]

sin0-，__,0=arcsin（冽為平面a的法向量，詬為直線月3的方

\ABy\m\）叫.阿

向向量）；

二面角。一/一夕的平面角6：^e[0°,180°]

入m?n八m-nm-n

COS^=MH，或兀一（加、“為平面、的法向量）

HH6=arccosHmMpiarccrosrklia4

⑤利用法向量求空間距離：

點(diǎn)Q到直線/的距離：d=一（叫2（點(diǎn)若Q為直線/外的一點(diǎn)，尸在直線

/上，萬(wàn)為直線/的方向向量，*二用，則點(diǎn)。到直線/距離為）

點(diǎn)/到平面a的距離：若點(diǎn)/為平面a外一點(diǎn)，點(diǎn)/為平面a內(nèi)任一點(diǎn)，平面a的法

向量為百，則產(chǎn)到平面1的距離就等于該在法向量[方向上的投影的絕對(duì)值.

n-MP\n-MP

即4=

同西

異面直線間的距離：設(shè)向量石與兩異面直線。，，都垂直，M&a,Pe6則兩異面直

線。，力間的距離d就是序在向量7方向上投影的絕對(duì)值.

M?阿

即d

川

四、概率與統(tǒng)計(jì)部分

18、數(shù)字特征：

_I

平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即x=-(玉+Z+鼻+…+/)；

n

樣本方差：s2=)[(xj-X)+(x2-x)+…+(/一%)];

19、線性回歸方程：y=bx+a(最小二乘法)

n__

Xx：y~~nxy

b=*_____________

2

^2x-nx注意：線性回歸直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(招)')

a=y-bx

n(ad-bc)2

20、獨(dú)立性檢驗(yàn):其中〃=a+b+c+d為樣本容

(a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

量，《2的值越大，說(shuō)明“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大.

21、概率部分

rn

(1)隨機(jī)事件/的概率：P(A)=—(0<P(A)<1)

n

(2)互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B)

(3)對(duì)立事件：P(A)+P(A)=\

(4)古典概型：事件N發(fā)生的概率//)=一；

n

“八一加勺測(cè)度

(5)幾何概型:()一。的測(cè)度，其中測(cè)度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面

積、體積等.

(6)離散型隨機(jī)變量的分布列：離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為工,%,X,,

…，的每一個(gè)值七(i=l,2,.??,〃)的概率P(X=xJ=口，則稱表

???

X%A

P2…P”

為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱X的分布列.性質(zhì)：P?。，1=1,2,./；Z月=1.

皿

(7)兩點(diǎn)分布：X?(0,1),E(X)=p,D(X)=p(l-p)

(8)二項(xiàng)分布：X?8(〃,p),E(X)=印,D(X)=np(l-p)

(9)超幾何分布:X?叩)=吟,叩)=吟1-引咎|

(10)條件概率：公式：P(8⑷=P(N)>0.

(11)事件的獨(dú)立性：P(AB)=P(A)-P(B).

(12)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：

如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)試驗(yàn)恰好發(fā)

生"次的概率：P*)=C：p1l-p尸(4=0,1,Z…”)

(13)取有限值的離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差：

n

E(X)3Pl+WP2+…+…+再也；D(X)=Z(X,-E(X?p,

21

E[aX+b)=aE[X)+b；D[aX+6)=a?D(X)

五、圓錐曲線部分

22、超級(jí)韋達(dá)定理：

./工，消」得（『片+廿夕*+（勿z/Ox+aZg-bZ笈lo

,4x+Sy+C=0

A=4a2b2B2(a2A2+b2B2-C2)>0^>a2A2+b2B2-C2>0

2a2AC

X.+X,=———.....T—r

a2A2+b2B2

_a2(C2-b2B2)

X,'X2=a2A2+b2Bl

2ab->]A2+B2-yla2A2-^-b2B2-C2

23、弦長(zhǎng)硬算公式：弦長(zhǎng)|他|二

a2A2+-b2B2

24、弦長(zhǎng)公式:

22

①\AB\=^\+k|xj-x2|=>l\+kyl(x^+/丫-4XJX2=內(nèi)音

25、點(diǎn)差法：將將次不必），鞏生必）代入橢圓方程中做差：（A/Rjo）是相交弦

M皮

1

7+=A

從2M22

玉----%

20+-o0+yl=O

月3中點(diǎn)）■月2/

a

91fe2

+F=A

a2

弁-j'；一（乂-%）（乂+%）_力

-a<XQ<a)

說(shuō)一石（王一%）（三+2）

26、若兄（%,%）在橢圓=+4=1上，則過(guò)兄的橢圓的切線方程是岑+浮=1.

abab

27、若月（%,%）在橢圓二=1外，則過(guò)P。作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為Pi、P2,

ab

則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是等+善=1.

ab

28、若PQ是橢圓?+4?=1（a>b>0）上對(duì)中心張直角的弦，則

35、過(guò)平面上的尸點(diǎn)作直線4：y=2x及，2：)，=一芻X的平行線，分別交x軸于

aa

交N軸于RQ.①若|OA/|2+|W|2=a2,則F的軌跡方程是

二+烏=1(°>0.6>0).②若+|。?『=從，則P的軌跡方程是

arb

—與=l(a>0,i>0).

ab

x2v2

36、若兄(%,%)在雙曲線二7—匕=1(a>0,b>0)上，則過(guò)外的雙曲線的切線方程

a2b2

星yQy_

是丁一萬(wàn)一1.

22

37、若［(后,%)在雙曲線三一4=100方>0)外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切

ab?

線切點(diǎn)為Pl、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是笄-岑=1.

ab

38、若PQ是雙曲線工一二=1(b>a>0)上對(duì)中心張直角的弦，則

ab1

39、雙曲線二—2T=1(a>0,b>。)的焦半徑公式：M(-c,0),鳥(niǎo)(c,0)

ab

當(dāng)A/(Xo，%)在右支上時(shí)，|上陰\=ex0+a,\MF2l=ex0-a.

當(dāng)在左支上時(shí)，|川理\=-ex0+a,\MF'1^-ex0-a.

40、己知雙曲線=1(b>a>0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn),

且。.①冊(cè)+志=5一/；②m川OQr的最小值為罟

③型的最小值是7^7.

b—a

六、導(dǎo)數(shù)部分

41、函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：則，/(-+入?-〃*。)=/(線)

42、導(dǎo)函數(shù)的定義：/'(x)=lim仆+—)-〃嘰邊;

7

、AXTOArdx

43、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：5=r(毛)，尸(與，%)為切點(diǎn)

44、常見(jiàn)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

C'=O(C為常數(shù))

(sinx)=cosx(cosx)=-sinx

(緒)=axIna(。>0且,1)(一)'=/

(loga)=(4>0且工1)(Inx)=—

''x\naX

45、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：設(shè)/(x),g(x)是可導(dǎo)的則

(f(x)土g(x))'=f'(x)土g'(x)；(/'(x)-g(x))'=_f(x)g(x)+f(x)g，(x)

［書(shū)］=/'(x)g(.0;/；)g'(x)(g(x)必

(C為常數(shù))

46、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：設(shè)'=/("),"=8(切，則y=/(g(x))

y'xg'(x)=/'(g(x)}g'(x)；

47、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的判斷：

①如果在(a,b)內(nèi)，/'(x)>0,那么/(X)在此區(qū)間是增函數(shù)；

②如果在(a,6)內(nèi)，//(-*)<°>那么/(x)在此區(qū)間是減函數(shù)；

③如果在(a,6)內(nèi)，/(刈=0,那么〃x)在此區(qū)間是常數(shù)函數(shù).

48、求單調(diào)區(qū)間的一般步驟：

①求〃x)的定義域；②求/'(X)；③畫(huà)出了'(X)的示意圖；④作答.

49、求可導(dǎo)函數(shù)N=/(x)極值的步驟：

①求/(*)的定義域；②求/'(X)；③令/'(刈=0求零點(diǎn)；④畫(huà)出了'(X)示意圖;

⑤列表；⑥作答.

50、求函數(shù)y=〃x)在［a,句上的最大值與最小值的步驟:

①求函數(shù),二八⑼在口與內(nèi)的單調(diào)性；

②求函數(shù)y=〃x)在(。㈤內(nèi)的極值；

③比較函數(shù)y=/(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/(a),/(i).其中最大的一個(gè)是

最大值，最小的一個(gè)是最小值.

51、零點(diǎn)定理:

①零點(diǎn)存在性定理：若y=/(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷，/(a)-/(6)<0,則

y=/(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).

②零點(diǎn)唯一性定理：若在區(qū)間［。,可上連續(xù)不斷且單調(diào)，/(a)-/(fe)<o,

則y=/(x)在(。,幼內(nèi)有唯一零點(diǎn).

③等價(jià)關(guān)系：函數(shù)y=/(M的零點(diǎn)o方程〃x)=o的根oy=〃x)與x軸有交點(diǎn)

的橫坐標(biāo).

52、利用導(dǎo)數(shù)解決恒成問(wèn)題：

①“任意*(<)任意”型

VxeD.(f為常數(shù))恒成立oNf；

VxeD,f(x)<t(，為常數(shù))恒成立o〃x)0mMt；

*€〃，VX2€D2,/(蒼)2g(毛)恒成立o/⑺小"⑴回；

Vx2€D2,/(%)vg(七)恒成立o/GLVgSL.

②“存在2(4)存在”型.

3xeD.(，為常數(shù))能成立

BxeZ),f(x)vr(/為常數(shù))能成立o〃x)而11Vh

叫3r2€D2,/1(■^(芍徐成立0/㈤由冷⑴4

刊印,3x2eD2,/(■海(切能成立0/⑴內(nèi)“⑺…

③“任意2(<)存在”型.

電-'g(芍)成立Q/(■%12g⑴由；

W，3x^2，/(%)Vg(芍)成立o/(x)EVg(x)M；

斗G。,VX2€D2,/(N)zg(芍)成立o/(x)mNg(x)m=；

叫w。,Vx2€D2,/(N)Vg(毛)成立o〃X)11111Vg(x)1m.

@“存在=存在”型與“任意=存在”型

業(yè)e。，W，/&)=g(毛)能成立。/(X)與g(x)的值域有公共部分;

Vx,eDt,gw?,〃玉尸g(f)能成立=/(x)的值域是g(x)的值域的子集.

53、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式：

①函數(shù)不等式：

函數(shù)類不等式：欲證，(x)>g(x),構(gòu)造了(x)=f(x)-g(x),只需要證明尸(x)>0

即可；

②數(shù)列不等式：根據(jù)所證不等式的特征，建立函數(shù)不等式，對(duì)自變量適當(dāng)賦值,放

縮.

54、必須爛熟在心里的不等式：當(dāng)x>0時(shí),e">x+l>x>x-l>lnx>l--

X

55、泰勒公式：

X2/〃

，=l+x+J±+???+二+???

2!3!”

V2V3n

ex=i-x+———+―+(-ir—X+???

213!vH

x3x5/i鏟"

sinx=x+―+???+(-1)-------H???

3!5!、J(2n+l)!

cosx=l_t+h+.??+(_l)”7^r+???

2!4!(2〃)！

-------+…+???

1+x

X2X3

ln(l+x)=X------+------

23

ln(l-x)=-X-千

34

56、洛必達(dá)法則：若函數(shù)〃M和g(R)滿足下列條件:

Hm/(x)=0及!吧g(x)=0；

lim/(x)=0及呵g(x)=0；

粵/(X)=8及蚓g(*)=8；

那么lim坐=1加牛^=/.

』g(X)xwg'(x)

0oo

洛必達(dá)法則可處理77，—,0-co,r,8。，0°,8-00型.

0oo

備注：若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

57、拉格朗日中值定理：

若函數(shù)〃x)滿足如下條件：/(x)在閉區(qū)間卜網(wǎng)上連續(xù)；/(x)在開(kāi)區(qū)間(26)內(nèi)

可導(dǎo)，則在(。力)內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得廠房)=、"?一/口.

七、選考部分

58、坐標(biāo)系與極坐標(biāo)：

(1)點(diǎn)”的極坐標(biāo)：極徑、極角、點(diǎn)、M的極坐標(biāo)記為“(2。)，也可寫成河(〃;+〃兀)

(AreZ).

(2)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化：x=pcosO,y二。sin。，j=￡+y2?tane=((xHO).

59、極坐標(biāo)系下的兩點(diǎn)間的距離公式：=5/"十新一2^0cos(夕一4)，

《(4,a),7=1，2

60、圓錐曲線極坐標(biāo)方程統(tǒng)一形式：p=—^―,其中P為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；

1±ecos9

61、參數(shù)方程：

(1)直線的參數(shù)方程：經(jīng)過(guò)點(diǎn)(為,％),傾斜角為"的直線的參數(shù)方程為

x=*+￡cosa

y=y+ts\na'

{Q

x-<7+rcos^

(2)圓的參數(shù)方程：圓心為(。,6),半徑為r的圓的參數(shù)方程為

y=b+rsin6

(3)橢圓的參數(shù)方程：橢圓1+4=1的參數(shù)方程為x=acos0

ab“y=bsin&

62、直線的參數(shù)方程意義：經(jīng)過(guò)點(diǎn)“。(.,穌)，傾斜角為a的直線的參數(shù)方程為

X=XQ+fcosa

{y二%+fsina,

①設(shè)點(diǎn)A/的參數(shù)為則M=％A/；

②設(shè)點(diǎn)“2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為4，4，則線段的中點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的參數(shù)

，二弊，線段M阿2I長(zhǎng)度為％-廿；

63、不等式的性質(zhì)：

①對(duì)稱性：a>bobva、

②傳遞性：a>b,b>c=>a>c.

③加法法貝U：a>6<=>a+ob+c；a>b,od=>a+c>b+d.

④減法法貝ij：a>b,c<d^>a-c>b-d；

⑤乘法法則：

a>b,c>0=>aobc；

a>b,c<0=>ac<be?

八、選填小題部分

67、摩根定理：①（c/）n（c於）=［（/U8）；②（cMu（ca）=j（/n8）

68、注意區(qū)分集合中元素的含義：【數(shù)集一般都要進(jìn)一步化簡(jiǎn)】

①數(shù)集：

」=3|/（*）=0｝方程的解集

8=科.丫=/（》）｝函數(shù)y=〃x）的定義域

c=｛“（X）＞0｝或｛x|/（x）＜0）不等式的解集

Q={y|y=/(x)}函數(shù)y=f(x)的值域

②點(diǎn)集：

4={(x,y)|F(x,y)=0}曲線；8={(x,y)|尸(x,y)>0}區(qū)域

。={(內(nèi))|?(乂>>)<0}區(qū)域；D=Ma=(/(“g(f))},令a=(x,y),

fx=/⑺]

貝=卜二{(陽(yáng)y)W(x,y)=0}

69、ab=0oa=0或b=0；abwOoawO或6H0；

70、合二為一的幾種類型：

_b

苦+/=--

a

①，=>xlt電是方程/+—工+￡=。的兩根；

caa

西?工2二一

.a

Ior.2-\-bx.+c=0.,

②;0n，電是方程?2+6x+c=0的兩根；

[%+bx2+c=0

f(m)=km

,、，n/(x)二旅有兩個(gè)不等實(shí)根肋，〃

f(n)=kn

g+加+c=0,\.、

｛；經(jīng)過(guò)尸與乂，。⑸幻兩點(diǎn)的直線方程為?+“+c=0

ax2+奶+c=。

④奇函數(shù):偶函數(shù):產(chǎn)陽(yáng)：：；=仆））

aa>b[ba>b

⑤尸=max{々,6}；y==min{a,6}

ba<b[aa<b

71、三次函數(shù)〃xb/+M+=+d（a＞0）的解析式:

①若已知/(x)=0的三個(gè)根為也，w,天，則可設(shè)/(x)=a(x-%乂x-毛)(工-三)

②若己知〃x)=0的兩個(gè)根為西,xzt則可設(shè)〃x)=a(x-%

③若己知/(x)=0的一個(gè)根為不，則可設(shè)/(工)=。(工一%)，+座+力)

72、三次函數(shù)/(x)=亞3+版2+夕+〃(。/0)有極值的充要條件是

/'(x)=3皿2+2.+。=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

73、基本(均值)不等式：一正二定三相等，積定和最小，和定積最大

利用等w依或把師(一正二定三相等)等公式來(lái)求值域或最值，

一定要看等號(hào)能否成立，否則利用數(shù)形結(jié)合法、單調(diào)性法完成；

74、集中分時(shí)函數(shù)求最值的方法：

-mx-^n1

①y=~(―777T(令”一工倒數(shù)換元法)

(ox+b)ax+b

②y=，必+；(令t=QniK+")

ax2+bx+cmx+n,.,,、

@y=---------或y=-：----(令r="a+n)

mx+nax+bx+c

75、圖像變換：

(1)平移變換：設(shè)函數(shù)y=/(x),其他參數(shù)均為正數(shù)

①/(x)f/(x+a)：/(x)的圖象向左平移。個(gè)單位

②/(x)f/(x-a)：f(x)的圖象向右平移a個(gè)單位

③〃x)->/(x)+6：/(*)的圖象向上平移b個(gè)單位

@/(x)->/(x)-fe：/(x)的圖象向下平移方個(gè)單位

(2)伸縮變換：設(shè)函數(shù)y=/(x),其他參數(shù)均為正數(shù)

①/(x)->〃h)：〃x)的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，倍(后>1,伸

縮；O<A<1,拉伸)

②切(x)：/(x)的圖象橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的左倍(尢>1,拉伸；

0<*<1,收縮)

(3)翻折變換：

①x軸上方的圖象不變，下方的圖象沿x軸對(duì)稱的翻上去

②/(x)f/(忖)：X軸正半軸的圖象不變，X軸負(fù)半軸的圖象去掉，再換上X軸正

半軸的圖象關(guān)于，'軸對(duì)稱的圖象，最后構(gòu)成偶函數(shù).

(4)對(duì)稱變換：

①/(X)與/(-X)的圖象關(guān)于X軸對(duì)稱

②/(X)與-7(M的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

③/(X)與-/(-X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

④f(x)與廣'(X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱

⑤/(X)與-r'(-X)的圖象關(guān)于直線y=-x對(duì)稱

76、全稱命題的否定：p:^xeM,p(x)^-^p:3xeM.-./?(x)

77、特稱命題的否定：p:HxGA/.p(A)->->p:V.rGA/,->p(x)

78、單調(diào)性定義的變式如下：設(shè)占.巧c[a,b]那么

/兒〃西)-/(工2)]>0O"』'("2)>0o/⑺在[a,句上是增函數(shù)

X,一電

(菁一巧)[/(毛)一/(電)]V0o*Jvoo/(x)在[a,6]上是減函數(shù)

玉一天

79、奇偶性定義的變式如下：\fxeD,且re。，那么

/(-X)+/(x)=Oo巧斗=-1O/(X)為奇函數(shù)

/(-x)-/(x)=O<=>%T-1o〃x)為偶函數(shù)

f(x)

80,周期型

〃*+。)=7七.則〃*)的周期是T=2a；

"》+。)=一7七.則/(x)的周期是T=2a；

/(x+a)=7：K，則/(*)的周期是T=2a；

/(x+a)=]_；x)，則〃x)的周期是T=3a；

f(x+a)=；m則〃x)的周期是7=4。；

l+f(x-ha)

f(x+2a)=,則/(x)的周期是T=5a；

/(x)

f(x+2a)=f(x+a)-f(x),則，(x)的周期是T=6a；

81、設(shè)函數(shù)，/'(8卜心8//+版+姆，記△=/-4ac

①若f(x)的定義域?yàn)镽,即奴2+6x+c>0恒成立，則1>0或A，o；

—[a=0[a>0

③若/(x)的值域?yàn)镽,即皿、bx+c能取遍一切正實(shí)數(shù)，則6,0或A>0；

82、熟悉符號(hào)國(guó)的含義/v]=不超過(guò)丫的最大整數(shù)，如需討論化簡(jiǎn)，分xe[A/+l),

*eZ情形進(jìn)行；

83、[0,y)=[0,l)U[L2)U[2,3)U…Uk，Al)U…:

84、過(guò)球心與截面圓心的直線垂直于該截面，且42=火2--；

85、長(zhǎng)(正)方體的對(duì)角線恰好為其外接球的直徑；

86、三角形的重心坐標(biāo)公式：設(shè)以(%,乂)，3(4必)，。(三,必)，則A43c的重心

坐標(biāo)為G(**.絲堂五)

87、定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)必)，尸(蒼外，巴(%，％),若群=兩，則點(diǎn)尸

1+A

的坐標(biāo)公式為:(2工一1)

1+丸

①三角形“五心”向量形式的充要條件：設(shè)。為△Z3C所在平面上一點(diǎn)，角力，8,

。所對(duì)邊長(zhǎng)分別為b,c,貝lj：

②。為△ABC的外心o°才=0度=oc1,

③。為△4SC的重心oOA+OB+OC=Gx

④。為△疑。的垂心oOAOB=OB-OC^OCOA^

⑤。為△4BC的內(nèi)心oaOA+bOB+cdC=G-,

?O為XABC的ZA的旁心oaOZ=bOB+cOC-

88、共線定理：

己知35=2而+"而（4,〃為常數(shù)），則力，B.C三點(diǎn)共線。4+"=L

89、平面向量的基本定理：

如果，，尾是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)任一向量a，

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4，為使。=4e；+^e；.（基底中一定不含零向量）

90、復(fù)數(shù):

①定義：形如z=a+”（a,feeR）其中。，b分別是它的實(shí)部和虛部.

當(dāng)b=0時(shí)，z=a為實(shí)數(shù)；當(dāng)bxo時(shí)，z=a+從為虛數(shù)；當(dāng)a=0,&工0時(shí)，z=bi

為純虛