易錯點07圖形的變化-2023年中考數(shù)學(xué)考試易錯題【全國】（解析版）

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)考試易錯題

易錯點07圖形的變化

1.圖形的平移

8.旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變換

9.幾何變換綜合問題

易錯題01圖形的平移

平移的性質(zhì)

(1)平移的條件

平移的方向、平移的距離

(2)平移的性質(zhì)

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大

小完全相同.②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對

應(yīng)點.連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等.

支式練習(xí)

1.(2022春?新城區(qū)校級期中)在直角坐標(biāo)系中，點A,8的坐標(biāo)分別是(1,0),(0,3),將線段AB平移,

平移后點A的對應(yīng)點A'的坐標(biāo)是(2,-2),那么點B的對應(yīng)點B'的坐標(biāo)是()

A.(1,1)B.(1,2)C.(2,2)D.(2,1)

【分析】利用平移變換的性質(zhì)，畫出圖形可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，觀察圖像可知，B'(1,1).

y

故選：A.

2.(2022秋?定遠縣期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(-1,0),點A第1次向上跳動1個單位至

點4(-1,1),緊接著第2次向右跳動2個單位至點A2(1,1),第3次向上跳動1個單位，第4次向

左跳動3個單位，第5次又向上跳動1個單位，第6次向右跳動4個單位，…依此規(guī)律跳動下去，點A

第2022次跳動至點加022的坐標(biāo)是()

A.(505,1009)B.(-506,1010)

C.(-506,1011)D.(506,1011)

【分析】設(shè)第〃次跳動至點4”根據(jù)部分點4坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律“4〃(1,2/1),A4n+\(-

n-1,2〃+1),A4〃+2(n+1,2H+1),A4n+3(n+1,2/2)(〃為自然數(shù)依此規(guī)律結(jié)合2022=505X4+2

即可得出點A2022的坐標(biāo).

【詳解】解：設(shè)第〃次跳動至點4“

觀察，發(fā)現(xiàn)：A(-1,0),Ai(-1,1),A2(1,1),A3(1,2),A4(-2,2),As(-2,3),(2,

3),A?(2,4),As(-3,4),A9(-3,5),???,

?\A4n(-H-1,2n),(-〃-1,2/?+l),A4〃+2(〃+l,2〃+l),A4M3(n+l,2〃+2)(〃為自然數(shù)).

72022=505X4+2,

.'.A2022(506,1011).

故選：D.

3.(2022?南京模擬)如圖，從起點A到終點B有多條路徑，其中第一條路徑為線段A8,其長度為〃，第

二條路徑為折線AC8,其長度為江第三條路徑為折線ACEFGH/JKLB,其長度為c,第四條路徑為半圓

弧ACB,其長度為止則這四條路徑的長度關(guān)系為()

LB

A.a<b<c<dB.a<c<d<bC.a<b=c<dD.a<b<c=d

【分析】根據(jù)兩點之間，線段最短可知〃最小，根據(jù)平移的性質(zhì)可知%=AC+8C=c,根據(jù)圓的定義，可

得c<d.據(jù)此解答即可.

【詳解】解：根據(jù)兩點之間，線段最短可知a最小，

根據(jù)平移的性質(zhì)可知b=AC+BC=AD+DE+EF+FG+GH+Hl+U+JK+KL+LB=c,

由圓的定義可知c<d,

.".a<b—c<d,

故選：C.

4.(2022秋?拱墅區(qū)期末)以A(-1,7),B(-1,-2)為端點的線段上任意一點的坐標(biāo)可表示為：(-1,

y)(-2WyW7).現(xiàn)將這條線段水平向右平移5個單位，所得圖形上任意一點的坐標(biāo)可表示為(4,y)

(-20W7).

【分析】根據(jù)平移時，點的坐標(biāo)變化規(guī)律“左減右加”進行計算即可.

【詳解】解：現(xiàn)將這條線段水平向右平移5個單位，所得圖形上任意一點的坐標(biāo)可表示為(4,y)(-2

WyW7),

故答案為：(4,y)(-2WyW7).

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-1,5),B(-1,0),C(-4,3).

(1)在圖中畫出△A8C向右平移4個單位，再向下平移2個單位的△4B1C1；

(2)寫出點4,B\,Ci的坐標(biāo)：4(3,3),Bi(3,-2),Ci(0,1)；

(3)設(shè)點P在x軸上，且ABC尸與△A8C的面積相等，直接寫出點尸的坐標(biāo).

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可.

（2）由圖可得出答案.

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,0）,利用三角形的面積公式可得著|x+1|專,求出x的值，即可得出答案.

（2）由圖可得，點Ai的坐標(biāo)為（3,3）,Bi的坐標(biāo)為（3,-2）,Ci的坐標(biāo)為（0,1）.

故答案為：（3,3）；（3,-2）；（0,1）.

（3）△ABC的面積為/x5X3=與，

設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,0）,

.'./\BCP的面枳為/|x-（-1）|X3='^'|x+1|）

?3,??15

解得x=4或-6.

J點尸的坐標(biāo)為（4,0）或（-6,0）.

易錯題02軸對稱

軸對稱的性質(zhì)

（1）如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.

由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個圖形的對應(yīng)點的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱;

②如果兩個圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點，作出連接它們的線段的垂直平分線，

就可以得到這兩個圖形的對稱軸.

（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.

變式煉習(xí)

1.（2022秋?福州月考）如圖，在RtZ\ABC中，/BAC=90°,NB=55°,ADLBC,垂足為。，/\ADB

與△AQB，關(guān)于直線A。對稱，點B的對稱點是點8,則NC48的度數(shù)為（）

【分析】求出NC,ZAB'D,利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：；NB=55°,ZABC=90Q,

：.ZC=90°-55°=35°,

ADIBC,△4OB與△ADB，關(guān)于直線AD對稱，

AZAB'D=NB=55°,

VZAB'D=NC+NCAB',

：.ZCAB'=55°-35°=20°,

故選:B.

2.（2022春?天橋區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊8c上一動點（且點P

不與點B、C重合），PELAB于E,P/=J_AC于尸.則EF的最小值為（）

【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PEAF是矩形；連接以，則以=ER所以要使E尸，即處最

短，只需B4LCB即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得以的值.

【詳解】解：如圖，連接抬.

在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

：.BC2=AB2+AC2,

：.ZA=90°.

又于點E,PEIAC于點F.

NAEP=NA尸P=90°,

四邊形PE4F是矩形.

:.AP=EF.

當(dāng)以最小時，EF也最小,

即當(dāng)APJ_C8時，朋最小,

'：^AB-AC=^BC'AP,即”=AB"AC=￡,

22BC5

，線段E尸的最小值為n2.

5

3.（2022?上虞區(qū)模擬）如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,乙4=30°,8C=時，點尸是斜邊AB上

一動點，連結(jié)CP,將△BCP以直線CP為對稱軸進行軸對稱變換，8點的對稱點為連結(jié)A8,則在

P點從點A出發(fā)向點B運動的整個過程中，線段AS長度的最小值為（）

A.1B.V3C.V3-1D.3-73

【分析】解直角三角形求出AC,再根據(jù)AB'2AC-CB，,可得結(jié)論.

【詳解】解：在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=M，ZCAB=30°,

:.AC=MBC=3,

'：AB''AC-CB'=3-后

■'.AB'的最小值為3-遙，

故選。.

4.（2021秋?訥河市期末）如圖，NAOB=30°,點P在NA08的內(nèi)部，點C,。分別是點P關(guān)于OA、OB

的對稱點，連接C￡（交0A、分別于點E,F；若△PEF的周長的為10,則線段OP=（)

A.8B.9C.10D.11

【分析】首先根據(jù)對稱性得出△DOC是等邊三角形，進而得出答案.

【詳解】解：連接。。，OC,

；乙408=30°：點。、C分別是點P關(guān)于直線OA、08的對稱點，

AZDOC=60°,DO=OP=OC,PF=DF,PE=CE,

...△OOC是等邊三角形，

「△PEF的周長的為10,

.*.OP=10.

故選：c.

5.（2021秋?思明區(qū)校級期末）如圖，已知AB〃C。，AD//BC,ZABC=60°,BC=2AB=8,點C關(guān)于

的對稱點為E,連接BE交AO于點F,點G為C￡＞的中點，連接EG、BG,則SABEG=（）

【分析】如圖，取5c中點H,連接AH,連接EC交AO于M作EM_LCZ）交CD的延長線于M.構(gòu)建

S&BEG—S^BCE+SECG-SABCG計算即可；

【詳解】解：如圖，取BC中點“，連接A”，連接EC交A。于N,作EMJ_C。交CO的延長線于M.

E

0HC

"：BC=2AB,BH=CH,ZABC=60°,

：.BA=BH=CH,

*'?/\ABH是等邊三角形，

:?HA=HB=HC,

：.ZBAC=90°,

AZACB=30°,

V^CIBC,ZBCD=1800-ZABC=120°,

AZACE=60°,ZECM=30°,

???3C=2A3=8,

：.CD=4,CN=EN=2代，

.,."=4\@EM=2M，

:?S/\BEG=SABCE+SECG-SRBCG

=」X8X4我+上X2X2我平行四邊形ABC。

224

=16V3+2A/3-4A/3

=14代

故選：B.

6.（2022秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，NABC=90°,AB=6,BC=8,AC邊的垂直平分線交

BC于E,交AC于。，F(xiàn)為上一點，連接EF,點C關(guān)于EF的對稱點C恰好落在的延長線上，則

CD的長為

【分析】利用勾股定理求出AC,設(shè)AE=EC=x,再利用勾股定理構(gòu)建方程求出EC,再利用勾股定理求

出。E,可得結(jié)論.

【詳解】解：???/B=90°,AB=6,BC=8,

：*AC=NAB2+BC2=后+82=10,

垂直平分線段AC,

:.EA=EC,AD=DC=5,

設(shè)AE=EC=x,則有/=62+（8-x）2,

?l25

4

.,.EC=AE=空，

4

?。=?2@2=｛（普）2-52請,

'：EC=EC'=空，

4

：.C'D=C至-至=5.

442

故答案為：1.

2

7.（2022秋?東麗區(qū)校級期末）如圖，在AABC中，A8=AC,ZBAC=108°,點。在8C邊上，AABD、

△AFZ）關(guān)于直線A。對稱，NR1C的角平分線交BC邊于點G,連接尸G.NBAO=0,當(dāng)。的值等于10°,

25°或40°時，△DFG為等腰三角形.

A

【分析】首先由軸對稱可以得出△AOBgZMOF,就可以得出/B=/AF￡>,AB=AF,在證明aAGF名

△AGC就可以得出NAFG=/C,就可以求出/OFG的值；再分三種情況討論解答即可，當(dāng)GC=GFH寸，

就可以得出/GDF=80°,根據(jù)NAQG=40°+0,就有40°+80°+40°+6+9=180°就可以求出結(jié)論；

當(dāng)。F=GF時，就可以得出NGO尸=50°,就有40°+50°+40°+20=180°,當(dāng)力尸=DG時，NGDF

=20°,就有40°+20°+40°+26=180°,從而求出結(jié)論.

【詳解】解：：AB=AC,NBAC=108°,

，/8=NC=36°.

△48。和△AF￡>關(guān)于直線AD對稱，

：./\ADB^^ADF,

.?./B=NAFZ)=36°,AB=AF,/BAD=NFAD=6,

：.AF=AC.

：AG平分NMC,

：.ZFAG^ZCAG.

在△AGF和△AGC中，

，AF=AC

<NFAG=NCAG，

AG=AG

AAAGF^AAGC(SAS),

ZAFG=ZC.

乙DFG=ZAFD+ZAFG,

：.ZDFG^ZB+ZC=360+36°=72°.

①當(dāng)GO=G/時，

：.4GDF=4GFD=T1°.

*.'/AZ)G=36°+0,

.?.36°+72°+36°+0+0=180°,

.?.0=18°.

②當(dāng)=GF時，

：.ZFDG=ZFGD.

■:/DFG=72°,

；.NFDG=NFGD=54°.

A36°+54°+36°+20=180°,

/.0=27°.

③當(dāng)DF=DG時，

：.ZDFG=ZDGF=12°,

：.ZGDF=36°,

???36°+36°+36°+26=180°,

???0=36°.

.??當(dāng)?=18°,27°或36°時，ZiOFG為等腰三角形.

故答案為：18°,27°或360-

易錯題03軸對稱與坐標(biāo)變化

坐標(biāo)與圖形變化-對稱

(1)關(guān)于X軸對稱

橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

(2)關(guān)于y軸對稱

縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

(3)關(guān)于直線對稱

①關(guān)于直線x=m對稱，P(a,b)=P(2m-a,b)

②關(guān)于直線y=n對稱，P(a,b)nP(a,2n-b)

變式練習(xí)

1.(2022?清城區(qū)一模)在平面直角坐標(biāo)系中，點A(f+2x,1)與點8(-3,1)關(guān)于y軸對稱，則x的

值為（）

A.1B.3或1C.-3或1D.3或-1

【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，構(gòu)建方程求解.

【詳解】解：???點A（）+2x,1）與點B（-3,1）關(guān)于y軸對稱，

.,./+2r-3=0,

.'.x--3或1,

故選：C.

2.（2021秋?花都區(qū)期末）剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美.如

圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點E的坐標(biāo)為（2m,-〃），其

關(guān)于y軸對稱的點尸的坐標(biāo)（3-%-巾+1）,貝ij（機-〃）2。22的值為（）

A.32022B.-1C.1D.0

【分析】利用軸對稱的性質(zhì)構(gòu)建方程組，求出血，〃，可得結(jié)論.

【詳解】解：’.?E（2/〃，-n）,F（3-n,-m+1）關(guān)于y軸對稱，

.f-n=-m+l

I2m=n-3

解得，卜7,

ln=-5

（m-n）2022=（-4+5）2022=l,

故選：C.

3.（2022?金水區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（-2,0）,B（0,4）,點C與坐標(biāo)原點

。關(guān)于直線A8對稱.將AABC沿x軸向右平移，當(dāng)線段AB掃過的面積為20時，此時點C的對應(yīng)點C

的坐標(biāo)為（）

c（春4）D?(+

bb

【分析】如圖，連接0C交48于點K,過點K作KJLOB于點J.首先求出點C的坐標(biāo)，再利用平移變

換的性質(zhì)求出點C'的坐標(biāo).

【詳解】解：如圖，連接0C交于點K,過點K作K/J_08于點，

；.A(-2,0),B(0,4),

：.OA=2,OB=4,AB=^22+42=2V5,

,：O,C關(guān)于A8對稱,

OC.LAB,CK=OK,

：.OK=A°-OB=,

AB5____________

(喑)2*,

'：KJ±OB,

875475

?F/BK-OK55_8

OB45

?'-BJ=VBK2-KJ2=^-

：.OJ=OB-BJ=4-也=匹，

55

：.K（一星，A）,

55

OK=CK,

?r（-168）

55

:線段A8掃過的面積為20,

線段4B向右平移了5個單位，

：.c（旦，A）.

55

故選：B.

4.（2022秋?渠縣期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對△MBC進行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點4的坐標(biāo)

是電,J5），則經(jīng)過第2022次變換后所得的點4的坐標(biāo)是_L^V3r_V2）_.

A-------------------?

關(guān)于謝對稱關(guān)于y軸對稱

【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2021除以4,然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確

定出變換后的點A所在的象限，然后解答即可.

【詳解】解：???點A第一次關(guān)于x軸對稱后在第四象限，

點A第二次關(guān)于y軸對稱后在第三象限，

點A第三次關(guān)于x軸對稱后在第二象限，

點A第四次關(guān)于y軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置，

..?每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán),

V20224-4=505-2,

經(jīng)過第2022次變換后所得的A點與第一次變換的位置相同，在第三象限，坐標(biāo)為（-向，近）.

故答案為：（-通，如）.

5.(2022秋?謝家集區(qū)期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點A的坐標(biāo)為(4,3).

①若AABC是關(guān)于直線y=l的軸對稱圖形，則點B的坐標(biāo)為(4,-1)；

②若AABC是關(guān)于直線y=a的軸對稱圖形，則點B的坐標(biāo)為(4,2a-3)

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得對稱點的連線被對稱軸垂直平分，即可得到兩點到對稱軸的距離相等.利

用此性質(zhì)可在坐標(biāo)系中得到對應(yīng)點的坐標(biāo).

【詳解】解：根據(jù)題意，點4和點B是關(guān)于直線y=l對稱的對應(yīng)點，

.??它們到y(tǒng)=l的距離相等，是2個單位長度，軸，

.,.點B的坐標(biāo)是(4,-1).

若△4BC是關(guān)于直線y=a的軸對稱圖形，則點8的橫坐標(biāo)為4,縱坐標(biāo)為a-(3-a)=2a-3,

，點B的坐標(biāo)為(4,2a-3點

故答案為：(4,-1),(4,2a-3).

6.(2022秋?溫江區(qū)校級期中)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，經(jīng)過點M(0,相)且平行于x軸的直線可以記

作直線y=/n,平行于y軸的直線可以記作直線》=，小我們給出如下的定義：點P(x,y)先關(guān)于x軸對

稱得到點為，再將點P1關(guān)于直線＞=，〃對稱得點尸,，則稱點P'為點尸關(guān)于x軸和直線的二次

反射點.已知點P(2,3),Q(2,2)關(guān)于x軸和直線)，=機的二次反射點分別為Pi,Qi,點M(2,3)

關(guān)于直線x=〃?對稱的點為Mi,則當(dāng)三角形PiQiMi的面積為1時，則1或3.

【分析】根據(jù)對稱性質(zhì)由已知點坐標(biāo)求得P,Q\,Ml的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積列出方程求得，〃的

值便可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，P\(2,2m+3),Q\(2,2相+2),Mi(2m-2,3),

???PiQi=|2機+3-2〃？-2|=1,PMi=\2m-2-2|=|2/n-4|,

VAP121M1的面積為1,

??yXIX|2m-4|=P

解得m=1或3,

故答案為：1或3.

易錯題04圖形的翻折

1、翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位

置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

3、在解決實際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖

形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設(shè)要求

的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)

的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案.我們運用方程解決時，應(yīng)認真審題，設(shè)出

正確的未知數(shù).

支式練習(xí)〉〉

1.（2022秋?二七區(qū)校級期末）如圖，在矩形A8CD中，點F是8上一點，連結(jié)BF,然后沿著8F將矩

形對折，使點C恰好落在AQ邊上的E處.若AE：EZ）=4：1,則tanNEBF的值為（）

A.4B.3C.AD.V3

3

【分析】由矩形的性質(zhì)得O=NA=NC=90°,AD=BC,由折疊得NAEF=NC=90°,BE=BC,則

NDFE=NAEB=90°-ZDEF,AD=BE,即可證明由AE：￡0=4：1,得EC=」A。，

5

AE=±AD,可求得8A=JBP2_AF2=3A。,則tan/EBF=E2=￡D=』，于是得到問題的答案.

5"""AB5BEBA3

【詳解】解：；四邊形A8C￡＞是矩形，

，/￡)=NA=/C=90°,AD=BC,

由折疊得/AEF=NC=90°,BE=BC,

：.ZDFE=ZAEB=900-NDEF,AD=BE,

:.ADFEs^AEB,

???E一F一--E-D,

BEBA

VAE：ED=4：1,

：.ED=^AD,AE=^AD,

.?.tan/EBF的值為工,

3

故選：C.

2.（2022秋?南岸區(qū)期末）如圖，正方形A8CD的邊長為4,E是邊CO的中點，尸是邊上一動點，連

接BF,將△ABF沿BF翻折得到△GBF,連接GE.當(dāng)GE的長最小時，OF的長為（）

AB

A.2V5-2B.2V5-4C.4V5-6D.6-2V5

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理可得BE的長，再由翻折知8G=54=4,得點G在以B為圓心,

4為半徑的圓弧上運動，可知當(dāng)點G、E、B三點共線時，GE最小，此時利用勾股定理列方程即可得到

。尸的長.

【詳解】解：；正方形ABC。的邊長為4,

.,./C=NA=90°,BC=CD=4,

?..點E是邊CO的中點，

：.CE=DE=2,

BE=VBC2+CE2=712+22=2后

?.?將aAB尸沿BF翻折得到△F8G,

：.BG^BA=4,

.?.點G在以8為圓心，4為半徑的圓弧上運動，

如圖所示，當(dāng)點G、E、B三點共線時，GE最小,

...GE的最小值=BE-BG=2V5-4.

設(shè)QF=x,則AF=GF=4-x,

VZ￡>=ZFGE=90°,

DE^+DF2=EF1=FG2+EG2,

即22+J?=(4-x)2+(2>/5-4)2,

解得x=6-2V5.

...￡)尸的長為6-笳，

故選：D.

AB

3.（2022秋?運城期末）如圖，在菱形A8CO中，NA=60°,點E,尸分別在AB,AD±,沿EF折疊菱

形，使點A落在BC邊上的點G處，且EGJ_8。于點若AB=a（取加=1.4,我=1.7）,則8E等

于（）

B

【分析】連接AC,在中，求出A。的長度，進而求出AC的長度，然后根據(jù)EG,80,ACA.

BD,可得EG〃AC,進而可以解決問題.

【詳解】解：如圖，連接AC,交8。于點。，

?.?四邊形A8CZ）是菱形，

J.ACLBD,AC=2AO,

,：ZBAD=60°,

AZBAO=30°,

：.AO=^-AB^J^a,

22

：.AC=2AO=yf3a,

???沿E/折疊菱形，使點4落在8c邊上的點G處,

：.EG=AE,

■:EGLBD,ACLBD,

：.EG//AC,

?EG=BE

ACAB'

,:EG=AE,

-AE_a_AE

：.BE=AB-AE=^-a.

27

故選:A.

4.（2023?市南區(qū)一模）如圖，在矩形ABCQ中，AB=\,在BC上取一點￡,連接AE、ED,將aABE沿

4E翻折，使點B落在8'處，線段EB咬4。于點F,將△￡€￥）沿。E翻折，使點C的對應(yīng)點。落在線段

EB'上,若點C恰好為的中點，則線段EF的長為（）

A.AB.迎C.Z.D--p2

226

【分析】由折疊的性質(zhì)可得A8=AB'=CD=CQ=1,ZB=ZB'=90°=ZC=ZDC'E,BE=B'E,CE

=CE,由中點性質(zhì)可得8E=2CE,可得BC=4)=3EC,由勾股定理可求可求CE的長，由“A4S”可

證△AB'F名△OC'F,可得。尸=8尸=返_,即可求解.

4

【詳解】解：：四邊形A8CO是矩形，

：.AB=CD=],AD=BC,NB=NC=90°

由折疊的性質(zhì)可得：AB=AB'=CD=CD=\,ZB=ZB'=90°=ZC=ZDCE,BE=B'E,CE=CE,

:點C恰好為EB，的中點，

:.BE=2CE,

.?.BC=AZ)=3EC,

'：AE1=AB2+BE2,DE2=DC2+CE2,AD2=AE1+DE2,

：.1+4C￡2+1+C￡2=9C￡2,

解得：CE=亞，

2_

:.BE=BE=M，BC=AD=-3返,。后=亞，

22

亞，

2

=ZDC/F

在△AB'F和△￡）（"■中，，NAFB'=NDFC，

AB'=C'D

：./\AB'F^^DCF（A4S）,

：.CF=B'F=^-,

4

￡F=CE+C1尸=2返■,

4

故選：D.

5.（2022秋?徐匯區(qū)期末）如圖所示，在AABC中.沿著過點C的直線折疊這個三角形，使頂點A落在8c

邊上的點E處，折痕為C。，并聯(lián)結(jié)OE.如果BC=9c/n,且滿足也迺=」，邊4C=里加.

2AABC67

A

【分析】由折疊得EC=AC,ZBCD=ZACD,則點。到CB、CA的距離相等，設(shè)點。到C8、C4的距

離都是力，由&DBE=」SA4BC,可列方程』(9-AC)h=l(JLAC?〃+」X9/Z),解方程求出AC的值即

62622

可.

【詳解】解：由折疊得EC=4C,NBCD=NACD,

...點。到CB、C4的距離相等,

設(shè)點D到CB、CA的距離都是hem,

VSADBE=A,BC=9cm,

2AABC6

SADBE——SMBC,

6

"."SADBE=—(BC-EC)h=—(BC-AC)h,SMBC—S/\ACD+S^BCD=—AC,h+—BC*h,

2222

AA(9-AC)/J=A(JLAC?/Z+』X9〃)，

2622

解得AC=至，

7

故答案為：^-cm.

7

6.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，正方形ABCQ的邊長為5,點E是邊CO上的一點，將正方形A8CO沿

直線AE翻折后，點。的對應(yīng)點是點。,，聯(lián)結(jié)C7J交正方形A8CD的邊于點尸，如果AF=CE,那么

4尸的長是$.

【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)得，DE=D'E,可得NED。=ZED'D,證明四邊形AEC尸是

平行四邊形，則AF=CE,AE//CF,可得CFLDD,,根據(jù)等角的余角相等可得NE。'C=ZD,CE,

則。'E=CE=DE,即可求解.

【詳解】解：如圖：連接

由翻折得，DE=D'E,

:.NEDD'=NED'D,

；四邊形ABC。是正方形,

:.AB//CD,

；AF=CE,

...四邊形4ECF是平行四邊形，

：.AF=CE,AE//CF,

J.CF1.DD',

:.NEDD'+ZD'CE=NED'D+ED'C=90°,

：.ZED'C=ZD'CE,

：.D'E=CE=DE,

正方形ABCD的邊長為5，

CE=4CQ=」AB=5,

222

2

故答案為：1.

2

易錯題05中心對稱

中心對稱

(1)中心對稱的定義

把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖

形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心

的對稱點..

(2)中心對稱的性質(zhì)

①關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；

②關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

變式練習(xí)

1.(2022春?嘉魚縣期末)如圖，點O為矩形ABCQ的兩對角線交點，動點E從點A出發(fā)沿AB邊向點8

運動，同時動點F從點C出發(fā)以相同的速度沿CD邊向點D運動，作直線EF,下列說法錯誤的是()

A.直線￡尸平分矩形4BCD的周長

B.直線EF必平分矩形ABC。的面積

C.直線EF必過點。

D.直線EF不能將矩形ABCD分成兩個正方形

【分析】根據(jù)AE=FC,￡>F=BE可知：直線EF平分矩形ABC。的周長正確；

證明△￡>〃下絲/XBA/ECASA),直線EF必平分矩形ABCD的面積正確，直線EF必過點O正確;

直線EF不能將矩形ABCD分成兩個正方形，可判斷D錯誤.

【詳解】解：連接8。交EF于M,

???四邊形A8CQ是矩形，

J.AB^CD,AB//CD,AD^BC,

:.DF=BE,NDBE=NBDF,NDFE=NBEF,即直線EF平分矩形ABC。的周長，故A正確；

：./\DMF^/\BME（ASA）,故8正確；

：.FM=EM,DM=BM,

與O重合，即直線EF必過點O,故C正確；

當(dāng)AB=2AO,EF垂直AB時，直線EF將矩形ABC。分成兩個正方形，所以原說法錯誤，故。錯誤；

故選：D.

2.（2022秋?萊西市期末）如圖，點。為矩形A8C。的對稱中心，點E從點A出發(fā)沿A8向點8運動，移

動到點B停止，延長E。交CD于點凡則四邊形AEC尸形狀的變化依次為（）

A.平行四邊形一菱形一平行四邊形一矩形

B.平行四邊形一正方形一平行四邊形一矩形

C.平行四邊形f正方形一菱形~矩形

D.平行四邊形一菱形一正方形一矩形

【分析】通過作圖觀察即可得出答案.

【詳解】解：畫圖如下，

由圖可知最后會與原有矩形重合,

，四邊形AECF形狀的變化依次為平行四邊形f菱形一平行四邊形一矩形,

故選：A.

3.（2021秋?中牟縣期末）如圖是兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中

心按逆時針方向進行旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第二次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，…，則第2022次旋轉(zhuǎn)后得

到的圖形與圖①?④中相同的（）

A.圖①B.圖②C.圖③D.圖④

【分析】由于每經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后兩矩形重合，而2022=4X505+2,所以第2022次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與

圖②相同.

【詳解】解：由于每經(jīng)過4次旋轉(zhuǎn)后兩矩形重合，2022=4X505+2,

.?.第2022次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖②相同.

故選：B.

4.（2022?仙居縣二模）如圖，把正方形ABCO繞著它的對稱中心。沿著逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到正方形4'

B'CD',A'B1和8'C'分別交AB于點E,F,在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，NEO尸的大?。ǎ?/p>

B

AB

0/

A.隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而增大

B.隨著旋轉(zhuǎn)角度的增大而減小

C.不變，都是60°

D.不變，都是45°

【分析】連接AO,BO,A'O,AB',依據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得到進而得出

(SSS),根據(jù)全等三角形的的性質(zhì)，可得NAOE=NB'OE.同理可得，ZBOF=ZB,OF,根據(jù)NEOF=

ZB,OE+ZB'OF^l.ZAOB,可知在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，/EOF的大小不變，是45°.

2

【詳解】解：如圖所示，連接AO,BO,A'O,AB',

?.?正方形ABC。繞著它的對稱中心。沿著逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到正方形A'B'CD',

：.AO=BO,

：.ZOAB'^ZOB'A,

又?.?/OAE=/O8'E=45°,

ZEAB'=ZEB'A,

：.AE=B'E,

又,：EO=EO,

：.^AOE^/\B'OE(SSS),

ZAOE=ZB'OE.

同理可得，NBOF=NB'OF,

：.ZEOF=ZB'OE+ZB'OF=^ZAOB=1-X90°=45°.

22

.?.在正方形旋轉(zhuǎn)過程中，/EOF的大小不變，是45。.

故選：D.

5.（2022春?連城縣校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形OABC的頂點4在元軸上，定點B

的坐標(biāo)為（8,4）,若直線經(jīng)過點0（2,0）,且將平行四邊形OA8C分割成面積相等的兩部分，則直線

A.y=x-2B.y=2x-4C-y-|x-lD.y=3x-6

【分析】過平行四邊形的對稱中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，先求出平行四邊形對稱

中心的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可.

【詳解】解：???點8的坐標(biāo)為（8,4）,

???平行四邊形的對稱中心坐標(biāo)為（4,2）,

設(shè)直線DE的函數(shù)解析式為y=kx+b,

則（4k+b=2,

l2k+b=0

解得,

Ib=-2

???直線DE的解析式為y=x-2.

故選:A.

易錯題06軸對稱與最短路線問題

1、最短路線問題

在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B,在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通

過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的

交點就是所要找的點.

2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學(xué)軸對稱變換來解決，

多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.

變式煉習(xí)

1.（2022秋?烏魯木齊期末）如圖，在銳角AABC中，ZC=40°；點P是邊AB上的一個定點，點M、N

分別是AC和BC邊上的動點，當(dāng)△「〃義的周長最小時，NMPN的度數(shù)是（）

A.90°B.100°C.110°D.80°

【分析】分別作尸關(guān)于BC,AC的對稱點E,D,連接。E,交AC于交BC于M此時△MNP的周

長最小，由條件求出/OPE的度數(shù)，由軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)得到

E=40°,從而求出/MPN的度數(shù).

【詳解】解：分別作P關(guān)于BC,AC的對稱點E,D,連接QE,交AC于"，交BC于M此時△MNP

力

〈NPHM=NPGN=90°,NC=40°,

.../OPE=360°-NPHM-NPGN-NC=360"-90°-90°-40°=140°,

.".ZD+Z￡=180°-ZDPE=180°-140°=40°,

'：PM=DM,NP=NE,

:.NMPD=ND,NNPE=/E,

:.NMPD+NNPE=ND+NE=40°,

：.4MPN=4DPE-(NMPD+/NPE)=140°-40°=100°.

故選：B.

2.(2022秋?南沙區(qū)校級期末)如圖，在△ABC中，ZABC=60°,BO平分NABC,點E是BC上的一動

點，點P是BO上一動點，連接PC,PE,若48=6,SMBC=\5Y/3,則PC+PE的最小值是()

A

B

A.3A/3B.6C.5aD.10

【分析】在BA上截取8F=2C,連接C凡PF,PE,CF交BD于點G,得到aBCF是等邊三角形，利

用等邊三角形三線合一，得至l」PF=PC,進而得至I」PC+PE=P尸+PE2EK找到當(dāng)P,E,尸三點共線時，

PC+PE最小，連接CP并延長交AB于H,利用等邊三角形的三條高線相等，以及$^皿0=15?，求出

FE的長度，即為PC+PE的最小值.

【詳解】解：在BA上截取B尸=BC,連接CF,PF,PE,CF交BD于點G,

；BF=BC,N4BC=60°,

/\BCF是等邊三角形，

?.?8。平分乙48。，

C.BGLCF,CG=FG,

：.PF=PC,

：.PC+PE=PF+PE^EF,

...當(dāng)P,E,尸三點共線時，PC+PE最小,

是等邊三角形，E是8c的中點,

：.FE±BC,

連接CP并延長交A8于H,

?.?等邊三角形三條高交于一點，且三條高相等，

:.CHLBF,FE=CH,

7AB=6>

SAABC=15V3?

???yABCH=15V3>

...CH=2X15愿=5我,

6

：.FE=CH=5-/3,

.”C+PE最小值為5a.

故選：C.

3.（2022秋?和平區(qū)校級期末）如圖，在四邊形4BCO中，NA=NC=90°,M,N分別是BC,AB邊上的

動點，NB=58°,當(dāng)△QMN的周長最小時，NM￡W的度數(shù)是（）

D

B

A.122°B.64°C.62°D.58°

【分析】延長DA到E使DA^AE,延長DC到F,使CF=DC,連接EF交AB于N,交BC于M,此時，

△DMN的周長最小，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NE=/ADMNF=NCDM,設(shè)NMON=a,根據(jù)三

角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：延長D4到E使D4=AE,延長QC到F,使CF=QC,連接EF交A8于N,交8c于M,

此時，△OMN的周長最小，

VZA=ZC=90°,

:.DM=FM,DN=EN,

；.NE=NADN,NF=NCDM,

VZB=58°,

/.ZADC