人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《第18章 平行四邊形：181 平行四邊形》同步練習(xí)卷2020

人教新版八年級(jí)下學(xué)期<18.1平行四邊形》

2020年同步練習(xí)卷

—.選擇題（共10小題）

1.如圖，。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BDLCD,E、F、G、H分別是邊A8、BD、CD、AC的中點(diǎn).若

A￡>=10,BD=S,CZ）=6,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是（）

A.24B.20C.12D.10

2.如圖，在△ABC中，BC=6,E,F分別是AB,AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP

交CE于點(diǎn)。，NCBP的平分線交CE于點(diǎn)Q,當(dāng)CQ=LCE時(shí)，EP+BP的值為（）

3

A.6B.9C.12D.18

3.如圖，在四邊形ABCD中，戶是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，E,F分別是AB,CQ的中點(diǎn)，AD

D.36°

4.如圖所示，在△ABC中，AB=AC,D,E分別是A8,AC的中點(diǎn)，F(xiàn),G為BC上的點(diǎn),

連接。G、EF,若A8=5cm,BC=8cm,FG=4cm,則△4FG的面積為()

5.如圖，四邊形ABC。中，AB//CD,AB=5,Z）C=11,AO與8c的和是12,點(diǎn)E、F、

G分別是BO、AC、DC的中點(diǎn)，則△EFG的周長(zhǎng)是（）

6.如圖，在四邊形ABC。中，AD^BC,E、F、G分別是AB、CD、AC的中點(diǎn)，若/ZMC

=15°,NACB=87°,則NFEG等于（）

7.如圖，AD,分別是△ABC的中線和角平分線，AD±BE,AD=BE=4,F為CE的中

點(diǎn)，連接QF,則AF的長(zhǎng)等于（）

A.2B.3C.遙D.2代

8.如圖，△4BC的周長(zhǎng)為32,點(diǎn)。、E都在邊BC上，N4BC的平分線垂直于AE,垂足

為。，NACB的平分線垂直于A。，垂足為P,若8C=12,則PQ的長(zhǎng)為（）

O

BDEC

A.3B.4C.5D.6

9.如圖，四邊形ABC。中，ZADC=90°,AE=BE,BF=CF,連接EF,40=3,8=1,

則EF的長(zhǎng)為（）

A.2/MB.C.VlOD.2V15

42

10.如圖，在△ABC中，A￡＞是角平分線，AE是中線，CFJ_A。于點(diǎn)尸，4c=5,AB=13,

則EF的長(zhǎng)為（）

A.HB.HC.3D.4

54

二.填空題（共4小題）

11.如圖，在△4BC中，ZC=90°,E,尸分別是AC,BC上的點(diǎn)，AE=\6,8/=12,點(diǎn)

P,Q,。分別是AF,BE,AB的中點(diǎn)，則PQ的長(zhǎng)為.

12.如圖，在△ABC中，AB=8,AC=6,AM平分NBAC,CM_L4M于點(diǎn)M,N為BC的

中點(diǎn)，連結(jié)MM則MN的長(zhǎng)為

M

B'C

13.如圖，在四邊形A8CD中，點(diǎn)尸是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是48、CD的中點(diǎn),

AD=BC,且N4+NABC=90°,則NPEF=.

14.如圖，在四邊形ABC。中，ZADC+ZBCD=220°,E、尸分別是4C、8。的中點(diǎn)，P

是A8邊上的中點(diǎn)，則NEPF=°.

三.解答題(共26小題)

15.如圖，oABCZ)中，/A=45°,NABO=90°,點(diǎn)F為平行四邊形外一點(diǎn)，連接CF、

BF,且BF_LCF于點(diǎn)￡

(1)如圖1,若品488=兇9，CF=5,求B/的長(zhǎng)度；

2

(2)如圖2,延長(zhǎng)BF、OC交于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。G_LO尸交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若C

為OE的中點(diǎn)，求證：CG=CF+EF.

16.如圖1,在平行四邊形ABCQ中，BE平分NABC交CO于點(diǎn)E,CFLAQ于點(diǎn)F,交

BE于點(diǎn)G,KCF=CE,連接EF.

(1)若CQ=5,DF=3,求BC的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若CM平分NDCF交BE于點(diǎn)M,CMLBE于點(diǎn)N,求證：CM+EF=yf^lE.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、80相交于點(diǎn)O,BD=2BC,E、F、G分

別是0C、0D、A3的中點(diǎn).

求證：(1)BELAC-,

(2)EG=EF.

18.如圖，QA8CD的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)0,AB1AC,A8=3,8c=5,點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，沿以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).連結(jié)P0并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)

P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

(1)求8。的長(zhǎng)，(用含，的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，求f的值

(3)當(dāng)點(diǎn)。在線段AP的垂直平分線上時(shí)，直接寫出f的值.

19.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB^BC,AC是對(duì)角線，AE是N84O的平分線，交邊

DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)證明：CE=CF；

(2)若/B=60°,BC=2AB,寫出圖中長(zhǎng)度等于2CF的所有線段.

D

D

20.如圖，在平行四邊形ABC。中，ZC=60°,過點(diǎn)。作。E，BC交8C于點(diǎn)E,且QE

=A￡>,/為DC上一點(diǎn)，且AO=F￡>,連接4F與OE交于點(diǎn)G.

(1)求證：GF=GD=CE.

(2)過點(diǎn)A作且AH=CE,求證：AB=DG+AH.

21.在平行四邊形A2CQ中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,若AB=BC,過點(diǎn)A作BC的垂線

交BC于點(diǎn)E,交BD于點(diǎn)、M,ZABO600.

(1)若ME=3,BE=4,求EC的長(zhǎng)度.

(2)如圖，延長(zhǎng)CE至點(diǎn)G；使得EC=GE；過點(diǎn)G作GF垂直于AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)”,

交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

求證：AE^GF+EF.

圖1

22.已知平行四邊形A8C￡>,對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在邊AO上，過點(diǎn)P分別

作PE_L4C、PF1BD,垂足分別為E、F,PE=PF.

(1)如圖，若NEPF=60°,￡0=1,求PF的長(zhǎng)；

(2)若點(diǎn)P是4。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是力。的中點(diǎn)，BF=BC+3近-4,求BC的長(zhǎng).

23.已知：如圖，在平行四邊形A8CZ)中，的平分線交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作AE的

垂線交AE于點(diǎn)G,交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接EF,ED

(1)求證：EF=ED；

(2)若/ABC=60°,AD=6,CE=2,求EF的長(zhǎng).

24.如圖，nABCD的對(duì)角線4C、B。相交于點(diǎn)。，AC=BC.

(1)如圖1,過點(diǎn)B作BELAC于點(diǎn)E,若AC=8,BE=5時(shí)，求0E的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若NBOC=45°,過點(diǎn)C作CBLC。交8。于點(diǎn)尸，過點(diǎn)B作8G_LBC且

BG=BC,連接4G、DG,求證：AG=20E

25.已知如圖，點(diǎn)C、。在線段AF上，AD=^CD=CF,NA8C=/DEF=90°,AB//EF.

(1)若BC=2,AB=2病,求BD的長(zhǎng)；

(2)求證：四邊形BCE。是平行四邊形.

26.如圖，AD是△ABC邊2C上的中線，AE//BC,BE交AD于點(diǎn)F,F是BE的中點(diǎn)，連

結(jié)CE.求證：四邊形AOCE是平行四邊形.

27.如圖，在四邊形ABCQ中，AD//BC,AC與交于點(diǎn)E,點(diǎn)E是8。的中點(diǎn)，延長(zhǎng)

CZ）到點(diǎn)F,使￡>F=C￡>,連接AF,

(1)求證：AE—CE；

(2)求證：四邊形ABDk是平行四邊形；

(3)若AB=2,AF=4,NF=30°,則四邊形ABCF的面積為

28.如圖，平行四邊形4BC。中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F、G

2

分別是AO、BO、DC的中點(diǎn)，連接EF、DE、EG、GF.

(1)求證：四邊形。EFG是平行四邊形;

(2)求證：EG=EF.

29.如圖，在平行四邊形ABC￡＞中，E為A。上一點(diǎn)，連接EB并延長(zhǎng)到點(diǎn)尸，使

連接EC并延長(zhǎng)到點(diǎn)M,使CM=EC,連接FM,N為FM的中點(diǎn)，連接AF、DN

(1)求證：四邊形ARW)為平行四邊形；

(2)在不添加任何輔助線的情況下，直接寫出圖中長(zhǎng)度為產(chǎn)例的一半的所有線段.

30.已知公、PB分別與。。相切于A、B,連接。P.

(1)如圖1,交OP與點(diǎn)C,。為P8的中點(diǎn)，求證：CD//PA,CD=^PA-,

2

(2)如圖2,OP交圓。與點(diǎn)E,EFLPB于點(diǎn)、F,若見=4代，圓。的半徑為2代,

求EF的長(zhǎng).

31.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,尸為對(duì)角線BO的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn),

N為。C的中點(diǎn).求證：NPMN=NPNM.

32.如圖，點(diǎn)。是△48C內(nèi)一點(diǎn)，連接08、OC,線段A8、OB、OC、AC的中點(diǎn)分別為。、

E、F、G.

(1)判斷四邊形QEFG的形狀，并說明理由；

(2)若M為EF的中點(diǎn)，OM=2,NO8C和NOCB互余，求線段8c的長(zhǎng).

A

33.如圖，QE為△ABC的中位線，點(diǎn)F為QE上一點(diǎn)，且NAFB=90°,若AB=6,BC=

8,求EF的長(zhǎng).

34.如圖，在△ABC中，AE平分NBAC,BE_LAE于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn).

(1)如圖1,BE的延長(zhǎng)線與4C邊相交于點(diǎn)O,求證：EF=L(AC-AB)；

2

(2)如圖2,請(qǐng)直接寫出線段AB、AC、EF的數(shù)量關(guān)系.

35.如圖，在四邊形A8CO中，AB=CD,M、N、P分別是A。、BC、84的中點(diǎn)，求證:

36.如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D、E分別為4B、BC的中點(diǎn)，EFJ_4c于點(diǎn)凡

G為EF的中點(diǎn)，連接QG.

(1)求EF的長(zhǎng).

(2)求QG的長(zhǎng).

37.如圖，已知△ABC中，AC=BC,點(diǎn)。、E、F分別是線段AC、BC、AQ的中點(diǎn)，BF、

EZ)的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,連接GC.

(1)求證：A8=G。；

(2)當(dāng)CG=EG時(shí)，且AB=2,求CE.

38.如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)。，E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，連接OE、BE,點(diǎn)凡

G,H分別為BE,DE,8c的中點(diǎn).

(1)求證：FG=FH；

(2)若乙4=90°,求證：FGLFH-,

(3)若/A=80°,求/GFH的度數(shù).

39.已知：如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、8。相交于0,且4c=8力，E、尸分別

是AB、CD的中點(diǎn)，E、F分別交80、AC于點(diǎn)G、H.求證：0G=0H.

40.如圖，△A8C中，AO是中線，AE是角平分線，CF_LAE于F,AB=10,AC=6,求

OF的長(zhǎng).

人教新版八年級(jí)下學(xué)期《18.1平行四邊形》2020年同步練習(xí)卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.如圖，。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BDLCD,E、尸、G、，分別是邊AB、BD、CD、AC的中點(diǎn).若

>40=10,80=8,CD=6,則四邊形EFG”的周長(zhǎng)是（）

A.24B.20C.12D.10

【分析】利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等

于第三邊的一半求出EH=FG=1BC,EF=GH=1AD,然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得

22

解.

【解答】解：'：BD±CD,BD=S,CD=6,

BC=VBD2X：D2=V82+62=1?！?/p>

,：E.F、G、H分別是AB、AC、CD、80的中點(diǎn)，

;.EH=FG=LC,EF=GH=LD,

22

：.四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AZ）+8C,

又?.”力=10,

二四邊形EFG”的周長(zhǎng)=10+10=20,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行

于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)健.

2.如圖，在△4BC中，BC=6,E,尸分別是A8,AC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在射線EF上，BP

交CE于點(diǎn)D,NCBP的平分線交CE于點(diǎn)Q,當(dāng)。。=工。七時(shí)，EP+BP的值為（）

3

A.6B.9C.12D.18

【分析】延長(zhǎng)B。交射線EF于M,根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得EF〃BC,根

據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NM=NC8M,再根據(jù)角平分線的定義可得NP8M=N

CBM,從而得到根據(jù)等角對(duì)等邊可得BP=PM,求出EP+BP=EM,再根

據(jù)CQ=L?E求出EQ^ICQ,然后根據(jù)△MEQ和△BC。相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊

3

成比例列式求解即可.

【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BQ交射線E尸于M,

,:E、1分別是AB、AC的中點(diǎn),

J.EF//BC,

:.NM=4CBM,

「BQ是/CBP的平分線，

:.NPBM=NCBM,

：.4M=4PBM,

:.BP=PM,

：.EP+BP=EP+PM=EM,

?：CQ=^CE,

：.EQ=2CQ,

由EF〃BC得，AMEQsABCQ,

?EM_EQ_2

"'BC=CQ，

；.EM=2BC=2X6=12,

即EP+BP=12.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，

平行線的性質(zhì)，延長(zhǎng)構(gòu)造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解

題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

3.如圖，在四邊形A8CD中，P是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，E,尸分別是A8,的中點(diǎn)，AD

D.36°

【分析】根據(jù)中位線定理和已知，易證明aEPF是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

即可得到結(jié)論.

【解答】解：..,在四邊形ABCD中，P是對(duì)角線8。的中點(diǎn)，E,尸分別是AB,C￡）的中

點(diǎn)，

：.FP,PE分別是△82與△D4B的中位線，

:.PF=LBC,PE=1AD,

22

'：AD=BC,

：.PF=PE,

故是等腰三角形.

：/尸￡：尸=18°,

:.NPEF=NPFE=18°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理及等腰三角形的性質(zhì)，解題時(shí)要善于根據(jù)已知信

息，確定應(yīng)用的知識(shí).

4.如圖所示，在△ABC中，AB=AC,D,E分別是A8,AC的中點(diǎn)，F(xiàn),G為8c上的點(diǎn),

連接。G、EF,若AB=5<ro,BC^Scm,FG=4cm,則△HFG的面積為（）

C.2C,"2D.3cm"

【分析】根據(jù)題意，易得FG=DE,從而證得△￡>￡77gZ\GF”，再進(jìn)一步求△HFG的高,

進(jìn)一步求出陰影部分的面積.

【解答】解：連接，作AKLBC于K.

BK=CK=Lc="8=4,

22

在Rt/XABK中，AK=^AB2_BK2=^2_^2=3，

?.,￡>、E分別是AB,AC的中點(diǎn)，

.??OE是中位線，即平分三角形的高且OE=8+2=4,

：.DE=Xj3C=FG,

2

:./\DE曄△GFH,”也是OG,EF的中點(diǎn)，

△HFG的高是LK+2=1.5+2=0.75,

2

陰影=4X0.75+2=1.5.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題的關(guān)鍵是利用中位線的性質(zhì)，求得陰影部分三角形的高，再利用三角形的

面積公式計(jì)算.

5.如圖，四邊形ABCQ中，AB//CD,AB=5,DC=11,AO與BC的和是12,點(diǎn)E、F、

G分別是80、AC、￡>C的中點(diǎn)，則△EFG的周長(zhǎng)是（）

GC

A.8B.9C.10D.12

【分析】延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)，，可知￡F,FH,FG、EG分別為△BDC、AABC、/\BDC

和△ACQ的中位線，由三角形中位線定理結(jié)合條件可求得EF+FG+EG,可求得答案.

【解答】解：連接AE,并延長(zhǎng)交CD于K,

'：AB//CD,

：.NBAE=NDKE,NABD=NEDK,

?.?點(diǎn)￡、F、G分別是8￡）、AC、QC的中點(diǎn).

fZBAE=ZDKE

在aAEB和△KED中，ZABE=ZKDE?

BE=DE

:.△AEB9/\KED(AAS),

：.DK=AB,AE=EK,EF為aACK的中位線，

：.EF=1.CK=1.(DC-DK)=▲(DC-AB),

222

：EG為△BCD的中位線，

;.EG=LC,

2

又FG為△AC。的中位線，

:.FG=1AD,

2

:.EG+GF=L(AD+BC),

"：AD+BC=\2,AB=5,DC=\\,HPDC-AB=6,

:.EG+GF=6,FE=3,

：.叢EFG的周長(zhǎng)是6+3=9.

故選：B.

DKGC

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第

三邊的一半.

6.如圖，在四邊形ABC。中，AD=BC,E、F、G分別是AB、CD、AC的中點(diǎn)，若/D4C

=15°,NACB=87°,則/FEG等于（）

A.39°B.18°C.72°D.36°

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到FG〃4D,FG=￡D,GE//BC,GE=lj3C,根據(jù)

22

等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【解答】解：；尸、G分別是C。、AC的中點(diǎn)，

：.FG//AD,FG=1AD,

2

：.ZFGC=ZDAC=\5°,

G分別是AB、AC的中點(diǎn)，

：.GE//BC,GE=XBC,

2

，NEGC=180°-ZACB=93°,

AZEGF=108°,

"：AD=BC,

：.GF=GE,

；.NFEG=J-X（180°-108°）=36°,

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于

第三邊，且等于第三邊的一半.

7.如圖，A。、■分別是△A8C的中線和角平分線，ADVBE,AD=BE=4,F為CE的中

點(diǎn)，連接。尸，則AF的長(zhǎng)等于（）

BDC

A.2B.3C.V5D.25/5

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出。凡根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：；尸為CE的中點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，

：.DF=ljiE=2,DF//BE,

2

:.NADF=90°,

AF=VAD2+DF2=^42+22^2娓’

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊，

且等于第三邊的一半.

8.如圖，△ABC的周長(zhǎng)為32,點(diǎn)。、E都在邊BC上，N48C的平分線垂直于AE,垂足

為。，NACB的平分線垂直于AD,垂足為P,若BC=12,則P。的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】首先判斷△8AE、△C4。是等腰三角形，從而得出BA=BE,CA^CD,由AABC

的周長(zhǎng)為32,及BC=12,可得OE=8,利用中位線定理可求出尸。.

【解答】解：：構(gòu)平分/ABC,BQ±AE,

：.NABQ=ZEBQ,

VZABQ+ZBAQ=90°,ZEBQ+ZBEQ=90Q,

：.ZBAQ=ZBEQ,

：.AB=BE,同理：CA=CD,

.?.點(diǎn)Q是AE中點(diǎn)，點(diǎn)P是A。中點(diǎn)（三線合一），

是△ADE的中位線，

'：BE+CD=AB+AC=32-BC=32-12=20,

:.DE=BE+CD-BC=8,

：.PQ=XDE=^4.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理和等腰三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵

是判斷出△8AE、△CAQ是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)確定PQ是△AQE的中

位線.

9.如圖，四邊形4BCD中，ZADC=90°,AE=BE,BF=CF,連接EF,AD=3,CD=1,

則EF的長(zhǎng)為（）

A.B.2/SC.5/10D.2A/10

42

【分析】連接AC,根據(jù)勾股定理得到AC={32+12=。記,由三角形的中位線的性質(zhì)

定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接AC,

VZADC=90°,A￡>=3,8=1,

-''AC—五2+]2=A/10'

'：AE=BE,BF=CF,

:.EF=1AC=J^~,

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，三角形中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在△ABC中，4。是角平分線，4E是中線，CFJ_AO于點(diǎn)尸，AC=5,AB=13,

則EF的長(zhǎng)為（

A

A.空B.迪C.3D.4

54

【分析】首先證明△AGF名△ACF,則AG=AC=4,GF=CF,證明EF是ABCG的中

位線，利用三角形的中位線定理即可求解.

【解答】解：延長(zhǎng)CF交AB于G,如圖所示：

'：AD是aABC的角平分線，

J.ZGAF^ZCAF,

rZGAF=ZCAF

在AAG尸和△ACF中，.AF=AF，

,ZAFG=ZAFC=90°

：./XAGF^/\ACF(ASA),

：.AG=AC=5,GF=CF,

則8G=A8-4G=13-5=8.

又是△ABC的中線，

：.BE=CE,

是ABCG的中位線，

：.EF=1.BG=4.

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定以及三角形的中位線定理，正確證明GF=CF是

關(guān)鍵.

二.填空題(共4小題)

11.如圖，在△ABC中，ZC=90°,E,尸分別是AC,8c上的點(diǎn)，AE=16,BF=12,點(diǎn)

P,Q,。分別是AF,BE,AB的中點(diǎn)，則P。的長(zhǎng)為10.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到PO=L尸=6,PD//BF,DQ=1AE=S,DQ//AE,

22'

證明/PDQ=90°,根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解答】解：：點(diǎn)P,。分別是AF,A8的中點(diǎn)，

:.PD=1SF=6,PD//BF,

2

NADP=ZABC,

同理，OQ=LE=8,DQ//AE,

2

NBDQ=ZBAC,

/尸。。=180°-(ZADP+ZBDQ)=180°-(ZABC+ZBAC)=180°-(180°

-ZC)=90°,

由勾股定理得，PQ=Jp口2+bQ2=462+82=10'

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于

第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在△ABC中，AB=8,AC=6,AM平分/BAC,于點(diǎn)M,N為BC的

中點(diǎn)，連結(jié)MN,則MN的長(zhǎng)為1.

【分析】延長(zhǎng)CM交4B于"證明例Hg/XAMC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AH=

AC=6,CM=MH,根據(jù)三角形中位線定理解答.

【解答】解：延長(zhǎng)CM交A8于H,

在和△AMC中，

fZMAH=ZMAC

-AM=AM，

,ZAHH=ZAHC=90°

絲△AMC(ASA)

：.AH=AC=6,CM=MH,

：.BH=AB-AH=2,

VCM=MH,CN=BN,

:.MN=NH=I,

2

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線

平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

13.如圖，在四邊形A8C。中，點(diǎn)P是對(duì)角線80的中點(diǎn)，點(diǎn)E、尸分別是48、CD的中點(diǎn),

AD=BC,且N4+NABC=90°,則NPEF=45°.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到NPEB=NA,PF=%C,NDPF=N

22

DBC,得到PE=PF,NEPF=90°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，

得到答案.

【解答】解：DP=PB,

:.PE=1AD,NPEB=NA,

2

,:DF=FC,DP=PB,

：.PF=1.BC,4DPF=/DBC,

2

"：AD=BC,

：.PE=PF,

：NA+/ABC=90°,

，ZEPF=ZPEB+ZABD+ZDPF=ZA+ZABD+ZDBC=90°,

；.NPEF=/PFE=45°,

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平

行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在四邊形A8CQ中，ZADC+ZBCD=220°,E、尸分別是AC、8。的中點(diǎn)，P

是A3邊上的中點(diǎn)，則40°.

【分析】依據(jù)四邊形內(nèi)角和即可得到/BAD+NABC=140。，再根據(jù)三角形中位線定理

即可得到NAPE=NABC,進(jìn)而得出/APE+NBPF=140°,即可得到

NEP尸的度數(shù).

【解答】解：；四邊形ABCD中，ZADC+ZBCD=220°,

：.ZBAD+ZABC=360°-220°=140°,

YE、尸分別是AC、80的中點(diǎn)，P是AB邊上的中點(diǎn)，

是△ABC的中位線，PP是△ABO的中位線，

：.PE//BC,PF//AD,

：.NBPF=/BAD,NAPE=ZABC,

：.NAPE+NBPF=NBAD+NABC=140°,

.,.ZEPF=180°-140°=40°,

故答案為：40.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于

第三邊的一半.

三.解答題（共26小題）

15.如圖，nABCD中，NA=45°,NABO=90°,點(diǎn)尸為平行四邊形外一點(diǎn)，連接CA

BF,且BF_LCF于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若CF=5,求BF的長(zhǎng)度；

2

(2)如圖2,延長(zhǎng)BF、DC交于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作尸交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若C

為QE的中點(diǎn)，求證：CG=CF+EF.

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)易證△ABD、△BCQ是等腰直角三角形，利用平行四

邊形面積可求得AB=B￡>=史0,再運(yùn)用勾股定理即可求得2F；

2

(2)在線段CG上截取CM=C凡連接QM,構(gòu)造△COM絲△CEF(SAS),再證明△OCG

絲△￡>BF(ASA),可得DG=DF,進(jìn)而可得NGQM=NG=45°,MG=DM=EF,結(jié)論

可證.

【解答】解：(1)如圖1,:四邊形A8CZ)是平行四邊形

：.AB//CD,AB=CD,AD=BC

:.NBDC=乙48。=90°

,:BD=DB

:AABD冬ACDB

'：NA=45°

...△4B。、△BC。是等腰直角三角形

：.BD=AB,AD=y^B

?：S^ABCD=169,

2

2_

：.AB=BD=^^.

2

：.BC=AD=\3

'：BFLCF

/BFC=9U°

ABF=VBC2-CF2=V132-52=12;

(2)如圖2,在線段CG上截取CM=CR連接QM,

???C為OE的中點(diǎn)，

:.CD=CE

在△COM和中

rCD=CE

<ZDCM=ZECF

a。

AACDM^ACEF(SAS)

:?DM=EF,ZDMC=ZEFC=90°

：.ZDMG=90°

\'DG±DF

：.ZFDG=90°=/BDC

：.ZGDC+ZEDF=/BDF+/EDF

：.ZGDC=ZBDF

由(1)知：△BCD是等腰直角三角形

:?BD=CD,NCBD=NBCD=45°

?；/BDC+NBFC=900+90°=180°

：.ZDBF+ZDCF=\S0°

VZDCG+Zr>CF=180°

:?/DCG=NDBF

:ADCG沿△DBF(ASA)

：.DG=DF

???△OFG是等腰直角三角形

???NG=45°

???NGOM=NG=45°

：?MG=DM

：,MG=EF

：.CG=CM+MG=CF+EF.

G

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，

勾股定理，平行四邊形面積，四邊形內(nèi)角和等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，熟練掌握

全等三角形判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.如圖1,在平行四邊形ABC。中，BE平分NABC交C。于點(diǎn)E,CF_LA。于點(diǎn)尸，交

BE于點(diǎn)、G,且CF=CE,連接EF.

(1)若C￡>=5,DF=3,求BC的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若CM平分NDCF交BE于點(diǎn)、M,CNLBE于點(diǎn)、N,求證：CM+EF=^^!E.

【分析】(1)由平行四邊形性質(zhì)和勾股定理即可求得結(jié)論；

(2)由平行四邊形性質(zhì)可得/ABC+NBC￡)=180°,再由CF_LA?？傻肗BCF=90°,

再根據(jù)角平分線定義可得/EM〃=NBMC=45°,由等腰三角形性質(zhì)可得/CHE=

90°,由此可得△CMN和△勵(lì)〃7均為等腰直角三角形，即可證明結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1,連接BF,：四邊形ABC。是平行四邊形

J.AB//CD,AD//BC

；CF_LAD

：.ZCFD=90°=ZBCF,0尸=JcD?-DF52_32=4,

〈BE平分NABC

，/ABE=/CBE

???ZBEC=NABE

：.ZCBE=ZBEC

：.BC=CE

?；CF=CE

：.BC=CF=4；

(2)證明：如圖2,延長(zhǎng)CM交EF于從?:CE=CF,CM平分NDC凡

.".CHIEF,EF=2EH

：.ZCHE=90°

,:AB〃CD

???ZABC+ZBCD=ISO°

NBCF=90°

JZABC+ZDCF=90°

?「BE平分NA8C,CM平分NOC尸

，ZABE=l.ZABCfNECM=L/DCF

22

?：NCEB=NABE

：?/BMC=NCEB+NECM=LQABC+/DCF)=45°

2

，/EMH=NBMC=45°

■:CNLBE,

???NCNM=90°=/EHM,

：.△CMN和△EMH均為等腰直角三角形

???CM=&MMEH=^LEM

2

:?EF=y[^M

:?CM+EF=y[^!N+y[^M=&(EM+MN)=&ME.

D

0圖1J

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)，

勾股定理，角平分線定義等，熟練掌握平行四邊形性質(zhì)和等腰直角三角形性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

17.如圖，在平行四邊形48a＞中，對(duì)角線4C、BO相交于點(diǎn)O,BD=2BC,E、尸、G分

別是0C、0D、AB的中點(diǎn).

求證：（1）BEVAC-,

（2）EG=EF.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得0B=BC,由等腰三角形的性質(zhì)可得出BE,AC,由直

角三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理可得到EG=EF.

【解答】解：（1）???四邊形48CZ）是平行四邊形，

：.B0=^BD,BPBD=2B0,

2

又,；BD=2BC,

：.OB=BC,

又?.?點(diǎn)E是0C的中點(diǎn)，

：.BE±AC；

(2)V￡,F分別是OC、。。的中點(diǎn),

：.EF^1.CD,

2

???點(diǎn)G是Rt/XABE斜邊A3上的中點(diǎn),

:.GE=1AB,

2

又?平行四邊形ABC。中，AB=CD,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí),

靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理、綜合運(yùn)用知識(shí)是解題的關(guān)鍵.三角形的中位線平行于第三邊,

并且等于第三邊的一半.

18.如圖，QA8CO的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)0,AB1AC,48=3,8c=5,點(diǎn)P從點(diǎn)A

出發(fā)，沿A。以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).連結(jié)P。并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)

尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

(1)求8。的長(zhǎng)，(用含，的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，求，的值

(3)當(dāng)點(diǎn)0在線段AP的垂直平分線上時(shí)，直接寫出f的值.

【分析】(1)先證明△APOgACQO,可得出AP=CQ=f,則BQ即可用r表示；

(2)由題意知AP〃8Q,根據(jù)AP=8。，列出方程即可得解；

(3)如圖，先求出04和0E的長(zhǎng)，若。在線段AP的垂直平分線上，則AE=J_t，在

2i

RtZ\AE。中，根據(jù)勾股定理得：AEi+OE1=AO1,列方程可得，的值.

【解答】解：(1)二?四邊形4BC力是平行四邊形，

：.OA=OC,AD//BC,

：.ZPAO=ZQCO,

,/ZAOP=ZCOQ,

/XAPO^ACQO(ASA),

：.AP=CQ=t,

VBC=5,

：.BQ=5-t；

(2)9：AP//BQ,

當(dāng)4P=80時(shí)，四邊形A3。尸是平行四邊形，

即r=5-6

十一5

2

.?.當(dāng)t為§秒時(shí)，四邊形A2QP是平行四邊形;

2

(3)t=里，

5

?"c=VBC2-AC2=452-32=4,

.'.A0—C0=^AC—2,

2

..11

?SAABC-yAB-AC=yBC-EF>

：.AB-AC^BC-EF,

.?.3X4=5X￡F,

.OE是4P的垂直平分線,

:.AE=1AP=I,NAEO=90°,

2

由勾股定理得：A^+OE^^AO1,

222

?'?(yt)+(f)=2-

/.-獨(dú)(舍)，

55

.?.當(dāng)/=也秒時(shí)，點(diǎn)o在線段AP的垂直平分線上.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題.

19.如圖，在平行四邊形ABC。中，ABWBC,4C是對(duì)角線，AE是/區(qū)40的平分線，交邊

QC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)證明：CE=CF；

(2)若/8=60°,BC=2AB,寫出圖中長(zhǎng)度等于2CF的所有線段.

【分析】(1)利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出ZDAF=Z

CEF,進(jìn)而得出答案；

(2)利用等邊三角形的判定方法得出aABE和△AFD是等邊三角形，再證明得出aABE

二△人:￡(ASA),即可得出A8=FC,進(jìn)而可判定ABFC為矩形，再利用矩形的性質(zhì)可

得8。=4尸，進(jìn)而可得答案..

【解答】(1)證明：如圖(1),

???AE是N84O的平分線，

.?.NBAF=NDAF,

???在平行四邊形A8CD中，

：.AB//DF,AD//BC.

：.ZBAF=ZFfNDAF=NCEF,

：./F=/DAF=/CEF,

：.CE=FC-,

(2)解：DF=AD=AF=BC=2FC,

理由：如圖(2),VZB=60°,AD//BC,

：.ZBAD=\20°,

:NBAF=NDAF,

ZBAF=60°,

則AABE是等邊三角形，

可得AB=BE=AE,ZBEA=ZAFC=60°,

"：BC=2AB,

：.AE=BE=EC,

...△ABC是直角三角形，/BAC=90°,

"ZABE=ZFCE

^./XABE和△%￡1中，BE=EC，

,ZBEA=ZCEF

△ABEg△FCE(ASA),

：.AB=FC,

又；AB〃尸C,

...四邊形ABFC是平行四邊形，

VZBAC=90°,

四邊形ABFC是矩形.

：.AF=BC,AB=CF,

"：BC=2AB,

:.CB=2CF,

：.AF^2CF,

；四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=BC,ZD=ZABC=60°,

：.AD=2CF,

VZAFC=60°,

AADAF=6^,

...△AFQ是等邊三角形,

：.FD=AF,

：.DF=2FC.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形

的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出AB=FC是得出四邊形ABFC是平行四邊形的關(guān)鍵.

20.如圖，在平行四邊形A8C。中，ZC=60°,過點(diǎn)。作DEL8c交8c于點(diǎn)E,且。E

=A￡>,F為DC上一點(diǎn),且AZ)=ED,連接4F與OE交于點(diǎn)G.

(1)求證：GF=GD=CE.

(2)過點(diǎn)4作且A”=CE,求證：AB=DG+AH.

【分析】(1)證出/GED=NGZ)F,得出GF=GO,再證明△AOG絲/XOEC(ASA),得

出GD=CE,即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NA￡W=NE￡>C,ZH=ZC,DH=DC,根據(jù)平行四

邊形的性質(zhì)得到A8=CD,AB//CD,推出/。必=工/(7,在DH上截取得

2

到求得N￡>AM=^NH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

2

【解答】(1)證明：???四邊形是平行四邊形，

.?.ZBAD=ZC=60°,AD//BC,AB//CD,

：