中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突破訓(xùn)練專題07 全等三角形旋轉(zhuǎn)、一線三等角模型(重點突圍)(教師版)_第1頁
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文檔簡介

專題07全等三角形旋轉(zhuǎn)、一線三等角模型【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】 1【考向二全等三角形一線三等角模型】 26【直擊中考】【考向一全等三角形旋轉(zhuǎn)模型】例題:(2022·山東菏澤·菏澤一中校考模擬預(yù)測)如圖①,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,點D,E分別在邊SKIPIF1<0,SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0.現(xiàn)將SKIPIF1<0繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0.如圖②,連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)如圖②,請直接寫出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系.(2)將SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)至如圖③所示位置時,請判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明.(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中,當SKIPIF1<0的面積最大時,SKIPIF1<0______.(直接寫出答案即可)【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,理由見解析(3)SKIPIF1<0【分析】(1)利用SKIPIF1<0證明SKIPIF1<0,可得結(jié)論;(2)設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點O,證明SKIPIF1<0,即可得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,進一步得到SKIPIF1<0,即可得到結(jié)論.(3)在SKIPIF1<0中,邊SKIPIF1<0的長度為定值,當SKIPIF1<0邊上的高最大時,SKIPIF1<0的面積最大,則當點D在SKIPIF1<0的垂直平分線上時,SKIPIF1<0的面積最大,進一步求解即可得到旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).【詳解】(1)SKIPIF1<0,理由如下:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.理由如下:∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點O,由SKIPIF1<0可得:SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0;(3)在SKIPIF1<0中,邊SKIPIF1<0的長度為定值,當SKIPIF1<0邊上的高最大時,SKIPIF1<0的面積最大,∴當點D在SKIPIF1<0的垂直平分線上時,SKIPIF1<0的面積最大,如圖所示,∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于點G,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即當SKIPIF1<0的面積最大時,SKIPIF1<0,故答案為:SKIPIF1<0【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì)等知識,證明SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】一、選擇題1.(2022·重慶璧山·統(tǒng)考一模)如圖,在正方形SKIPIF1<0中,將邊SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn)至點SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則線段SKIPIF1<0的長度為(

)A.2 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0.取點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點,并連接SKIPIF1<0.根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì),可證得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,從而證得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0再利用勾股定理即可求解.【詳解】解:如圖,取點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0SKIPIF1<0的中點,并連接SKIPIF1<0.依題意得,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在正方形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選:D.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理的運用等知識,解題的關(guān)鍵是輔助線的添加.2.(2022·四川南充·模擬預(yù)測)如圖,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直角SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點,將SKIPIF1<0繞頂點SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn),兩邊SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.下列四個結(jié)論:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0是等腰直角三角形;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)過程中,上述四個結(jié)論始終正確的有()A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0.可證SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即證得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0全等,根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷結(jié)論是否正確.【詳解】解:∵SKIPIF1<0,直角SKIPIF1<0的頂點P是SKIPIF1<0的中點,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故①正確;∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形,故②正確;∵SKIPIF1<0是等腰直角三角形,P是SKIPIF1<0的中點,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0不一定是SKIPIF1<0的中位線,∴SKIPIF1<0不一定成立,故③錯誤;∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故④正確.故選:D.【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),三角形的面積,掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.(2022秋·全國·九年級專題練習(xí))如圖,在矩形ABCD中,DE平分SKIPIF1<0交BC于點E,點F是CD邊上一點(不與點D重合).點P為DE上一動點,SKIPIF1<0,將SKIPIF1<0繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后,角的兩邊交射線DA于H,G兩點,有下列結(jié)論:①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0,其中一定正確的是(

)A.①② B.②③ C.①④ D.③④【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)判斷得SKIPIF1<0,可判斷③正確,證SKIPIF1<0可判斷④正確,從而得出結(jié)果.【詳解】解:根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,SKIPIF1<0,∵DE平分SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴PH=PD,∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中,∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故③正確;∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0,故④正確;根據(jù)已知條件無法證明①DH=DE,②DP=DG.故選:D.【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的全等、三角形的相似,掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.二、填空題4.(2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在平面直角坐標系中,SKIPIF1<0為等腰三角形,SKIPIF1<0,點B到x軸的距離為4,若將SKIPIF1<0繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)SKIPIF1<0,得到SKIPIF1<0,則點SKIPIF1<0的坐標為__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】過B作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0,構(gòu)建SKIPIF1<0,即可得出答案.【詳解】過B作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,由旋轉(zhuǎn)可知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及如何構(gòu)造全等三角形求得線段的長度,準確構(gòu)造全等三角形求得線段長度是解題的關(guān)鍵.5.(2022·江蘇無錫·模擬預(yù)測)笑笑將一副三角板按如圖所示的位置放置,SKIPIF1<0的直角頂點SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0的中點處,其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0自由旋轉(zhuǎn),且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0,SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0,SKIPIF1<0時,SKIPIF1<0的長為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】連接AO,證明SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,在利用勾股定理求出SKIPIF1<0的長即可.【詳解】如圖,連接AO,∵由題意可知SKIPIF1<0是等腰直角三角形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0的中點∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵在SKIPIF1<0中,由勾股定理得:SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,故答案為:SKIPIF1<0.【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),和勾股定理,正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.6.(2022·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題)如圖,在矩形ABCD中,BC=2AB,點P為邊AD上的一個動點,線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP',連接PP',CP'.當點P'落在邊BC上時,∠PP'C的度數(shù)為________;當線段CP'的長度最小時,∠PP'C的度數(shù)為________【答案】

120°##120度

75°##75度【分析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角知△BPP′為等邊三角形,得到∠PP′B=60°;當點P'落在邊BC上時,∠PP'C=180°-∠PP′B=120°;將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后點A落在點E,連接BE,得到△ABP≌△EBP′(SAS),再證明△ABP為等腰直角三角形,進而得到∠EP′B=∠APB=45°,最后當CP′⊥EF于H時,CP′有最小值,由此可以求出∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°.【詳解】解:由線段BP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'可知,△BPP′為等邊三角形,∴∠PP′B=60°,當點P'落在邊BC上時,∠PP'C=180°-∠PP′B=180°-60°=120°;將線段BA繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,點A落在點E,連接BE,設(shè)EP′交BC于G點,如下圖所示:則∠ABP=∠ABE-∠PBE=60°-∠PBE,∠EBP′=∠PBP′-∠PBE=60°-∠PBE,∴∠ABP=∠EBP′,且BA=BE,BP=BP′,∴△ABP≌△EBP′(SAS),∴AP=EP′,∠E=∠A=90°,由點P'落在邊BC上時,∠PP'C=120°可知,∠EGC=120°,∴∠CGP′=∠EGB=180°-120°=60°,∴△EBG與△P′CG均為30°、60°、90°直角三角形,設(shè)EG=x,BC=2y,則BG=2EG=2x,CG=BC-BG=2y-2x,GP′=SKIPIF1<0CG=y-x,∴EP′=EG+GP′=x+(y-x)=y=SKIPIF1<0BC,又已知AB=SKIPIF1<0BC,∴EP′=AB,又由△ABP≌△EBP′知:AP=EP′,∴AB=AP,∴△ABP為等腰直角三角形,∴∠EP′B=∠APB=45°,∠EP′P=60°-∠EP′B=60°-45°=15°,當CP′⊥EF于H時,CP′有最小值,此時∠PP'C=∠EP′C-∠EP′P=90°-15°=75°,故答案為:120°,75°.【點睛】本題考察了三角形全等的判定方法、矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì),屬于四邊形的綜合題,難度較大,熟練掌握各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題7.(2022·山東日照·??级#┰赟KIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0延長線上一動點,連接SKIPIF1<0,將線段SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0,得到線段SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)如圖1,當SKIPIF1<0時,①求證:SKIPIF1<0;②求SKIPIF1<0的度數(shù);(2)如圖2,當SKIPIF1<0時,請直接寫出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的數(shù)量關(guān)系.(3)當SKIPIF1<0時,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,請直接寫出點SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為【答案】(1)①見解析;②SKIPIF1<0;(2)SKIPIF1<0;(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【分析】(1)①證明SKIPIF1<0可得結(jié)論.②利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可.(2)證明SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0解決問題.(3)分兩種情形,解直角三角形求出SKIPIF1<0即可解決問題.【詳解】(1)①證明:如圖1中,SKIPIF1<0將線段SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0,得到線段SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是等邊三角形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.②解:如圖1中,設(shè)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.(2)解:結(jié)論:SKIPIF1<0.理由:如圖2中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(3)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于SKIPIF1<0.如圖SKIPIF1<0中,當SKIPIF1<0是鈍角三角形時,在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由(2)可知,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0如圖SKIPIF1<0中,當SKIPIF1<0是銳角三角形時,同法可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,綜上所述,滿足條件的SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【點睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),解直角三角形等知識,解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題,學(xué)會用分類討論的思想思考問題注意一題多解.8.(2022·河北保定·校考一模)如圖1,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC=10SKIPIF1<0cm,D為AB邊上一點,tan∠ACD=SKIPIF1<0,點P由C點出發(fā),以2cm/s的速度向終點B運動,連接PD,將PD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段DQ,連接PQ.(1)填空:BC=,BD=;(2)點P運動幾秒,DQ最短;(3)如圖2,當Q點運動到直線AB下方時,連接BQ,若S△BDQ=8,求tan∠BDQ;(4)在點P運動過程中,若∠BPQ=15°,請直接寫出BP的長.【答案】(1)20cm,8SKIPIF1<0cm(2)4秒(3)SKIPIF1<0(4)8+8SKIPIF1<0或8+SKIPIF1<0【分析】(1)利用勾股定理求出BC,利用三角函數(shù)求出AD,即可得到BD;(2)當PD⊥BC時,PD最短,即DQ最短,利用面積求出PD,即可得到運動時間;(3)分別過點Q、P作AB的垂線,垂足分別為點G,H,證明△DGQ≌△PHD,推出QG=DH,DG=PH,利用面積求出DH=QG=SKIPIF1<0,求出DG即可求出結(jié)果;(4)過點D作DM⊥BC于點M,則MD=MB=SKIPIF1<0BD=8,分兩種情況,①當點Q在BC左側(cè)時,得∠BPD=SKIPIF1<0,求出PM即可;②當點Q在BC右側(cè)時,得到∠BPD=SKIPIF1<0,求出PM即可.(1)解:∵等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC=10SKIPIF1<0cm,∴BC=SKIPIF1<0AB=20cm,∵tan∠ACD=SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,解得AD=2SKIPIF1<0cm,∴BD=AB-AD=8SKIPIF1<0cm,故答案為:20cm,8SKIPIF1<0cm;(2)如圖,當PD⊥BC時,PD最短,即DQ最短,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,得PD=8,∴點P運動8÷2=4秒,∴點P運動4秒時DQ最短;(3)分別過點Q、P作AB的垂線,垂足分別為點G,H,則BH=PH,∠QGD=∠PHD=SKIPIF1<0,∵∠QDG+∠DQG=SKIPIF1<0,∠QDG+∠PDH=SKIPIF1<0,∴∠DQG=∠PDH,又∵PD=QD,∴△DGQ≌△PHD,∴QG=DH,DG=PH,∵SKIPIF1<0,BD=8SKIPIF1<0,∴DH=QG=SKIPIF1<0,∵DG=PH=BH=BD-DH=7SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0;(4)過點D作DM⊥BC于點M,則MD=MB=SKIPIF1<0BD=8,分兩種情況,①當點Q在BC左側(cè)時,如圖(1),由題意知∠QPD=SKIPIF1<0,又∵BPQ=SKIPIF1<0,∴∠BPD=SKIPIF1<0,∴PM=SKIPIF1<0MD=8SKIPIF1<0,∴BP=BM+PM=8+8SKIPIF1<0;②當點Q在BC右側(cè)時,如圖(2),∵∠QPD=SKIPIF1<0,BPQ=SKIPIF1<0,∴∠BPD=SKIPIF1<0,∴PM=SKIPIF1<0MD=SKIPIF1<0,∴BP=BM+PM=8+SKIPIF1<0;故BP的長度為8+8SKIPIF1<0或8+SKIPIF1<0.【點睛】此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì),銳角三角函數(shù),全等三角形的判定和性質(zhì),垂線段最短的性質(zhì),熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)及掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.9.(2022秋·九年級單元測試)如圖,正方形ABCD和正方形CEFG(其中BD>2CE),直線BG與DE交于點H.(1)如圖1,當點G在CD上時,請直接寫出線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;(2)將正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)一周.①如圖2,當點E在直線CD右側(cè)時,求證:SKIPIF1<0;②當∠DEC=45°時,若AB=3,CE=1,請直接寫出線段DH的長.【答案】(1)BG=DE,BG⊥DE(2)①見解析;②SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】(1)證明△BCG≌△DCE可得結(jié)論;(2)①在線段BG上截取BK=DH,連接CK.證明△BCK≌△DCH(SAS),推出CK=CH,∠BCK=∠DCH,推出△KCH是等腰直角三角形,即可解決問題;②分兩種情形:當D,G,E三點共線時∠DEC=45°,連接BD;和當D,H,E三點共線時∠DEC=45°,連接BD,分別根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可解決問題.(1)解:BG=DE,BG⊥DE,理由如下:∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形,∴BC=CD,∠BCG=∠DCE=90°,CG=CE,∴△BCG≌△DCE(SAS),∴BG=DE,∠CBG=∠CDE.∵∠CDE+∠DEC=90°,∴∠HBE+∠BEH=90°,∴∠BHD=90°,即SKIPIF1<0.綜上可知BG和DE的關(guān)系為BG=DE且SKIPIF1<0.故答案為:BG=DE且SKIPIF1<0;(2)①證明:如圖,在線段BG上截取BK=DH,連接CK.∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都為正方形,∴BC=CD,∠BCD=∠GCE=90°,CG=CE,∴∠BCG=∠DCE,∴△BCG≌△DCE(SAS),∴∠CBK=∠CDH,∵BK=DH,BC=DC,∴△BCK≌△DCH(SAS),∴CK=CH,∠BCK=∠DCH,∴∠BCK+∠KCD=∠DCH+∠KCD,即∠KCH=∠BCD=90°,∴△KCH是等腰直角三角形,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0;②如圖,當D,G,E三點共線時∠DEC=45°,連接BD.由(1)同樣的方法可知,BH=DE,∵四邊形CEFG為正方形∴CE=CH=1,∴SKIPIF1<0.∵AB=3,∴SKIPIF1<0,設(shè)DH=x,則SKIPIF1<0,在Rt△BDH中,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0(舍)故此時SKIPIF1<0;如圖,當H,E重合時,∠DEC=45°,連接BD.設(shè)DH=x,∵BG=DH,∴SKIPIF1<0,在Rt△BDH中,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0解得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0(舍)故此時SKIPIF1<0;綜上所述,滿足條件的DH的值為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【點睛】本題屬于四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),勾股定理等知識,正確尋找全等三角形解決問題,學(xué)會用分類討論的思想思考問題是解題的關(guān)鍵.10.(2022·全國·九年級專題練習(xí))如圖,在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,點D在SKIPIF1<0上.(1)如圖1,若點F在SKIPIF1<0的延長線上,連接SKIPIF1<0,探究線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)如圖2,若點D與點A重合,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,將SKIPIF1<0繞點D旋轉(zhuǎn),連接SKIPIF1<0,點G為SKIPIF1<0的中點,連接SKIPIF1<0,在旋轉(zhuǎn)的過程中,求SKIPIF1<0的最小值;(3)如圖3,若點D為SKIPIF1<0的中點,連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0交于點M,SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點N,且SKIPIF1<0,請直接寫出SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0,證明見解析(2)SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】(1)過F作SKIPIF1<0于H,過E作SKIPIF1<0于G,結(jié)合K字型全等,等腰直角三角形,四點共圓即可得到答案;(2)第二問考察隱圓問題與阿氏圓,取SKIPIF1<0的中點O,連接SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,構(gòu)建相似,轉(zhuǎn)化線段即可得到答案;(3)過點C作SKIPIF1<0平行線,點F作SKIPIF1<0平行線交于點G;過點G作SKIPIF1<0于點H,過點K作SKIPIF1<0,證明SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,結(jié)合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知識進行計算.【詳解】(1)解:(1)線段SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的數(shù)量關(guān)系:SKIPIF1<0,證明如下:過F作SKIPIF1<0于H,過E作SKIPIF1<0于G,如圖:∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴點F、D、A、E四點共圓,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為等腰直角三角形,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0;(2)取SKIPIF1<0的中點O,連接SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0,連接SKIPIF1<0,如圖:∵G為SKIPIF1<0的中點,O為SKIPIF1<0中點,∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位線,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,要使SKIPIF1<0的最小,需SKIPIF1<0最小,∴當H、G、C三點共線時,SKIPIF1<0的最小,SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0,如圖:∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(3)過點C作SKIPIF1<0平行線,點F作SKIPIF1<0平行線交于點G;過點G作SKIPIF1<0于點H,過點K作SKIPIF1<0,如圖:∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0;SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.【點睛】本題考查等腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)變換,涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識,中間穿插了不同的模型,對模型的運用與轉(zhuǎn)化能力要求很高,難度較大,屬于壓軸題,解題的關(guān)鍵是作輔助線,構(gòu)造全等三角形或相似三角形.11.(2022·內(nèi)蒙古通遼·模擬預(yù)測)綜合實踐問題情境在圖SKIPIF1<0所示的直角三角形紙片SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0是斜邊SKIPIF1<0的中點.數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們將SKIPIF1<0繞中點SKIPIF1<0做圖形的旋轉(zhuǎn)實驗,探究旋轉(zhuǎn)過程中線段之間的關(guān)系.解決問題(1)“實踐小組”的同學(xué)們將SKIPIF1<0以點SKIPIF1<0為中心按逆時針旋轉(zhuǎn),當點SKIPIF1<0的對應(yīng)點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時,SKIPIF1<0與它的對應(yīng)邊SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0.他們發(fā)現(xiàn):SKIPIF1<0.請你幫助他們寫出證明過程.數(shù)學(xué)思考(2)在圖SKIPIF1<0的基礎(chǔ)上,“實踐小組”的同學(xué)們繼續(xù)將SKIPIF1<0以點SKIPIF1<0為中心進行逆時針旋轉(zhuǎn),當SKIPIF1<0的對應(yīng)邊SKIPIF1<0時,設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0.他們認為SKIPIF1<0.他們的認識是否正確?請說明理由.再探發(fā)現(xiàn)(3)解決完上面兩個問題后,“實踐小組”的同學(xué)們在圖SKIPIF1<0中連接SKIPIF1<0,他們認為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也具有一定的數(shù)量關(guān)系.請你寫出這個數(shù)量關(guān)系______.(不要求證明)【答案】(1)見解析;(2)正確,理由見解析;(3)SKIPIF1<0【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0,根據(jù)等邊對等角、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,根據(jù)等腰三角形三線合一可證SKIPIF1<0;(2)過點O作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,垂足分別為N,M,利用“角邊角”證明SKIPIF1<0,推出SKIPIF1<0,再利用“角角邊”證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0,推出SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,進而證明四邊形SKIPIF1<0正方形,通過等量代換可得SKIPIF1<0,再利用相似三角形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0,即可證明SKIPIF1<0;(3)利用正方形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0,再結(jié)合(2)的結(jié)論可得SKIPIF1<0.【詳解】解:(1)證明如下:SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0;(2)他們的認識正確,理由如下:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.如圖,過點O作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,垂足分別為N,M,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0矩形.SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,

SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0正方形.SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0;(3)如圖,連接SKIPIF1<0.由(2)知四邊形SKIPIF1<0正方形,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等,綜合性較強,難度較大,解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形.【考向二全等三角形一線三等角模型】例題:(2023·全國·九年級專題練習(xí))感知:數(shù)學(xué)課上,老師給出了一個模型:如圖1,點A在直線SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型.應(yīng)用:(1)如圖2,SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0經(jīng)過點C,過A作SKIPIF1<0于點D,過B作SKIPIF1<0于點E.求證:SKIPIF1<0.(2)如圖3,在SKIPIF1<0中,D是SKIPIF1<0上一點,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,求點C到SKIPIF1<0邊的距離.(3)如圖4,在SKIPIF1<0中,E為邊SKIPIF1<0上的一點,F(xiàn)為邊SKIPIF1<0上的一點.若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0,可證明SKIPIF1<0;(2)過點D作SKIPIF1<0于點F,過點C作SKIPIF1<0于,交SKIPIF1<0的延長線于點E,證明SKIPIF1<0,由全等三角形的性質(zhì)可得出SKIPIF1<0,則可得出答案;(3)過點D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點M,證明SKIPIF1<0,由相似三角形的性質(zhì)可得出答案.【詳解】(1)證明:∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0;(2)解:過點D作SKIPIF1<0于點F,過點C作SKIPIF1<0于,交SKIPIF1<0的延長線于點E,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即點C到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0;(3)過點D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延長線于點M,∴SKIPIF1<0,∵四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.【點睛】本題是四邊形綜合題,考查了平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】一、選擇題1.(2022秋·八年級課時練習(xí))如圖,在△ABC中,AB=AC=9,點E在邊AC上,AE的中垂線交BC于點D,若∠ADE=∠B,CD=3BD,則CE等于()A.3 B.2 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C,推出∠BAD=∠CDE,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=ED,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=AB=9,BD=CE,即可得到結(jié)論.【詳解】解:∵AB=AC=9,∴∠B=∠C,∵∠ADE=∠B,∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB,∠CDE=180°﹣∠ADE﹣∠ADB,∴∠BAD=∠CDE,∵AE的中垂線交BC于點D,∴AD=ED,在△ABD與△DCE中,SKIPIF1<0,∴△ABD≌△DCE(AAS),∴CD=AB=9,BD=CE,∵CD=3BD,∴CE=BD=3故選:A.【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.二、解答題2.(2022秋·廣東惠州·八年級??计谥校┤鐖D1,SKIPIF1<0,垂足分別為D,E.(1)若SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的長.(2)在其它條件不變的前提下,將SKIPIF1<0所在直線變換到SKIPIF1<0的外部(如圖2),請你猜想SKIPIF1<0三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)如圖3,將(1)中的條件改為:在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,D,C,E三點在同一條直線上,并且有SKIPIF1<0,其中α為任意鈍角,那么(2)中你的猜想

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