平面與平面垂直的定義和判斷高一下學期數學人教A版(2019)必修第二冊

8.6空間直線、平面的垂直

8.6.3平面與平面垂直第1課時

平面與平面垂直的定義和判定

引入

思考(1):上一小節(jié)我們研究了直線與平面垂直，你能再說說其研究路徑嗎?現(xiàn)實背景→

線面垂直的定義、表示(三種語言)→線面垂直的判定

→線面垂直的性質.

思考(2):你認為接下來應該研究什么位置關系，按什么的路徑進行研究?

平面與平面的垂直關系.類比前面的方法，可按下列路徑進行:現(xiàn)實背景→

面面垂直的定義、表示(三種語言)→

面面垂直的判定

→

面面垂直的性質.

思考(3):能回顧一下，空間直線與直線垂直，直線與平面垂直的定義過程嗎?

先定義空間兩直線所成的角（兩條相交直線所得的銳角或直角），再取角為直角的特殊情況來定義兩條直線垂直.

而直線與平面垂直的定義又是通過直線與平面內的任意直線垂直來定義的，事實上此時直線與平面所成的角也是直角.

因此，“兩條相交直線所成的角”為直角是線線垂直和線面垂直的基礎.

思考(4):

按此思路，你猜想一下應該如何定義平面與平面垂直嗎?

先定義“兩個平面所成的角”——可能還是用兩條相交直線所成的角來刻畫，再通過這個角為直角來定義這兩個平面相互垂直.

思考(5):

兩個平面垂直是兩個平面相交的特殊情況，在現(xiàn)實生活中，你能找到兩個平面相交的實例嗎?打開的門所在的平面與墻面，翻開的書的兩個頁面；打開的筆記本電腦形成的兩個面。知識探究(一)

問題1:

在平面幾何中，角是怎樣定義的？類比兩條直線相交得到角，你能給出兩個平面所成角的概念嗎?

從一個點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形(角).

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形(二面角)射線(邊)射線(邊)頂點射線(邊)半平面(面)棱

平面的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做一個半平面.返回二面角1.定義:

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.射線(邊)半平面(面)棱2.記法:(1)面-棱-面；(2)點-棱-點.

問題2：在日常生活中，我們常說"把門開大一些"，這說明門面與墻面所形成的角有不同的大小，根據我們前面對異面直線所成的角以及直線與平面所成角的研究，你認為應該怎樣刻畫二面角的大小呢？

可以用一個平面角來刻畫二面角的大小

思考(1)：我們"把門開大一些"，是指哪個角大一些？這個角的頂點在什么地方？角的兩邊是怎樣的？

角的頂點在棱上；

角的兩邊分別在兩個半平面內,且都與二面角的棱垂直.

思考(2)：在二面角的棱上任取一點，從該點出發(fā)，分別在兩個半平面內任作一條射線，可得一個平面角，這樣的平面角能用來刻畫二面角的大小嗎？為什么？PAB

不能.

因為這種角的大小會由于所作射線的位置不一樣而不同，而度量一個量的基本要求是“唯一性”．

思考(3)：如圖，在二面角

-l

-

的棱

l上任取一點O，在半平面

和

內，從點O

分別作垂直于棱l

的射線

OA、OB，那么這樣的∠AOB

是否一定存在，其大小是否唯一，與O點的位置是否有關？ABO

∠AOB

一定存在；

由等角定理可知，一旦二面角

-l

-

確定，無論O點在棱l上的什么位置，∠AOB

的大小都上唯一確定的.

我們把這樣的角稱為二面角的平面角，并用它來表示二面角的大小。二面角的平面角

在二面角

-l

-

的棱

l上任取一點O，在半平面

和

內，從點O

分別作垂直于棱l

的射線

OA、OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角.(1)定義:(3)作用:度量二面角的大小.將二面角的大小問題轉化為平面角的大小問題.即二面角的平面角多大，就說這個二面角有多大．(2)特點:③角的兩邊要都垂直于棱.①角的頂點在棱上；②角的兩邊分別在兩個半平面內；(4)范圍:①二面角的兩個面重合：0o；②二面角的兩個面合成一個平面：180o.[0°,180°

]

思考(4)：二面角的平面角所在的平面與二面角的棱有什么關系？

垂直.

即二面角的平面角可以看成是垂直于棱的平面去截二面角得到的平面角.返回練習

在正方體ABCD-A'B'C'D'中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D'-AB-D;（2）二面角A'-AB-D；（3）二面角C'-BD-C.BACDA′B′C′D′(1)

二面角D'-AB-D的平面角為BACDA′B′C′D′(2)

二面角D'-AB-D的平面角為BACDA′B′C′D′(3)

二面角D'-AB-D的平面角為O知識探究(二)

思考(1)：教室相鄰的兩個墻面分別與地面可以構成二面角，你能分別指出構成這些二面角的面、棱、平面角及其度數嗎？

墻面與地面所成的二面角是直二面角，我們常說墻面直立于地面上.平面與平面垂直

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

平面

與

垂直，記作：

⊥

.

畫兩個互相垂直的平面時，通常把表示平面的兩個平行四邊形的一組邊畫成垂直．

思考(2)：按照直線與平面垂直的研究路徑，接下來就應該研究平面與平面垂直判定，類比兩條空間直線垂直的判定，我們將如何來判定兩個平面垂直？

第一，定義是充要條件，可以用定義來判定，即求二面角平面角，通過其為直角來判定，但這種方法往往不太容易;

第二，進一步尋求兩個平面垂直的充分條件，看能否得到判定定理，獲得更簡潔的方法.

思考(3)：建筑工人砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻面是否和地面垂直，如果系有鉛錘的線和墻面緊貼，那么所砌的墻面與地面垂直。這種方法說明了什么道理？如果墻面經過地面的垂線，那么墻面和地面垂直.思考(4)：你能用長方體模型來解釋一下以上結論嗎？面面垂直的判定定理1.內容：

如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

即簡述：2.作用：判定平面與平面垂直直.

將平面與平面的垂直的問題轉化為直線與平面垂直的問題.思考(5)：一般情況下，怎樣才能證明面面垂直？

要證平面垂直平面，首先要證明(一個平面內的)直線垂直于平面，而要證明直線垂直于平面，又要證明直線垂直于直線(另一個平面內的兩條直線)。例析

例1.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證:平面A'BD⊥平面ACC'A'．思考(1):

由ABCD-A'B'C'D'是正方體你能想到什么？正方體的性質.如棱與面的關系，面對角線的關系，

棱、體對角線、面對角線組成圖形的特征，以及它們與關系與其它棱、體對角線、面對角線的關系等.

思考(2):

由要證明的結論，你又想到了什么？

在平面A'BD

或平面

A'CC'A是內找出與

另一個平面垂直的直線.

思考(3):

這種直線有嗎，為什么？平面A'BD

中的BD就垂直于平面

A'CC'A.∵BD?AC，BD?A'A∴BD?平面

A'CC'A.

例1.如圖，在正方體ABCD-A'B'C'D'中，求證:平面A'BD⊥平面ACC'A'．證明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方體∴

AA'?平面ABCD由

BD?平面ABCD

得A'A?BD又∵BD?AC，且AC∩A'A=A,AC、A'A?平面

A'CC'A∴BD?平面ACC'A'.∵

BD?平面

A'BD,∴

平面A'BD⊥平面ACC'A'．思考(4):

平面BDD'B'與平面ACC'A'垂直嗎？

平面BDD'B'⊥平面ACC'A'.

事實上，直線A'C'上的任意一點與直線

BD所確定的平面都與平面ACC'A'垂直.

例2.如圖,AB是⊙O的直徑，PA垂直于圓O所在的平面，C是圓O上不同于A、B的任意一點.

求證：平面PAC⊥平面PBC.

思考(1):

要證平面PAC⊥平面PBC，需要證明什么？

需證“BC⊥平面PAC”或“AC⊥平面PBC”.

思考(2):

由“AB是⊙O的直徑”,你能想到什么？由“PA垂直于圓O所在的平面”,你又想到什么？由AB是⊙O的直徑得BC⊥AC.由PA垂直于圓O所在的平面得

PA⊥BC.證明：知識探究(三)如圖，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD.思考(1)：

四個面的形狀怎樣？

四個三角形全是直角三角形思考(2)：除AB⊥平面BCD外，還有哪些直線與平面垂直？

CD⊥平面ABC思考(3)：有哪些平面互相垂直？

平面ABC⊥平面BCD，

平面ABD⊥平面BCD，

平面ACD⊥平面ABC.CABDABCD注：象這種四個面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”練習1.判斷下列說法是否正確(1)過平面α的一條垂線可作無數個平面與平面α垂直.()(2)過空間中的一點只能作1個平面與平面α垂直.()(3)過平面α的一條斜線，可作無數個平面與平面α垂直.()(4)過平面α的一條平行線只能作1個平面與α垂直.

()××√√3.底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽

馬”.如圖，四棱錐P-ABCD是一個陽馬，則陽馬中互相垂

直的面有(

)(A)1對

(B)2對

(C)3對

(D)5對課堂小結1.本節(jié)課是按怎樣的路徑展開的？

背景

→

二面角的概念和度量

→

面面垂直的定義判定

→面面垂直的判定

...2.

二面