蘇教版八年級數(shù)學(xué)下冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練專題13反比例函數(shù)與三角形、四邊形的綜合問題(原卷版+解析)

專題13反比例函數(shù)與三角形、四邊形的綜合問題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】 1【考點(diǎn)二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】 14【考點(diǎn)三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】 22【考點(diǎn)四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】 29【考點(diǎn)五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】 39【典型例題】【考點(diǎn)一反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】例題：（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)圖象表達(dá)式為_________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為直角三角形，，頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，，，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則k的值為_________．2．（2023秋·河南鄭州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直角三角形中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，且在中點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，則的值_____．3．（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┤鐖D，，，，，，都是一邊在軸上的等邊三角形，點(diǎn)都在反比例函數(shù)（）的圖像上，點(diǎn)，都在軸上，則的坐標(biāo)為_______．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABO的直角頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2），點(diǎn)B在x軸上，將△ABO向右平移得到△DEF，使點(diǎn)D恰好在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．(1)求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求DF所在直線的表達(dá)式；(3)若該反比例函數(shù)圖象與直線DF的另一交點(diǎn)為點(diǎn)G，求S△EFG．5．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A在y軸正半軸上，將沿y軸向下平移得到，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求m的值；(2)求平移的距離；(3)點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，請直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)及的周長．6．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在中，，，，頂點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B，C在x軸的正半軸上，（C在B的右側(cè)），可沿x軸左右移動，與關(guān)于AC所在直線對稱．(1)當(dāng)時，直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)D坐標(biāo)．(2)判斷（1）中的A，D是否在同一個反比例函數(shù)圖象上，說明理由，如果不在，試問OB多長時，點(diǎn)A，D在同一個反比例函數(shù)的圖象上，求的值．(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，D在同一個反比例函數(shù)圖象上，把四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為，過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與BA的延長線交于點(diǎn)P，當(dāng)是以為底邊的等腰三角形，求的值．【考點(diǎn)二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】例題：（2023秋·四川德陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖四邊形ABCD是平行四邊形，CD在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限點(diǎn)A，且平行四邊形ABCD的面積為6，則______．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東日照·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第二象限，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)，則的值為______．2．（2023春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，平行四邊形的邊的中點(diǎn)D在y軸上，對角線與y軸交于點(diǎn)E，若反比例函數(shù)（k為常數(shù)且，）的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)A，且，則k的值為______．3．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，若平行四邊形OABC的面積是7，則k=______．4．（2023·吉林白城·?？级＃┤鐖D，在中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．軸，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過、兩點(diǎn)．(1)求的值；(2)求平行四邊形的面積．5．（2023·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，已知平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)，其中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的值；(2)若點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求平行四邊形的面積；(3)當(dāng)時，判斷反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過的中點(diǎn)，若經(jīng)過，請說明理由，若不經(jīng)過，求出與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．【考點(diǎn)三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】例題：（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)與矩形一邊交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，若的面積為3，則k的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，若點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，則矩形的面積為________．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，軸，點(diǎn)C，D在x軸上，若四邊形為面積是9的矩形，則k的值為______．3．（2023春·八年級課時練習(xí)）定義：若一個矩形中，一組對邊的兩個三等分點(diǎn)在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則稱這個矩形為“奇特矩形”．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形是第一象限內(nèi)的一個“奇特矩形”．且點(diǎn)，，則矩形的面積為_______．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，，．對角線，相交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，分別與，交于點(diǎn)F，G．(1)若，求k的值；(2)連接，若，求的面積．5．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形放置在平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)，頂點(diǎn)A，D在y軸正半軸．已知，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．(1)求k的值；(2)把矩形沿x軸正方向平移m個單位，使得矩形的一個頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，求m的值；(3)把矩形沿x軸正方向平移m個單位，再沿y軸正方向平移n個單位，使得矩形的兩個頂點(diǎn)落反比例函數(shù)，請直接寫出m，n之間的數(shù)量關(guān)系__________．【考點(diǎn)四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】例題：（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，菱形的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，若，菱形的面積為，則k的值為_______．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的頂點(diǎn)O是原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在軸上，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過頂點(diǎn)A．若菱形的面積為16，則k的值為______．2．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為，雙曲線y＝（k＞0）經(jīng)過點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．(1)求雙曲線解析式；(2)求點(diǎn)D坐標(biāo)．3．（2023·河南鄭州·河南省實(shí)驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，連接，若的面積是菱形面積的，求點(diǎn)的坐標(biāo)．4．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得的面積等于菱形的面積？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)B在x的正半軸上，直線交y軸于點(diǎn)D軸交x軸于點(diǎn)B，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求直線的解析式(2)如圖1，點(diǎn)P是直線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M是x軸上一動點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)O點(diǎn)重合）．當(dāng)最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)N從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線A-C-B時停止，設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動時間為t秒，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．【考點(diǎn)五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】例題：（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，以為邊在第一象限作正方形，其中頂點(diǎn)恰好落在雙曲線上，現(xiàn)將正方形沿軸向下平移個單位，可以使得頂點(diǎn)落在雙曲線上，則的值為（）A． B． C．2 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A、D分別在函數(shù)、圖像上，點(diǎn)B、C在x軸上，若四邊形ABCD為正方形，且點(diǎn)A在第二象限，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為______．2．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？既＃┤鐖D，正方形的邊在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和邊上點(diǎn)E，若正方形的邊長為6，，則k的值是________．3．（2023秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)若將正方形沿x軸向右平移得到正方形，當(dāng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上時，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．4．（2023春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D1，四邊形為正方形，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，且，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2，將正方形沿x軸向右平移得到正方形，點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求此時點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P為y軸上一動點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)O、、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．5．（2023·山東濟(jì)南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）正方形的邊長為4，，交于點(diǎn)E．在點(diǎn)A處建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．(1)如圖（1），雙曲線過點(diǎn)E，完成填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)是___________．點(diǎn)E的坐標(biāo)是___________，雙曲線的解析式是___________；(2)如圖（2），雙曲線與，分別交于點(diǎn)M，N（反比例圖像不一定過點(diǎn)E）．求證；(3)如圖（3），將正方形向右平移個單位長度，使過點(diǎn)E的雙曲線與交于點(diǎn)P．當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求m的值．專題13反比例函數(shù)與三角形、四邊形的綜合問題【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】 1【考點(diǎn)二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】 14【考點(diǎn)三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】 22【考點(diǎn)四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】 29【考點(diǎn)五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】 39【典型例題】【考點(diǎn)一反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】例題：（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，是等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，則經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)圖象表達(dá)式為_________．【答案】【分析】作軸于，軸于，根據(jù)是等腰直角三角形，可證明，利用反比例函數(shù)的幾何意義得到，則，所以，然后求出得到經(jīng)過點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式．【詳解】解：如圖，作軸于，軸于，，，，，，，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，∴，∴，∴，∵經(jīng)過點(diǎn)A的函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)，，經(jīng)過點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)k的意義，全等三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為直角三角形，，頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為，，，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則k的值為_________．【答案】//6.75【分析】根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)可知，進(jìn)而求出，再由可求出，通過作垂線構(gòu)造等腰直角三角形可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，即可求出k的值．【詳解】解：過點(diǎn)B作軸，∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為、，，是等腰直角三角形，，，，，又，，是等腰直角三角形，，，在中，，即，，，，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的積是一個定值k是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南鄭州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直角三角形中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至的位置，且在中點(diǎn)，在反比例函數(shù)上，則的值_____．【答案】【分析】連接，作軸于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出是等邊三角形，從而得出，即可得出，解直角三角形求得的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得．【詳解】解：連接，作軸于點(diǎn)，由題意知，是中點(diǎn)，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，在反比例函數(shù)上，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．3．（2023·湖南衡陽·?？家荒＃┤鐖D，，，，，，都是一邊在軸上的等邊三角形，點(diǎn)都在反比例函數(shù)（）的圖像上，點(diǎn)，都在軸上，則的坐標(biāo)為_______．【答案】【分析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先在中，設(shè)的長度為，用表示的長度，并表示出的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式，求出的長度和的長度，表示出的坐標(biāo)，同理可求得的坐標(biāo)，即可發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，為等邊三角形，，，設(shè)的長度為，則的坐標(biāo)為，把代入得，解得或（舍去），，，設(shè)的長度為，同理得到，則的坐標(biāo)表示為，把代入得，解得或（舍去），，，，設(shè)的長度為，同理，，的坐標(biāo)表示為，把代入得，解得或（舍去），，，，以此類推可得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．靈活運(yùn)用各類知識求出的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABO的直角頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2），點(diǎn)B在x軸上，將△ABO向右平移得到△DEF，使點(diǎn)D恰好在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．(1)求m的值和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)求DF所在直線的表達(dá)式；(3)若該反比例函數(shù)圖象與直線DF的另一交點(diǎn)為點(diǎn)G，求S△EFG．【答案】(1)(2)直線的解析式為：(3)【分析】（1）如圖，過作于利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得從而可得m的值，再由平移的性質(zhì)可得D的縱坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可得D的坐標(biāo)；（2）由可得等腰直角三角形向右平移了6個單位，則再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；（3）先聯(lián)立兩個函數(shù)解析式求解G的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，過作于為等腰直角三角形，即由平移的性質(zhì)可得：即（2）由等腰直角三角形向右平移了6個單位，設(shè)為解得：∴直線的解析式為：（3）如圖，延長FD交反比例函數(shù)于G，連結(jié)，解得：經(jīng)檢驗符合題意；【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)問題，一元二次方程的解法，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟練是求解G的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．5．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)A在y軸正半軸上，將沿y軸向下平移得到，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上．(1)求m的值；(2)求平移的距離；(3)點(diǎn)P是x軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，請直接寫出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)及的周長．【答案】(1)；(2)5個單位長度；(3)，【分析】（1）過點(diǎn)作軸，易得為等腰直角三角形，即可得解；（2）根據(jù)平移規(guī)則，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，求出的值，即可得解；（3）的周長，為定長，則當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，求出的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為，∴，即：；（2）解：將沿y軸向下平移得到，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為E，∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為，設(shè)，∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴；∴平移的距離為：；（3）解：∵的周長，為定長，∴當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，的值最小，連接，與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，如圖，則：，根據(jù)平移規(guī)則，可得：，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，當(dāng)時，，∴，∵，，，∴，∴的周長．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，以及坐標(biāo)系下的平移，軸對稱，同時考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．本題的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在中，，，，頂點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B，C在x軸的正半軸上，（C在B的右側(cè)），可沿x軸左右移動，與關(guān)于AC所在直線對稱．(1)當(dāng)時，直接寫出點(diǎn)A和點(diǎn)D坐標(biāo)．(2)判斷（1）中的A，D是否在同一個反比例函數(shù)圖象上，說明理由，如果不在，試問OB多長時，點(diǎn)A，D在同一個反比例函數(shù)的圖象上，求的值．(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A，D在同一個反比例函數(shù)圖象上，把四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為，過點(diǎn)的反比例函數(shù)的圖象與BA的延長線交于點(diǎn)P，當(dāng)是以為底邊的等腰三角形，求的值．【答案】(1)，(2)不在，理由見解析，(3)【分析】（1）過點(diǎn)D作軸與點(diǎn)E，由，，，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，由勾股定理求得，再求得，，，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）由得到點(diǎn)在反比例函數(shù)上，由點(diǎn)，得到點(diǎn)在反比例函數(shù)上，得到A，D不在同一個反比例函數(shù)圖象上，由，，求得，即可得到答案；（3）由平移到，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，得，求得，由是以為底邊的等腰三角形得，由兩點(diǎn)間距離公式即可求得m的值，進(jìn)而求得的值．【詳解】（1）解：過點(diǎn)D作軸與點(diǎn)E，∵，，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∴，，，∴，∴∵與關(guān)于AC所在直線對稱，∴，，∴，∴,∴，，∴，∴；（2）∵點(diǎn)，,∴點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∵點(diǎn)，,∴點(diǎn)在反比例函數(shù)上，∴A，D不在同一個反比例函數(shù)圖象上，∵，，，解得，此時，∴當(dāng)時，點(diǎn)A，D在同一個反比例函數(shù)的圖象上，即；（3）設(shè)四邊形ABCD向右平移m個單位長度，由（2）知點(diǎn)，∴平移到，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵點(diǎn)，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3，∴，∵是以為底邊的等腰三角形，∴，∴，由兩點(diǎn)間距離公式可得，∴，解得或（舍去），∴．即的值是．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，圖形的平移，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角直角三角形的性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】例題：（2023秋·四川德陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖四邊形ABCD是平行四邊形，CD在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一象限點(diǎn)A，且平行四邊形ABCD的面積為6，則______．【答案】6【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，然后平行四邊形的性質(zhì)可知△AED≌△BOC，進(jìn)而可得矩形ABOE的面積與平行四邊形ABCD的面積相等，最后根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，如圖所示：∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴△AED≌△BOC（AAS），∵平行四邊形ABCD的面積為6，∴，∴；故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)k的幾何意義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東日照·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第二象限，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)，，的坐標(biāo)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，，∴，，解得，，∴，將代入并解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，平行四邊形的邊的中點(diǎn)D在y軸上，對角線與y軸交于點(diǎn)E，若反比例函數(shù)（k為常數(shù)且，）的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)A，且，則k的值為______．【答案】12【分析】先證明是等腰直角三角形，，由平行四邊形的邊的中點(diǎn)D在y軸上，求得，據(jù)此求解即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵平行四邊形的邊的中點(diǎn)D在y軸上，且，∴，∴，∴，∵反比例函數(shù)的圖像恰好經(jīng)過點(diǎn)A，∴，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，平行四邊形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練運(yùn)用平行四邊形性質(zhì)及反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵．3．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，若平行四邊形OABC的面積是7，則k=______．【答案】-4【分析】連接OB，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到|k|+3=7，進(jìn)而即可求得k的值．【詳解】解：連接OB，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，∴AB⊥x軸，∴S△AOD=|k|，S△BOD==，∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=|k|+，∴S平行四邊形OABC=2S△AOB=|k|+3，∵平行四邊形OABC的面積是7，∴|k|=4，∵在第四象限，∴k=-4，故答案為：-4．【點(diǎn)評】本題考查了反比例系數(shù)k的幾何意義、平行四邊形的面積，熟知在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是|k|是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023·吉林白城·?？级＃┤鐖D，在中，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．軸，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過、兩點(diǎn)．(1)求的值；(2)求平行四邊形的面積．【答案】(1)；(2)6；【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式即可；（2）把代入一次函數(shù)，解方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的坐標(biāo)是及的長，再由題意，求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，軸，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1．∵一次函數(shù)圖象經(jīng)過兩點(diǎn)，∴令，解得．∴，將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，得∴．（2）由題意，把代入一次函數(shù)，得，∴．∵四邊形平行四邊形，∴的坐標(biāo)是．由（1）的坐標(biāo)是，，∴．∴平行四邊形的面積等于．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問題，平行四邊形的性質(zhì)等知識，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江西·九年級專題練習(xí)）如圖，已知平行四邊形的對角線相交于點(diǎn)，其中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求的值；(2)若點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求平行四邊形的面積；(3)當(dāng)時，判斷反比例函數(shù)的圖象是否經(jīng)過的中點(diǎn)，若經(jīng)過，請說明理由，若不經(jīng)過，求出與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)平行四邊形的面積為144(3)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點(diǎn)；理由見解析【分析】（1）把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可用m表示出D點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可表示用m表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得m的值，則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行四邊形的面積進(jìn)行計算即可；（3）由（2）可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得CD的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式進(jìn)行判斷即可．（1）解：將點(diǎn)代入，得．（2）過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，如圖所示：∵，，，∴，∴，，過點(diǎn)作于，∵，，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，得：，所以，平行四邊形的面積為．（3）∵四邊形平行四邊形，，∴，∵，∴，設(shè)的中點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∴，，∴的中點(diǎn)，∵當(dāng)時，，∴反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、中點(diǎn)的求法及方程思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中用m表示出E點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】例題：（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，反比例函數(shù)與矩形一邊交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E為線段中點(diǎn)，若的面積為3，則k的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)所給的三角形面積等于長方形面積減去三個直角三角形的面積，然后即可求出D或E的橫縱坐標(biāo)的積即是反比例函數(shù)的比例系數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，則D的坐標(biāo)為，∵E為線段的中點(diǎn)，∴，∵D、E在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵，解得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是利用過某個點(diǎn)，這個點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)適合這個函數(shù)解析式；所給的面積應(yīng)整理為和反比例函數(shù)上的點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的形式，本題屬于中等題型．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，若點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，則矩形的面積為________．【答案】4【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解答即可．【詳解】解：設(shè)，，∵P點(diǎn)在第二象限，∴，代入中，得，∴矩形的面積，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟練掌握“在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．”是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)A在雙曲線上，點(diǎn)B在雙曲線上，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，軸，點(diǎn)C，D在x軸上，若四邊形為面積是9的矩形，則k的值為______．【答案】13【分析】延長交y軸于點(diǎn)E，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，可得四邊形的面積是4，四邊形的面積是，再由四邊形的面積是9，即可求出．【詳解】解：延長交y軸于點(diǎn)E，則軸，∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)上，∴四邊形的面積是4，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)上，∴四邊形的面積是，∵四邊形的面積是9，∴，∵反比例函數(shù)在第一象限，∴．故答案為13．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵。3．（2023春·八年級課時練習(xí)）定義：若一個矩形中，一組對邊的兩個三等分點(diǎn)在同一個反比例函數(shù)的圖像上，則稱這個矩形為“奇特矩形”．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形是第一象限內(nèi)的一個“奇特矩形”．且點(diǎn)，，則矩形的面積為_______．【答案】0.6或27【分析】根據(jù)題意分兩種情況：設(shè)，當(dāng)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、上的點(diǎn)時，則點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖像上，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)得到，求出，即可求出矩形的面積；當(dāng)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、上的點(diǎn)時，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖像上，則，求得，即可求出矩形的面積．【詳解】解：當(dāng)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、上的點(diǎn)時，設(shè)，∵點(diǎn)，，，∴點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖像上，∴，，解得，，當(dāng)反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過、上的點(diǎn)時，設(shè)，∵點(diǎn)，，∴點(diǎn)和點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，，解得，，故答案為：0.6或27．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、矩形的性質(zhì)，運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)B、C在x軸的正半軸上，，．對角線，相交于點(diǎn)E，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E，分別與，交于點(diǎn)F，G．(1)若，求k的值；(2)連接，若，求的面積．【答案】(1)28(2)【分析】（1）先利用矩形的性質(zhì)和線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，然后把E點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求得k的值；（2）利用勾股定理計算出，則，所以，設(shè)，則，，利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)得到，解得，從而得到反比例函數(shù)解析式為，然后確定G點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用三角形面積公式計算的面積．【詳解】（1）∵矩形的頂點(diǎn)B，，而，∴∵對角線相交于點(diǎn)E，∴點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，把代入，得；（2）∵，∴，∵，∴，設(shè)，則，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)E、F，∴，解得，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，∴．當(dāng)時，，∴，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．5．（2023春·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將矩形放置在平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)，頂點(diǎn)A，D在y軸正半軸．已知，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C．(1)求k的值；(2)把矩形沿x軸正方向平移m個單位，使得矩形的一個頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，求m的值；(3)把矩形沿x軸正方向平移m個單位，再沿y軸正方向平移n個單位，使得矩形的兩個頂點(diǎn)落反比例函數(shù)，請直接寫出m，n之間的數(shù)量關(guān)系__________．【答案】(1)；(2)m的值為4或8或12；(3)【分析】（1）由題意、根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求解即可；（2）由題意分類討論，根據(jù)平移的性質(zhì)求解即可；（3）由題意知，滿足條件的只能是點(diǎn)B與點(diǎn)D，由平移的性質(zhì)點(diǎn)B與點(diǎn)D平移后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)分別為，從而得到關(guān)于m和n的等式，整理即可得解．【詳解】（1）解：將矩形放置在平面直角坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)，頂點(diǎn)A，D在y軸正半軸．已知，，，∴，，，，，∴，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，∴；（2）解：把矩形沿x軸正方向平移m個單位，使得矩形的一個頂點(diǎn)落在反比例函數(shù)的圖象上，若平移后，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，∴，解得；若平移后，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為，∴，解得；若平移后，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，∴，解得；綜上，m的值為4或8或12；（3）解：把矩形沿x軸正方向平移m個單位，再沿y軸正方向平移n個單位，使得矩形的兩個頂點(diǎn)落反比例函數(shù)，則只能是點(diǎn)B與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)D平移后的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)分別為，∴，整理得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等，解此題的關(guān)鍵是利用分類討論思想與方程思想求解．【考點(diǎn)四反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】例題：（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，菱形的頂點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，若，菱形的面積為，則k的值為_______．【答案】【分析】延長交軸與點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，易得：軸，，設(shè)，利于的直角三角形，求出，，根據(jù)菱形的面積為，求出的值，得到點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出k的值．【詳解】解：延長交軸與點(diǎn)，設(shè)，∵四邊形為菱形，∴，，∴，∴，∴，，∴菱形的面積為，∴，（舍去）；∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用圖形的面積求．熟練掌握菱形的性質(zhì)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，菱形的頂點(diǎn)O是原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在軸上，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過頂點(diǎn)A．若菱形的面積為16，則k的值為______．【答案】8【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)可得，菱形對角線將菱形分成面積相等的四個三角形，每個三角形的面積為5，可設(shè)，再根據(jù)點(diǎn)再反比例圖象上，得到，結(jié)合面積和的關(guān)系，即可求出值．【詳解】解：設(shè)菱形對角線交于點(diǎn)，點(diǎn)，，，在第一象限，，，又點(diǎn)在反比例函數(shù)上，，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的幾何意義問題，解決本題關(guān)鍵是利用點(diǎn)的特征找到面積與值的關(guān)系，注意象限問題．2．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為，雙曲線y＝（k＞0）經(jīng)過點(diǎn)C，交于點(diǎn)D．(1)求雙曲線解析式；(2)求點(diǎn)D坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，設(shè)菱形的邊長為x，則，，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而可得出，代入反比例函數(shù)的解析式即可；（2）求出直線的解析式與反比例函數(shù)的解析式列出方程組，解方程組即可求得交點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，設(shè)菱形的邊長為x，∵，∴，，在中，，即，解得，∴，∴，反比例函數(shù)解析式為；（2）解：∵點(diǎn)，，設(shè)直線為，則，解得，∴直線為：，由，解得或，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵，學(xué)會用解方程組的思想求還是交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，屬于中考?？碱}型．3．（2023·河南鄭州·河南省實(shí)驗中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)設(shè)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，連接，若的面積是菱形面積的，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用勾股定理求出的長，再利用菱形的性質(zhì)可得到的長，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用反比例函數(shù)的坐標(biāo)特征求出的值；（2）根據(jù)的面積是菱形面積的列方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：延長交軸于，則垂直于軸，如圖1所示．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴；∴反比例的函數(shù)關(guān)系式為：；（2）解：由（1）知：反比例函數(shù)的關(guān)系式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵的面積是菱形面積的，∴，，∴或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，菱形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形與三角形的面積等知識，掌握菱形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得的面積等于菱形的面積？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；或，【分析】（1）延長交軸于點(diǎn)，易得軸，根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式；（2）求出菱形的面積，再利用進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：延長交軸于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，，∴軸，∵，∴，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）解：存在；設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∵，∴，∴，當(dāng)時，，即：，當(dāng)時，，即：；綜上，存在點(diǎn)或，使的面積等于菱形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．正確的求出反比例函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，點(diǎn)B在x的正半軸上，直線交y軸于點(diǎn)D軸交x軸于點(diǎn)B，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求直線的解析式(2)如圖1，點(diǎn)P是直線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M是x軸上一動點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)O點(diǎn)重合）．當(dāng)最小時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)N從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿折線A-C-B時停止，設(shè)點(diǎn)N的運(yùn)動時間為t秒，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，先求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；（2）由菱形的性質(zhì)，得到，即當(dāng)有最小值時，有最小值，則當(dāng)時，有最小值，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；（3）先求出和的長度，然后分兩種情況進(jìn)行分析：當(dāng)點(diǎn)N在線段上運(yùn)動時，即時；當(dāng)點(diǎn)N在線段上運(yùn)動時，即時；分別求出解析式即可．【詳解】（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，即，∴點(diǎn)A為，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：；設(shè)直線為，∴，解得，∴直線的解析式；（2）連接、，與相交于點(diǎn)P，則，即當(dāng)有最小值時，有最小值，如圖∵四邊形是菱形，∴垂直平分，∴點(diǎn)C是點(diǎn)O關(guān)于的對稱點(diǎn)，∴，∴，∴當(dāng)有最小值時，有最小值，即當(dāng)時，有最小值，∵點(diǎn)C是點(diǎn)A向右平移5個單位得到，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，把代入，則，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：；（3）如圖，在函數(shù)中，令，，∴點(diǎn)D為，∵，，，∴，∴，，∴；當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上運(yùn)動時，即時，；當(dāng)點(diǎn)N在線段CB上運(yùn)動時，即時，；∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的分析點(diǎn)的運(yùn)動情況進(jìn)行解題．【考點(diǎn)五反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】例題：（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，以為邊在第一象限作正方形，其中頂點(diǎn)恰好落在雙曲線上，現(xiàn)將正方形沿軸向下平移個單位，可以使得頂點(diǎn)落在雙曲線上，則的值為（）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)，由函數(shù)解析式確定的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，，結(jié)合圖形求解即可．【詳解】解：作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，交雙曲線于點(diǎn)在中，令，解得：，即的坐標(biāo)是．令，解得：，即的坐標(biāo)是．則，．∵，∴，又∵直角中，，∴，在和中，，∴（），同理，，∴，，故的坐標(biāo)是，的坐標(biāo)是．代入得：，則函數(shù)的解析式是：．∴，則的縱坐標(biāo)是，把代入得：．即的坐標(biāo)是，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A、D分別在函數(shù)、圖像上，點(diǎn)B、C在x軸上，若四邊形ABCD為正方形，且點(diǎn)A在第二象限，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)正方形和反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而列出方程求解．【詳解】解：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入得：，解得：，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為，∵四邊形為正方形，∴，∴，解得：（舍去），，經(jīng)檢驗，是方程的解，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與平面幾何的綜合，掌握反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)校考三模）如圖，正方形的邊在x軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和邊上點(diǎn)E，若正方形的邊長為6，，則k的值是________．【答案】18【分析】由正方形的邊長為6，可求，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，可得，求出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，，，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A和E，，，，故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和正方形的性質(zhì)，熟練掌握在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的積等于比例系數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的