蘇教版八年級數(shù)學(xué)下冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練專題04解題技巧專題：特殊平行四邊形中折疊、旋轉(zhuǎn)問題(原卷版+解析)

專題04解題技巧專題：特殊平行四邊形中折疊、旋轉(zhuǎn)問題【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一矩形中的折疊問題】 1【考點二菱形中的折疊問題】 8【考點三正方形中的折疊問題】 14【考點四特殊平行四邊形折疊后求周長、面積問題】 21【考點五特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】 26【典型例題】【考點一矩形中的折疊問題】例題：（2022秋·甘肅蘭州·九年級統(tǒng)考期中）將矩形紙片沿折疊得到，與交于點E，若，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【變式訓(xùn)練】1．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形紙片中，，現(xiàn)將其沿對折，使得點落在邊上的點處，折痕與邊交于點，則的長為（）A． B． C． D．2．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一張長方形紙片按如圖方式折疊，、為折痕，若，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，使點A落在對角線BD上的點A'處．若∠DBC＝22°，則∠A'EB的大小為（）A．68° B．34° C．56° D．46°4．（2021春·山東濟寧·七年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)校考期中）將長方形沿折疊，得到如圖所示的圖形．已知，則________．5．（2023秋·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D，把一個長方形紙片沿折疊后，C，D兩點分別落在，兩點處，若，則______度．6．（2023秋·廣東·八年級校聯(lián)考期末）在長方形中，，，點E是邊上的一個動點，把沿BE折疊，點A落在處，當是直角三角形時，的長為______．7．（2023春·八年級單元測試）如圖，已知矩形，點E為的中點，將沿直線折疊，點B落在點處，連接．(1)求證：．(2)若，，求線段的長．8．（2021春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，點E在邊上，折疊使點A落在邊上的點F處，折痕為，過點A作交于點G，連接．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求四邊形的面積．【考點二菱形中的折疊問題】例題：（2021春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE．則∠BEC′的大小為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，把菱形沿折疊，使點落在上的點處，若，則的大小為（

）．A． B． C． D．2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，菱形紙片，，，將該菱形紙片折疊，使點B恰好落在邊的中點處，折痕與邊、分別交于點M、N．則的長為_______．3．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在菱形中，是上一點，沿折疊，點恰好落在上的點處，連接，若，則__________．4．（2021·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的周長為8厘米，，點M為的中點，點N是邊上任一點，把沿直線折疊，點A落在圖中的點E處，當_________厘米時，是直角三角形．5．（2022·安徽合肥·校考二模）如圖，在菱形中，，，點是邊上一點，以為對稱軸將折疊得到，再折疊使落在直線上，點的對應(yīng)點為點，折痕為且交于點．（1）______；（2）若點是的中點，則的長為______．【考點三正方形中的折疊問題】例題：（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點落在對角線上的點處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河南鄭州·八年級校考期末）如圖，是一個正方形紙片，、分別為、的中點，沿過點的折痕將翻折，使點落在上如圖的點，折痕交于點，那么(

)A． B． C． D．2．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將正方形沿對折，使點落在對角線上的處，連接，則_________．3．（2022秋·福建寧德·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，點E在邊上，將沿對折至，延長交于點G，G恰好是邊的中點，則的長是________．4．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，將正方形紙片折疊，使點落在邊點處，點落在點處，折痕為，若，求的大?。?．（2022秋·四川成都·八年級成都七中?？计谥校┮阎喝鐖D，在邊長為的正方形中，點在邊上，，將沿折疊至，延長交于點，連接(1)求的度數(shù)：(2)求的長度6．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【考點四特殊平行四邊形折疊后求周長、面積問題】例題：（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）把一張矩形紙片（矩形）按如圖方式折疊，使頂點和點重合，折痕為．若cm，cm．則重疊部分的面積為_____．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形面積為2，將正方形沿直線折疊，則圖中陰影部分的周長為（

）A． B． C． D．2．（2022春·江蘇徐州·八年級邳州市新城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF，若AB=3，則菱形AECF的面積為（）A．1 B．2 C．2 D．43．（2022春·廣東韶關(guān)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在點處，則重疊部分的面積為______．5．（2022春·廣東汕頭·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形沿直線折疊，頂點D恰好落在邊上點F處，已知，則陰影部分的面積為___________．6．（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谥校┤鐖D，長方形紙片的邊長，．將矩形紙片沿折疊，使點與點重合，折疊后在其一面著色．(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．【考點五特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】例題：（2021秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，點，，的對應(yīng)點分別為點，，，點恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·浙江紹興·九年級紹興市元培中學(xué)校考期中）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，若旋轉(zhuǎn)角為，則為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學(xué)校考期中）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_______．3．（2022秋·江西宜春·九年級?？计谥校┤鐖D，將邊長為的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)30°到的位置，則陰影部分的面積是___________．4．（2022秋·安徽銅陵·九年級銅陵市第十五中學(xué)校考期中）如圖，在菱形中，，把菱形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，則圖中陰影部分的面積為_________．5．（2022秋·天津河北·九年級天津二中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校倪呅问蔷匦?，點，點，點．以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點O，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當時，求點D的坐標；(2)如圖2，當點E落在的延長線上時，求點D的坐標；(3)當點D落在線段上時，直接寫出點E的坐標．6．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）已知，四邊形和四邊形都是正方形，點為的中點．(1)連接、．①如圖1，若點在邊上，猜想和的關(guān)系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在對角線的延長線上，請你在圖2中補全圖形，猜想和的關(guān)系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接．請你直接寫出的取值范圍___________．7．（2022秋·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【情境呈現(xiàn)】如圖1，將兩個正方形紙片和放置在一起.若固定正方形，將正方形繞著點A旋轉(zhuǎn)．(1)【數(shù)學(xué)思考】如圖1，當點E在邊上，點G在邊上時，線段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．(2)如圖2，是將正方形繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)度得到的，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(3)【拓展探究】如圖3，若點D，E，G在同一條直線上，且，求線段的長度（直接寫出答案）．8．（2021秋·陜西漢中·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）【問題情境】已知正方形中，點O是線段的中點，將正方形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到正方形（點、、、分別是點A、B、C、D的對應(yīng)點）．【問題提出】(1)如圖1，在正方形繞點O旋轉(zhuǎn)過程中，順次連接點B、、C、得到四邊形，求證；四邊形是矩形；(2)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當點落在對角線BD上時，與交于點M，求證；四邊形是正方形；【問題探究】(3)如圖3，若點O是線段的三等分點且，在正方形繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中當線段經(jīng)過點D時，請求出的值．專題04解題技巧專題：特殊平行四邊形中折疊、旋轉(zhuǎn)問題【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一矩形中的折疊問題】 1【考點二菱形中的折疊問題】 8【考點三正方形中的折疊問題】 14【考點四特殊平行四邊形折疊后求周長、面積問題】 21【考點五特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】 26【典型例題】【考點一矩形中的折疊問題】例題：（2022秋·甘肅蘭州·九年級統(tǒng)考期中）將矩形紙片沿折疊得到，與交于點E，若，則的度數(shù)為（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得，，進而求得，根據(jù)折疊可得，最后根據(jù)進行計算即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，由折疊可得，∴，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，折疊性質(zhì)，角的有關(guān)計算等知識，解題的關(guān)鍵是求出和的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形紙片中，，現(xiàn)將其沿對折，使得點落在邊上的點處，折痕與邊交于點，則的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，，然后求出四邊形是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．【詳解】解：沿對折點B落在邊上的點處，，，又，四邊形是正方形，，．故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，判斷出四邊形是正方形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一張長方形紙片按如圖方式折疊，、為折痕，若，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊得到，推出，即可求出答案．【詳解】解：∵一張長方形紙片沿、折疊，∴，且，∴，∵，∴．故選B．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)相等相等．也考查了平角的定義．3．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片ABCD沿BE折疊，使點A落在對角線BD上的點A'處．若∠DBC＝22°，則∠A'EB的大小為（）A．68° B．34° C．56° D．46°【答案】C【分析】利用折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)先求出，再求出，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，由折疊的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握折疊前后重合的角相等．4．（2021春·山東濟寧·七年級濟寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校㈤L方形沿折疊，得到如圖所示的圖形．已知，則________．【答案】##65度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，再根據(jù)，由此即可求解．【詳解】解：長方形沿折疊，∴，又∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，平角的性質(zhì)，掌握折疊中角的關(guān)系，平角指的是的角是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·河南南陽·七年級?？计谀┤鐖D，把一個長方形紙片沿折疊后，C，D兩點分別落在，兩點處，若，則______度．【答案】【分析】設(shè)，則,由翻折可知，根據(jù)平角的定義解出x，由矩形的性質(zhì)進而可以得出的度數(shù)．【詳解】設(shè)，則,由翻折可知即解得故答案為：【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)和平角的等于，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)圖中折疊前后重合的角相等．6．（2023秋·廣東·八年級校聯(lián)考期末）在長方形中，，，點E是邊上的一個動點，把沿BE折疊，點A落在處，當是直角三角形時，的長為______．【答案】【分析】由勾股定理求得，當在上時，是直角三角形，設(shè)，由翻折的性質(zhì)和勾股定理求得．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，，當在上時，是直角三角形，如圖1所示：設(shè)，由翻折的性質(zhì)得：，，，在中，，解得：，即【點睛】本題考查了翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識．7．（2023春·八年級單元測試）如圖，已知矩形，點E為的中點，將沿直線折疊，點B落在點處，連接．(1)求證：．(2)若，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由點E為的中點和折疊的性質(zhì)可得，則，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得，即可證得平行；（2）由勾股定理求得，再用等面積法求得，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義可推導(dǎo)，最后用勾股定理求得．【詳解】（1）證明：點E為的中點，，，，，由題意得，，∵，，，；（2）解：如圖，連接交于H，，，，點E為的中點，，將沿直線折疊，點B落在點處，，即是的高，，，由（2）知，，，而，，，即，．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定，三角形的內(nèi)角和定義和外角性質(zhì)，等面積求線段長度，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的幾何知識．8．（2021春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，點E在邊上，折疊使點A落在邊上的點F處，折痕為，過點A作交于點G，連接．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，交于點，根據(jù)折疊得到是的垂直平分線，進而得到，，根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出，進而得到，即可得證．（2）根據(jù)矩形和折疊的性質(zhì)，利用勾股定理，求出長，進而求出的長，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理，求出的長，利用菱形的面積公式進行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，交于點，∵折疊使點A落在邊上的點F處，折痕為，∴是的垂直平分線，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．（2）解：∵在矩形中，，，∴，∵折疊使點A落在邊上的點F處，折痕為，∴，在中，，∴，設(shè)，則：，在中，，即：，解得：，∴，∴四邊形的面積．【點睛】本題考查矩形與折疊，菱形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．熟練掌握矩形和折疊的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【考點二菱形中的折疊問題】例題：（2021春·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE．則∠BEC′的大小為（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A=60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，進而求出∠PDC=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P為AB的中點，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．∴∠BEC′=180°-（∠DEC+∠DEC′）=30°．故選：C．【點睛】此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，把菱形沿折疊，使點落在上的點處，若，則的大小為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，已知菱形的對角相等，故推出，從而得出．又因為，故，，易得解．【詳解】解：根據(jù)菱形的對角相等得．，．根據(jù)折疊得．，，．．故選：A．【點睛】此題要熟練運用菱形的性質(zhì)得到有關(guān)角和邊之間的關(guān)系．在計算的過程中，綜合運用了等邊對等角、三角形的內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)．注意：折疊的過程中，重合的邊和重合的角相等．2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，菱形紙片，，，將該菱形紙片折疊，使點B恰好落在邊的中點處，折痕與邊、分別交于點M、N．則的長為_______．【答案】7【分析】過點作與的延長線交于點E，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，設(shè)，則，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程進行解答．【詳解】解：過點作與的延長線交于點E，∵四邊形是菱形，∴，，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)知：，在中，，∴，解得：，即的長為7，故答案為：7．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運算等知識，關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形．3．（2022秋·九年級課時練習(xí)）如圖，在菱形中，是上一點，沿折疊，點恰好落在上的點處，連接，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=BC=CD=DA，AD//BC，∠ADB=∠CBF=∠ABD，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BFC=∠BCF，由三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)得到結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD//BC，∴∠ADB=∠CBF=∠ABD，∵是上一點，沿折疊，點恰好落在上的點處，∴BA=BF，∠A=∠BFE，∴BF=BC，∴∠BFC=∠BCF，∵，∴∠BFC=∠BCF=70°，∴∠ADB=∠CBF=40°，∵∠A=180°-2∠ADB=180°-80°=100°，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)與折疊的基本性質(zhì)，根據(jù)菱形的基本性質(zhì)與折疊的基本性質(zhì)得到邊相等是解題的關(guān)鍵．4．（2021·云南紅河·統(tǒng)考一模）如圖，菱形的周長為8厘米，，點M為的中點，點N是邊上任一點，把沿直線折疊，點A落在圖中的點E處，當_________厘米時，是直角三角形．【答案】或1【分析】根據(jù)菱形的周長為8厘米可得菱形的邊長為2厘米，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，根據(jù)題意分兩種情況進行討論：①當時，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，從而得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得AN的值；②當時，點E落在菱形對角線上，根據(jù)點M為的中點，為折痕，此時于點E，可得點N為的中點，從而得到AN的值．【詳解】解：∵菱形的周長為8厘米，∴AB=BC=CD=AD=2厘米，∵點M為的中點，∴厘米．由翻折可知，∴．①當時，，∴，，∴，∴，∴，∴，厘米；②當時，點E在以M為圓心，AM為半徑的圓上，也在以BC為直徑的圓上，根據(jù)菱形ABCD的特點，可知點E落在菱形對角線上，∵點M為的中點，為折痕，此時于點E，∴點N為的中點，厘米．當或1厘米時，是直角三角形．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，翻折變換，直角三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵是熟練掌握各個知識點．5．（2022·安徽合肥·?？级＃┤鐖D，在菱形中，，，點是邊上一點，以為對稱軸將折疊得到，再折疊使落在直線上，點的對應(yīng)點為點，折痕為且交于點．（1）______；（2）若點是的中點，則的長為______．【答案】

##90度

【分析】（1）由翻折可得，則，根據(jù)，可得，即．（2）根據(jù)題意可得點G與點H重合，且點三點在同一條直線上．過點D作，交的延長線于點M．由，可得，則，由翻折可得，，設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，進而可得出答案．【詳解】解：（1）由翻折可得，，，，，即．故答案為：．（2）四邊形為菱形，，，由翻折可得，，，，點是的中點，，，即點與點重合．，點，，三點在同一條直線上．過點作，交的延長線于點．，，，，，，由翻折可得，，設(shè)，則，，由勾股定理可得，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換（折疊問題）、菱形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【考點三正方形中的折疊問題】例題：（2022秋·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將正方形紙片按如圖折疊，為折痕，點落在對角線上的點處，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，再由折疊可得，然后利用三角形的外角進行計算即可解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，由折疊得：，∴，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河南鄭州·八年級校考期末）如圖，是一個正方形紙片，、分別為、的中點，沿過點的折痕將翻折，使點落在上如圖的點，折痕交于點，那么(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】求得在中，，即有，問題隨之得解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵、分別為、的中點，∴，∴四邊形是矩形，∴，，根據(jù)折疊的性質(zhì)：，在中，，∴，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，求得在中，，進而有，是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，將正方形沿對折，使點落在對角線上的處，連接，則_________．【答案】67.5【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，進而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】∵四邊形為正方形，∴，，平分，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，∴．故答案為：67.5．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，判定等腰三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·福建寧德·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，，點E在邊上，將沿對折至，延長交于點G，G恰好是邊的中點，則的長是________．【答案】##【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明，進而得到，由G是的中點，得到，設(shè)，則，，在中由勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：連接，由折疊得：，，∵在正方形中，，，∴，，∵，∴，∴，∵，G是的中點，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，解得，即，故答案為：．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，理解折疊的性質(zhì)、合理的進行轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中是解決此類問題常用的方法．4．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，將正方形紙片折疊，使點落在邊點處，點落在點處，折痕為，若，求的大?。敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)平角的定義得到，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是正方形，正方形紙片折疊，使點落在邊點處，點落在點處，∴，，，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了角的計算，翻折變換的問題，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，找到相等的角是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·四川成都·八年級成都七中校考期中）已知：如圖，在邊長為的正方形中，點在邊上，，將沿折疊至，延長交于點，連接(1)求的度數(shù)：(2)求的長度【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)沿折疊至，可得,，證明可得，根據(jù)對折可得，即可得出的度數(shù)；（2）令，則，，在中，勾股定理即可求解．【詳解】（1）∵將沿折疊至，∴,，∵四邊形是正方形，∴，在與中，，∴，∴，

由對折得，∴；（2）令，則，，∵，∴，，在中，

，

解得：．∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，折疊的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點E為上一點，連接，把沿折疊得到，延長交于G，連接．(1)求證：．(2)如圖2，E為的中點，連接．①求證：；②若正方形邊長為6，求線段的長．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析，②線段的長為2【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得．，由折疊的性質(zhì)得出，，，再求出，，然后由“”證明，由全等三角形對應(yīng)角相等得出，得出即可；（2）①由折疊的性質(zhì)和線段中點的定義可得，，再由三角形的外角性質(zhì)得出，然后利用同位角相等，兩直線平行證明即可；②設(shè)，表示出、，根據(jù)點是的中點求出、，從而得到的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【詳解】（1）證明：如圖1：∵四邊形是正方形，．，沿折疊得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）證明：如圖2所示：沿折疊得到，為的中點，，，，，，，即，；②解：設(shè)，則，，正方形邊長為6，為的中點，，，在中，根據(jù)勾股定理得：，解得：，即線段的長為2．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、翻折變換的性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．【考點四特殊平行四邊形折疊后求周長、面積問題】例題：（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）把一張矩形紙片（矩形）按如圖方式折疊，使頂點和點重合，折痕為．若cm，cm．則重疊部分的面積為_____．【答案】##2.5【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，和勾股定理求出，進而求出的面積即可．【詳解】解：∵四邊形為矩形，∴，∵折疊，∴，設(shè)：，則：，在中：，即：，解得：，即：，∴；故答案為：．【點睛】本題考查矩形的折疊問題．熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理解三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正方形面積為2，將正方形沿直線折疊，則圖中陰影部分的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由正方形面積為2，即可求得其邊長為，然后由折疊的性質(zhì)，可得，則可得圖中陰影部分的周長為：，繼而求得答案．【詳解】解：設(shè)折疊后的點分別為，與分別交于點，如圖所示，∵正方形面積為2，∴，由折疊的性質(zhì)：，∴圖中陰影部分的周長為：．故選:D．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·江蘇徐州·八年級邳州市新城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF，若AB=3，則菱形AECF的面積為（）A．1 B．2 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通過折疊的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形勾股定理求得BC的長，則利用菱形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵四邊形AECF是菱形，AB=3，∴假設(shè)BE=x，則AE=3﹣x，CE=3﹣x，∵四邊形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=3﹣x，解得：x=1，∴CE=2，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===，又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，則菱形的面積=2．故選C．【點睛】本題考查折疊問題以及勾股定理．解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．3．（2022春·廣東韶關(guān)·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在點處，則重疊部分的面積為______．【答案】10【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)證得，則，設(shè)，則在中，根據(jù)勾股定理求x，再根據(jù)三角形面積公式計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得.∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴.設(shè)，則，在中，，解之得：，∴，∴．故答案為:10．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定、折疊的性質(zhì)等知識，求出陰影三角形的底是關(guān)鍵，同時注意以為底，對應(yīng)的高為．5．（2022春·廣東汕頭·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將矩形沿直線折疊，頂點D恰好落在邊上點F處，已知，則陰影部分的面積為___________．【答案】30【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，由勾股定理得，CF=4，，即，解得，AD=10，∴BF=6，CF=4，圖中陰影部分面積=．故答案為：30【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是要理解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；②勾股定理，三角形的面積公式求解．6．（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州中學(xué)?？计谥校┤鐖D，長方形紙片的邊長，．將矩形紙片沿折疊，使點與點重合，折疊后在其一面著色．(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)22【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)可得：，，設(shè)，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求解；（2）利用（1）中的結(jié)論用矩形的面積減去的面積即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由翻折變換的性質(zhì)可得：，，設(shè)，則，，在中，∵，∴，解得：，∴；（2）解：由（1）知：，∴，∴，由翻折變換的性質(zhì)可得：，∴圖中陰影部分的面積．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點五特殊平行四邊形中旋轉(zhuǎn)問題】例題：（2021秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，以點B為旋轉(zhuǎn)中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，點，，的對應(yīng)點分別為點，，，點恰好在的延長線上．(1)求證：：(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)矩形可得，，再根據(jù)斜邊為公共邊，利用“”可證得結(jié)論；（2）由可知，由旋轉(zhuǎn)矩形可知，即可求得的長度．【詳解】（1）證明：∵旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，，

在和中，，．∴．（2）解：由可得，∵旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，

∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、解題關(guān)鍵是證明，利用矩形和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解．【變式訓(xùn)練】1．（2021秋·浙江紹興·九年級紹興市元培中學(xué)校考期中）如圖，將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到矩形的位置，若旋轉(zhuǎn)角為，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)與交于點E，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度結(jié)合矩形的性質(zhì)可得出的度數(shù)，再由四邊形內(nèi)角和為即可得出的度數(shù)，根據(jù)對頂角相等即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)與交于點E，如圖所示．∵旋轉(zhuǎn)角為，∴，∴．∵，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和以及對頂角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)及四邊形內(nèi)角和為找出是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第一一三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，如果，那么_______．【答案】【分析】連接，先根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出即可．【詳解】解：連接，，∵矩形，，∴，，∴，∵將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后，得到矩形，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江西宜春·九年級?？计谥校┤鐖D，將邊長為的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)30°到的位置，則陰影部分的面積是___________．【答案】【分析】交于點，連接；根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過證明，得；結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得；根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算，得，結(jié)合正方形和三角形面積關(guān)系計算，即可得到答案．【詳解】如圖，交于點，連接根據(jù)題意得：，∵∴∴∵正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)到∴，∴∴∴∴∴∴陰影部分的面積故答案為：．【點睛】本題是面積問題(旋轉(zhuǎn)綜合題)，考查了正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形、全等三角形、旋轉(zhuǎn)、三角函數(shù)的性質(zhì)．4．（2022秋·安徽銅陵·九年級銅陵市第十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在菱形中，，把菱形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，則圖中陰影部分的面積為_________．【答案】##【分析】連接相交于O，與相交于E，根據(jù)菱形的性質(zhì)先求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)可得，三點共線，再求出，最后根據(jù)，即可得答案．【詳解】解：如下圖，連接相交于O，與相交于E，四邊形是菱形，，，，，，菱形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，，三點共線，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)解決問題．5．（2022秋·天津河北·九年級天津二中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，四邊形是矩形，點，點，點．以點A為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點O，B，C的對應(yīng)點分別為D，E，F(xiàn)，記旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當時，求點D的坐標；(2)如圖2，當點E落在的延長線上時，求點D的坐標；(3)當點D落在線段上時，直接寫出點E的坐標．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，，由直角三角形的性質(zhì)得出，，得出，即可得出點的坐標為；（2）過點作軸于，，于，則則，，由勾股定理得出AE=10，由面積法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出點的坐標為；（3）連接，作軸于，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，由等腰三角形的性質(zhì)得出，得出，證出，由平行線的性質(zhì)的，證出，證明，得出，，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點作軸于，如圖所示：∵點，點，∴，，∵以點為中心，順時針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，∴，，，在Rt中，，，∴，∴點的坐標為；（2）過點作軸于，，于，如圖所示：則，，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴點的坐標為；（3）連接，作軸于，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴點的坐標為．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出輔助線，屬于中考壓軸題．6．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）已知，四邊形和四邊形都是正方形，點為的中點．(1)連接、．①如圖1，若點在邊上，猜想和的關(guān)系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在對角線的延長線上，請你在圖2中補全圖形，猜想和的關(guān)系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接．請你直接寫出的取值范圍___________．【答案】(1)①；②證明見解析(2)【分析】（1）①連接，證明，，證明是等腰直角三角形，即可得證；②延長交于點，連接，證明，，得出，根據(jù)等邊對等角，設(shè)，，根據(jù)外角的性