2024年高考數(shù)學第一輪復(fù)習講義第十章10.1　兩個計數(shù)原理(學生版+解析)

§10.1兩個計數(shù)原理考試要求1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．知識梳理兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．(2)分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法.常用結(jié)論1．分類加法計數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．()(4)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．()教材改編題1．已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為()A．16B．13C．12D．102．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有()A．8種B．9種C．10種D．11種3.由于用具簡單、趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，其中也能把“炮”吃掉的可能路線有()A．10條 B．8條C．6條 D．4條題型一分類加法計數(shù)原理例1(1)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為________．聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華使用分類加法計數(shù)原理的兩個注意點(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·太原模擬)現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有()A．3種B．6種C．7種D．8種(2)設(shè)I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有________個．題型二分步乘法計數(shù)原理例2(1)數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲．如圖是數(shù)獨的一個簡化版，由3行3列9個單元格構(gòu)成．玩該游戲時，需要將數(shù)字1,2,3(各3個)全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一行、每一列均有1,2,3這三個數(shù)字，則不同的填法有()A．12種 B．24種C．72種 D．216種聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·武漢模擬)現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法不正確的是()A．共有43種不同的安排方法B．若甲工廠必須有同學去，則不同的安排方法有37種C．若A同學必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．(2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．跟蹤訓(xùn)練2(1)教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，則由一層到五層不同的走法有()A．10種 B．25種C．52種 D．24種(2)有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法中正確的是()①每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有34種；②每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有43種；③每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種；④每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有43種．A．①③ B．②④C．①④ D．②③題型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3(1)有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中取出2個幾何體，使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個，則不同的取法種數(shù)是()A．14B．23C．48D．120(2)(2023·南平質(zhì)檢)甲與其他四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5，為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為________．思維升華利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．(2)分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖．(3)對于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步．跟蹤訓(xùn)練3(1)有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為()A．24B．14C．10D．9(2)如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為()A．480 B．600C．720 D．840§10.1兩個計數(shù)原理考試要求1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．知識梳理兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.常用結(jié)論1．分類加法計數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(√)(3)在分步乘法計數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．(√)(4)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．(√)教材改編題1．已知某公園有4個門，從一個門進，另一個門出，則不同的走法的種數(shù)為()A．16B．13C．12D．10答案C解析將4個門編號為1,2,3,4，從1號門進入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2,3,4號門進入，同樣各有3種走法，不同走法共有4×3＝12(種)．2．有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有()A．8種B．9種C．10種D．11種答案B解析設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班級分別為a，b，c，d.假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同方法．由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監(jiān)考方法．3．由于用具簡單、趣味性強，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機選擇一條路線，其中也能把“炮”吃掉的可能路線有()A．10條B．8條C．6條D．4條答案C解析由題意可知，“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步，豎走兩步；其中也能把“炮”吃掉的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有3種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有2種走法．所以所求路線共有3×2＝6(條).題型一分類加法計數(shù)原理例1(1)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種答案B解析贈送1本畫冊，3本集郵冊．需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有4種方法．贈送2本畫冊，2本集郵冊，只需從4人中選出2人贈送畫冊，其余2人贈送集郵冊，有6種方法．由分類加法計數(shù)原理可知，不同的贈送方法共有4＋6＝10(種)．(2)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為________．答案240解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個)．若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個)，……，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個)．所以所有凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個)．思維升華使用分類加法計數(shù)原理的兩個注意點(1)根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標準，分類標準要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·太原模擬)現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有()A．3種B．6種C．7種D．8種答案C解析由題意得，三種幣值取一張，共有3種取法，幣值分別為拾圓、貳拾圓、伍拾圓；三種幣值取兩張，共有3種取法，幣值分別為叁拾圓、陸拾圓、柒拾圓；三種幣值全取，共有1種取法，幣值為捌拾圓．一共可以組成的幣值有3＋3＋1＝7(種)．(2)設(shè)I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有________個．答案9解析對子集A分類討論：當A是二元集{1,2}時，B可以為{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4種情況；當A是三元集{1,2,3}時，B可以為{1,2,4}，{1,2}，共2種情況；當A是三元集{1,2,4}時，B可以為{1,2,3}，{1,2}，共2種情況；當A是四元集{1,2,3,4}時，B取{1,2}，有1種情況．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(種)結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個．題型二分步乘法計數(shù)原理例2(1)數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲．如圖是數(shù)獨的一個簡化版，由3行3列9個單元格構(gòu)成．玩該游戲時，需要將數(shù)字1,2,3(各3個)全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一行、每一列均有1,2,3這三個數(shù)字，則不同的填法有()A．12種B．24種C．72種D．216種答案A解析先填第一行，有3×2×1＝6(種)不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當該單元格填好后，其他單元格唯一確定．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6×2＝12(種)不同的填法．(2)(2022·武漢模擬)現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每名同學只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法不正確的是()A．共有43種不同的安排方法B．若甲工廠必須有同學去，則不同的安排方法有37種C．若A同學必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種答案C解析對于A，A，B，C三名同學到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，每個學生有4種選法，則三個學生有4×4×4＝43(種)選法，故A正確；對于B，三人到4個工廠，有43＝64(種)情況，其中甲工廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個工廠，有33＝27(種)情況，則甲工廠必須有同學去的安排方法有64－27＝37(種)，故B正確；對于C，若A同學必須去甲工廠，剩下2名同學安排到4個工廠即可，有42＝16(種)安排方法，故C錯誤；對于D，若三名同學所選工廠各不相同，有4×3×2＝24(種)安排方法，故D正確．思維升華利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是獨立的．(2)將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟都完成了，整個事件才算完成．跟蹤訓(xùn)練2(1)教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，則由一層到五層不同的走法有()A．10種B．25種C．52種D．24種答案D解析每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計數(shù)原理可知，共有24種不同的走法．(2)有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法中正確的是()①每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有34種；②每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有43種；③每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種；④每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有43種．A．①③ B．②④C．①④ D．②③答案C解析對于①②，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有34種結(jié)果，①正確，②錯誤；對于③④，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有4種選擇，第3個社團有4種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有43種結(jié)果，③錯誤，④正確．題型三兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3(1)有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中取出2個幾何體，使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個，則不同的取法種數(shù)是()A．14B．23C．48D．120答案C解析分兩步：第1步，取多面體，有5＋3＝8(種)不同的取法；第2步，取旋轉(zhuǎn)體，有4＋2＝6(種)不同的取法．所以不同的取法種數(shù)是8×6＝48.(2)(2023·南平質(zhì)檢)甲與其他四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5，為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為________．答案80解析5日至9日，日期尾數(shù)分別為5,6,7,8,9，有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日．第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)用車方案；第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3×2×2＝12(種)用車方案，第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)用車方案，共計12＋8＝20(種)用車方案．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的用車方案種數(shù)為4×20＝80.思維升華利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．(2)分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖．(3)對于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步．跟蹤訓(xùn)練3(1)有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為()A．24B．14C．10D．9答案B解析第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×3＝12(種)選擇方式；第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選法，由分類加法計數(shù)原理可知，共有12＋2＝14(種)選擇方式．(2)如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為()A．480 B．600C．720 D．840答案C解析依題意，按c與d涂的顏色相同和不同分成兩類：若c與d涂同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有1種方法，涂e有3種方法，最后涂b有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180(種)，若c與d涂不同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有3種方法，涂e，b也各有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540(種)，所以，由分類加法計數(shù)原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(種)．課時精練1.小黑點表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)絡(luò)相連．連線上標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)在從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為()A．9B．21C．12D．8答案D解析由圖形可以看出，從A→B，可以分成兩種情況，A→D→B或A→C→B，這兩類方法中各自包含的單位時間內(nèi)通過的信息量分別是5,3，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，傳遞的最大信息量為5＋3＝8.2．(2023·濟寧模擬)某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學、生物4個科目中選擇2個科目．已知小明同學必選化學，那么他可選擇的方案共有()A．4種B．6種C．8種D．12種答案B解析根據(jù)題意得，分兩步進行分析：①小明必選化學，則必須在思想政治、地理、生物中再選出1個科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個，選法有2種．由分步乘法計數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有3×2＝6(種)．3．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為()A．3B．4C．6D．8答案D解析以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9；以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8；以4為首項的等比數(shù)列為4,6,9；把這四個數(shù)列順序顛倒，又得到4個新數(shù)列，所以所求的數(shù)列共有2×(2＋1＋1)＝8(個)．4．中國古代將物質(zhì)屬性分為“金、木、土、水、火”五種，其相互關(guān)系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，則屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰的排法種數(shù)為()A．8B．10C．15D．20答案B解析由題意知，可看作五個位置排列五個元素，第一個位置有5種排列方法，不妨假設(shè)是金，則第二個位置只能從土與水兩者中選一種排放，有2種選擇，不妨假設(shè)排的是水，則第三個位置只能排木，第四個位置只能排火，第五個位置只能排土，因此，總的排列方法種數(shù)為5×2×1×1×1＝10.5．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學哪個吉祥物都喜歡，三位同學按甲、乙、丙的順序依次選一個作為禮物，如果讓三位同學選取的禮物都滿意，那么不同的選法有()A．360種 B．50種C．60種 D．90種答案B解析第一類：甲同學選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)；第二類：甲同學選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法．6．(2023·宿州模擬)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)為()A．12B．24C．36D．48答案C解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個)；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個)．7．用0,1,2,3,4,5,6這7個數(shù)字可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為()A．180B．240C．420D.480答案C解析以末位數(shù)字進行分類：當末位數(shù)字為0時，共有6×5×4＝120(個)；當末位數(shù)字是2,4,6中的某個數(shù)時，共有3×5×5×4＝300(個)，故共有120＋300＝420(個)不同的數(shù)字．8．現(xiàn)有4個數(shù)學課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是()①選1人為負責人的選法種數(shù)為34；②每組選1名組長的選法種數(shù)為5400；③若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420；④若另有3名學生加入這4個小組，加入的小組可自由選擇，且第一組沒有人選，則不同的選法有27種．A．①② B．②③C．①④ D．②④答案C解析對于①，4個數(shù)學課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負責人的選法共有34種，①正確；對于②，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中選1名組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，②錯誤；對于③，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法；從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，③錯誤；第一組沒有人選，則每個人都有3種選法，所以不同的選法共有33＝27(種)，④正確．9.如圖所示，在由連接正八邊形的三個頂點構(gòu)成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(用數(shù)字作答)．答案40解析把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形，共有8×4＝32(個)；第二類，有兩條公共邊的三角形，共有8個．由分類加法計數(shù)原理可知，共有32＋8＝40(個)．10．(2023·保定模擬)算籌是一根根同樣長短和粗細的小棍子，是中國古代用來記數(shù)、列式和進行各種數(shù)與式演算的一種工具，是中國古代的一項偉大、重要的發(fā)明．在算籌計數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如表所示：

數(shù)字方式123456789縱式橫式用算籌計數(shù)法表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，知“”表示的三位數(shù)為________；如果把5根算籌以適當?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰?，那么可以表示能?整除的三位數(shù)的個數(shù)為________．答案62114解析由題意，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)和圖形，知“”表示的三位數(shù)為621；共有5根算籌，要能被5整除，則個位數(shù)必須為0或5，①當個位數(shù)為5時，不符合題意；②當個位數(shù)為0時，則5根算籌全部放在十位和百位，若百位有1根，十位有4根，則共有1×2＝2(個)三位數(shù)；若百位有2根，十位有3根，則共有2×2＝4(個)三位數(shù)；若百位有3根，十位有2根，則共有2×2＝4(個)三位數(shù)；若百位有4根，十位有1根，則共有2×1＝2(個)三位數(shù)；若百位有5根，十位有0根，則共有2個三位數(shù)．所以共有2＋4＋4＋2＋2＝14(個)三位數(shù)．11.如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學風車”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是()A．48 B．54C．72 D．108答案C解析設(shè)“趙爽弦圖”ABCD為①區(qū)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個三角形分別為②，③，④，⑤區(qū)．第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法．第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法．第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法．第四步給④