高中數(shù)學(xué)高考解答題突破(三)　數(shù)列的綜合應(yīng)用

考試注意事項

1.進(jìn)入考場時攜帶的物品。

考生進(jìn)入考場，只準(zhǔn)攜帶準(zhǔn)考證、二代居民身份證以及2B鉛

筆、0.5毫米黑色墨水簽字筆、直尺、圓規(guī)、三角板、無封套橡

皮、小刀、空白墊紙板、透明筆袋等文具。嚴(yán)禁攜帶手機、無線

發(fā)射和接收設(shè)備、電子存儲記憶錄放設(shè)備、手表、涂改液、修正

帶、助聽器、文具盒和其他非考試用品。考場內(nèi)不得自行傳遞文

具等物品。

由于標(biāo)準(zhǔn)化考點使用金屬探測儀等輔助考務(wù)設(shè)備，所以提醒

考生應(yīng)考時盡量不要佩戴金屬飾品，以免影響入場時間。

2.準(zhǔn)確填寫、填涂和核對個人信息。

考生在領(lǐng)到答題卡和試卷后，在規(guī)定時間內(nèi)、規(guī)定位置處填

寫姓名、準(zhǔn)考證號。填寫錯誤責(zé)任自負(fù)；漏填、錯填或字跡不清

的答題卡為無效卡；故意錯填涉嫌違規(guī)的，查實后按照有關(guān)規(guī)定

嚴(yán)肅處理。監(jiān)考員貼好條形碼后，考生必須核對所貼條形碼與自

己的姓名、準(zhǔn)考證號是否一致，如發(fā)現(xiàn)不一致，立即報告監(jiān)考員

要求更正。

3.考場面向考生正前方的墻壁上方懸掛時鐘，為考生提供時間

參考。

考場時鐘的時間指示不作為考試時間信號，考試時間一律以

考點統(tǒng)一發(fā)出的鈴聲信號為準(zhǔn)。

高考解答題突破（三）數(shù)列的綜合應(yīng)用

突破“兩歸”——化歸、歸納

［思維流程］

錯位相減法

數(shù)列解答題倒序相加法

基本量裂項相消法

化

等差（比）數(shù)列分組求和法

歸

基本方法

公式法

累加法

累積法

待定系數(shù)法

歸*類比歸納

納不完全歸納數(shù)學(xué)歸納法

［技法點撥］

1.由于數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題目特點，將其化歸為函

數(shù)問題，或通過對式子的改造,使其化歸為可運用數(shù)列問題的基本方法.

2.對于不是等差或等比的數(shù)列，可從簡單的個別的特殊的情景出

發(fā)，從中歸納出一般性的規(guī)律、性質(zhì)，這種歸納思想便形成了解決一般

性數(shù)學(xué)問題的重要方法：觀察、歸納、猜想、證明.

考向一等差、等比數(shù)列的證明

證明數(shù)列是等差（比）數(shù)列的兩種基本方法

1

（1）定義法：即+i—斯=。（常數(shù)XN*）=>｛。"｝是等差數(shù)歹（J；

4〃

q（q是非零常數(shù)）=｛劣｝是等比數(shù)列.

（2）等差（比）中項法:2an+1=1"+an+2（nGN*）=>｛an｝是等差數(shù)列;

成+1=an-an+2（nGN*,a〃WO）今｛an｝是等比數(shù)列.

【例1】（2018?江西七校一聯(lián)舊知數(shù)列｛”“）的前”項和為S..”i=2.2S“=<"+l）z“?

二^^2?數(shù)列｛九｝滿足仿=1加瓦+1=A?2a".

>切入點：利用公式法求

（D求證:數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列?并求數(shù)列儲”）的通項公式；｛4｝的通項公式.

（2）處妙匹楚乙蹩色盤曼繆色？并說明理由.

>關(guān)鍵點：先歸納仇，仇?久

為等比數(shù)列時的A值.再

論證.

⑴2S〃=G——/b一轉(zhuǎn)化遞

[解題指導(dǎo)]

及a〃與S”的關(guān)系式推關(guān)系式

等差中項法證（a〃）為等求求”｝

"差數(shù)列

通項公式

等比數(shù)

由斯得一兩式相除得｛4｝列定義|確定適合等比數(shù)

“）與關(guān)系式「的遞推關(guān)系式

列｛“J的A

[解]⑴由題意知,2S”=（〃+1）2?！币唤馑?1,

2

2S”+]=（〃+2）,“+]—（7/+1）<2?4-2，

兩式相減，并化簡得（“+1）2（a〃+2+a”）=2（〃+1）20”+],

J化歸：利用時,斯=

???｛斯｝是等差數(shù)列.「Si轉(zhuǎn)化逆推關(guān)系

由2S]=4aJ—g，可得a2=2a1、

???數(shù)列｛斯｝的公差為2,故即=2〃.

（2）由題意知，4"+i=/l?23=2?22M,

6“+也+2=4?2限1=2?223+1）,

兩式相除，可得可+2=46”，即｛9*和｛①”-1｝都是以4為

公比的等比數(shù)列.

?:b］.=X?2"1=4A9仇=1,，〃2=4A,優(yōu)=4.=4,

要使數(shù)列也｝是等比數(shù)列，則竺;廟疏由7m良帛R

士處三.數(shù)列，歸納出；i的值.；

1'-----------------------------------

又義＞0,，2=攵~.

?2W-1即?！?則

r.h2n=24”-1=2,Z＞2W-I=22"-2,2"-1,J

%+1=26〃,

因此存在；1=4，使得數(shù)列論〃｝是等比數(shù)列.

名師點撥A

巧造等差或等比判定方法

⑴判斷一個數(shù)列是等差（等比）數(shù)列,還有通項公式法及前n項和

公式法，但不作為證明方法；

（2）若要判斷一個數(shù)列不是等差（等比）數(shù)列,只需判斷存在連續(xù)三

項不成等差（等比）數(shù)列即可；

（3）0=隔一|%+1（〃22,〃￡?0是｛必｝為等比數(shù)列的必要而不充分條

件,也就是要注意判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.

［對點訓(xùn)練］

1.（2018?常州一模）已知n為正整數(shù)，數(shù)列｛&｝滿足即＞0,4（〃+1）或

—〃原+1=0,設(shè)數(shù)列｛4｝滿足b”琮.

⑴求證：數(shù)列〒為等比數(shù)列;

⑵若數(shù)列｛乩｝是等差數(shù)列,求實數(shù)t的值.

［解］⑴證明：..?數(shù)列｛斯｝滿足為＞0,4（〃+1）解一的七產(chǎn)0,

a〃+1

2\]〃+1a”=].即

\ln+1W

數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)歹

(2)由(1)可得隼=a1義2”-1,...4=刀吊/”一1.

7n

..._感.,_a\,_漏

?bn——,..b\——,b2—^3—

V數(shù)列的是等差數(shù)列,2X胃部崇

2X2吊X4,3a?X42

---

即16r=F+48,解得，=12或r=4.

經(jīng)檢驗，當(dāng)A12時功力3也不成等差數(shù)列，故舍去.

當(dāng)t=4時也=崇=竽，數(shù)列｛瓦｝為等差數(shù)歹山所以/的值為4.

考向二數(shù)列的通項與求和

1.求數(shù)列的通項公式的方法

（1）等差、等比數(shù)列的通項公式適合用基本量法；（2）已知即與，

S］9〃=1,

間關(guān)系式時適合用。"=。。求得；（3）依據(jù)遞推關(guān)系變形

S-Sn-\92

為等差（等比）數(shù)列求得.

2.求數(shù)列的前〃項和的方法

結(jié)合數(shù)列通項公式的特點，采用裂項相消、錯位相減、分組求和

等方法.

【例2】已知數(shù)列｛%｝的第n項和S,,=3,/+8".＞是等差數(shù)列,且切入點:利用公式法求｛斯｝

的通項公式,利用基本員法

（1）求數(shù)列出/的通項公式；

■＞求仍“｝的通項公式.

（Q4-1）?+1

（2）令的=-（；；_2"?求數(shù)列｛金｝的前〃項和T”.

關(guān)鍵點:分析Q的結(jié)構(gòu)特

＞征.選取恰當(dāng)?shù)那蠛头椒?

〃>2時,a“=

［解題指導(dǎo)］(1)*求出即

s〃—Si

求出bn

由an，b〃結(jié)合特征選錯

(2)得結(jié)果

得出Cn位相減法求和

［解］⑴由題意知當(dāng)時，斯=S「SLI=6〃+5.

當(dāng)〃=1時，a］=S］=ll,-

-化歸：利用當(dāng)〃》2

符合上式."

X時，S”—S?-i求得

/

所以a〃=6〃+5.;瑪，從而得出等差數(shù)

設(shè)數(shù)列｛6〃｝的公差為d.列的通項公式

Q］=仇一仇911=26jId?(b\=4?

」一即解得

（。2—。2十。3，17=2仇+34,1"=3.

所以6”=3，+1.

⑵由⑴知

又T”=q+c2H---He”，

得T?=3X[2X22+3X23H---F(M+1)X2H+1],

2T”=3X[2X23+3X24H---b(n+l)X2n+2],

兩式作差.

得一T〃=3X[2X22+23]------卜2”+1一(〃+1)義2"+2]

411—2〃)

=3X4+^^―2—(〃+l)X2"+2:

1-Z;化歸：利用

=一3〃?2〃+2,錯位相減

所以T=3;/-2〃+2.法，化歸為

等比數(shù)列

求和

|名師點撥A

求解數(shù)列通項和前n項和的關(guān)鍵步驟

算結(jié)果一進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證，準(zhǔn)確得出求和結(jié)果.

［對點訓(xùn)練］

2.(2018?南寧第二次適應(yīng)性測試)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝

中,。1=2,且2。］,。3,3。2成等差數(shù)列.

(1)求等比數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛6｝滿足乩=(〃+2)k)g2為，求數(shù)歹出)的前n項和Tn.

［解］(1)設(shè)數(shù)列｛分｝的公比為以

2。1,。3,3。2成等差數(shù)列,，2的+3。2=2。3,

即即1+3。1夕=加收2,

化簡得2個一3^—2=0,解得9=2或q=一；.

*.*<7>0,:.q=2.

ai=2,/.數(shù)列｛恁｝的通項公式知=aq"-i=2",neN*.

(2),/6”=(〃+2)log2斯=n(n+2),

111J

**bn如+2)

Tn=7~+7--\-------------\-7~

b\b2bn-\bn

=if1+l__!_____L.]

12n+1n~\~2>

_32/i+3

一廠2(崔+3"+2)，

考向三數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用

數(shù)列與不等式的綜合問題主要體現(xiàn)在以下三方面：

(1)判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系,可以利用數(shù)列的單調(diào)性比較

大小，或者借助數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還可以作差或作商比

較大?。?/p>

(2)以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為

函數(shù)的最值問題；

(3)考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明問題，此類問題常通過構(gòu)

造函數(shù)證明,或者直接利用放縮法證明.

【例3】(2018?貴陽一模)已知正項數(shù)列｛4｝的前"項和為S,,.且5=2,二切人點：利用““與S”關(guān)

'仁二.......>系式求通項.

畝汆數(shù)列｛6｝的通項公式；

,11〃1關(guān)鍵點：適度的對通項進(jìn)

⑵設(shè)數(shù)列仁｝的前，，項和為求證:而<T,行變形、放縮.以達(dá)到便于

1..............-....................>求和的目的.

公式法借助放縮法轉(zhuǎn)化

［解題指導(dǎo)］

求為裂項相消求和

證出結(jié)果

［解］⑴?.?4S〃=a”s+i,“￡N*,

??4a又。］=21?。2=4?

當(dāng)〃>2時，45〃_1=即一1"〃，

得^an=an?a,l+}一。i?an.

由題意知a〃WO，，即+］—a〃—1=4.

；化歸：利用a”=Sw：

①當(dāng)〃=24+l,4GN*時，a2A+2—:一S”7進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

3=4,

即。2，。4,…，。2A是首項為4,公差為4的等差數(shù)列，

，。24=4+"-1)X4=44=2X24；

②當(dāng)n=2k,h￡N*時，做"1一。2-1=4,

即即，。3,…，。2-1是首項為2,公差為4的等差數(shù)列，

”’1歸納：由〃為奇數(shù)、

⑵一1).［偶數(shù)歸納出許

綜上可知,a?=2w,w€N*.

111/

(2)證明：???2=白>77J化歸：轉(zhuǎn)化成裂項

al4/4〃(〃+l)<

相消求和的特征

11

In〃+l/'

1-------1-------------1—???-I----

22372

--------(1-----------------\=---

72+1)4\?+1)4w+4*

又???3=VT—=J化歸：轉(zhuǎn)化成裂項

a,4b4〃1〈知、舌七4t4上,

tJTH/月r1BJl/lit

1_1/1、-------------------

(2〃-1)(2/z+1)2\2n—1

2"+1)

-|-----1——---------------\=—（1----------,

2n—12〃+1J2\2/z+l/2

即得品

|名師點撥A

“算一算、猜一猜、證一證”是數(shù)列中特有的歸納思想,利用這

種思想可探索一些一般數(shù)列的簡單性質(zhì).等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列

中的兩個特殊的基本數(shù)列，高考中通常考查的是非等差、等比數(shù)列問

題，應(yīng)對的策略就是通過化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列.審題時應(yīng)

注意歸納法的運用，要看清項及下標(biāo)的特征,要注意下標(biāo)的范圍.

［對點訓(xùn)練］

3.（2018?臨川質(zhì)檢）已知數(shù)列｛斯｝滿足對任意的〃￡N*,都有出+

厲+…+碗=（。］+。2+…+。”）2,且a”>0.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

］

(2)設(shè)數(shù)歹『ac?+2'的前n項和為工，不等式S〃＞glog“(l—a)對任意

的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

［解］(1)由0+龍+…+底=31+?+…+?！?2知

山+龍+…+?+1=31+。2+…+4"+1)2,

貝I謂+1=(。］+。2+…+恁+1)2-(。1+。2+…+斯)2=即+1［2(。1+。2

H----Pa“)+a”+i］,

又斯＞0,所以點+1=2(。］+為+…+即)+即+1,

則或=2(。1+比+…+得-1)+。”(〃12),

故a咨+1a咨an+1,所以a“+1a”1?

又出=a彳,所以0=1.

又厲=如+。2,所以。2=2,所以做一m=1,即當(dāng)心1時，有an+\~

Cln—1,

所以數(shù)列｛&｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，故an=n.

⑵由(1)知an=n,

11LJ

則

anan+2n(n+T)n+2j

所以邑=土+￡+…+土…+g

/42(〃+1〃+沙

則Se-S尸由一＞。,所以數(shù)列⑸｝單調(diào)遞增，所以⑸嬴

1

=5=3-

要使不等式S,＞|log“(1—a)對任意正整數(shù)〃恒成立，只要;＞；log?(1

—a)即可.

易知0<4<1,則1—Q〉Q,解得0<Q<g.

所以實數(shù)a的取值范圍是(0,

專題跟蹤訓(xùn)練(二十)

1.(2018?內(nèi)蒙古包頭一模)已知數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S”,且S〃=

2an—3n(n￡N*).

⑴求的值.

(2)設(shè)乩=斯+3,試說明數(shù)列｛乩｝為等比數(shù)歹U,并求出數(shù)列｛斯｝的通

項公式.

［解］⑴當(dāng)n=\時，由S=0=20—3X1,得0=3；

當(dāng)n=2時，由52=。1+。2=2。2—3X2,可得做=9；

當(dāng)〃=3時，由83=0+02+43=243—3x3，得。3=21.

(2)因為Sa=2a,?—3〃,所以5”+1=2g+1—3(〃+1).

上述兩式相減得“+i=2a〃+3,所以1+3=2(勾+3),

=

所以bn+1=2/?”,且b\6.

所以數(shù)列｛乩｝是以6為首項,2為公比的等比數(shù)列.

所以如=6義2"一】.

所以斯=兒一3=6乂2，「一3=3(2"—1).

2.(2018?長春實驗中學(xué)一模)已知在數(shù)列｛斯｝中以1=1,當(dāng)n22時,

其前n項和S”滿足%=呢1”一,

⑴求Sn的表達(dá)式.

⑵設(shè)勿=總不求數(shù)列也｝的前n項和Tn.

2〃十1

［解］⑴當(dāng)侖2時，將q“=S〃-S一代入第=。［工一1)中，得2S?Sn

-i+S"-S"-i=O,化簡得T=2，w=1,...數(shù)列'是以1為首項,2

Q"3"-i

為公差的等差數(shù)列.

...丁=2〃一］,即S~~

3”n2n~1

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n

2/i+T

3.已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛斯｝滿足：。4=2。2,且。1.4,“4成

等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式.

⑵設(shè)數(shù)列｛閡的前〃項和為乙,求證：Tn<3.

［解］(1)設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為a

因為44=2。2,且0,4,團成等比數(shù)列,即>0,

。1+3d=［。］=2,

所以，k解得JC

〔a「(ai+3d)=16,［d=2.

所以數(shù)列｛?！ǎ耐椆綖闉?ai+(〃-l)d=2+2(〃-1)=2幾