備考2024高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教a版第九章§9.2　用樣本估計總體

§9.2用樣本估計總體考試要求1.會用統(tǒng)計圖表對總體進(jìn)行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度．知識梳理1．百分位數(shù)一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值．2．平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)(1)平均數(shù)：eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，處在最中間的一個數(shù)據(jù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)．(3)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻數(shù)最大值所對應(yīng)的樣本數(shù)據(jù))．3．方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差：s2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2或eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)－eq\x\to(x)2.(2)標(biāo)準(zhǔn)差：s＝eq\r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2).4．總體(樣本)方差和總體(樣本)標(biāo)準(zhǔn)差(1)一般式：如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數(shù)為eq\x\to(Y)，則總體方差S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,)(Yi－eq\x\to(Y))2.(2)加權(quán)式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為S2＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq\x\to(Y))2.常用結(jié)論巧用三個有關(guān)的結(jié)論(1)若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為1，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a；(2)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即數(shù)據(jù)經(jīng)過平移后方差不變；(3)若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近．(×)(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位．(×)(3)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變．(√)(4)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù)．(√)教材改編題1．(多選)給出一組數(shù)據(jù)：1,3,3,5,5,5，下列說法正確的是()A．這組數(shù)據(jù)的極差為4B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4D．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3和5答案AC解析這組數(shù)據(jù)的極差為5－1＝4，A正確；平均數(shù)為eq\f(1＋3×2＋5×3,6)＝eq\f(11,3)，B錯誤；中位數(shù)為eq\f(3＋5,2)＝4，C正確；眾數(shù)為5，D錯誤．2．(多選)下列說法正確的是()A．眾數(shù)可以準(zhǔn)確地反映出總體的情況B．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)C．平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢D．一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大答案CD解析對于A，眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，但對其他數(shù)據(jù)信息的忽略使得無法客觀反映總體特征，所以A錯誤；對于B，一組數(shù)的平均數(shù)不可能大于這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)，所以B錯誤；對于C，平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，所以C正確；對于D，方差可以用來衡量一組數(shù)據(jù)波動的大小，方差越小，數(shù)據(jù)波動越小，方差越大，數(shù)據(jù)波動越大，所以D正確．3．一個容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為________．答案14.5解析∵75%×20＝15，∴第75百分位數(shù)為eq\f(14＋15,2)＝14.5.題型一樣本的數(shù)字特征和百分位數(shù)的估計例1(1)從某中學(xué)抽取10名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績?nèi)缦拢?2,85,88,90,92,92,92,96,96,98(單位：分)，則這10名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、第25百分位數(shù)分別為()A．92,85 B．92,88C．95,88 D．96,85答案B解析數(shù)據(jù)92出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，所以眾數(shù)是92；將一組數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列，計算10×25%＝2.5，取第三個數(shù)，第25百分位數(shù)是88.延伸探究本題中，第70百分位數(shù)是多少？解10×70%＝7，第70百分位數(shù)是第7項與第8項的平均數(shù)，為eq\f(92＋96,2)＝94.(2)已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，則()A.eq\x\to(x)＝4，s2<2 B.eq\x\to(x)＝4，s2＝2C.eq\x\to(x)>4，s2<2 D.eq\x\to(x)>4，s2>2答案A解析設(shè)7個數(shù)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，則eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7,7)＝4，eq\f(x1－42＋x2－42＋x3－42＋x4－42＋x5－42＋x6－42＋x7－42,7)＝2，所以x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＝28，(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＝14，則這8個數(shù)的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋4)＝eq\f(1,8)×(28＋4)＝4，方差為s2＝eq\f(1,8)×[(x1－4)2＋(x2－4)2＋(x3－4)2＋(x4－4)2＋(x5－4)2＋(x6－4)2＋(x7－4)2＋(4－4)2]＝eq\f(1,8)×(14＋0)＝eq\f(7,4)<2.教師備選某高校分配給某中學(xué)一個保送名額，該中學(xué)進(jìn)行校內(nèi)舉薦評選，評選條件除了要求該生獲得該?！叭脤W(xué)生”稱號，還要求學(xué)生在近期連續(xù)3次大型考試中，每次考試的名次都在全校前5名(每次考試無并列名次)．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)都獲得了“三好學(xué)生”稱號，四位同學(xué)在近期連續(xù)3次大型考試名次的數(shù)據(jù)分別為甲同學(xué)：平均數(shù)為3，眾數(shù)為2；乙同學(xué)：中位數(shù)為3，眾數(shù)為3；丙同學(xué)：眾數(shù)為3，方差小于3；丁同學(xué)：平均數(shù)為3，方差小于3.則一定符合推薦要求的同學(xué)有()A．甲和乙 B．乙和丁C．丙和丁 D．甲和丁答案D解析對于甲同學(xué)，平均數(shù)為3，眾數(shù)為2，則3次考試的成績的名次為2,2,5，滿足要求；對于乙同學(xué)，中位數(shù)為3，眾數(shù)為3，可舉反例：3,3,6，不滿足要求；對于丙同學(xué)，眾數(shù)為3，方差小于3，可舉特例：3,3,6，則平均數(shù)為4，方差s2＝eq\f(1,3)×[2×(3－4)2＋(6－4)2]＝2<3，不滿足要求；對于丁同學(xué)，平均數(shù)為3，方差小于3，設(shè)丁同學(xué)3次考試的名次分別為x1，x2，x3，若x1，x2，x3中至少有一個大于等于6，則方差s2＝eq\f(1,3)[(x1－3)2＋(x2－3)2＋(x3－3)2]>3，與已知條件矛盾，所以x1，x2，x3均不大于5，滿足要求．思維升華計算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法不正確的是()A．這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)D．把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平均數(shù)答案ABD解析因為100×75%＝75為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其它選項均不正確，故選ABD.(2)(多選)(2021·新高考全國Ⅰ)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數(shù)，則()A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同答案CD解析設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為eq\x\to(x)，m，σ，t，依題意得，新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別為eq\x\to(x)＋c，m＋c，σ，t，因為c≠0，所以C，D正確．題型二總體集中趨勢的估計例2棉花是我國紡織工業(yè)重要的原料．新疆作為我國最大的產(chǎn)棉區(qū)，對國家棉花產(chǎn)業(yè)發(fā)展、確保棉糧安全以及促進(jìn)新疆農(nóng)民增收、實(shí)現(xiàn)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略都具有重要意義．準(zhǔn)確掌握棉花質(zhì)量現(xiàn)狀、動態(tài)，可以促進(jìn)棉花產(chǎn)業(yè)健康和穩(wěn)定的發(fā)展．在新疆某地收購的一批棉花中隨機(jī)抽測了100根棉花的纖維長度(單位：mm)，得到樣本的頻數(shù)分布表如下：纖維長度頻數(shù)頻率[0,50)40.04[50,100)80.08[100,150)100.10[150,200)100.10[200,250)160.16[250,300)400.40[300,350]120.12(1)在圖中作出樣本的頻率分布直方圖；(2)根據(jù)(1)中作出的頻率分布直方圖求這一棉花樣本的眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)，并對這批棉花的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)進(jìn)行估計．解(1)樣本的頻率分布直方圖如圖所示．(2)由樣本的頻率分布直方圖，得眾數(shù)為eq\f(250＋300,2)＝275(mm)；設(shè)中位數(shù)為x，(x－250)×0.008＝50%－48%，解得x＝252.5，即中位數(shù)為252.5mm；設(shè)平均數(shù)為eq\x\to(x)，則eq\x\to(x)＝25×0.04＋75×0.08＋125×0.1＋175×0.1＋225×0.16＋275×0.4＋325×0.12＝222(mm)，故平均數(shù)為222mm.由樣本的這些數(shù)據(jù)，可得購進(jìn)的這批棉花的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)分別約為275mm、252.5mm和222mm.教師備選(多選)某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)建文明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分)，從中隨機(jī)抽取一個容量為100的樣本，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在[40,100]內(nèi)．現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形，如圖所示．觀察圖形，則下列說法正確的是()A．頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10B．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)為75分C．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)為75分D．根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)為75分答案ABC解析分?jǐn)?shù)在[60,70)內(nèi)的頻率為1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三組的頻數(shù)為100×0.10＝10，故A正確；因為眾數(shù)的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從圖中可看出眾數(shù)的估計值為75分，故B正確；因為(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.030)×10＝0.65>0.5，所以中位數(shù)位于[70,80)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位數(shù)的估計值為75分，故C正確；樣本平均數(shù)的估計值為45×(10×0.005)＋55×(10×0.020)＋65×(10×0.010)＋75×(10×0.030)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.010)＝73(分)，故D錯誤．思維升華頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等．(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和．跟蹤訓(xùn)練2首次實(shí)施新高考的八省(市)于2021年1月23日統(tǒng)一舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基計劃．在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求出圖中a的值并估計本次考試及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占比例)；(2)估計該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù)；(3)估計該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、平均數(shù)．解(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(0.004＋a＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率為(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)得分在110分以下的學(xué)生所占比例為(0.004＋0.013＋0.016)×20＝0.66，得分在130分以下的學(xué)生所占比例為0．66＋0.014×20＝0.94，所以第80百分位數(shù)位于[110,130)內(nèi)，由110＋20×eq\f(0.8－0.66,0.94－0.66)＝120，估計第80百分位數(shù)為120分．(3)由圖可得，眾數(shù)估計值為100分．平均數(shù)估計值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6(分)．題型三總體離散程度的估計例3(2021·全國乙卷)某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≥2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高)．解(1)由表格中的數(shù)據(jù)易得eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)×(－0.2＋0.3＋0＋0.2－0.1－0.2＋0＋0.1＋0.2－0.3)＋10.0＝10.0，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)×(0.1＋0.4＋0.1＋0＋0.1＋0.3＋0.6＋0.5＋0.4＋0.5)＋10.0＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)×[(9.7－10.0)2＋2×(9.8－10.0)2＋(9.9－10.0)2＋2×(10.0－10.0)2＋(10.1－10.0)2＋2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋(10.6－10.3)2]＝0.04.(2)由(1)中數(shù)據(jù)可得eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝10.3－10.0＝0.3，而2eq\r(\f(s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2),10))＝eq\r(\f(2,5)s\o\al(2,1)＋s\o\al(2,2))＝eq\r(0.0304)，顯然教師備選從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表：質(zhì)量指標(biāo)值分組[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]頻數(shù)62638228(1)根據(jù)上表補(bǔ)全如圖所示的頻率分布直方圖；(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？解(1)補(bǔ)全后的頻率分布直方圖如圖所示．(2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為eq\x\to(x)＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋02×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104.所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)約為100，方差約為104.(3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例約為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定．思維升華總體離散程度的估計標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度．標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。櫽?xùn)練3(2022·蚌埠質(zhì)檢)某校計劃在秋季運(yùn)動會期間開展“運(yùn)動與健康”知識大賽，為此某班開展了10次模擬測試，以此選拔選手代表班級參賽，下表為甲、乙兩名學(xué)生的歷次模擬測試成績．場次12345678910甲98949797959393959395乙92949394959496979798甲、乙兩名學(xué)生測試成績的平均數(shù)分別記作eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，方差分別記作seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2).(1)求eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)以這10次模擬測試成績及(1)中的結(jié)果為參考，請你從甲、乙兩名學(xué)生中選出一人代表班級參加比賽，并說明你作出選擇的理由．解(1)eq\x\to(x)＝eq\f(1,10)(98＋94＋97＋97＋95＋93＋93＋95＋93＋95)＝95，eq\x\to(y)＝eq\f(1,10)(92＋94＋93＋94＋95＋94＋96＋97＋97＋98)＝95，seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,10)[32＋(－1)2＋22＋22＋0＋(－2)2＋(－2)2＋0＋(－2)2＋0]＝3，seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,10)[(－3)2＋(－1)2＋(－2)2＋(－1)2＋0＋(－1)2＋12＋22＋22＋32]＝3.4.(2)答案一：由(1)可知，eq\x\to(x)＝eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)，甲、乙兩人平均分相同，但甲發(fā)揮更穩(wěn)定，所以可以派甲同學(xué)代表班級參賽.答案二：由(1)可知，eq\x\to(x)＝eq\x\to(y)，seq\o\al(2,1)<seq\o\al(2,2)，甲、乙兩人平均分相同，兩人成績的方差差距不大，但從10次測試成績的增減趨勢可以發(fā)現(xiàn)，甲的成績總體呈下降趨勢，乙的成績總體呈上升趨勢，說明乙的狀態(tài)越來越好，所以可以派乙同學(xué)代表班級參賽．課時精練1．給定一組數(shù)據(jù)5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，則這組數(shù)據(jù)()A．眾數(shù)為2 B．平均數(shù)為2.5C．方差為1.6 D．標(biāo)準(zhǔn)差為4答案C解析由題中數(shù)據(jù)可得，眾數(shù)為2和3，故A錯誤；平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(5＋5＋…＋2＋1,10)＝3，故B錯誤；方差s2＝eq\f(5－32＋5－32＋…＋2－32＋1－32,10)＝1.6，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(1.6)≠4，故C正確，D錯誤．2．某機(jī)構(gòu)調(diào)査了10種食品的卡路里含量，結(jié)果如下：107,135,138,140,146,175,179,182,191,195.則這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)和中位數(shù)分別是()A．138,160.5 B．138,146C．138,175 D．135,160.5答案A解析將10個數(shù)按從小到大排列，因為10×25%＝2.5，所以第25百分位數(shù)為第3項138；中位數(shù)為eq\f(146＋175,2)＝160.5.3．若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\x\to(x)，方差為s2，則4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為()A.eq\x\to(x)，s B．4eq\x\to(x)－3，sC．4eq\x\to(x)－3,4s D．4eq\x\to(x)－3，eq\r(16s2－24s＋9)答案C解析因為eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，所以4x1－3,4x2－3，…，4xn－3的平均數(shù)為eq\x\to(x′)＝eq\f(1,n)[(4x1－3)＋(4x2－3)＋…＋(4xn－3)]＝eq\f(1,n)[4(x1＋x2＋…＋xn)－3n]＝4eq\x\to(x)－3，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(\f(1,n)[4x1－3－4\x\to(x)＋32＋4x2－3－4\x\to(x)＋32＋…＋4xn－3－4\x\to(x)＋32])＝4eq\r(\f(1,n)[x1－\x\to(x)2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to(x)2])＝4eq\r(s2)＝4s.4．某大學(xué)共有12000名學(xué)生，為了了解學(xué)生課外圖書閱讀量情況，該校隨機(jī)地從全校學(xué)生中抽取1000名，統(tǒng)計他們每年閱讀的書籍?dāng)?shù)量，由此來估計全體學(xué)生當(dāng)年的閱讀書籍?dāng)?shù)量的情況，下列估計中正確的是(注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)()A．中位數(shù)為6B．眾數(shù)為10C．平均數(shù)為6.88D．該校讀書不低于8本的人數(shù)約為3600答案C解析由圖知，中位數(shù)x在[4,8)內(nèi)，所以0.06×4＋0.1×(x－4)＝0.5，解得x＝6.6，A錯誤；由圖知，眾數(shù)在[4,8)內(nèi)，故眾數(shù)為6，B錯誤；平均數(shù)為4×(2×0.06＋6×0.1＋10×0.07＋14×0.015＋18×0.005)＝6.88，C正確；由圖知，該校讀書不低于8本的頻率之和為1－0.16×4＝0.36，所以該校讀書不低于8本的人數(shù)約為0.36×12000＝4320，D錯誤．5．(多選)(2021·新高考全國Ⅱ)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是()A．樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B．樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C．樣本x1，x2，…，xn的極差D．樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)答案AC解析由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢．6．(多選)(2022·深圳模擬)若甲組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn(數(shù)據(jù)各不相同)的平均數(shù)為2，方差為4，乙組樣本數(shù)據(jù)3x1＋a,3x2＋a，…，3xn＋a的平均數(shù)為4，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)的值為－2B．乙組樣本數(shù)據(jù)的方差為36C．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)一定相同D．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同答案ABD解析由題意可知，3×2＋a＝4，故a＝－2，故A正確；乙組樣本數(shù)據(jù)方差為9×4＝36，故B正確；設(shè)甲組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為xi，則乙組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3xi－2，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)不一定相同，故C錯誤；甲組數(shù)據(jù)的極差為xmax－xmin，則乙組數(shù)據(jù)的極差為(3xmax－2)－(3xmin－2)＝3(xmax－xmin)，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差不同，故D正確．7．2021年高考某題的第(1)問的得分情況如下：得分(分)01234百分率(%)37.08.66.028.220.2其中得分的眾數(shù)是________．答案0解析眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，根據(jù)所給表格知，百分率最高的是0.8．已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x9的方差為5，則數(shù)據(jù)3x1＋1，3x2＋1，…，3x9＋1的方差為________．答案45解析原數(shù)據(jù)的方差為5，則線性變換后的數(shù)據(jù)的方差為32×5＝45.9．自中國進(jìn)入工業(yè)化進(jìn)程以來，個人的文化水平往往影響或在某種程度上決定了個人的薪酬高低，文化水平較高的人往往收入較高．將個人的文化水平用數(shù)字表示，記“沒有接受過系統(tǒng)學(xué)習(xí)或自學(xué)的成年人”為最低分25分，“頂級尖端人才”為最高分95分．為了分析A市居民的受教育程度，從A市居民中隨機(jī)抽取1000人的文化水平數(shù)據(jù)X，將樣本分成小學(xué)[25,35)，初中[35,45)，高中[45,55)，?？芠55,65)，本科[65,75)，碩士[75,85)，博士[85,95]七組，整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(保留一位小數(shù))；(2)請估計該市居民的平均文化水平．(同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)解(1)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為eq\f(65＋75,2)＝70.0.X∈[25,65)的頻率為0.05＋0.05＋0.15＋0.20＝0.45<0.50，X∈[25,75)的頻率為0.05＋0.05＋0.15＋0.20＋0.30＝0.75>0.50.所以中位數(shù)在區(qū)間[65,75)上，中位數(shù)為65＋10×eq\f(0.50－0.45,0.30)＝65＋eq\f(5,3)≈66.7.(2)平均文化水平eq\x\to(X)＝30×0.05＋40×0.05＋50×0.15＋60×0.20＋70×0.30＋80×0.20＋90×0.05＝64.5.10．某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量(單位：kg)，并繪制頻率分布直方圖如圖．(1)請根據(jù)頻率分布直方圖估計該水果店蘋果日銷售量的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)(2)一次進(jìn)貨太多，水果會變得不新鮮；進(jìn)貨太少，又不能滿足顧客的需求．店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能90%地滿足顧客的需求(在10天中，大約有9天可以滿足顧客的需求)．請問每天應(yīng)該進(jìn)多少千克蘋果？解(1)由題圖可知，區(qū)間[80,90)的頻率最大，所以眾數(shù)為85，中位數(shù)設(shè)為x，則0.025＋0.1＋(x－80)×0.04＝0.5，可得x＝89.375.平均數(shù)為eq\x\to(x)＝(65×0.0025＋75×0.01＋85×0.04＋95×0.035＋105×0.01＋115×0.0025)×10＝89.75.(2)日銷售量[60,100)的頻率為0.875<0.9，日銷售量[60,110)的頻率為0.975>0.9，故所求的量位于[100,110)．由0.9－0.025－0.1－0.4－0.35＝0.025，得100＋eq\f(0.025,0.01)＝102.5，故每天應(yīng)該進(jìn)102.5千克蘋果．11．已知一組數(shù)據(jù)1,2，a，b,5,8的平均數(shù)和中位數(shù)均為4，其中a，b∈N*，在去掉其中的一個最大數(shù)后，該組數(shù)據(jù)一定不變的是()A．平均數(shù) B．眾數(shù)C．中位數(shù) D．標(biāo)準(zhǔn)差答案B解析由題意知，eq\f(16＋a＋b,6)＝4，可得a＋b＝8，又中位數(shù)為4，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,a＝5，))當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,a＝5，))時，眾數(shù)為5，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\f(4\r(3),3)；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝4))時，眾數(shù)為4，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\r(5).∴去掉其中的一個最大數(shù)后，數(shù)據(jù)為1,2，a，b,5，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,a＝5，))時，平均數(shù)為eq\f(16,5)，眾數(shù)為5，中位數(shù)為3，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\f(8,5)；當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝4))時，平均數(shù)為eq\f(16,5)，眾數(shù)為4，中位數(shù)為4，標(biāo)準(zhǔn)差為eq\f(3\r(6),5).綜上，數(shù)據(jù)變化前后一定不變的是眾數(shù)．12．(2022·東三省四市聯(lián)考)某同學(xué)擲骰子5次，并記錄了每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，得出平均數(shù)為2，方差為2.4的統(tǒng)計結(jié)果，則下列點(diǎn)數(shù)中一定不出現(xiàn)的是()A．1B．2C．5D．6答案D解析因為eq\f(6－22,5)＝3.2，根據(jù)方差的計算公式知，方差大于2.4，因此不能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，因為eq\f(5－22,5)＝1.8<2.4，eq\f(2－22,5)＝0<2.4，eq\f(1－22,5)＝0.2<2.4，則其余的點(diǎn)數(shù)1,2,5都有可能出現(xiàn)．13．小華同學(xué)每天晚上睡覺前要求自己背誦15個英文單詞，若超出記為“＋”，不足記為“－”，則上周一至周五，他的完成情況分別為－2，－1，x，＋4，y，已知這五個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是0，方差是5.2，則上周一至周五，小華背誦的單詞數(shù)量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是()A．13,14 B．－2，－1C．13,13 D．－2，－2答案A解析因為－2，－1，x，＋4，y這五個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是0，方差是5.2，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－2－1＋x＋4＋y,5)＝0，,\f(－2－02＋－1－02＋x－02＋4－02＋y－02,5)＝5.2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2，))不管取哪一組解，這5天的單詞量均是以下幾個數(shù)，13,14,13,19,16，所以眾數(shù)和中位數(shù)分別是13,14.14．已知一組數(shù)據(jù)a，b,3,5的中位數(shù)為7，平均數(shù)為8，則ab＝________.答案135解析因為一組數(shù)據(jù)a，b,3,5的平均數(shù)為8，所以eq\f(1,4)(a＋b＋3＋5)＝8，解得a＋b＝24，若a＝b，則a＝b＝12，此時4個數(shù)為3,5,12,12，顯然中位數(shù)不是7，不妨設(shè)a<b，若a≤3，則b≥21，此時4個數(shù)排列為a,3,5，b，中位數(shù)為4，不符合題意，若3<a≤5，則19≤b<21，此時4個數(shù)排列為3，a,5，b，顯然中位數(shù)不是7，若a>5，則4個數(shù)排列為3,5，a，b，則中位數(shù)為eq\f(5＋a,2)＝7，解得a＝9，則b＝15，所以ab＝9×15＝135.15．(多選