高中數(shù)學(xué)《平面向量的實際背景及基本概念》導(dǎo)學(xué)案

第1章平面向量

DIERZHANG2.1平面向量的實際背景及基本概念

卜課前白主預(yù)習(xí)

1.向量與數(shù)量

（1）向量：U［既有大小，又有方向的量叫做向量.

（2）數(shù)量：圖只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量.

2.向量的表示

帶有方向的線段叫做有向線段.它包含三個要素：.因起點、國

方向、宣長度.

幾何表示：用⑹有向線段來表示向量，匕］有向

線段的長度表示向量的大小，⑻箭頭所指的

方包表示向量的方向，即用有向線段的起點、

表示法終點字母表示.如X方，…

字母表示：用小寫字母a",c,…表示（手寫時

必須加箭頭）

3.向量的有關(guān)概念

向量名稱定義

零向量囪長度為0的向量，記作0

單位向量⑩長度等于1個單位的向量

面方向相同或相反的非零向量；向量

平行向量

平行，記作a〃仇規(guī)定：圜零向量

(共線向量)

與任一向量平行

圜長度相等且方向相同的向量；向量

相等向量

a.b相等，記作a=b

鼠］自診小測

1.判一判(正確的打“J”，錯誤的打“義”)

(1)兩個向量能比較大小.()

(2)向量的模是一個正實數(shù).()

(3)單位向量的模都相等.()

(4)向量與向量區(qū)4是相等向量.()

答案(1)X(2)X(3”(4)X

2.做一做

(1)下列說法正確的是()

A.若⑷則?>:

B.若⑷=步|,則?=>

C.若a=b,則。與b共線

D.若aWb,則。一定不與b共線

答案C

解析向量不能比較大小，故A錯誤；\a\=\b\,但方向不一定相

同，故B錯誤；瓦但。與?可能方向相同或相反，即a與〃可能

共線，故D錯誤.

—?—?

(2)如圖，四邊形4BCD中，AB^DC,則必有()

\.AD=CB

-A-A

B.OA=OC

—?—?

C.AC=DB

—?—■?

D.DO=OB

答案D

—?-?

解析?.?四邊形A3CQ中，A8=QC,：.AB=CD,AB//CD,：.

-A-A

四邊形ABC。為平行四邊形，：.DO=OB.

-A-?

(3)AA5C是等腰三角形，則兩腰上的向量A3與4c的關(guān)系是

答案模相等

解析因為△ABC是等腰三角形，所以A8=4C,

—?—?

即|A8|=|AC1.

(4)(教材改編P77習(xí)題2.1A組T3)如圖所示，四邊形ABCD為正

方形，△3CE為等腰直角三角形，

①圖中與A8共線的向量有；

-A

②圖中與AB相等的向量有；

—>

③圖中與A8模相等的向量有；

-?

④圖中與￡C相等的向量有.

—>―?—>—?—?-A—?

答案①。C,CD,BE,EB,AE,EA,BA

-?—>

@DC,BE

—>—>—>—?-?—>—?—?-?

③。C,CD,BA,BE,EB,DA,AD,CB,BC

@BD

解析根據(jù)向量共線、相等和向量模的定義觀察圖形可知.

卜課堂互動探究

探究1向量的有關(guān)概念

例1下列說法正確的是（）

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小

C.向量的大小與方向有關(guān)

D.向量的模可以比較大小

解析A項，不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，不正

確；B項，方向相同的向量也不能比較大小，不正確；C項，向量的

大小即向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關(guān)，不正確；D

項，向量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，正確.

答案D

拓展提升

解決與向量概念有關(guān)問題的方法

解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和

長度，如：共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等

向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制,

但長度都是一個單位；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0;規(guī)

定零向量與任一向量共線.只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與

向量概念有關(guān)的問題.

【跟蹤訓(xùn)練1】給出下列命題：

-A—?

①若向量b=BA,則⑷=|回；

②若a是單位向量，b也是單位向量，則a與力的方向相同或相

反；

—?—?

③若向量A3是單位向量，貝UBA也是單位向量；

④以坐標平面上的定點A為起點，所有單位向量的終點P的集

合是以A為圓心的單位圓.

其中正確的個數(shù)是.

答案3

-?

解析①正確，由于⑷=H3|=|A8|,

-A

\b\=\BA\=\BA\=\AB\,因此有⑷=|例.

②不正確，由單位向量的定義知，凡長度為1個單位的向量均稱

為單位向量，但是對方向沒有任何要求，因此說法②不正確.

―?―?—?-?

③正確，因為|AB|=|R4|,所以當A3是單位向量時，5A也是單位

向量.

-?

④正確，由于向量|A尸1=1,所以點尸是以點A為圓心的單位圓

上的一點.反過來，若點P是以點A為圓心，1為半徑的單位圓上的

任一點，則由于|AP|=1,所以向量AP是單位向量，因此說法④正確.

探究2向量的幾何表示

例2某人從A點出發(fā)向東走了5米到達3點，然后改變方向按

東北方向走了16拉米到達。點，到達。點后又改變方向向西走了10

米到達D點.

(1)作出向量AB,BC,CD；

-A

(2)求的模.

—?—?-?

解(1)作出向量AB,BC,CD如圖所示:

(2)由題意得，△8CQ是直角三角形，其中N8DC=90。，BC=

米，CD=10米，所以80=10米.△ABD是直角三角形，其中

ZABD=90°,AB=5米，BD=10米，所以AD=^/52+(10)2=5A/5

-A

(米).所以|AD|=5小米.

拓展提升

向量的兩種表示方法

(1)幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根

據(jù)向量的長度確定向量的終點.

(2)字母表示法：為了便于運算可用字母a,8，c表示，為了聯(lián)系

平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點與終點表示

―?—?-?

向量，如A3,CD,EF等.

【跟蹤訓(xùn)練2】某次軍事演習(xí)中，紅方一支裝甲分隊為完成對

藍軍的穿插包圍，先從A處出發(fā)向西迂回了100km到達B地，然后

又改變方向向北偏西40。走了200km到達C地，最后又改變方向，

向東突進100km到達。處，完成了對藍軍的包圍.

—?—?―?

(1)作出向量AB,BC,CD；

―?

(2)求|AD|.

—?—?-?

解(1)向量43,BC,CD,如圖所示.

南

(2)由題意，易知AB與CZ)方向相反，故與CZ)共線.

又|AB|=|CD|,.?.在四邊形49CD中，A3觸CQ,

二.四邊形ABCD為平行四邊形.

—?―?—?-?

：.AD=BC,|AD|=|Sq=200km.

探究3相等向量與共線向量

例3①若⑷=|可，則。=岳

②若4,B,C,。是不共線的四點，貝ijAB=DC是四邊形ABCQ

是平行四邊形的充要條件；

③若a=A,b=c,則G=C；

\a\=\b\,

④兩向量mb相等的充要條件是

a////bt；

⑤|。|=步|是向量a=b的必要不充分條件；

—?—?

⑥43=CD的充要條件是4與C重合、B與。重合.

其中真命題的個數(shù)是.

解析①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相

同，因此由|a|=|可推不出a=b.

—?-?

②正確..「AB=DC,

―?―?―?—?

.?.依8|=|。。|且43〃。。.

又TA,B,C,。是不共線的四點，

二.四邊形ABCQ是平行四邊形.反之，若四邊形A3C。是平行

—~>—?-?―~>

四邊形，貝觸QC,且A3與。。方向相同，因此A6=QC

③正確.「.a,b的長度相等且方向相同.

又.：b=c,；.b,C的長度相等且方向相同，C的長度相等且

方向相同.故。=心

④不正確.當。〃仇但方向相反時，即使⑷=|回，也不能得到。

|。|=|加，

=b,故〃八不是的充要條件.

a//b,

⑤正確.這是因為⑷=|可亍。=從但。=。=同=|例，所以⑷=|加

是a=b的必要不充分條件.

-A-A-A-A

⑥不正確.這是因為AB=C。時，應(yīng)有|4B|=|CQ|及由A到3與C

到。的方向相同，但不一定要有A與C重合'8與。重合.

答案3

—>―?

例4如圖所示，0是正六邊形A8CDE/的中心，且OA=a,OB

―?

=b,OC=c.

(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？

(2)與a共線的向量有哪些？

(3)請---列出與a,b,c相等的向量.

—?―?—?-?

解(1)與a的長度相等'方向相反的向量有QD,BC,AO,FE.

—?―?—?―?―?—?—?-?

(2)與a共線的向量有Eb,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,

―?

AD.

-A—?—?-A—?

(3)與a相等的向量有EEDO,CB；與b相等的向量有OC,EO,

FA-,與c相等的向量有廠O,ED,AB.

—?

［結(jié)論探究］本例條件不變，試寫出與向量3c相等的向量.

—?—?-?

解OD,AO,FE.

［綜合探究］在本例中，若⑷=1,則正六邊形的邊長如何？

解因為A3CQE/是正六邊形，⑷=1,所以正六邊形的邊長也

是1.

拓展提升

共線向量與相等向量的區(qū)別與聯(lián)系

相等向量是指大小相等且方向相同的向量，共線向量是方向相同

或相反的非零向量，共線向量也叫平行向量.相等向量一定是共線向

量，而共線向量不一定相等.向量相等具備傳遞性，而向量的共線不

具備傳遞性.

【跟蹤訓(xùn)練3】下列命題：

①兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同；

-?-A

②若非零向量A3與CD是共線向量，則A,B,C,D四點共線;

③若a〃方且b〃c,貝lja〃c；

-A-A

④若四邊形A3co是平行四邊形，則一定有A3=QC

其中真命題的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

答案B

解析相等向量起點相同時，終點必相同，故①錯誤；向量的共

—?-?

線不同于點共線，故當AB與CQ共線時，四點A,B,C,。不一定共

—?

線，即②錯誤；當6=0時，a與c沒有任何關(guān)系，故③錯誤；AB與

—>—?-?

0c同向且等長，貝故④正確.

【跟蹤訓(xùn)練4】如圖所示，四邊形

ABCD與ABDE是平行四邊形.

(1)找出與向量A3共線的向量；

—?

(2)找出與向量A3相等的向量.

―?—?—?—?—?-?

解(1)依據(jù)圖形可知，DC,ED,EC與4B方向相同，BA,CD,

-A—>―A-?—>-A-?

DE,CE與AB方向相反，所以與向量AB共線的向量為區(qū)4,CD,DC,

-A-A—?-?

ED,DE,EC,CE.

—?-?-A

(2)由四邊形ABCD與ABQE是平行四邊形，知。C,EQ與A3長

—?―?—?

度相等且方向相同，所以與向量A8相等的向量為QC和ED

f------------------------------------------1瑾黜加-----------------

1.向量與數(shù)量的區(qū)別

(1)向量被賦予了幾何意義，即向量是具有方向的，而數(shù)量是一

個代數(shù)量，沒有方向；

(2)數(shù)量可以比較大小，而向量無法比較大小，即使⑷>|加，也不

能說a>b；

(3)0與0不同.0表示數(shù)量，但0表示零向量，其中|0|=0.

2.向量與有向線段

區(qū)別：從定義上看，向量有大小和方向兩要素，而有向線段有

起點、方向、終點三要素，因此這是兩個不同的量.

聯(lián)系：向量可以用有向線段表示，但這并不是說向量就是有向

線段.

3.共線向量與相等向量

(1)共線向量的定義指的是非零向量的共線問題；

(2)共線向量中的向量所在的直線可以平行，也可以重合，與平

面幾何中的“共線”“平行”不同；

(3)相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等向

量.共線向量僅僅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方

向均相同.

特別注意：(1)判斷兩個向量的關(guān)系：一要判斷大小，二要判斷

方向，如遇上零向量，必須注意其方向的任意性.

(2)定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確定方

向.我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無數(shù)個，它們大小

相等，但方向不一定相同.

卜課堂達標自測

1.有下列物理量：

①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功.

其中，不是向量的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

答案C

解析速度、力、加速度這3個物理量是向量，它們都有大小和

方向，其余的不是向量.

2.在下列判斷中，正確的是()

①長度為0的向量都是零向量；

②零向量的方向都是相同的；

③單位向量的長度都相等；

④單位向量都是同方向；

⑤任意向量與零向量都共線.

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

答案D

解析由定義知①正確，②由于零向量的方向是任意的，故兩個

零向量的方向是否相同不確定，故不正確.顯然③⑤正確，④不正確.

3.如圖，在圓。中，向量OB,OC,40是（）

A.有相同起點的向量

B.共線向量

C.模相等的向量

D.相等的向量

答案C

解析由圖可知，三向量方向不同，但長度相等.

4.如圖所示，以1X2方格紙中的格點（各線段的交點）為始點和

->

終點的向量中，與AF相等的向量有.

答案BE,CD

—?―?—?

解析因為各方格均為正方形，則有3E=CD=AE

5.如圖，。是正方形4BCD的中心.

⑴寫出與向量A3相等的向量；

-A

(2)寫出與的模相等的向量.

―?-?

解(1)與向量AB相等的向量是QC

—?―?―?―?—?—?―?—?

(2)與0A的模相等的向量有：OB,OC,OD,BO,CO,DO,AO.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.下列說法不正確的是（）

A.向量的模是一個非負實數(shù)

B.任何一個非零向量都可以平行移動

C.長度不相等而方向相反的兩個向量一定是共線向量

D.兩個有共同起點且共線的向量終點也必相同

答案D

解析顯然，選項A,B,C說法正確.對于D,由共線向量知，

兩個有共同起點且共線的向量其終點不一定相同，故錯誤.故選D.

2.若向量a與方不相等，則a與方一定（）

A.不共線

B.長度不相等

C.不可能都是單位向量

D.不可能都是零向量

答案D

解析因為所有的零向量都是相等的向量.故選D.

3.若a為任一非零向量，力為模為1的向量，下列各式：

①⑷>網(wǎng)；②?！―;③⑷>0；④|臼=±1,其中正確的是（）

A.①④B.③

C.①②③D.②③

答案B

解析。為任一非零向量，故⑷>0.故③正確；①②④都錯誤.

-?

4.數(shù)軸上點A,8分別對應(yīng)一1,2,則向量A3的長度是（）

A.-1B.2C.1D.3

答案D

解析易知|A8|=2—(—l)=3.

—?—?—?-?

5.若H8|=|AD|且B4=CQ,則四邊形A8CQ的形狀為()

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

答案C

—?—?—?-?

解析由84=C。知四邊形為平行四邊形；由|A8|=|A￡)|知四邊形

ABCD為菱形.

二'填空題

6.把同一平面內(nèi)所有模不小于1,不大于2的向量的起點，移到

同一點。，則這些向量的終點構(gòu)成的圖形的面積等于.

答案37r

解析這些向量的終點構(gòu)成的圖形是一個圓環(huán)，其面積為兀—

7T-12=37T.

7.設(shè)G0,尻是兩個單位向量，則下列結(jié)論中正確的是(填

序號).

①。0=加；②"0=—bo；③|“o|+伽|=2；④ao〃瓦.

答案③

解析因為4(),加都是單位向量，

所以|ao|=1,l》o|=1.

從而|“o|+伽1=2.

8.若A地位于3地正西方向5km處，C地位于A地正北方向

5km處，則C地相對于B地的位移是.

答案西北方向5gkm

解析根據(jù)題意畫出圖形如圖所示，

由圖可知13cl=5虛km,且NABC=45。，

故。地相對于3地的位移是西北方向5啦km.

三'解答題

9.如圖所示，4X3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起

點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：

B

(1)與A3相等的向量共有幾個；

-?

(2)與平行且模為g的向量共有幾個？

—?

(3)與A3方向相同且模為3啦的向量共有幾個？

―?-?

解(1)與向量4B相等的向量共有5個(不包括A8本身).

—?

(2)與向量AB平行且模為啦的向量共有24個.

-A

(3)與向量AB方向相同且模為3啦的向量共有2個.

10.如圖的方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成,

方格紙中有兩個定點A,氏點。為小正方形的頂點，且依。|=由.

(1)畫出所有的向量AC；

(2)求|8C|的最大值與最小值.

解(1)畫出所有的向量4C,如圖所示.

(2)由(1)所畫的圖知，

-?

①當點C位于點G或Q時，|BC|取得最小值yy+22=4；

—?

②當點C