數(shù)學(xué)（文）一輪教學(xué)案：第十章第2講 雙曲線及其性質(zhì) 含解析

第2講雙曲線及其性質(zhì)

考點(diǎn)展示考綱要求高考命題探究

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程.1.內(nèi)容探究：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的幾何性質(zhì)(特別是離

心率、漸近線)的應(yīng)用，常與圓、橢圓、恤物線交匯命題.

雙曲線的幾何性質(zhì)知道雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).2.形式探究：高考中本講內(nèi)容多以選擇題、解答題形式出現(xiàn).

__J

附3考點(diǎn)一雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

■定基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1雙曲線的定義

(1)定義：平面上，到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于兩

定點(diǎn)間的距離)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡.兩定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間

的距離叫做焦距.

(2)符號(hào)語(yǔ)言：HMF11-\MF?_W=2a(2a<\F\F2\).

2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，通過(guò)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系得出的，其形式為:

(1)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在％軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

X2V2

了一力=1(。>0，?。)?

(2)當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2x2

/一層=l(a>0,Z?0).

3雙曲線方程的幾種常見(jiàn)設(shè)法

(1)與雙曲線卷一5=1有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為5一《

=%(2W0).

n產(chǎn)2

(2)若雙曲線的漸近線方程為尸土務(wù)則雙曲線方程可設(shè)為泉一

\=/l(2W0)或//一m2y2=42/0).

(3)與雙曲線，一1=1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為號(hào)一號(hào)

=1(—b1<k<d1}.

(4)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為根〃<0).

(5)與橢圓，+1=1(4泌>0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為

門(mén)+檢=W).

注意點(diǎn)雙曲線定義的理解

當(dāng)四b1|一|四/2|=24時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)廠2所對(duì)應(yīng)的雙曲線的一

支；當(dāng)|MR|一|M/2|=—2。時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的雙曲線的

一支；當(dāng)2a=尸產(chǎn)2|時(shí)，軌跡為分別以B為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)

2a>內(nèi)22|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在.

1.思維辨析

(1)平面內(nèi)到點(diǎn)B(0,4),尸2(0,-4)距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是

雙曲線.()

(2)平面內(nèi)到點(diǎn)B(0,4),尸2(0，—4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)

的軌跡是雙曲線.()

(3)方程、一^■=1(如7>0)表示焦點(diǎn)在入軸上的雙曲線.()

(4篇+§=1表示雙曲線的充要條件是如i<0.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

99

2.與橢圓C：言+方=1共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,小)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程為()

A.A：2—=1B.y2~2x1=1

c￡—j%2=1

J22

答案C

1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2),設(shè)雙曲線

解析橢圓16,12

的標(biāo)準(zhǔn)方程為5一7=1(m>0,〃>o),則|"n1'解得m=〃=2,

lm+n=4,

故選C.

22

3.雙曲線存一方=1上的點(diǎn)P到點(diǎn)(5,0)的距離是6,則點(diǎn)尸的坐

標(biāo)是.

答案(8,±3小)

解析尸(5,0)為雙曲線的右焦點(diǎn)，設(shè)尸(%,y),則(%—5)2+y2=36

92

①，與言一5=1②，聯(lián)立①②解得：］=8,尸±3小.，尸(8,±3小).

［考法綜述］高考一般考查雙曲線方程的求法和通過(guò)方程研

究雙曲線的性質(zhì).雙曲線的定義的考查主要是利用定義求雙曲線的方

程，或者是與正余弦定理結(jié)合解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題.

典例⑴已知雙曲線C：浜一方=1的焦距為10，點(diǎn)尸(2,1)在

C的漸近線上，則C的方程為()

C-80-20=1D-20-80=1

(2)已知雙曲線4一9=1的左、右焦點(diǎn)為尸2,點(diǎn)P為左支上

一點(diǎn)，且滿(mǎn)足NBP尸2=60。，則△APF2的面積為

［解析］⑴由2c=10,得c=5,

b2b

,點(diǎn)P(2,l)在直線y=/上，1=~,即。=2尻

又,.,。2+82=25,.,.屋=20,h2—5.

22

故雙曲線C的方程為今一(=1.

4UJ

(2)設(shè)|尸川=機(jī)，|PF2|=〃,

m2+〃2-2mncos60°=(2c)2,

n—m—2a,

|m2+n2—mn=20,

所以U2r必

所以《m=4,所以

【答案］(1)A(2)^3

Q【解題法】雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法

(1)一般步驟

①判斷：根據(jù)已知條件確定雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，還是在y軸

上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能.

②設(shè)：根據(jù)①中判斷設(shè)出所需的未知數(shù)或者標(biāo)準(zhǔn)方程.

③列：根據(jù)題意列關(guān)于a,h,c的方程或者方程組.

④解：求解得到方程.

(2)常見(jiàn)問(wèn)題形式

①如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上還是y

軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a,b,c的

方程組，解出a2,h2,從而寫(xiě)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能

是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解).

②當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法來(lái)解決：

一種是分類(lèi)討論，注意考慮要全面；另一種是如果已知中心在原

點(diǎn)，但不能確定焦點(diǎn)的具體位置，可以設(shè)雙曲線的一般方程相〃<0).

睫髭對(duì)點(diǎn)題必刷題

1.下列雙曲線中，焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y=±2%的是

()

2%2

A.%2-彳V=1B,j-/=1

V2九2

C1/=iD.y2-J=l

答案c

解析雙曲線提一方=1和%—1=1的漸近線方程分別為，一/

=0和，一:=0.A、B選項(xiàng)中雙曲線的焦點(diǎn)在入軸上，C、D選項(xiàng)中

雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，又令1一爐=0,得'=±2%,令產(chǎn)一，=o,

得曠=±$,故選C.

2.已知雙曲線C：，一方=1的離心率e=^,且其右焦點(diǎn)為B(5,0),

則雙曲線C的方程為()

A——=1R——上—=1

人工31161

X2V2X2V2

cC—16—匚9=1Du—3—'4=11

答案C

解析由題意得e=又右焦點(diǎn)為尸2(5,0),a2-\-b2

=洛所以〃=16,02=9,故雙曲線C的方程為金一L=l.

?2

3.已知雙曲線了一方=l(a>0,8>0)的一條漸近線過(guò)點(diǎn)(2,仍)，且

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4g的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為

()

x2式

A——2――1

兒21281叱821-1

X2y2

r——*4^=1uD—4—31

答案D

解析由題意可得q=坐c=巾,又，=7=4+/,解得足=4,

b2=3,故雙曲線的方程為?一苧=1.

4.已知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為點(diǎn)A在C上.若

|FIA|=2|F2A|,則COSNAF2B=()

A]B.|

C也D也

J4u-3

答案A

解析?.?雙曲線的離心率為2,..2=2,

：.a：b:c=l：y[3：2.

\AFi\~\AF2\^2a,

|BA|=2舊M|,

：.\AFi\=4a,\AF2\^2a,

.'.|BB|=2c=4a,

|AF|2+|F|F|2-|AF1|2

cosNAB/7尸22

21A尸2IIQF2I

4a2+16屋一16<724次1

2X2aX4a—=16”一不選A.

5.設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),且與?一_?=1具有相同漸近線，則

C的方程為；漸近線方程為.

答案y—y=±2x

解析雙曲線看一爐=1的漸近線方程為曠=±2%.

設(shè)與雙曲線?一f=i有共同漸近線的方程為千一好=〃2/0),又

22

(2,2)在雙曲線上，故了-22=2,解得人=—3.

故所求雙曲線方程為?-%2=—3,即日一%=1?

所求雙曲線的漸近線方程為y=±2x.

6.如圖所示，已知雙曲線以長(zhǎng)方形A8CO的頂點(diǎn)A,B為左、

右焦點(diǎn)，且雙曲線過(guò)C,。兩頂點(diǎn).若A8=4,BC=3,則此雙曲線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案x2—?=1

解析設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一￡=1(。>0,8>0).由題意得

8(2,0),C(2,3),

4=a2+b2,

a2—1,

解得

按=3,

，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一『=1.

7.已知雙曲線的漸近線方程為2壯3y=0,且焦距是2小，則雙

曲線方程為.

套案尤一上=1或三=]

口于941以49

解析設(shè)雙曲線方程為^—［二犯羊。）.

若A>0,則“2=9。,Z?2=42,

c2=a2-\-h2=\3A.

由題設(shè)知2c=2回，/.2=1,

/y2

故所求雙曲線方程為卷一巧=1;

y4-

若丸<0,則為=—42,Z?2=—9A,

<?=。2+。2=—132.由2c=2y/T?>,.,.X=-l

2?

故所求雙曲線方程為?一看=1.

4-y

綜上，所求雙曲線方程為卷一9=1或三f1

噩考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)

基礎(chǔ)點(diǎn)重難點(diǎn)

1雙曲線的幾何性質(zhì)

?V2,

標(biāo)準(zhǔn)方程彳一七=1(4>0">0)4一==1(。>0">0)

a"Ifcfb

范圍jr^-a或74—或—a

對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸;對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)坐標(biāo)：

頂點(diǎn)

A1(一a?A2(a,0)A1(0?—a)9A2(0,a)

,bIci

漸近線y=±一JC

性a

質(zhì)

離心率e=—,(1,+8),其中c=Ja"+If

線段A4叫做雙曲線的包，它的長(zhǎng)|A|4|=

2a；線段B,B叫做雙曲線的蝮,它的長(zhǎng)IBB|

軸2

=2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，〃叫做雙曲線的

虛半軸長(zhǎng)

2等軸雙曲線及性質(zhì)

(1)等軸雙曲線：實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相堇的雙曲線叫做等軸雙曲線,

其標(biāo)準(zhǔn)方程可寫(xiě)作：X2—y2=aqW0).

(2)等軸雙曲線=離心率0=啦=兩條漸近線V=±X相互垂直.

/丫2.

3點(diǎn)P(%o,yo)和雙曲線)一1=1(。>0,8>0)的關(guān)系

笳》注意點(diǎn)雙曲線的離心率與曲線開(kāi)口大小的關(guān)系

離心率e的取值范圍：e>l,當(dāng)e越接近于1時(shí)，雙曲線開(kāi)口越

??；e越接近于+8時(shí)，雙曲線開(kāi)口越大.

小題機(jī)做；

1.思維辨析

9222

⑴雙曲線方程心0,〃〉0,2N0)的漸近線方程是W一力

III/fLIII'iv

=0,即豈±±=0.()

mn、7

(2)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于啦.()

(3)若雙曲線宏一方=1(。＞0,匕＞0)與后一,=13＞0,〃〉0)的離心率

分別是ei,02,則t+%=1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱(chēng)為共甄雙曲

線).()

(4)漸近線的斜率與雙曲線的離心率的關(guān)系是k=±^e2-\-l.()

答案⑴J(2)V(3)V(4)X

2.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y

軸上，一條漸近線方程為x—2y=0,則它的離心率為()

A.小B坐

C.A/3D.2

答案A

27

解析依題意設(shè)雙曲線的方程是%—方=1(其中。＞0,。〉0),則

其漸近線方程是尸土齊，由題知即b=2a,因此其離心率e=

^y[5a_r-

aa、?

92

3.以橢圓，+5=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的漸近

線方程為.

答案y=±\[?＞x

99

解析橢圓，+]=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),(—1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(2,0),(-2,0).

則雙曲線的頂點(diǎn)為(1,0),(-1,0),焦點(diǎn)為(2,0),(-2,0).

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：^-^-=1.

其漸近線為y=±\［3x.

信活命題法解題法

用［考法綜述］高考對(duì)于雙曲線的幾何性質(zhì)的考查以理解和運(yùn)

用為主，雙曲線獨(dú)有的漸近線是高頻考點(diǎn)，常與其他圓錐曲線綜合考

查，難度較大.

典例⑴已知分別是雙曲線了一臺(tái)=13〉0,?！?)的左、

右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條

漸近線于點(diǎn)若點(diǎn)M在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心

率的取值范圍是()

A.(1,啦)B.(啦，小)

C.他,2)D.(2,+8)

(2)過(guò)雙曲線宏一卓=1(?！?，匕〉0)的左焦點(diǎn)尸作圓。：^+y1=a1

的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,雙曲線左頂點(diǎn)為C,若NAC8=120。，

則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=+^l3xB.y=±^x

C.y=±\j2xD.y=土坐了

b

［解析］(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)F2(c,0)且與漸近線y=^x平行的直

b

bb

線為y="(%—c),與另一條漸近線y=-孑聯(lián)立得＜

b

)y=—~ax,

2

解得,hc即點(diǎn)陪，一第

尸一五’

.?.阿尸堆卜卜郢芍J+腎.

?..點(diǎn)M在以線段尸產(chǎn)2為直徑的圓外，

\OM\>c,

即與行野“，得行你>2

二.雙曲線離心率e=5=1J1+用2>2.

故雙曲線離心率的取值范圍是(2,+8).故選D.

(2)如圖所示，設(shè)雙曲線:一方=l(a>0,8>0)的焦距為2c(c>0),

則C(~a,0),F(-c,0).

由雙曲線和圓的對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于％軸對(duì)稱(chēng)，則NACO

-120°=60°.

'：\OA\=\OC\=a,「.△ACO為等邊三角形，AZAOC=60°.

:胡切圓。于點(diǎn)A,：.OA±FA,

在RtAAOF中，ZAFO=90°-ZAOF=90°-60°=30°,

.*.|OF|=2|OA|,即c=2a,h=yjc2—a2=y］(2a)2—a2=-\/3a,故

雙曲線技=1(。>。，b>0)的漸近線方程為產(chǎn)等，即

［答案］(1)D(2)A

9【解題法】求雙曲線離心率、漸近線問(wèn)題的一般方法

(1)求雙曲線的離心率時(shí)，將提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)

于雙曲線基本量q,b,c的方程或不等式，利用。2=/一次和e=\轉(zhuǎn)

化為關(guān)于e的方程或不等式，通過(guò)解方程或不等式求得離心率的值或

取值范圍.

(2)求漸近線時(shí)，利用/=層+塊轉(zhuǎn)化為關(guān)于凡人的方程或不等

式.雙曲線漸近線的斜率與離心率的關(guān)系.

題對(duì)點(diǎn)題必刷題

1.已知A,3為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，

為等腰三角形，且頂角為120。，則E的離心率為()

A.小B.2

C，V3D.也

答案D

解析設(shè)雙曲線方程為，一1=13>0,。>0）,不妨設(shè)點(diǎn)M在雙

曲線的右支上，如圖，AB=BM=2a,ZMBA=120°,作

60°,BH=a,MH=y[3a,所以欣2Q,小a）.將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙

曲線方程3一%=1,得。=》，所以e=，5.故選D.

2.若雙曲線自可一左=1的左、右焦點(diǎn)分別為B，點(diǎn)P在

雙曲線石上，且|PB|=3,貝!J|PB|等于（）

A.11B.9

C.5D.3

答案B

解析解法一：依題意知，點(diǎn)尸在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線

的定義，得|P尸2|一|PR|=2X3=6,所以|P尸21=6+3=9,故選B.

解法二：根據(jù)雙曲線的定義，得||PB|TPQ||=2X3=6,所以||P尸2|

一3|=6,所以出尸2|=9或|尸尸2|=—3（舍去）故選B.

3.將離心率為d的雙曲線G的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b（a^b）

同時(shí)增加加（加〉0）個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為62的雙曲線Q,則（）

A.對(duì)任意的a,b,e\>e2

B.當(dāng)時(shí)，ei>e2；當(dāng)時(shí)e\<e2

C.對(duì)任意的a,h,e\<ei

D.當(dāng)a>b時(shí),ei<e2；當(dāng)時(shí),e\>e2

答案D

八附*+-I~~7y\』（。+咽2+3+咽2

解析依題意，e尸^-=寸+臚>一

/,(b-\-iri\.一,bb+mah-\~hm—ah-amm(h—a)

-A/1_L-------------2因?yàn)樨癬----=---------------=-1------------L

\a-Vm)'Jaa-\~ma(a-\-m)a(a-\-m)'由于

-?、，，)hb-\-mhh+m

心0,q〉0">0,且i所以當(dāng)a>b時(shí)，0<-<1,0<^<1,

aQ+W

cxzw,H±b、b+mbb+m

\a)\a-\-m)*所以約<及；當(dāng)時(shí)，->1,U〉l，而/在后所

以俳（第2,所以e42.所以當(dāng)。泌時(shí)，

當(dāng)a<b時(shí)，e\>ez,

故選D.

4.過(guò)雙曲線好一事=1的右焦點(diǎn)且與％軸垂直的直線，交該雙曲

線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),則|AB|=（）

B.25

C.6D.4y[3

答案D

解析由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程/一苧=1得，右焦點(diǎn)尸（2,0）,兩條

漸近線方程為y=±^3x,直線AB：x=2,所以不妨取A（2,2?。?，BQ,

—24），則|A3|=4小，選D.

5.已知產(chǎn)為雙曲線C：（m>0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)尸到C的一條漸

近線的距離為（）

A.小B.3

C.小mD.3m

答案A

fy2

解析由題意，可得雙曲線c為就一5=1,則雙曲線的半焦距

c=、3m+3.不妨取右焦點(diǎn)（、3仞+3,0）,其漸近線方程為>=±春％,

■\]3m+3

即％±V^y=0.所以由點(diǎn)到直線的距離公式得d==?故選A.

'l+m

6.若實(shí)數(shù)“滿(mǎn)足04<9,則曲線行一力=1與曲線燈七=

1的（）

A.焦距相等B.實(shí)半軸長(zhǎng)相等

C.虛半軸長(zhǎng)相等D.離心率相等

答案A

9222

解析因?yàn)?<%<9,所以方程會(huì)一占=1與—葛=1均表

2D9—/C25—k9

示焦點(diǎn)在％軸上的雙曲線.雙曲線唱一了7=1中，其實(shí)軸長(zhǎng)為10,

239—K

_22

虛軸長(zhǎng)為八所I,焦距為2425+9—仁2434—依雙曲線天匕一會(huì)

NDK

=1中，其實(shí)軸長(zhǎng)為2、25-鼠虛軸長(zhǎng)為6,焦距為2425T+9=

2d34—左.因此兩曲線的焦距相等,故選A.

29

7.已知a>h>0,橢圓G的方程為a十%=1,雙曲線C2的方程

為攝一￡=1，G與。2的離心率之積為坐則G的漸近線方程為（）

A.x±\/2y=0B.yfix±y=0

C.%±2y=0D.2x±y=0

答案A

解析由題意，知橢圓G的離心率4=嚀^,

雙曲線。2的離心率為62=+?].

國(guó)力近\l（a2-b2）（a2+b2）近

因?yàn)?1七2=2，所以〃2=2'

（層一爐乂層+爐）3

即a4~4f

整理可得。=也尻

又雙曲線C2的漸近線方程為bx±ay=O,

所以hx±\f2hy—0,即x±\/2y=0.

8.設(shè)尸2分別為雙曲線也一方=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，雙

9

曲線上存在一點(diǎn)尸使得|PP|+|PB|=34\PFi\-\PF2\=^ab,則該雙曲

線的離心率為（）

A-3Bl

9

C.4D.3

答案B

解析根據(jù)雙曲線的定義||PK|-|PF2||=2Q,可得1PBi2一

21PBl|尸尸2|十|尸6|2=4層.而由已知可得|P+IF+2『尸山尸尸2|+|尸產(chǎn)2『=9加,

9

兩式作差可得一4|尸乃||尸歹2|=4。2—9。2.又|尸碎|尸尸2|=4協(xié)所以有4層

+9H-?2=0,即（4。-333+38）=0,得4a=36平方得16層=9",

c2

即16a2=9（/一層），即25a2=9/,%=等25，所以e號(hào)5，故選B.

uy3

9.點(diǎn)P在雙曲線下一1=1（?！?,?！?）上，F(xiàn)i,6分別是雙曲線

的左、右焦點(diǎn)，ZFIPF2=90°,且△QPF2的三條邊長(zhǎng)之比為3：4：

5.則雙曲線的漸近線方程是（）

A.y=±2小％B.y=±4x

C.y=+2y15xD.y=±2y[6,\PF2\=4m,|FIF2|

=5m,m>0,則2a=|P尸2|一|PFi|=zn,2c=|尸i尸2|=5刑,所以b=&m,

所以5=坐坦=2冊(cè)，所以雙曲線的漸近線方程是y=±2#x.

2m

10.設(shè)實(shí)軸長(zhǎng)為2的等軸雙曲線的焦點(diǎn)為B，F(xiàn)2,以為直

徑的圓交雙曲線于A、B、C、D四點(diǎn)，則⑻A|+|尸閩+?C]+|BQ|

=（）

A.4小B.2小

C.小D坐

答案A

解析依題意，設(shè)題中的雙曲線方程是r一產(chǎn)=1,不妨設(shè)點(diǎn)A、

B、C、。依次位于第一、二、三、四象限，則有

|AFI|-|AF|=2「七

■2+依2同=尸典2=8'由此解得2尸小+“小小-

1,同理|0回|=以尸||=小+1,|。尸1|=山尸1|=以尸2|=小一1,IABI+/KI

+|CFi|+|r）Fi|=4V3,選A.

11.已知點(diǎn)P是雙曲線AW=l（a〉O,。〉0）右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i,Fi

分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，/為△Pg的內(nèi)心，若

JPF=IPFT/FF

,:成立，則雙曲線的離心率為（）

A.4B.|

C.2D.|

答案C

解析

設(shè)△PF；B的內(nèi)切圓的半徑為八則

\PF}|-\PF21=2a,\FlF2\=2c,SA/PF=^-\PF}\-r,

由S^/pF|=S./PF+-^-Sa%F2，

得1;(|PB|一|PF22=；X；|BF2l-r，，c=2a.

2乙乙乙

雙曲線的離心率為e=—=2.

a

12.設(shè)/是雙曲線C：了一方=1的一個(gè)焦點(diǎn).若C上存在點(diǎn)P,

使線段P尸的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，則C的離心率為.

答案小

解析由已知不妨設(shè)F（-c,Q）,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B（0,b）,B

恰為線段P廠的中點(diǎn)，故尸匕,2力，代入雙曲線方程，由左一器~=1

得，=5,即/=5,又e>l,故e=小.

2

13.已知雙x曲線了一>2=l（q〉0）的一條漸近線為小%+y=0,貝|Jq

答案當(dāng)

解析因?yàn)殡p曲線，一>2=13>0）的一條漸近線為了=一小X,即

y=±%,所以（=小，故。=乎.

2

14.設(shè)直線70）與雙曲線X2%—V東=l（Q>0,h>0）的兩條漸近線分別

交于點(diǎn)A,B.若點(diǎn)尸（九0）滿(mǎn)足|B4|=|PB|,則該雙曲線的離心率是

答案坐

x—3y+m=0,/,、

{.,=《{38a一m。'3bm-J\

11—3y+m=0,,、

I/曰Jz_ambm

v=——r侍33b+a'3b+a/

則線段AB的中點(diǎn)為“g/_4，9._〃2/

由題意得PMJ-AB,?,?如w=—3,得〃=4/?2=4,一4〃，故/=

5.=正

4*''e~2'

15.設(shè)為,凡是雙曲線C/一方=l(a〉0,配>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P

是C上一點(diǎn).若|PFi|+|PB|=6a,且APR尸2的最小內(nèi)角為30。,則C

的離心率為.

答案V3

解析不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，由雙曲線定義知|PB|

-\PF2\=2a,

又因?yàn)镮PRI+IP尸2|=6”,所以|P尸i|=4a,\PF2\=2a,

因?yàn)閨PE|>|PF2],所以NPF1F2為最小內(nèi)角，因此NPEF2=30。，

222

在△PFxFi中，由余弦定理可知，\PF2\=|PF]|+|F]F2|-

21PBi?|QB|-cos30。，即4次=16屋+41?—8小ac,所以/一2小"+3層

=0,兩邊同除以。2,得e?—2仍6+3=0,解得e=小.

R丫2

16.已知雙曲線了一方=l(q>0,h>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,

/2，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|尸產(chǎn)1|=4|尸6|，則雙曲線的離心率e

的最大值為.

答案1

解析設(shè)/F\PF2=8,

8

為|=乎,

\PFx\-\PF^=2a,|P

由'得q

JPFI|=4|PF|

2\PF2\=^a,

由余弦定理得cos8=^2=亙-g”.

17Q5

,：8G(0,7i],cos0G[—1,1),—1忘而一，又e>l,

OOJ

學(xué)霸錯(cuò)題警示題目條件考慮不到位致錯(cuò)

品已知圓G：（的軌跡方程.

［錯(cuò)解］

新圖的爾,設(shè)動(dòng)圓M與圓。皮圓

—一兩圓夕卜切的條件，.

IMC/LIA&I二IMAI,

/MQH3CJ二MM

因?yàn)镮MAI=IMP1,前隊(duì)IMC/TA&I二

IMCJ一伙」,評(píng)IMCJTM&I二IMJTACJ

二3一/二2?

的認(rèn)息M例兩."/,G的電離的差蘢串?dāng)?shù).

又根據(jù)雙曲戲的定義，痛■動(dòng).W、M的執(zhí)跡為

雙曲戲，可設(shè)執(zhí)跡方短方

1/

/一/二/（"0,心0）,其中4二/,

c=3,則占二X.

V2

故3、M的軌跡為41方）。了二/.

［錯(cuò)因分析］在解答本題時(shí)，容易因錯(cuò)誤運(yùn)用雙曲線的定義而出

錯(cuò).本題中，|MG|—|MG|=2,與雙曲線的定義相比，等式左邊少了

外層絕對(duì)值，因此只能表示雙曲線的一支，如果不注意這一點(diǎn)，就會(huì)

得出點(diǎn)M的軌跡方程為爐一七=1這一錯(cuò)誤結(jié)果.

O

［正解］如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓G及圓Q分別外切于A和8

兩點(diǎn).連接MG,MCi.

根據(jù)兩圓外切的條件，得

|MG|一GG|=|M4|,\MC2\-\BC2\=\MB\.

因?yàn)閨K4|=|M8|,所以|MG|-|ACI|=|MC2|-|BC2|,即\MC2\~\MCI\

=|BC2|-|ACI|=3-1=2.

所以點(diǎn)〃到兩定點(diǎn)G,C2的距離的差是常數(shù).

又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支（點(diǎn)M與

。2的距離比與G的距離大），可設(shè)軌跡方程為，一奈=1（。>0,岳0,

的軌跡方程為?=1（%<0）.

O

［心得體會(huì)］

應(yīng)火砂戲的定義中，有兩玄、是缺。不可的：

其一，1懷心懷川二2ajt2zi<2z^.^rn界

第二個(gè)條件，及動(dòng)息與兩定息的電離之美若與

數(shù)，?不是吳的他對(duì)值有多數(shù)，肝么其軌跡R

能是雙曲戲的。支.

［型課時(shí)撬分練

時(shí)間：60分鐘

基礎(chǔ)組

1.［武邑中學(xué)模擬］已知雙曲線a一方=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線/

=4%的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于小，則該雙曲線的方程為

()

C.力一宏=1D.5/一牛=1

答案D

解析二?拋物線的焦點(diǎn)為/(1,0),「^=1.

又卜的.M=5,.■=/_/=一卜/

故所求方程為51—乎=1,故選D.

2.［棗強(qiáng)中學(xué)一輪檢測(cè)廣*8”是“方程一^"一三=1表示雙

m—10m—8

曲線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

2

rv2

解析方程前—一一=表不雙曲線，貝！］(加-

m-10m—o618)(m—10)>0,

r2v2

解得m<8或相>10,故“加<8”是“方程一丁一二~石=1表示雙曲線”

m—10m—8

的充分不必要條件，故選A.

3.［衡水中學(xué)周測(cè)］已知點(diǎn)”(一3,0)、M3,。)、5(1,0),動(dòng)圓C與直

線MN相切于點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn)M、N且與圓C相切的兩條直線相交于

點(diǎn)尸，則點(diǎn)P的軌跡方程為()

V2V2

A.x2—X=l(x>l)B.JC2一去=l(x>0)

o1U

y2-y2

C.x2—g=1(A:>0)D.JC2一行=1(%>1)

答案A

解析如圖所示，設(shè)兩切線分別與圓相切于點(diǎn)S、T,則|PM—IPNI

=(|PS|+|5M|)一(|尸7]+|3])=|5知1一13|=|3知|一|3川=2=2。，所以所

求曲線為雙曲線的右支且不能與x軸相交，。=1,c=3,所以廬=8,

故點(diǎn)P的軌跡方程為r―?=1(%>1).

O

4.[冀州中學(xué)月考]以正三角形A3C的頂點(diǎn)A,3為焦點(diǎn)的雙曲

線恰好平分邊AC,BC,則雙曲線的離心率為()

A.V3-1B.2

C.小+1D.2小

答案C

解析如圖，設(shè)|A8|=2c,顯然|AD|=c,|8D|=Sc,即(小一l)c

2。，

2

,”>^7=小+1，

選c.

92

5.［武邑中學(xué)周測(cè)］已知雙曲線%一方=1（4>0">0）的離心率為3,

則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=土乎％B.y=±^2x

C.y=±2xD.y=-2x

答案A

解析由題意得，雙曲線的離心率6=（=b，故*=冬故雙曲

線的漸近線方程為y=±乎羽選A.

6"衡水中學(xué)月考］已知雙曲線C>*13〉0,?！?）的焦距為

2小，拋物線y=奈+1與雙曲線C的漸近線相切，則雙曲線C的

方程為（）

答案D

hh1

解析由對(duì)稱(chēng)性，取一條漸近線y=/即可，把y=/代入）=而

1hhr1

f+l,得育2—萬(wàn)+1=0,由題意得zl=-2—4X-77X1=0,即a12=

loaalo

4"，又c=小，.'.c2—a2-\-h2=5h2=5,/.h2=1,a2=4,選D.

22

7.［棗強(qiáng)中學(xué)猜題］已知雙曲線會(huì)一臺(tái)=l（a>0,8>0）的左焦點(diǎn)為

Fi，左、右頂點(diǎn)分別為4、A2,尸為雙曲線上任意一點(diǎn)，則分別以線

段尸E,A1A2為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切

C.相離D.以上情況都有可能

答案B

解析設(shè)以線段PB,AM2為直徑的兩圓的半徑分別為八，⑶

若尸在雙曲線左支，如圖所示，則|。2。1|=3尸尸2|=：（|P尸11+20）=^61

+。=-1+-2,即圓心距為半徑之和，兩圓外切，若尸在雙曲線右支,

同理求得|。2。1|=〃一「2,故此時(shí)，兩圓相內(nèi)切，綜上，兩圓相切，故

選B.

8.［衡水中學(xué)期中］已知尸2為雙曲線C：/一丁二？的左、右

焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PB|=2|P6|,則COSNBPF2=（）

A.B1

CD

-45

答案c

解析由題意可知。=8=啦，...c=2

V|PFI|=2|PF2|,又|尸人|一|尸外|=2啦,

AIPF11=4^2,|P園=2|尸1尸21=4.

|PF1|2+|PF|2-|F|F|2

由余弦定理得cosN尸1PF2=22

2|PFI|-|PF2|

（4也）2+（2應(yīng)產(chǎn)―423場(chǎng)工

2義2蛆X4啦=不故選C-

9.［武邑中學(xué)期中］設(shè)6，B是雙曲線X2—皋I的兩個(gè)焦點(diǎn)，P

是雙曲線上的一點(diǎn)，且31PBi=4|PF2|,則△2產(chǎn)】￡的面積等于（）

A.4啦B.8小

C.24D.48

答案C

解析雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為尸產(chǎn)21=2X5=10.據(jù)題意和

41

雙曲線的定義知，2=『分|一|PF2|=引。/2|一|P尸2|=1。/囹，

：.\PF2\=6,|PFi|=8.

.?.|PBF+|尸尸2產(chǎn)=|尸匹|2,

：.PF\LPFi,

.?.5"勺尸2=；仔尸小尸尸2|=；><6><8=24,故選C.

丫2

10.［衡水中學(xué)期末］已知F,,F2是雙曲線了一臺(tái)=1（?！?,Z?>0）

b

的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)P與點(diǎn)后關(guān)于直線y=/

對(duì)稱(chēng)，則該雙曲線的離心率為（）

A.坐B(niǎo).小

C.啦D.2

答案B

解析由題意可知漸近線為P6的中垂線，設(shè)M為尸尸2的中點(diǎn)，

MF。h

所以O(shè)M，P/2.tanNMOF2=^=》因?yàn)镺F2=c,所以MF2=。，

OM=a.因此0/2=2/?,PF\=2a,又因?yàn)镻F2—PFx=2a,所以h=2a,

則c2=a2+b2=5a2,即c=y［5a,故e=~=y［5.

11.［冀州中學(xué)期末］若雙曲線］一?=l（q>0,匕〉0）的一個(gè)焦點(diǎn)到

一條漸近線的距離等于焦距的/則該雙曲線的離心率為.

答案乎

解析雙曲線的一條漸近線方程為縱一紗=0,一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為

,?,D03__\bc—aX0\1

（c,o）.根據(jù)通思：勺加+層=4X2c,所以c=2h,a=