高中數(shù)學(xué)必修二第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題 (七)(含解析)

第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題(7)

1.在三棱臺ABC-ABiG中，2UBC是等邊三角形，二面角4一BC-當(dāng)?shù)钠矫娼菫?0。，B%=CC「

(1)求證：AtA1BC-,

(2)求直線AB與平面BCC/i所成角的正弦值.

2.如圖(1),在矩形ABCC中，E,尸在邊CC上，BC=CE=EF=FZ).沿BE,AF,將4CBE^\￡IDAF

折起，使平面CBE和平面D4尸都與平面A8E尸垂直，如圖(2).

(1)試判斷圖(2)中直線CD與AB的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若平面。兄4n與平面CEB=I,求直線/與平面OEF所成角的正弦值.

3.如圖，棱長為2的正方體ABCD-ABiGDi中，E、尸分別是棱A8,

A。的中點，G為棱上的動點.

(1)當(dāng)G是。義的中點時，判斷直線BG與平面EFG的位置關(guān)系，并加以

證明；

(2)若直線EG與平面DCC1Q所成的角為60。，求三棱錐C-EFG的體積.

4.如圖，四棱錐P-4BC0中,P4底面ABCDABCC為直角梯形,AC與相交于點。,4D〃BC,

AD1AB,AB=BC=AP=3,三棱錐P-ACD的體積為9.

p

(1)求A￡＞的值；

(2)過。點的平面a平行于平面P4B,a與棱BC,AD,PD,PC分別相交于點E,F,G,H,求

截面EFG”的周長.

5.如圖，正方體48。。一公81的。1中.仄尸分別是當(dāng)?shù)?、CG的中點.求證：1\------丁7臼

AIE、DiG、。尸三線共點.

6.如圖，在三棱柱48。-41當(dāng)。1中1底面ABC,4B1AC,且AC=441=1,滿足2元=麗,

CF=-^C.

(1)證明：EF1AXC.

(2)若G為側(cè)面ACC1占上一動點，且EG〃平面SAC］，求點G在側(cè)面4。如&上運動的軌跡長度.

7.如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中側(cè)面PAD為等邊三角形,平面P4D，平面ABCD,AB=BD=

AD=2A/3,BC=CD=2,

(1)求證：PZ1CD；

(2)若ACCBD=E,把^DBC沿8C折起至△D'BC,使平面D'BCJL平面ABCD,求三棱錐D'-DEC的

體積.

8.空間四邊形ABCD,E,尸點分別是AB,BC的中點，G,H分別在CD和AD上，且滿足奈=黑=2.⑴

GDHD

證明：E,F,G,，四點共面；

(2)證明:EH,FG,BD三線共點.

9.如圖所示，一平面與空間四邊形ABCD的對角線AC,80都平行，且交空間四邊形的邊AB,

BC,CD,D4分別于E,F,G,H.

A

RFC

(1)求證：EFGH為平行四邊形;

(2)若AC=BD,四邊形EFGH能否為菱形？

(3)在什么情況下，四邊形EFG”為矩形？

(4)在什么情況下，四邊形EFGH為正方形？

10.如圖,已知正方體4BCD

(1)判斷直線與平面41QB的位置關(guān)系：

(2)判斷直線AC與平面&C1B的位置關(guān)系；

(3)畫出平面力CD】，并判斷平面AC］與平面&GB的位置關(guān)系.

11.如圖所示正方體48CD—4津16。1中，E、F分別為CG和441的中點，畫出平面BEQF和平面

A8C。的交線，并說明理由.

12.如圖，在直三棱柱48C—AiBiG中，4DJ?平面&BC,其垂足。落在直線上.

(1)求證：BClA^B

(2)若4。=g,4B=BC=2,P為AC的中點，求直線PC與面P&B的所成角的余弦值。

13.如圖，在三棱柱ABC-AiBiG中，側(cè)面44道窗是；棱形，且/附4=g,平面44心。_L平面

AAXBXB,AClAAltAAr=2AC=2,。為4公的中點

(1)求證：0clBG

(2)求二面角。一BC-6的余弦值.

14.如圖所示的幾何體中，48。-4遇1&為直三棱柱，四邊形ABCQ為平行四邊形，CD=2AD,

/.ADC=60°,44i=AC.

(1)證明：A,D,Q,Bi四點共面，且&C，DCi；

(2)若4。=1,點M是BC上一點，求四棱錐C—4。6當(dāng)?shù)捏w積，并判斷點M到平面力。的當(dāng)?shù)?/p>

距離是否為定值？請說明理由.

15.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面A3CZ)為菱形，平面P4C1底面ABC￡>,PA=PC=AC.

(1)證明：AC1PB,

(2)若PB與底面所成的角為45。，求二面角8-PC-4的余弦值.

16.如圖，直棱柱ABC。一4B1QD1的底面是菱形，E,尸分別為棱CO的中點，AB1EF.

Z)1

(1)求證：ABLAD-.

(2)若求二面角B-EF-D的余弦值.

17.在四棱錐P—4BCD中，平面P4D平面ABCC,底面ABCC為直角梯形，BC//AD,AADC=

90。,BC=CD=\AD=1,E為線段A。的中點，過BE的平面與線段PD,PC分別交于點G,F.

(1)求證：GF1PA；

(2)若P4=PD=VL是否存存點G,使得直線PB與平面BEG尸所成角的正弦值為誓，若存

在，請確定G點的位置；若不存在，請說明理由.

18.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2^2,PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點.

(1)證明：P01平面ABC；

(2)若點M在棱BC上，且8M=[BC,求二面角M-PA-C的大小.

19.如圖，四棱錐4—BCDE中，底面8CDE是正方形，/ABC=90。,4。=2,BC=1,AE=用,

(1)求證：BCLAE；

(2)求直線AD與平面8CDE所成角的正弦值。

20.a,0是兩個平行平面，在a內(nèi)取四個點，在0內(nèi)取五個點.

(1)這些點最多能確定幾條直線？幾個平面？

(2)以這些點為頂點最多能作多少個三棱錐？

【答案與解析】

1.答案：證明：（1）設(shè)44i，BBi與CQ交于點S,取棱BC的中點0,連接AO,S0.

因為BBi=CG，

故SB=SC.

又。是棱3c的中點，故8clS。.

同理BCJ.4。

又SO,AOu平面SAO,且SOn40=。，

因此BC1平面SAO,

又4遇u平面SAO,

所以力通1BC.

解：（2）方法一：作4H1S。，垂足為H.

因為BC_L平面SAO,平面SAO，所以BC14H,

又SOCBC=0,SO,BCC平面BC'GBi

故AHI平面BCC1%,

從而N4BH為直線AB與平面Bee1當(dāng)所成的角.

由(1)知，乙40S為二面角4一BC-Bi的平面角，則乙4OS=60。,

不妨設(shè)4B=2,則4。=遮，AH-AOsinZ.AOH—|,

所以sin/ABH=瞿=：.

AB4

故直線AB與平面BCGBi所成角的正弦值為看

方法二：如圖，以。為原點建立空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

由(1)知,乙40S為二面角S-BC—Bi的平面角,則乙40s=60。,

設(shè)BC=2,SO=a(a>0),

則點4(75,0,0),5(0,1,0),C(0,-l,0),S(p0,ya).

設(shè)元=(x,y,z)為平面即平面SBC的一個法向量，

郵包=。,得照20,

尻?OS=0(-X+ya-z=0

令x=?則z=-l,即元=(遮

設(shè)8是直線AB與平面BCGBi所成的角，

則直線AB與平面BCGBi所成角的正弦值；

sind-Icos<AB,n>I-，歲?

11|4B|-|n|4

解析：本題考查線線垂直的證明，考查滿足線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面

間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

(1)設(shè)441，BBi與CCi交于點S,取棱3C的中點0,連接A。，S0,推導(dǎo)出BC_LS。，BCLAO,從

而BC，平面SA0,由此能證明4〃1BC.

(2)法一：作4HLS。，垂足為H,則4Hl平面BCG%從而N4BH為直線4B與平面83出所成的

角，由此能求出直線AB與平面BCG/所成角的正弦值.

法二：以0為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,利用向量法能求出直線A8與平面BCG/所成角的

正弦值.

2.答案：解：(1)CD//AB,理由如下：

連結(jié)CQ,分別取AF,BE的中點M,N,連結(jié)。M,CN,

MN,如圖1,

則有△4。尸與ABCE都是等腰直角三角形且全等，

則DMJ.4F,CN1BE,DM=CN,（圖1）

因為平面ADF_L平面ABEF,平面4DFn平面4BEF=AF,DMADF,DM1AF,

所以DMiTiMABEF,

同理可證CN1平面ABEF,

所以DM〃CN,

又因為CM=CN,

所以四邊形COWN為平行四邊形，

所以CD〃MN,

因為例，N分別為A兄BE的中點，

所以MN〃AB,

所以CD〃4B；

(2)因為DM〃CN,CNC平面。FA,DMu平面OE4,

所以CN〃平面OE4,

因為CNu平面CEB,平面DFAn與平面CEB=/,

所以CD〃Z，

因為。M〃CN,

所以CM〃1,

所以直線/與平面QEF所成的角即為直線0M與平面OEF所成的角,

在AB邊上取一點P,使AP=4E,

由圖(1)可知，四邊形AQFP為正方形，即4P=FP,

因為M為AF的中點，所以MP1MA,

由(1)可知，”。，平面48￡：兄

所以MA,MP,MD兩兩垂直，

以M為坐標(biāo)原點，直線M4,MP,AW分別為x軸，y軸,

z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)4F=2,則M(0,0,0),D(0,0,1),2(1,0,0),P(0,l,

0),F(-l,0,0),

所以麗=(1,0,1),FF=AP=(-1,1,0).MD=(0,0,1)-

設(shè)平面OEF的一個法向量為沆=(x,y,z),

則有像裝小x+z=0

即

—x+y=O)

令x=l,則y=l,z=-1,

所以布=(1,1,一1),

設(shè)直線與平面OEF所成的角為仇

則s譏"際＜麗，訪＞|=船=|0xl+0xl+lx(-l)|_V3

lxVl+1+l-3

故直線/與平面團?所成角的正弦值釁

解析：(1)連結(jié)C。，分別取AF,BE的中點M,N,連結(jié)。M,CN,MN,通過翻折前的幾何關(guān)系得

到^AD尸與△BCE都是等腰直角三角形且全等，再利用面面垂直的性質(zhì)定理得到。M1平面ABEF,

同理可證CN_L平面ABEF,再利用垂直于同一個平面的兩條直線平行，從而可以證明四邊形CDMN

為平行四邊形，即可得到CZ7/MN,再利用平面幾何知識即可證明CD〃4B；

(2)利用線面平行的判定定理得到CN〃平面DFA,再利用線面平行的性質(zhì)定理得到CD〃/,從而得到

直線/與平面DE尸所成的角即為直線DM與平面。E尸所成的角，例為坐標(biāo)原點，直線AM,MP,

分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需各點的坐標(biāo)，再求出直線。M的方向向

量和平面OEF的法向量，然后利用線面角的求解公式計算即可.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了由平面圖形翻折得到立體圖形的應(yīng)用，在求解空間角的時

候，常會選用空間向量法進行求解，解題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角轉(zhuǎn)化為空

間向量的夾角進行研究，屬于中檔題.

3.答案：解：(1)依題意可以判斷，直線BC］與平面EFG平行，

證明：連結(jié)

因為F,G分別是AO,的中點，所以FG〃/A，

又因力B〃DiG，且4B=D1G，所以四邊形ABGDi是平行四邊形，

所以4DJ/BG，所以FG〃BG，

又因BCi仁平面EFG,且FGU平面EFG,

所以BC"/平面EFG；

(2)取CO的中點0,連結(jié)OE,OG,由題意可得，0E1平面。CGDi，

所以ZOGE是直線EG與平面DCCiA所成角，

所以。，^.Rt^OEG'P，0G=

NOGE=60tan603

所以在RtAODG中，DG=J(|V3)2-12=y,

所以％_EFG=VG-CEF=SCEF-DG=;(22-；x1x1-2x1x1x2)^=

3JZNJ。

解析：(1)直線BCi與平面EFG平行，然后利用線面平行的判定定理進行判定即可;

(2)取8的中點O,連結(jié)OE,OG,可得NOGE是直線EG與平面DCC15所成角，求出OG、DG,

最后根據(jù)％-EFG=%-CEF=QSACEF-DG,從而可求出所求.

本題主要考查了線面平行的判定定理，以及三棱錐的體積，同時考查了空間想象能力和運算求解的

能力，屬于中檔題.

4.答案：解：(1)四棱錐P—4BCC中，PAABCD,

ABC。為直角梯形，AD//BC,AD1AB,AB=BC=AP=3,

仁li、iT71AB'AD.八3AD_.

所以CD=3X-AP=—=9,

解得4D=6.

(2)因為a〃平面PAB,平面an平面ABCD=EF,0eEF,

平面PABn平面ABCD=AB,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，所以EF〃4B,

同理￡7/〃BP,FG〃/IP,

因為BC〃AD,4￡>=2BC,

所以dBOCs/DOA,且啜=穿=:，

ADOA2

又因為4C0Es』A0F,AF=BE,

所以BE=2EC,

同理2AF=FD,2PG=GD,

EF=AB=3.EH=-3PB=V2,FG=-3AP=2,

如圖：

作HN〃8C,HNClPB=N.GM//AD.GMnPA=M,

所以HN〃GM,HN=GM,

故四邊形GMNH為矩形，即GH=MN,

在4PMN中，MN=V8+1-2X2V2XCOS450=V5>

所以截面EFGH的周長為3+2+V5+V2=5+V5+V2.

解析：本題考查了余弦定理，棱錐的體積，空間中直線與平面的位置關(guān)系，面面平行的性質(zhì)等.

(1)由題可得AB=BC=4P=3,IZPYCD=[X—―4P=^=9,進而得出的值；

(2)由題分別求出EF,EH,FG,gHN〃BC,HNnPB=N.GM//AD,GMCtPA=M,可得G”=MN,

求出MM進而得出截面EFG”的周長.

5.答案：證明：連結(jié)EF、B￡、A.D,由題可知4/V/BiC,

???E、產(chǎn)分別是BiG、GC的中點，

EF//BXC,且￡尸=消。，

AEFf/A^,S.EF=^ArD,

..&DFE為梯形.

則可令A(yù)ECDF=P.

由Pe&Eu面41B1CW1，P€DFu面D1DCC1，

APGD1G=面4/1。1。1n面D1DCC1，

二人芯、D?、。尸共點于P.得證.

解析：根據(jù)如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且這些公共點的集合是一條過

這個公共點的直線，從而可證得結(jié)論.

本題主要考查了平面得基本性質(zhì)，同時考查了空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：解：（1）證明：???在三棱柱4BC-&8傳1中，AC=AA1

.??側(cè)面&力eq是正方形

:.41c1AC1

???AAt1底面ABC,ABu面ABC,

AAB1AAt.

y,AB1AC,ACnAAr=Af且ACu面/4。，u面//傳，

???AB上面/4傳，又4傳u面44傳，

??.AB1ArC

vABC\ACr=A,&Cu面4BQ,ABu面4BG，

???ArC，面/叫，又BCiu面ABCi，

???41c1BCi,

由2謂=方，而=一：殺可知，E、尸分別是棱3C、CCi上靠近點C的三等分點

???EF//BClf

???EF141c.

(2)由(1)EF〃BG，EFC面ABC],BC】u面

所以EF〃面4BG，

又EG〃平面BACi，EFCEG=E,

.,.面GE尸〃面4BQ,又面ABCn面GEF=GE,面ABC0麻486=AB

AB11GE

?.?在AABC中，E是棱BC上靠近點C的三等分點

G是線段4c上靠近點C的三等分點

???GF114G且GF=IG=y,

???點G在側(cè)面ACC"上的運動軌跡長為爭

解析：本題考查立體幾何兩直線位置關(guān)系、線面垂直的性質(zhì)判定以及空間中的距離，屬于中檔題；

(1)本題考查兩直線位置關(guān)系的證明，先根據(jù)已知條件證明&C1SC1，再利用平行線的性質(zhì)證明即

可；

(2)本題考查空間中的距離，先根據(jù)綿綿平行的性質(zhì)得到AB〃GE,再求解軌跡長度即可.

7.答案：解：(1)證明：AB=BD=AD=2V3>

為等邊三角形，

:.LADB=60°,

又BC=CD=2,由余弦定理有cos乙BCD=

22+22-(2>/3)2_1

-----------------------——―—,

2X2X2----------2

4BCD=120°,即4BDC=30°,

Z.ADC=90°,即CD14。,

又平面PAD_L平面ABCD,平面PADn平面ABC。=AD,

???CD，平面PAD,

又PAu平面PAD,

???CD1PA；

(2)???AD=AB,BC=CD,

.?.點E是中點且4c1BD,

hDBC，

SADEC=2^

又SADBC=\BC-DC-sinzDCB=[x2x2xsinl200=V3,

XDEC~y*

過點D'作D'FIBC,垂足為F,

?.?平面D'BC1平面ABC。，平面O'BCC平面ABC。=BC,D'Fu平面。BC,

D'F1-TffiABCD,

又?.,D'C=2,Z.D'CF=60°,

D'F=D'C-sin600=2x—=y/3,

???三棱錐D'-DEC的體積為工xV3x^=i.

322

解析：⑴先求得NADB=60°,4BDC=30°,進而得到CD1AD,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得證；

(2)易知，如。=：SADBC，由此可得SAOEC=W，過點D'作D'F^BC,垂足為F,可得。下=百，再

由三棱錐的體積公式計算得解.

本題考查通過線線，線面，面面間的垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，考查三棱錐體積的求法，考查推理論

證能力以及運算求解能力，屬于中檔題.

8.答案：解：(1)由題意作出圖形，

A

￡HP

DG>c

BF

因為E,尸分別為AB,BC的中點，

所以EF〃4C,￡LEF=^AC,

nri\iCGAH0

因為一=一

GDHD=2,

所以GH〃/IC,且GH=[4C,

所以EF〃GH,

所以E,F,G,"四點共面.

(2)由(1)知，EF//GH,S.EF=^AC,

GH=^AC,所以EF彳GH,

所以四邊形EFGH是梯形,

設(shè)EHClFG=P,

因為EHu平面ABD,所以Pe平面ABD,

同理P6平面BCD,

又因為平面ABDn平面BCD=BD,

所以PGBD,

所以EH,FG,8￡＞三線共點.

解析：本題主要考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，考查推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.

(1)通過求證E/7/GH,即可求證E,F,G,"四點共面；

(2)由(1)得四邊形EFGH是梯形，設(shè)E”nFG=P,再通過求證P6BD,即可求證E”，F(xiàn)G,BD三

線共點.

9.答案：解：(1)證明：因為BD〃平面EFGH,BDu平面A8O,平面ABDn平面EFGH=E77,

所以BD〃E〃，

同理BD〃FG.所以EH〃FG,

同理E/7/HG.所以四邊形EFGH為平行四邊形.

(2)四邊形EFGH為菱形.

(3)當(dāng)4C_LBD時，四邊形EFG”為矩形.

(4)當(dāng)4C18D,AC=BD,且E,F,G,"分別是AB,BC,CD,D4的中點時，

四邊形瓦G”為正方形.

解析：略

10.答案：解：(1);。。1〃2?場，直線BBi與平面AiGB相交，

???直線與平面小。山相交；

(2)1.,AC//AyC1,4CC平面AiQB,AiGu平面

直線AC與平面.A?3平行；

(3)畫出平面4CDi，如圖：

ADiZ/BC'i,.1。以平面小。山，BGu平面ACiB,

.?.、。|〃平面.山。山，

由(2)知,AC〃平面41。/?,

又4￡)1介4(7=八，/1。1(1平面人。01，4Cu平面4czh，

平面AODi〃平面AiC'W.

解析：略

11.答案：解：在平面441。/內(nèi),延長D/,

v￡>/與DA不平行，

???QF與DA必相交于一點，設(shè)為P,

則PeD/,P6DA,

又???D]Fu平面BEOiF,ADu平面ABCD,

P€平面BED1F,P€平面ABCD,

又8為平面ABC。與平面BEDiF的公共點，連接PB,

PB即為平面BED/與平面ABCD的交線，

如圖所示：

解析：此題考查了平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，屬于中檔題.

延長D/,D/與D4不平行，名?與D4必相交于一點，設(shè)為P,由公理可知P8即為平面BED/與

平面A8CQ的交線.

12.答案：(1)證明：???三棱柱ZBC-aB1C1為直三棱柱，

ArAJ_平面ABC,又BCu平面ABC,ArA1BC,

vADL平面&BC,且BCu平面&BC,

AD1BC.

又他U平面遇u平面

48,4DArAr\AD=A,

???BC_L平面448,

又A]Bu平面&BC,

???BC1&B;

(2)解：由(1)知BC_L平面4i4B,4Bu平面力i4B,從而BC_L4B,

如圖，以3為原點建立空間直角坐標(biāo)系B-孫z,

???ADJ■平面4BC,其垂足。落在直線上,

AD1ArB.

在RtAABD中，AD=V3，48=2,

sin^BD若若，〃BD=6。。,

在直三棱柱力-中，A^ALAB.

在中，百，

Rt△ABAXAAt=AB-tan60°=2

則B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),

0),4(0,2,2b)，

BP=(1,1,0)，西=(0,2,2V3),BC=(2,0,0)，PC=(l,-l,0)

設(shè)平面P&B的一個法向量元=(x,y,z),

即｛UAL。.

取x=3,得司=(3,—3,遮)，

設(shè)直線PC與面P&B的所成角為。，

??.sin”|cos同醐=|篝卜手，

???直線PC與面尸4B的所成角的余弦值是

解析：本題主要考查的是線線垂直的證明及線面所成角的求法，屬于中檔題.

(1)利用線面垂直證明即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合直線的方向向量與平面的法向量求解即可.

13.答案：解：(1)如圖，連接。G，在矩形A41cle中，AA1=2AC=2,。為441的中點，所

以0C10cl.

因為44i=4B,所以△A&B為正三角形，

又。為441的中點，所以。

又平面A41cleJ_平面AAi/B,平面A4iG(?n平面A4iBiB=AAX,OB:平面

所以O(shè)B1平面441GC.

又OC星平面4A1GC,所以0B10C,又OBC\OJ=0,

所以O(shè)C1平面BOG，

又BCi些平面BOG，所以O(shè)C1BC「

(2)取CCi的中點E,連接OE,則。E_LA人,所以。4,OB,OE兩兩垂直，

如圖，以。為坐標(biāo)原點，分別以函，OB，而為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),C(l,0,1),Ci(-1,0,1),B(0,V3,0).

所以元=(1,0，1)-'0B=(0,V3,0).CB=(-1,V3,-1),CC1=(-2,0,0).

設(shè)平面03C的法向量為4=(xj,z),

則仲.㈣=°,即件=。,

向?0C=0卜+z=0

令％=1,得宙=(1,0,-1)是平面O3C的一個法向量.

同理可求得平面BCG的一個法向量為五=(0/，V3),

則COSV五，論>==一￡

MJMzIV2X24

由圖知二面角?！狟C—G為銳二面角，

所以二面角。-BC-G的余弦值為印

解析：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，屬于中檔題.

⑴根據(jù)44B1B是菱形和NB441=p可得OB1441，進而得OB10c,在矩形相停也中證得0C1

0G，則可推得0C,平面B0Q,再由線面平行性質(zhì)得結(jié)論；

(2)取CC］的中點E,建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面08c和平面BCG的法向量，計算可得結(jié)果.

14.答案：(1)證明：因為為直三棱柱，

所以BC〃BiG，且BC=BiG，

又因為四邊形ABCD為平行四邊形，

所以8C〃4。，S.BC=AD,

所以AD〃GB「且4)=GBi，

所以四邊形4DC1B］為平行四邊形，

所以A,D,6，公四點共面；

因為/A1=AC,又A&，平面ABCD,

ACABCD,所以A41AC,

所以四邊形44CG為正方形，連接4G交4C于E,

所以41c_L4Ci，在44。。中，CD=2AD,AADC=60°,

由余弦定理得4c2=AD2+CD2_2AD,CDCOS60。，

所以=所以CD?=+4。2，

所以4D1AC,又叫1平面ABCD,

ADc5p?ABCD,AA±LAD,

因為4C,u平面4遇。6，ACnAAX=A,

所以力。_L平面44CC1，

因為&Cu平面414CG，所以力

又因為ADnACi=4

AD,4clu平面ADCiBi，

所以41c，平面ZDCiG，

因為L>Gu平面ZDC/i，

所以41c1DC「

(2)解：由(1)知：&C1平面ACGBi，

在RtADAC中，由已知得AC=百，

所以CE="=立，

22

所以四棱錐C-40GB1的體積V=1AD?AC1?CE=1：

因為BC〃/ID,所以點M到平面4DC[Bi的距離為定值，

即為點C到平面ADC1當(dāng)?shù)木嚯xCE=當(dāng)

解析：本題主要考查四點共面的證明、線面垂直的判定以及性質(zhì)，四棱錐體積的計算，以及點到面

的距離.

(1)由已知得到4D〃GBi，且4D=GBi，所以A,D,Q,%四點共面；又441，平面A8C。，所以

4&14C,所以四邊形44CG為正方形，再解三角形得到4。_L4C,又44i14D,進而得4DJ■平

面4114cC],即可得證；

(2)先求出CE=Z*=漁，而四棱錐。一4。的81的體積^=；4。"6??！?1,再根據(jù)8(7"1。,

22J

即可得到答案.

15.答案：證明：（1）連接B。交AC于0,

???底面ABCD為菱形，二4C1B。，

-?■PA=PC,0為AC的中點，二ACJ.P0,

又BDnP0=。，；.AC1平面PHD,

則AC1PB；

解：（2）?.?「/!=PC,。為AC的中點，??,ACIP。，

又平面PAC，底面ABCD,平面PACn底面ABCD=AC,

POu平面PAC,

???P。J■平面ABC。，則OB,OC,OP兩兩互相垂直.

以。為坐標(biāo)原點，分別以08,OC,0P所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

???PB與底面所成的角為4PB。=45°,

???OB=OP,設(shè)0P=V5，則。C=l,OB=心.

B(V3,0,0),C(0,l,0),P(0,0,V3)，4(0,-1,0)，

BP=(-V3,0,A/3).BC=(-A/3,1,0).

設(shè)平面BPC的一個法向量為元=(x,y,z),

由《亙=一任+岳：。，取久=1，Wn=(l,V3,l).

(n-BC=-V3x+y=0、，一

又平面APC的一個法向量枳=OF=(V3,0,0)，

、mn>/3Vs

：?cos<m,n>=——=—~~尸=——.

|m||n|y/5Xyf35

???二面角B-PC-4為銳角，

二二面角B-PC-A的余弦值為在.

5

解析：（1）連接8。交AC于。，由已知可得4c1BD,AC1PO,再由直線與平面垂直的判定可得AC1

平面PBD,進一步得到AC1PB；

（2）證明P01平面ABC。，則。8,OC,OP兩兩互相垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)B,OC,OP

所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面8PC與平面APC的一個法向量，由兩法

向量所成角的余弦值可得二面角B-PC-4的余弦值.

本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解

空間角，是中檔題.

16.答案：（1）證明：???直四棱柱48CD-4/16%的底面是菱形，.?.&￡1〃￡>?,

又E、下分別為棱4名，CC的中點，

:.ArE=DF,

???四邊形&EFD是平行四邊形，??"尸〃人。，

AB1EFf???AB1AtD,

由直四棱柱的性質(zhì)知，4411平面A8CD,

vABu平面ABCD,/.AB1AAlf

XA1DDAA1=Alfu平面/ODMi，

1平面4。。送1，

vADu平面4。。141，

???AB1AD.

T

(2)解：以A為原點，AB.AD,A公所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)=4。=4B=a,貝ijD(O,a,0),B(a,0,0),￡(p0,a),F(^,a,0),

BE-(-|,0,a),EF=(0,a>-a),~DE-(^,-a,a),

設(shè)平面弼的法向量為元=(x,y,z),則朽國=°,即廣產(chǎn)+az=。

In?EF=0{ay—az=0

令％=2,則y=z=1,/.n=(2,1,1),

同理可得，平面尸的法向量為沅=(0/，1),

一、mn1+1x/3

???cos<m,n>=——=-p.~-=——，

m-nx/2x>/63

由圖可知，二面角8-5/一0為鈍角,

.??二面角B-EF-D的余弦值為一4.

3

解析：(1)結(jié)合直四棱柱和菱形的性質(zhì)證得四邊形&EF。是平行四邊形，有EF”A[D,于是力B1A.D,

而4B1441，可推出48_L平面4。。遇[,進而得證；

(2)以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面BEF和平面OEF的法向量為元與沅，由cos〈沅，元〉

=需，即可得解

本題考查空間中線與面的垂直關(guān)系、二面角的求法，熟練掌握線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，以

及利用空間向量處理二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運算能

力，屬于中檔題.

17.答案：(1)證明：因為=且E為線段4。的中點，所以BC=DE,

又因為BC〃4D,所以四邊形8CDE為平行四邊形，所以BE〃CD,

又因為CDu平面PCD,BEC平面PCD,所以BE〃平面PCD,

又平面BEGFD平面PCD=GF,所以8E〃GF,

又BE1AD,且平面P/W1平面ABCD,平面P40Cl平面ABC。=AD,

所以BEJ"平面PAO,所以GF_L平面PA。，

又PAu平面PAD,所以GF1PA；

(2)解：因為PA=PO,E為線段A。的中點，所以PE140,

又因為平面PADJ"平面ABCD,所以PE_L平面ABCD,

以E為坐標(biāo)原點，麗的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz；

則P(0,0,1),8(0,1,0),E(0,0,0),0(-1,0,0),

媯麗=(0,1,-1),BE=(0,-1,0),DP=(1,0,1),

設(shè)就=ADP,得-1,0,4,所以國=(4一1,0,4),

設(shè)平面BEGF的法向量為記=(x,y,z),

則1BE-n=O,S/Ay=0,

1EG-n=0,I(A-l)x+Az=0,

令x=X,可得記=(尢0,1-4)為平面8EGF的一個法向量，

設(shè)直線PB與平面BEGF所成角為a,

于是有sina=|cos伍，而)|=|==|=|而品于=?|:

得A1或/':-1(舍)，

???存在點G(-|,0彳)，使得PB與平面BEGF所成角的正弦值為唱，

故G為。P的靠近D點的三等分點.

解析：本題考查線面垂直的判定定理以及線面夾角，考查空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)利用線面垂直的判定定理證明出GF_L平面PAD,進而得出GF1PA；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出G點坐標(biāo)，求出直線P8與平面BEGF所成角的正弦值，得出G點坐

標(biāo)即可得出結(jié)論.

18.答案：(1)證明:連接。氏

vPA=PC,。為AC的中點，

..PO1AC>

PO=4x[=2V3.

又,；AB=BC=2&，AC=4,

AB2+BC2=AC2,^ABLBC.

???在RfSABC中，。4=OB=OC=2.

??PO2+OB2=PB2,

PO1.OB.

又,；ACCOB