用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系

點(diǎn)、直線和平面是空間的基本圖形，點(diǎn)、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.

為了用空間向量解決立體幾何問題，首先要用向量表示空間中的點(diǎn)、直線和平面.

本節(jié)我們進(jìn)一步運(yùn)用空間向量研究立體幾何中有關(guān)直線、平面的位置關(guān)系和度量問題.

1.基點(diǎn)：在空間中我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn).2.向量表示：空間中任意一點(diǎn)P的位置可以用

來表示.3.點(diǎn)的位置向量：

為點(diǎn)P的位置向量.AalPB

追問：直線的方向向量是不是唯一的？OAalPB

①式和②式都稱為空間直線的向量表達(dá)式.由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.如圖，a是直線l的方向向量，在直線l上取AB＝a，取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使OP＝OA＋ta．

①OP＝OA＋tAB．

②bP

AaAP=xa+yb

問題3：一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？如果能確定，如何用向量表示這個(gè)平面？

問題4：如何確定點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)？ACBaObPp

BαACPOab

l

aA

直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則a

叫做平面α的法向量．

過空間點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以用集合表示為

．{P|a·AP=0}

答案：1、(1)×

(2)√

(3)√

(4)√練習(xí)

3.已知向量n=(2,-3,1)是平面α的一個(gè)法向量，下列向量中能作為平面α的法向量的是( )A.n1=(0,-3,1) B.n2=(2,0,1)C.n3=(-2,-3,1) D.n4=(-2,3,-1)D

（1）求直線CD的方向向量；解：(1)D(0,0,0),C(0,4,0)

，直線CD的方向向量是

利用待定系數(shù)法求法向量的步驟設(shè)向量設(shè)平面法向量n=(x,y,z)列方程組選向量在平面內(nèi)選取兩個(gè)不共線向量AB,AC取x,y,z中一個(gè)為非零值(常取±1)賦值結(jié)論得到平面的一個(gè)法向量n·AB=0n·AC=0列出等式

練習(xí)5.已知四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并求出平面SAB、平面SDC的一個(gè)法向量.

問題6：

我們已知直線的方向向量與平面的法向量是確定空間中的直線與平面的關(guān)鍵量，那么能否用這些向量來刻畫空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系呢？u1u2l1l2nuln2n1線線平行線面平行面面平行空間向量與平行關(guān)系u1u2l1l2nuln2n1練習(xí)-6-5-46.已知直線l1的方向向量為v1=(1,2,3)，直線l2的方向向量為v2=(λ,4,6)，若l1//l2，則λ=（

）A.1 B.2 C.3 D.47.已知平面α的一個(gè)法向量是(2,-1,1)，α//β，下列向量可作為平面β的一個(gè)法向量的是（

）A.(4,2,-2)

B.(2,0,4)

C.(2,-1,-5)

D.(4,-2,2)練習(xí)

8.若u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3)分別為兩個(gè)不同平面α、β的一個(gè)法向量，則（

）A.α//β

B.α⊥β

C.α，β相交但不垂直

D.以上均不正確

例2：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M,N分別為CC1和B1C1的中點(diǎn).求證：MN//平面A1BDABCDA1D1C1B1MN

u1u2l1l2nn2n1ul空間向量與垂直關(guān)系例5：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G分別為CC1的中點(diǎn).求證：A1O⊥平面GBDABCDA1D1C1B1OG9、如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C中點(diǎn)．求證：MN⊥平面A1BD．練習(xí)

例7：如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E分別為BB1的中點(diǎn).求證：平面AEC1⊥平面AA1C1CABCA1C1B1E10、在四棱錐?????????中，底面????????是正方形，????⊥底面????????，且????=????，??是????的中點(diǎn).求證：平面??????⊥平面????????.

練習(xí)10、如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)BF⊥PE時(shí)，AF∶FD的值為 ()A．1∶2B．1∶1C．3∶1D．2∶1B11、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)，試在棱CC1上求一點(diǎn)P，使得平面A1B1P⊥平面C