第03講 多邊形及其內角和（3個知識點+8個考點+易錯分析）-新八年級《數(shù)學》暑假自學提升講義（人教版）解析版

第第頁第03講多邊形及其內角和（3個知識點+8個考點+易錯分析）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1.了解多邊形的有關概念,認識多邊形的邊、內角、外角、頂點、對角線2.認識正多邊形,知道正多邊形的每條邊都相等,每個內角都相等.3.探索并掌握多邊形的內角和公式與外角和定理,會用多邊形的內角和公式與外角和定理進行簡單的計算與說理知識點1：多邊形及其相關概念1．定義：在平面內不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內角，一個n邊形有n個內角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形凸多邊形凹多邊形4.正多邊形各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．5.多邊形的對角線連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.要點歸納：(1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形【例1-1】對于正多邊形，下列說法正確的是（

）A．正多邊形的邊都相等，內角都相等；B．各邊相等的多邊形是正多邊形；C．各角相等的多邊形是正多邊形；D．由正多邊形構成的多邊形是正多邊形；【答案】A【詳解】A.由正多邊形的性質：各邊相等，各角相等，正確B.菱形不是正方形，錯誤C.矩形不是正方形，錯誤D.正方形與邊長相等的等邊三角形拼成的五邊形不是正多邊形，錯誤【變式1-2】a個六邊形、b個五邊形共有條邊．【答案】6a+5b【分析】由六邊形有六條邊，五邊形有五條邊，即可計算．【詳解】解：∵a個六邊形有6a條邊，b個五邊形有5b條邊，∴a個六邊形、b個五邊形共有6a+5b條邊，故答案為：6a+5b.【點睛】本題考查多邊形的概念，關鍵是掌握n邊形有n條邊．【例1-3】從多邊形的一個頂點出發(fā)，可以畫出4條對角線，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)為，由題意，得：，∴，∴該多邊形的邊數(shù)為7；【點睛】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．掌握n邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線是解題的關鍵．【例1-4】一個正多邊形從一個頂點出發(fā)有3條對角線，它的周長為42cm，則它的邊長為cm．【答案】7【分析】根據(jù)n邊形一個頂點可以引n?3條對角線求出這個正多邊形的邊數(shù)，進而求出對應的邊長即可．【詳解】解：設這個正多邊形的邊數(shù)為n，由題意得n?3=3，解得n=6，∵這個正多邊形的周長為42cm，∴這個正多邊形的邊長為42÷故答案為：7．【點睛】本題主要考查了多邊形對角線條數(shù)問題，熟知n邊形一個頂點可以引n?3條對角線是解題的關鍵．【變式1-1】下列說法正確的是（

）A．由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形B．多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內角或外角C．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形D．連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的概念，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、在平面內，由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，故本選項錯誤，不符合題意；B、多邊形的一邊與另一邊組成的角叫做多邊形的內角，多邊形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角，故本選項錯誤，不符合題意；C、各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形，故本選項正確，符合題意；D、連接多邊形兩個頂點的線段，分為兩種類型是連接相鄰兩個頂點的線段是多邊形的邊，連接不相鄰的頂點的線段叫做多邊形的對角線，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了多邊形的概念；多邊形內角、外角的概念；對角線的概念，熟練掌握由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形是解題的關鍵．【變式1-2】下列說法錯誤的是（

）A．五邊形有5條邊，5個內角，5個頂點；B．四邊形有2條對角線；C．連接對角線，可以把多邊形分成三角形；D．六邊形的六個角都相等；【答案】D【分析】運用多邊形的定義及其內角、對角線等知識分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、五邊形有5條邊，5個內角，5個頂點，原選項正確，故不符合題意；B、四邊形有2條對角線，原選項正確，故不符合題意；；C、連接對角線，可以把多邊形分成三角形，原選項正確，故不符合題意；D、六邊形的六個角不一定相等，只有正六邊形的六個內角相等，原選項錯誤，故符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的定義及其內角、對角線等知識點，解決本題的關鍵是熟練掌握多邊形的定義【變式1-3】如果從一個多邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，最多能將多邊形分成2023個三角形，那么這個多邊形的邊數(shù)為．【答案】2025【分析】本題考查多邊形的有關知識，解題的關鍵是掌握，從n邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，將n邊形分成n?2個三角形．【詳解】解：∵從n邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，將n邊形分成n?2個三角形，∴n?2=2023，∴n=2025，故答案為：2025．知識點2：多邊形的內角和（重難點）n邊形的內角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點歸納：(1)內角和公式的應用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內角和；②已知多邊形內角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內角都相等，都等于；【例2】正多邊形的內角和為，則這個多邊形的一個內角為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵正多邊形的內角和為，∴，解得：，∴這個多邊形的一個內角為；故選C【點睛】本題考查的是正多邊形的內角和問題，熟記多邊形的內角和公式與正多邊形的定義是解本題的關鍵．【變式2-1】蜂巢結構精巧，如圖是部分巢房的橫截面圖，形狀均為正六邊形．正六邊形的內角和是°．【答案】720【分析】本題考查了多邊形內角和，根據(jù)內角和公式：(n?2)×180°（其中n表示多邊形的邊數(shù)），即可完成求解．掌握多邊形內角和公式是關鍵．【詳解】解：正六邊形的內角和為：(6?2)×180°=720°，故答案為：720．【變式2-2】（2023八年級·云南昆明·期中）已知一個多邊形的內角和是2340°，則這個多邊形的邊數(shù)是．【答案】15/十五【分析】本題考查多邊形得內角和，根據(jù)多邊形的內角和公式，進行求解即可．【詳解】解：設所求n邊形邊數(shù)為n，則n?2?180°=2340°解得n=15．故這個多邊形的邊數(shù)是15．故答案為：15．【變式2-3】（2023八年級·重慶·階段練習）若五邊形的內角中有一個角為80°，則其余四個內角之和為．【答案】460°【分析】本題考查多邊形的內角和，熟練掌握內角和公式是解題的關鍵．【詳解】解：5?2×180°?80°=460°故答案為：460°．知識點3：多邊形的外角和定理（重點）多邊形的外角和為360°．要點歸納：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關；(2)正n邊形的每個內角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．【例3】已知一個多邊形的每個外角都是，那么這個多邊形的邊數(shù)是__________．【答案】12【分析】利用任何多邊形的外角和是除以外角度數(shù)即可求出答案．【詳解】解：多邊形的外角的個數(shù)是，所以多邊形的邊數(shù)是12，故答案為：12．【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理，已知外角求邊數(shù)的這種方法是需要熟記的內容．【變式3-1】十二邊形的外角和為（

）A．30° B．360° C．150° D．1800°【答案】B【分析】本題考查多邊形的外角和，根據(jù)多邊形的外角和為360度，判斷即可．【詳解】解：十二邊形的外角和為360°；故選B．【變式3-2】若一個多邊形的內角和與外角和之比是的5︰2，則這個多邊形的邊數(shù)是．【答案】7【分析】設這個多邊形的邊數(shù)是n，則內角和為180°×(n?2)，然后根據(jù)外角和是360度，即可求得邊數(shù)．【詳解】解：設這個多邊形的邊數(shù)是n，則∴180°×(n?2)解得n=7；故答案為：7．【點睛】本題考查了多邊形的計算，理解多邊形的外角和是360度，外角和不隨邊數(shù)的變化而變化是關鍵．【變式3-3】已知一個正多邊形的內角和與其外角和的和為2160°，那么從這個正多邊形的一個頂點出發(fā)，可以作條對角線．【答案】9【分析】此題主要考查了多邊形的外角和以及內角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，關鍵是掌握多邊形的內角和公式(n?2)×180°．首先根據(jù)多邊形外角和求出內角和的度數(shù)，再利用內角和公式可得多邊形的邊數(shù)，再計算出對角線的條數(shù)．【詳解】解：∵多邊形的外角和都是360°，∴內角和等于2160°?360°=1800°，設這個多邊形有n條邊，∴(n?2)×180°=1800°，解得：n=12，∴從這個正多邊形的一個頂點出發(fā)，可以作12?3=9條對角線．故答案為：9．易錯點：多邊形“截角問題”因漏解而致錯【例4】若一個多邊形截去一個角后變成了六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是（

）A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8【答案】C【分析】實際畫圖，動手操作一下，可知六邊形可以是五邊形、六邊形、七邊形截去一個角后得到．【詳解】解：如圖，原來多邊形的邊數(shù)可能是5，6，7．故選C【點睛】本題考查的是截去一個多邊形的一個角，解此類問題的關鍵是要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．【變式4-1】將一個多邊形切去一個角后所得的多邊形內角和為，則原多邊形的邊數(shù)為（）A．或 B．或 C．或或 D．或或【答案】C【分析】因為一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)多邊形的內角和即可解決問題．【詳解】解：多邊形的內角和可以表示成（且n是正整數(shù)），一個多邊形截去一個角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù)題意得，解得：，則多邊形的邊數(shù)是或或，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和定理，本題容易出現(xiàn)的錯誤是：認為截取一個角后角的個數(shù)減少1．【變式4-2】若一個多邊形截去一個角后，變成六邊形，則原來多邊形的邊數(shù)可能是_____．【答案】5，6，7．【分析】直接畫圖，動作操作即可知答案.【詳解】如圖可知，原多邊形的邊數(shù)可能為5,6,7故填5，6，7．【點睛】本題考查多邊形性質，解題關鍵在于能夠畫出圖形.【變式4-3】把一張長方形紙片剪去一個角后，還剩_____個角．【答案】3或4或5．【分析】剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者邊數(shù)不變．【詳解】解：如圖所示，把一張長方形紙片剪去一個角后，可得三角形或四邊形或五邊形，故還剩3或4或5個角，故答案為：3或4或5．【點睛】本題考查了剪長方形的問題，掌握剪長方形的性質是解題的關鍵．考點1：確定多邊形的邊數(shù)1．如果從一個多邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，最多能將多邊形分成2023個三角形，那么這個多邊形的邊數(shù)為___________．【答案】2025【分析】從邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，將邊形分成個三角形，由此即可解決問題．【詳解】解：從邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，將邊形分成個三角形，，，故答案為：2025．【點睛】本題考查多邊形的有關知識，解題的關鍵是掌握，從邊形的一個頂點出發(fā)作它的對角線，將邊形分成個三角形．2．若從一個邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引10條對角線，則_____．【答案】13【分析】根據(jù)對角線構成，不是一條邊上的兩個端點連線構成對角線，一個頂點所在兩條邊上與其相鄰的兩個頂點除外，邊形的一個頂點引出條對角線直接求解即可得到答案．【詳解】解：從一個邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引10條對角線，根據(jù)題意得，解得，故答案為：13．【點睛】本題考查多邊形對角的規(guī)律，掌握邊形的一個頂點引出條對角線是解決問題的關鍵．3．一張七邊形卡片剪去一個角后得到的多邊形卡片可能的邊數(shù)為______．【答案】6或7或8【分析】存在三種情況，根據(jù)圖示進行分析．【詳解】解：七邊形卡片剪去一個角，存在以下三種，如圖1、圖2、圖一個七邊形卡片剪去一個角后可以變成的多邊形卡片可能的邊數(shù)為6或7或8，故答案為：6或7或8．【點睛】本題主要考查多邊形，解題的關鍵是進行分類討論進行求解．4.已知一個正多邊形其一個內角與其相鄰的一個外角的度數(shù)之比是，求這個多邊形是幾邊形？【答案】這個多邊形是九邊形【分析】設這個正多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內角和公式以及多邊形的外角和為，由此列出方程，解方程即可．【詳解】解：設這個正多邊形的邊數(shù)為，由題意得：，解得：，．答：這個多邊形是九邊形．【點睛】此題考查了多邊形的內角和與外角和，熟記多邊形的內角和公式及多邊形的外角和是是解題的關鍵．5.解決多邊形問題：(1)一個多邊形的內角和是外角和的3倍，它是幾邊形？(2)小華在求一個多邊形的內角和時，重復加了一個角的度數(shù)，計算結果是，這個多邊形是幾邊形？【答案】(1)八邊形(2)八邊形【分析】（1）根據(jù)多邊形的內角和公式、多邊形的外角和等于建立方程，解方程即可得；（2）設這個多邊形是邊形，重復加的一個角的度數(shù)為，則，再根據(jù)多邊形的內角和公式建立等式，結合建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】（1）解：設這個多邊形是邊形，由題意得：，解得，答：這個多邊形是八邊形．（2）解：設這個多邊形是邊形，重復加的一個角的度數(shù)為，則，由題意得：，解得，則，即，解得，為正整數(shù)，，答：這個多邊形是八邊形．【點睛】本題考查了多邊形的內角和與外角和、一元一次不等式組的應用，正確建立方程和不等式組是解題關鍵．考點2：確定多邊形內角與外角的度數(shù)6.已知九邊形的其余8個角的度數(shù)均為145°，那么第九個角的度數(shù)為．【答案】100°/100度【分析】本題考查多邊形內角和，熟練掌握多邊形內角和的求法是解題的關鍵．先求出九邊形的內角和，再減去8個內角的度數(shù)即可．【詳解】解：∵九邊形的內角和為9?2×180°=1260°，8個內角的度數(shù)為8×145°=1160°∴第九個角的度數(shù)為1260°?1160°=100°．故答案為：100°．7.如圖，若正五邊形ABCDE和長方形AFCG按如圖方式疊放在一起，則∠EAG的度數(shù)為°．

【答案】36【分析】先求出正五邊形的內角和，可得出每個內角的度數(shù)，利用三角形的外角得出∠FAB=∠ABC?∠AFC，再求出∠BAG=∠FAG?∠FAB，即可得到答案．【詳解】解：∵正五邊形ABCDE內角和為：5?2×180°=540°∴∠EAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=540°∵長方形AFCG中，∠AFC=∠FCG=∠CGA=∠GAF=90°，∴∠FAB=∠ABC?∠AFC=108°?90°=18°，∴∠BAG=∠FAG?∠FAB=90°?18°=72°，∴∠EAG=∠EAB?∠BAG=108°?72°=36°，故答案為：36．【點睛】本題考查多邊形的內角和，三角形的外角，正確理解題意是解題的關鍵．8.已知四邊形的四個外角的度數(shù)之比為，那么這個四邊形各內角的度數(shù)分別是多少？【答案】【分析】設四邊形的四個外角的度數(shù)分別為，再根據(jù)多邊形外角和為建立方程求出四個外角的度數(shù)，進而求出四個內角的度數(shù)．【詳解】解：設四邊形的四個外角的度數(shù)分別為．由題意得，，解得．∴四個外角分別為．∴這個四邊形各內角的度數(shù)分別為．【點睛】本題主要考查了四邊形外角和，熟知四邊形外角和為是解題的關鍵．9.閱讀佳佳與明明的對話，解決下列問題：(1)“多邊形內角和為”，為什么不可能？(2)明明求的是幾邊形的內角和？(3)多加的那個外角為多少度？【答案】(1)見解析(2)十三邊形(3)40°【分析】（1）根據(jù)多邊形內角和公式判斷即可；（2）根據(jù)多邊形內角和公式判斷即可；（3）由（2）即可得出答案．【詳解】（1）由可知，多邊形內角和是180的倍數(shù)，而2020不是180的倍數(shù)，故不可能是多邊形內角和．（2）由可知，2020÷180=11……40，所以，所以故多邊形是十三邊形．（3）由（2）計算可知余數(shù)為40°，所以多加的外角為40°．【點睛】本題考查了多邊形內角和公式，熟記是解題的關鍵．考點3：正多邊形10.己知一個n邊形的每一個外角都等于30°．（1）求n的值．（2）求這個n邊形的內角和．【答案】（1）12；（2）1800°【分析】（1）用360°除以外角度數(shù)可得答案．（2）先求出每個內角的度數(shù)，再利用內角度數(shù)×內角的個數(shù)即可．【詳解】解：（1）∵n邊形的每一個外角都等于30°∴n＝360°÷30°＝12；（2）∵每個內角=180°-30°=150°，∴內角和=12×150°＝1800°．【點睛】此題主要考查了多邊形的內角和、外角和，關鍵是掌握多邊形的外交和等于360°．11.已知一個多邊形的每一個內角都比它相鄰的外角的4倍多，求這個多邊形是幾邊形？并求出這個多邊形的內角和．【答案】十二邊形，1800°【分析】首先設外角為x°，則內角為（4x＋30）°，根據(jù)內角與相鄰的外角是互補關系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度數(shù)可得邊數(shù)，進而求出內角和．【詳解】解：設外角為x°，由題意得：x＋4x＋30＝180，解得：x＝30，360°÷30°＝12，∴（12?2）×180＝1800°，∴這個多邊形的內角和是1800°，是十二邊形．【點睛】本題主要考查多邊形內角與外角的知識點，此題要結合多邊形的內角和公式以及外角和，構建方程求解即可．12．正多邊形的每條邊都相等，每個角都相等．已知正x邊形的內角和為1080°，邊長為2．(1)求正x邊形的周長；(2)若正n邊形的每個外角的度數(shù)比正x邊形每個內角的度數(shù)小63°，求n的值．【答案】(1)16(2)5【分析】本題主要考查多邊形內角和外角和的相關知識．（1）根據(jù)多邊形的內角和公式n?2×180°（2）根據(jù)（1）求出正x邊形每個內角的度數(shù)，正n邊形的每個外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形的外角和為360°解題即可．【詳解】（1）解：由題意可得180×x?2=1080，解得正x邊形的周長為8×2=16；（2）正x邊形每個內角的度數(shù)為1080°÷8=135°，正n邊形的每個外角的度數(shù)為135°?63°=72°，360°÷72°=5，∴n的值為5．考點4：多邊形對角線公式的綜合應用13.我們學習多邊形后，發(fā)現(xiàn)凸多邊形的對角線有一定的規(guī)律，①中的四邊形共有2條對角線，②中的五邊形共有5條對角線，③中的六邊形共有9條對角線，…，請你計算凸十邊形對角線的總條數(shù)（）

A．54 B．44 C．35 D．27【答案】C【分析】根據(jù)一個n邊形的對角線條數(shù)為進行求解即可．【詳解】解：一個四邊形共有2條對角線，一個五邊形共有5條對角線，一個六邊形共有9條對角線……一個十邊形共有條對角線，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了對角線條數(shù)問題，解題的關鍵是熟練掌握一個n邊形的對角線條數(shù)為．14.過n邊形的一個頂點有2m條對角線，m邊形沒有對角線，五邊形共有k條對角線，則n?km的值為【答案】64【分析】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線．而每條重復一次，所以n邊形對角線的總條數(shù)為：nn?32（n＞3，且n為整數(shù)）可得到m、k、【詳解】解：由題意得：n-3=2m，m=3，解得m=3，n=9，k=5×解得k=5，則：（n-k）m=（9-5）3=64．故答案為：64．【點睛】此題主要考查了多邊形的對角線和有理數(shù)的乘方，關鍵是掌握對角線條數(shù)的計算公式．15.連接多邊形的一個頂點與其他頂點的線段把這個多邊形分成了6個三角形，求多邊形的邊數(shù)．【答案】8【分析】根據(jù)過邊形的一個頂點可以引條對角線，將邊形分成個三角形即可得出結果．【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)為，依題意得，解得．∴多邊形的邊數(shù)為8．【點睛】本題考查了多邊形對角線的相關知識，掌握過邊形的一個頂點可以引條對角線，將邊形分成個三角形是本題的關鍵．16．若一個多邊形的外角和比這個多邊形的內角和?。?1)求這個多邊形的邊數(shù)；(2)求這個多邊形的所有對角線條數(shù)．【答案】(1)這個多邊形的邊數(shù)是7(2)14條【分析】（1）設這個多邊形的邊數(shù)為n，則內角和為，外角和為，列一元一次方程，即可求解；（2）n邊形的對角線條數(shù)為．【詳解】（1）解：設這個多邊形的邊數(shù)為n，，解得．即這個多邊形的邊數(shù)是7．（2）解：，即這個多邊形有14條對角線．【點睛】本題考查多邊形的內角和、外角和、對角線條數(shù)，解題的關鍵是掌握n邊形的內角和為，外角和為，對角線條數(shù)為．考點5：巧用外角解決問題17.如圖是由射線，，，，，組成的平面圖形，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于解答即可．【詳解】解：由多邊形的外角和等于可知，，故選：B．【點睛】本題考查的是多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和等于是解題的關鍵．18.如圖，在五邊形ABCDE中，∠D＝120°，與∠EAB相鄰的外角是80°，與∠DEA，∠ABC相鄰的外角都是60°，則∠C為________度．【答案】80【分析】利用鄰補角的定義分別求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度數(shù)；再利用五邊形的內角和為540毒，可求出∠C的度數(shù)．【詳解】解：∵與∠EAB相鄰的外角是80°，與∠DEA，∠ABC相鄰的外角都是60°，∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；五邊形的內角和為（5－2）×180°＝540°；∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．故答案為：80．【點睛】此題考查了多邊形內角和的性質，涉及了鄰補角的定義，熟練掌握相關基本性質是解題的關鍵．19.如圖，五邊形ABCDE的兩個內角平分線相交于點O，∠1，∠2，∠3是五邊形的3個外角，若∠1+∠2+∠3=220°，則∠AOB=___________．【答案】70°【分析】先求出與∠EAB和∠CBA相鄰的外角的度數(shù)和，然后根據(jù)多邊形外角和定理即可求解．【詳解】如圖，∵∠1+∠2+∠3=220°，∴∠4+∠5=360°-220°=140°，∴∠EAB+∠CBA=220°，∵AO，BO分別平分∠EAB，∠ABC，∴∠OAB+∠OBA=110°，∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．故答案是：70°．【點睛】本題主要考查了多邊形外角和定理，三角形的內角和定理，熟練掌握多邊形的外角和等于360°是解題的關鍵．考點6：求不規(guī)則圖形多個角的度數(shù)和20.如圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝()A．450°B．540°C．630°D．720°解析：如圖，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五邊形的內角和＝540°，故選B.方法總結：本題考查了靈活運用五邊形的內角和定理和三角形內外角關系．根據(jù)圖形特點，將問題轉化為熟知的問題，體現(xiàn)了轉化思想的優(yōu)越性．21．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為__．【答案】1080°【分析】連KF，GI，根據(jù)n邊形的內角和定理得到7邊形ABCDEFK的內角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)．【詳解】解：連KF，GI，如圖，∵7邊形ABCDEFK的內角和＝（7－2）×180°＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數(shù)為1080°．故答案為：1080°．【點睛】本題考查了n邊形的內角和定理：n邊形的內角和為（n－2）×180°（n≥3的整數(shù)）．22．如圖，求的大?。?/p>

【答案】【分析】連接AD，根據(jù)三角形內角和定理，得到，再利用四邊形內角和求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，設與相交于點G，

在中，，在中，，，，．【點睛】本題考查了三角形內角和定理，四邊形內角和，對頂角相等．當出現(xiàn)多個角求和時，可以通過等量代換找到我們熟悉的三角形，四邊形的內角和進行計算．23.如圖，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù)．【分析】利用三角形內角和定理將不規(guī)則圖形轉化成規(guī)則圖形：五邊形．【解答】解：如圖，由三角形內角和定理得：∠1+∠5＝∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠5+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝∠8+∠9+∠2+∠3+∠4+∠6+∠7＝180°×（5﹣2）＝540°．【點評】本題主要考查多邊形內角和，解題關鍵是利用三角形內角和定理將不規(guī)則圖形轉化成規(guī)則圖形．考點7：多邊形的內角和與外角和的綜合應用24.一個多邊形的內角和與外角和的和為540°，則它是()A．五邊形B．四邊形C．三角形D．不能確定解析：設這個多邊形的邊數(shù)為n，則依題意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴這個多邊形是三角形．故選C.方法總結：熟練掌握多邊形的內角和定理及外角和定理，解題的關鍵是由已知等量關系列出方程從而解決問題．25.一個多邊形的內角和與外角和的度數(shù)之和為，求這個多邊形的邊數(shù)．【答案】多邊形的邊數(shù)為7【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)這個多邊形的內角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)是，由題意得，，解得：．答：多邊形的邊數(shù)為7．【點睛】本題考查了多邊形的內角和與外角和定理，任意多邊形的外角和都是360°，與邊數(shù)無關，熟練多邊形的內角和定理是解題的關鍵．26.（1）已知一個多邊形的內角和比它的外角和的3倍還多180°，求這個多邊形的邊數(shù)；（2）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內角與一個外角的度數(shù)之比為9∶【答案】（1）9（2）11【分析】本題主要考查了求多邊形的邊數(shù)，多邊形內角和和外角和定理以及一元一次方程的應用．（1）設這個多邊形的邊數(shù)為n，利用一個多邊形的內角和比它的外角和的3倍還多180°列一元一次方程求解即可得出答案．（2）設這個多邊形一個內角的度數(shù)為9x，則一個外角的度數(shù)為2x，根據(jù)題意，列一元一次方程求解出x，再利用多邊形外角為360°即可求出答案．【詳解】解：（1）設這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得(n?2)×180°=360°×3+180°，解得n=9，所以這個多邊形的邊數(shù)為9．（2）設這個多邊形一個內角的度數(shù)為9x，則一個外角的度數(shù)為2x，根據(jù)題意，得9x+2x=180°，解得x=180°∴360°÷2×所以這個多邊形的邊數(shù)為11．考點8：多邊形內角和、外角和與平行線、角分平分線綜合27.四邊形ABCD中，的平分線與邊BC交于點E；的平分線交直線AE于點O．（1）若點O在四邊形ABCD的內部．①如圖1，若，，，則______．②如圖2，試探索、、之間的數(shù)量關系，并將你的探索過程寫下來．（2）如圖3，若點O在四邊形ABCD的外部，請?zhí)骄俊?、之間的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】（1）120°；（2）；（3）【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質和角平分線的定義可求∠BAE，∠CDO，再根據(jù)三角形外角的性質可求∠AEC，再根據(jù)四邊形內角和等于360°可求∠DOE的度數(shù)；②根據(jù)三角形外角的性質和角平分線的定義可得∠DOE和∠BAD、∠ADC的關系，再根據(jù)四邊形內角和等于360°可求∠B、∠C、∠DOE之間的數(shù)量關系；（2）根據(jù)四邊形和三角形的內角和得到∠BAD+∠ADC=360°-∠B-∠C，∠EAD+∠ADO=180°-∠DOE，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=2∠EAD，∠ADC=2∠ADO，于是得到結論．【詳解】解:（1）①∵∴又∵∠B=50°，∠C=70°∴∠BAD=130°，∠ADC=110°∵AE、DO分別平分∠BAD、∠ADC∴∠BAE=65°，∠ODC=55°∴∠AEC=115°∴∠DOE=360°-115°-70°-55°=120°故答案為：120°②，理由如下：平分平分即（2），理由如下：平分平分即：.【點睛】本題考查多邊形內角與外角平行線的性質，角平分線的定義，關鍵是熟練掌握四邊形內角和等于360°，這是解題的重點．28.已知//，點B、C在上（B在C左側），A在上，連接、，，，平分，平分，、交于點E．(1)求的度數(shù)；(2)若將圖1中的線段沿向右平移到如圖2所示位置，平分，平分，、交于點E，，，請你直接寫出的度數(shù)：(3)若將圖1中的線段沿向左平移到如圖3所示位置，其它條件與（2）相同，猜想此時的度數(shù)又是多少．（不需要證明）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先證明再求解∠PAE=×140°＝70°，可得再求解∠ABE=30°，再利用三角形的內角和定理可得答案；（2）先證明可得由平分，平分，再利用四邊形的內角和定理可得答案；（3）先證明結合角平分線的定義可得如圖，過作，證明再證明

從而可得答案．（1）解：∵，，，∴∴∠PAC=180°-40°=140°，而AE平分∠PAC，∴∠PAE=×140°＝70°，∴∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=30°，在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°，（2）∵，，，∴∵平分，平分，（3）∵，，，∵平分，平分，如圖，過作，∴∴【點睛】本題考查的是平行公理的應用，平行線的性質，三角形的內角和定理的應用，四邊形的內角和定理的應用，角平分線的定義，熟練的利用平行線的性質與多邊形的內角和定理解決問題是解本題的關鍵．29.已知在四邊形中，，（，）．(1)_______（用含、的代數(shù)式表示）．(2)如圖①，若，平分，平分與相鄰的外角，請寫出與的位置關系，并說明理由．(3)如圖②，為與、相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角．①當時，若，試求、；②小明在作圖時，發(fā)現(xiàn)不一定存在，請指出、滿足什么條件時，不存在．【答案】(1)；(2)，理由見解析；(3)①，；②當且時，不存在．【分析】（1）根據(jù)四邊形內角和等于直接計算即可得到答案；（2）根據(jù)（1）與時，，結合得到，根據(jù)平分，平分，得到，根據(jù)，即可得到答案；（3）①連接并延長至點，根據(jù)得到，結合平分得到，同理得到，即可得到，即可得到答案；②過點作，由①得：，，結合得到，表示出，由（1）結論及表示出，即可得到答案；【詳解】（1）解：∵在四邊形中，∴，∵，，∴；（2）解：，理由：如答圖①，延長交于點，由（1）知：，∴當時，，∵，∴，∵平分，平分，∴，又∵，，∵，，∴，.∴，∴；（3）解：①如答圖②，連接并延長至點，∵，∴，∵平分，∴同理可證，.∵，，∴，，；②如答圖③，過點作，由①得：，，∵，∴，∴.又∵，∴當時，，∴.∴，，，，此時，與沒有交點，∴當且時，不存在；【點睛】本題考查根據(jù)角平分線求解，四邊形內角和定理，平行線性質與判定，解題的關鍵是作出輔助線及注意整體代換的思想．一、單選題1．（2023八年級上·全國·專題練習）下列圖形中，不是多邊形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的定義，逐項判斷，即可求解．【詳解】解：A、該圖形是由4條線段首尾順次連接而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項不符合題意；B、該圖形是由5條線段首尾順次連接而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項不符合題意；C、該圖形是由線段、曲線首尾順次連接而成的封閉圖形，所以它不是多邊形．故本選項符合題意；D、該圖形是由5條線段首尾順次連接而成的封閉圖形，所以它是多邊形．故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了多邊形，熟練掌握由條線段首尾順次連接而成的封閉圖形是多邊形是解題的關鍵．2．（23-24八年級上·廣東汕頭·階段練習）下列說法正確的是（

）A．由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形B．多邊形的兩邊所在直線組成的角是這個多邊形的內角或外角C．各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形D．連接多邊形的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的概念，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A、在平面內，由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形，故本選項錯誤，不符合題意；B、多邊形的一邊與另一邊組成的角叫做多邊形的內角，多邊形的一邊與另一邊的延長線所組成的角叫做多邊形的外角，故本選項錯誤，不符合題意；C、各個角都相等，各條邊都相等的多邊形是正多邊形，故本選項正確，符合題意；D、連接多邊形兩個頂點的線段，分為兩種類型是連接相鄰兩個頂點的線段是多邊形的邊，連接不相鄰的頂點的線段叫做多邊形的對角線，故本選項錯誤，不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了多邊形的概念；多邊形內角、外角的概念；對角線的概念，熟練掌握由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形是解題的關鍵．3．（21-22八年級上·安徽銅陵·期末）如圖，在五邊形中，，，，是五邊形的外角，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質，多邊形的外角和定理，是基礎題，理清求解思路是解題的關鍵．根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補得到以點、點為頂點的五邊形的兩個外角的度數(shù)之和等于，再根據(jù)多邊形的外角和定理列式計算即可得解．【詳解】解：延長，，，，根據(jù)多邊形的外角和定理可得，．故選：A．4．（23-24七年級下·山東淄博·期中）過邊形的一個頂點可以畫出7條對角線，將它分成個小三角形，則的值是（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】D【分析】本題考查多邊形的對角線．根據(jù)邊形過一個頂點能畫出對角線的條數(shù)為：進行計算即可，對角線將多邊形分成個三角形，進行計算出．【詳解】解：由題意可得：，，，．故選：D．5．（22-23八年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)四邊形內角和可得，再由“8”字三角形可得，進而可得答案．【詳解】解：連接，如圖，∵，，∴，故選C．【點睛】本題考查了多邊形的內角和，以及“8”字三角形的特點，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．6．（22-23八年級上·貴州安順·期末）將一個五邊形紙片，剪去一個角后得到另一個多邊形，則得到的多邊形的內角和是（

）A． B． C．或 D．或或【答案】D【分析】本題考查了多邊形的內角和，找出五邊形紙片剪去一個角出現(xiàn)的情況，再根據(jù)邊形內角和公式得出多邊形的內角和，即可解題．【詳解】解：如圖，將一個五邊形沿虛線裁去一個角后得到的多邊形的邊數(shù)是或或，其中四邊形內角和為，五邊形內角和為，六邊形內角和為，得到的多邊形的內角和是或或，故選：D．7．（23-24八年級下·河南許昌·期中）如果一個多邊形的內角和是外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本題主要考查了多邊形內角和公式及外角的特征．求多邊形的邊數(shù)，可以轉化為方程的問題來解決．根據(jù)多邊形的內角和公式及外角的特征計算．【詳解】解：多邊形的外角和是，根據(jù)題意得：解得．故選C．8．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，直線和分別經過正五邊形的一個頂點，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了正多邊形的內角和，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．如圖所示，首先求出正五邊形的內角，然后根據(jù)平行線的性質得到，然后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】如圖所示，∵是正五邊形，∴內角和為，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．故選：D．二、填空題9．（23-24八年級上·廣西柳州·期中）正n邊形的每個內角的度數(shù)為，則n的值是．【答案】6【分析】本題主要考查多邊形外角和定理，多邊形的外角和是360度，先求出每個外角的度數(shù)，根據(jù)外角和360度求解即可．【詳解】根據(jù)題意有每個外角的度數(shù)為：，，故答案為：6．10．一個多邊形的內角和是，則這個多邊形的邊數(shù)是．【答案】6【分析】本題主要考查了多邊形內角和定理的應用，準確計算是解題的關鍵．根據(jù)多邊形內角和定理：，列方程解答出即可．【詳解】解：設這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形內角和定理得，，解得．故答案為：6．11．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習）八邊形從一個頂點出發(fā)可以畫a條對角線，將這個八邊形分成b個三角形，則．【答案】11【分析】本題考查了多邊形的對角線的條數(shù)與邊數(shù)的關系，代數(shù)式求值，根據(jù)多邊形的邊數(shù)與對角線的條數(shù)的關系求出a，b的值，代入求解即可．【詳解】解：由題意可知：，，，故答案為：11．12．（21-22八年級上·河南洛陽·期末）如圖，小個方格都是邊長為1的正方形，圖中四邊形的面積為．【答案】【分析】利用大正方形的面積減去四邊形周圍的小三角形面積即可．【詳解】解：四邊形ABCD的面積為：=，故答案為：．【點睛】此題主要考查了四邊形面積求法，掌握割補法是解題的關鍵．13．（21-22八年級上·四川綿陽·階段練習）若一個多邊形截去一個角后，得到的新多邊形為十五邊形，則原來的多邊形邊數(shù)為．【答案】14或15或16【分析】分三種情況進行討論，得出答案即可．【詳解】解：如圖，一個多邊形減去一個角后，比原來多邊形少了一條邊，∴此時原多邊形的邊數(shù)為；如圖，一個多邊形減去一個角后，與原來多邊形的邊數(shù)相同，∴此時原多邊形的邊數(shù)為15；如圖，一個多邊形減去一個角后，比原來多邊形多了一條邊，∴此時原多邊形的邊數(shù)為；綜上分析可知，原來的多邊形邊數(shù)為14或15或16．故答案為：14或15或16．【點睛】本題主要考查了多邊形的邊數(shù)問題，解題的關鍵是數(shù)形結合，注意進行分類討論．14．（23-24八年級上·吉林長春·期末）一幅美麗的圖案，在某個頂點處由四個邊長相等的正多邊形鑲嵌而成，其中的三個分別為正三角形、正四邊形、正六邊形，那么另外一個為正邊形．【答案】四【分析】本題考查了正多邊形的內角．熟練掌握正邊形的內角為是解題的關鍵．由題意知，正三角形的內角為，正四邊形的內角為，正六邊形的內角為，則另外一個正多邊形的內角為，然后求解即可．【詳解】解：由題意知，正三角形的內角為，正四邊形的內角為，正六邊形的內角為，∴另外一個正多邊形的內角為，∴為正四邊形，故答案為：四．三、解答題15．（23-24八年級上·廣東湛江·期中）如圖所示，在四邊形中，與的平分線相交P，且，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了四邊形的內角和，三角形的內角和定理，以及角平分線的性質，正確熟練掌握相關知識點進行角度的計算是解決本題的關鍵．由四邊形內角和知，結合角平分線的意義和三角形內角和定理得．【詳解】解：∵在四邊形中，，，，∴，∵與的平分線相交P，∴，∴，∴在中，．∴的度數(shù)為．16．（23-24八年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）探究歸納題：(1)如圖1，經過四邊形的一個頂點可以作條對角線，它把四邊形分成個三角形；(2)如圖2，經過五邊形的一個頂點可以作條對角線，它把五邊形分成個三角形；(3)探索歸納：對于邊形，過一個頂點可以作條對角線，它把邊形分成個三角形；（用含的式子表示）(4)如果經過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，那么這個多邊形的邊數(shù)為．【答案】(1)12(2)23(3)(4)103【分析】本題考查多邊形的對角線、邊及三角形分割等規(guī)律探究．（1）根據(jù)題意畫出對圖中的一個頂點的對角線即可得到結論；（2）根據(jù)題意畫出對圖中的一個頂點的對角線即可得到結論；（3）根據(jù)（1）（2）中的結論，可找到規(guī)律即可得到結論；（4）將100代入（3）的結論中即可得到答案．【詳解】（1）如圖1：經過1個頂點做1條對角線，它把四邊形分為2個三角形，故答案為：1，2（2）如圖2：經過五邊形一個頂點，共有2條對角線，將這個多邊形分為3個三角形；故答案為：2，3．（3）∵經過四邊形的一個頂點可以作條對角線，它把四邊形分成個三角形；經過五邊形的一個頂點可以作條對角線，它把五邊形分成個三角形；經過六邊形的一個頂點可以作條對角線，它把六邊形分成個三角形；經過七邊形的一個頂點可以作條對角線，它把七邊形分成個三角形；……∴經過n邊形的一個頂點可以作條對角線，它把n邊形分成個三角形；故答案為：，．（4）∵過多邊形的一個頂點可以作100條對角線，∴根據(jù)（3）中結論可得，，∴，故答案為：103．17．（23-24八年級上·河南三門峽·期末）如圖，六邊形中，，，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質，三角形外角性質，三角形內角和定理，多邊形內角和定理，延長交延長線于G，利用三角形外角性質，平行線的性質，多邊形內角和定理計算即可．【詳解】解：延長交延長線于G，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．解法2：連接，，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵,∴，∴，∵，∴，∴．18．（23-24八年級上·四川自貢·期中）一個多邊形的每一個內角都相等，并且每個外角都等于