第08講 角平分線性質(zhì)（4個知識點+6個考點）-新八年級《數(shù)學》暑假自學提升講義（人教版）解析版

第第頁第08講角平分線性質(zhì)（4個知識點+6個考點）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測會作一個角的平分線，能區(qū)別角的平分線與三角形的角平分線的異同點。掌握角的平分線的性質(zhì)和判定，會應(yīng)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決相關(guān)問題通過作三角形的角平分線，了解三條角平分線交于一點的事實。知識點1.作已知角的平分線（重點）角平分線的尺規(guī)作圖（1）以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【例1】（2023八年級·福建漳州·期末）如圖，已知∠AOB，求作射線OC，使∠AOC=∠BOC（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并說明其中的道理．【答案】見解析.【分析】利用基本作圖（作已知角的角平分線）作出OC，同時得到OC′，然后根據(jù)“SSS“判斷△ODP≌△OEP得到∠DOP=∠EOP，再根據(jù)等角的補角相等得到∠AOC′=∠BOC′．【詳解】解：如圖，射線OC或OC′為所作．通過證明ΔODP?ΔOEP得到∠DOP=∠EOP，然后根據(jù)等角的補角相等得到∠AOC′=∠BOC′．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．【變式1-1】（2023·四川廣元·八年級·期末）已知∠AOB＝20°和射線MN．如圖，以點O為圓心，任意長度為半徑畫弧分別交∠AOB的兩邊于點P、Q，接著在射線MN上以點M為圓心，OP長為半徑畫弧l交射線MN于點N；以N為圓心，PQ長為半徑畫兩段弧，分別交l于C、D兩點，連MC，MD并延長．則∠CMD的度數(shù)為（

）A．20° B．50° C．60° D．40°【答案】D【分析】利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：連接CN、DN．由作圖可知，CM=DM，CN=DN,在△MCN和△MDN中，MC=MDMN=MN∴△MCN≌△MDN（SSS），∴∠CMN=∠DMN，∵∠AOB=∠CMN=∠DMN，∴∠CMD=2∠AOB=40°，故選：D【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式1-2】如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E、F為圓心，大于eq\f(1,2)EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交CD于點M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度數(shù)．解析：根據(jù)AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°，再根據(jù)AM是∠CAB的平分線，即可得出∠MAB的度數(shù)．解：∵AB∥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝180°，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAB＝60°，由作法知，AM是∠CAB的平分線，∴∠MAB＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°.方法總結(jié)：通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據(jù)作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023八年級·福建福州·期末）求證：一條直角邊相等且這條邊相鄰銳角的角平分線也相等的兩個直角三角形全等．要求：根據(jù)給出的Rt△ABC和Rt△A′B′C′（

【答案】畫圖和已知、求證和證明見解析【分析】首先根據(jù)題意做出∠CAB和∠C′A′B′的角平分線，然后證明出【詳解】如圖所示，AD和A′E分別是∠CAB和

已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AC=求證：Rt證明：∵AC=A′C′∴△ACD≌△∴∠CAD=∠∵AD和A′E分別是∠CAB和∴∠CAB=2∠CAD,∠∴∠CAB=∠又∵AC=A′∴Rt△ABC≌【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，尺規(guī)作角平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．知識點2.角的平分線的性質(zhì)（重點）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.要點歸納：用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.【例2】如圖：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF.求證：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點D到AB的距離等于點D到AC的距離，即CD＝DE.再根據(jù)Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；(2)利用角平分線的性質(zhì)證明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通過線段之間的相互轉(zhuǎn)化進行證明．證明：(1)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.∵在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF＝BD，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC與△ADE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝DE，,AD＝AD，))∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法總結(jié)：角平分線的性質(zhì)是判定線段相等的一個重要依據(jù)，在運用時一定要注意是兩條“垂線段”相等．【變式2-1】（2023八年級·重慶潼南·期末）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，CE平分∠ACB，交AD于點E，AC=6，DE=2，則△ACE的面積等于

【答案】6【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積，解題關(guān)鍵是恰當作出輔助線求得三角形的高．過點E作EF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得EF=ED=2，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可．【詳解】解：如圖，過點E作EF⊥AC于F，∵AD是BC邊上的高，∴ED⊥BC．∵CE平分∠ACB，DE=2∴EF=ED=2．∵AC=6，∴S△ACE故答案為：6．

【變式2-2】（2023春·山西太原·七年級?？茧A段練習）如圖，中，，平分，，，求的面積．

【答案】5【詳解】解：作如圖，∵平分，，，∴，．

【變式2-3】（2023·陜西西安·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，過點D作DE⊥BC于點E，并延長ED交BA的延長線于點F，且CD=DF．求證：AB=BE．

【答案】見解析【分析】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DA=DE，然后利用全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】證明：∵∠BAC=90°，∴CA⊥AB，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∴DA=DE，∠DAB=∠DEB=90°，在Rt△ABD和RtDA=DEBD=BD∴Rt∴AB=BE．知識點3.證明幾何命題的一般步驟（難點）(1)按題意畫出圖形.(2)分清命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形,在“已知”中寫出條件,在“求證”中寫出結(jié)論(3)在“證明”中寫出推理過程在解決幾何問題時,有時需要添加輔助線.添輔助線的過程要寫人證明中.輔助線通常畫成虛線【例3】求證：三角形兩外角的平分線的交點到三角形三邊（或所在的直線）距離相等．要求：畫圖，寫出已知，求證，然后寫出證明過程．【詳解】解；已知：如圖，的外角平分線與外角平分線相交于點P．求證：；證明：如圖，過點P作于F，于G，于H，∵的外角平分線與相交于點P，∴，，∴．即點P到三邊、、所在直線的距離相等∴三角形兩外角的平分線的交點到三角形三邊（或所在直線）的距離相等．【變式3-1】證明命題“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證，寫出證明過程，下面是小明同學根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證．(1)已知：如圖，，點在上，______，求證：______．請你補全已知和求證．(2)并寫出證明過程．【答案】(1)，，垂足分別為、；(2)證明見解析【詳解】（1）解：已知：如圖，，點在上，，垂足分別為、；求證：．（2）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴．【變式3-2】小穎同學要證明命題“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”是正確的，她先畫出了如圖所示的圖形，并寫出了不完整的已知和求證：已知：如圖，，點D在射線上，，求證：．

(1)補全圖形，已知和求證；(2)按小穎的想法寫出證明過程．(3)請寫出“角的平分線上的點到這個角的兩邊距離相等”的逆命題，它是真命題嗎？并加以證明．【詳解】（1）補全圖形如圖所示．

已知：如圖，，點D在射線上，，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：．（2）∵，．∴．在和中，∴．∴．（3）在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．它是真命題．

已知：如圖，點P為內(nèi)一點，，垂足分別為D，E，且．求證：平分．證明：∵，垂足分別為D，E．∴．在和中，∴．∴（全等三角形的對應(yīng)角相等）．∴平分．

【變式3-3】（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版八年級上冊數(shù)學教材第96頁的“3．角平分線”部分內(nèi)容．【聯(lián)想證明】在學完角平分線的性質(zhì)定理后，①（請?zhí)羁眨勐?lián)想的成成同學先寫出了角平分線性質(zhì)定理的逆命題為：________．②接著成成同學又對所寫的命題進行了證明．請你把下面成成同學的已知、求證、圖形補充完整，再進行證明．已知：如圖，點是內(nèi)部一點，________．求證：________．證明：

【詳解】解：①角平分線性質(zhì)定理的逆命題為：在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點，在角平分線上；②已知：如圖，點是內(nèi)部一點，點P到距離等于點P到距離．求證：點P在角平分線上．證明：過點P作，∵點P到距離等于點P到距離，∴，在和中，，∴，∴，∴平分，即點P在角平分線上．

知識點4.角的平分線的判定（重點）角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.要點歸納：用符號語言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB【例4】如圖，BE＝CF，DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC，求證：AD是∠BAC的平分線．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分線的判定可知AD是∠BAC的平分線．證明：∵DE⊥AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE與△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,BD＝CD，))∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分線．方法總結(jié)：證明一條射線是角平分線的方法有兩種：一是利用三角形全等證明兩角相等；二是角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角平分線上．【變式4-1】如圖，，是的中點，平分，求證：平分．

【詳解】證明：如圖：過點作，垂足為，平分，，，（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），又，，，，平分（到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）．【變式4-2】（2023八年級·貴州安順·期末）如圖，AB=AE，∠C=∠D，BC=DE，點F是CD的中點，求證：AF平分∠BAE．【答案】證明見解析【分析】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判斷，以及角平分線的判定，連接BF、EF，根據(jù)“SAS”證得△BCF≌△EDF和根據(jù)“SSS”證得△ABF≌△AEF，利用全等三角形性質(zhì)，即可解題．【詳解】證明：如圖，連接BF、EF，∵點F是CD的中點，∴CF=DF，在△BCF和△EDF中，BC=ED∠C=∠D∴△BCF≌△EDFSAS∴BF=EF，在△ABF和△AEF中，AB=AEBF=EF∴△ABF≌△AEFSSS∴∠BAF=∠EAF，∴AF平分∠BAE．【變式4-3】（2023八年級·遼寧盤錦·期末）如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于點H，連接CH．(1)求證：AD=BE；(2)求證：CH平分∠AHE；(3)求∠CHE的度數(shù)．（用含α的式子表示）【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)∠CHE=90°?1【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）由條件根據(jù)SAS可證明△ACD≌△BCE，則結(jié)論得證；（2）過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，可證明△ACM≌△BCN，可證得CM=CN，利用角平分線的判定可證明結(jié)論；（3）由（1）可得∠CAD=∠CBE，再利用三角形內(nèi)角及外角的性質(zhì)可求得∠AHE．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=∠DCE=α，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（2）證明：過點C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAM=∠CBN，在△ACM和△BCN中，∠CAM=∠CBN∠AMC=∠BNC=90°∴△ACM≌△BCNAAS∴CM=CN，∵CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，∴CH平分∠AHE；（3）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠AMC=∠AMC，∴∠AHB=∠ACB=α，∴∠AHE=180°?α，由（2）得CH平分∠AHE，∴∠CHE=1即∠CHE=(180°?α)×1考點1：利用角平分線的性質(zhì)證明線段相等1．（22-23八年級上·云南昆明·期中）如圖，D是平分線上的一點，若，求證：【答案】見解析【分析】本題考查交角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，過點D分別作的垂線，交于，交于，證明，即可．【詳解】證明：過點D分別作的垂線，交于，交于，則，∵是的平分線，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．2．（22-23八年級上·遼寧營口·期中）感知：如圖1，平分，．探究：如圖2，平分，．，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，過點D作于E，交的延長線于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得，通過導角證明，進而得出，即可證明．【詳解】證明：如圖，過點D作于E，交的延長線于F，∵平分，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．3．（23-24八年級上·四川瀘州·階段練習）四邊形中，，平分，于，于．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；，角平分線的性質(zhì)，證明線段相等往往通過三角形全等來證明，還要運用相等的線段進行轉(zhuǎn)移，這是很重要的方法，注意掌握．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到，根據(jù)余角的性質(zhì)可得到，已知，從而利用即可判定．（2）根據(jù)判定得，最后證得即可．【詳解】（1）平分，，，在與中，∴；（2）在與中，，，，．4．（23-24八年級上·廣東珠?！て谥校┱埢卮鹣铝袉栴}：(1)如圖1，已知，利用直尺和圓規(guī)，作的平分線交于點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(2)如圖2所示，是的角平分線分別是上的點，且，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的基本作圖方法作圖即可；（2）過點作于點，作于點，證明，得出，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，作的平分線交于點；（2）證明：如圖，過點作于點，作于點，則，平分，，，，，，在和中，，．【點睛】本題主要考查了角平分線的基本作圖，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，補角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵作圖輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．5．已知和，其中，．

(1)將和按如圖1所示位置擺放，點落在上，的延長線交于點，連接，且平分．①求證；②猜想，與之間的數(shù)量關(guān)系是__________；(2)若將圖1中的按如圖2所示位置擺放，交于點，的延長線交于點，，連接，且平分．試判斷（1）中②猜想的結(jié)論還成立嗎？并說明理由；(3)若將圖1中的按如圖3所示位置擺放，，分別交的延長線于點，，連接，且平分．你認為（1）中②猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請直接寫出，與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①證明見解析，②，證明見解析；(2)結(jié)論成立，證明見解析(3)②的結(jié)論不成立，結(jié)論為：，證明見解析【分析】（1）①由角平分線的性質(zhì)可得結(jié)論；②先證明，證明，可得，從而可得結(jié)論；（2）證明，再證明，可得．證明，可得，從而可得結(jié)論；（3）證明，，可得，證明，可得．再證明，可得，結(jié)合，而，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：①∵平分，，∴，．②∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，而，∴；（2）∵平分，，∴，，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，而，∴；（3）②的結(jié)論不成立，結(jié)論為：，理由如下：∵平分，，∴，，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，而，∴；【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．考點2：角平分線的性質(zhì)與三角形面積的綜合運用6.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3解析：過點D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2＋eq\f(1,2)AC×2＝7，解得AC＝3.故選D.方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．7．如圖．射線是的平分線，是射線上一點，于點，點是射線上一點，若，且的面積是6，則長為（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】過點作于點，根據(jù)三角形的面積公式，求出，再利用角平分線的性質(zhì)定理，即可得到長．【詳解】解：如圖，過點作于點，的面積是6，，，，點是的平分線上一點，且，，，故選：B．

【點睛】本題考查了三角形面積公式，角平分線的性質(zhì)定理，解題關(guān)鍵是掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等．8.（2023八年級·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在△ABC中，延長BA到點E，延長BC到點F．∠ABC,∠EAC的角平分線BP,AP交于點P，過點P分別作PM⊥BE,①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①過點P作PD⊥AC于點D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)推出PD=PN即可進行判斷；②證Rt△PAM≌Rt△PAD，Rt△PCD≌Rt△PCN即可進行判斷；③根據(jù)“PA平分【詳解】解：①如圖，過點P作PD⊥AC于點D，∵∠ABC，∠EAC的平分線BP，AP交于點P，PM⊥BE，∴PM=PN，PD=PM，∴PD=PN，∴PN⊥BF，PD⊥AC，∴CP平分∠ACF，故①正確；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，∴∠ABC+∠MPN=180°，在Rt△PAM和RtPM=PD∴Rt∴∠APM=∠APD，同理：Rt△PCD≌∴∠CPD=∠CPN，∴∠MPN=2∠APC，∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正確；

③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM，∠PAM=∠ABP+∠APB=1∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=∠ABC+2∠APB∴∠ACB=2∠APB，③正確；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD∴S△APD=∴S綜上分析可知，正確的有4個，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的定義及性質(zhì)、全等三角形的判斷及性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理等知識點，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．考點3：角平分線性質(zhì)和判定的綜合9.如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，下面給出四個結(jié)論，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的點到B、C兩點的距離相等；④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等．其中正確的結(jié)論有()A．1個B．2個C．3個D．4個解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD平分∠EDF正確；②AE＝AF正確；角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，故③正確；∴④到AE、AF距離相等的點，到DE、DF的距離也相等正確；①②③④都正確．故選D.方法總結(jié)：運用角平分線的性質(zhì)或判定時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段或角相等．10．（2023秋·北京海淀·八年級北京市師達中學?？奸_學考試）點在內(nèi)，且到三邊的距離相等，若，則．【答案】/118度【分析】根據(jù)到三邊的距離相等得到點是角平分線的交點，即可得到，再利用三角形內(nèi)角和進行角度計算即可．【詳解】，，點到三邊的距離相等，點是角平分線的交點，，．故答案為：．【點睛】本題考查角平分線的判定以及角平分線性質(zhì)的運用；得到點是三角形角平分線的交點是解題關(guān)鍵．11．（2023八年級·廣東深圳·期中）如圖所示，D，E在∠BAC兩邊上且AD=AE，AG是∠BAC內(nèi)部的一條射線且AG⊥DE于點F，(1)求證AG平分∠BAC；(2)分別作∠BDE和∠CED的平分線，相交于P，求證P同時也在∠BAC的平分線AG上．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了角平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及AG⊥DE，證△ADF≌△AEF得∠DAF=∠EAF，即可得出結(jié)論（2）過P作PG⊥DE，PH⊥AB，PM⊥AC，利用角平分線的點到角兩邊的距離相等得PH=PM，再利用角平分線的逆定理即可得結(jié)論．【詳解】（1）∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵AG⊥DE，∴∠AFD=∠AFE=90°在△ADF和△AEF中AD=AE∴△ADF≌△AEF∴∠DAF=∠EAF，∴AG平分∠BAC；（2）如圖：過P作PG⊥DE，PH⊥AB，PM⊥AC，，∵DP平分∠BDE，EP平分∠CED，∴PQ=PH，PQ=PM，∴PH=PM，∴點P在∠HAM的平分線上．∵AG平分∠BAC，∴點P在∠BAC的平分線AG上．考點4：添加輔助線解決角平分線的問題12.如圖，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點D.求證：AD是∠BAC的平分線．解析：分別過點D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，然后利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等可知DE＝DG，再利用到角兩邊距離相等的點在角平分線上證明．證明：分別過D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分別為E、F、G，∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴點D在∠EAG的平分線上，∴AD是∠BAC的平分線．方法總結(jié)：在遇到角平分線的問題時，往往過角平分線上的一點作角兩邊的垂線段，利用角平分線的判定或性質(zhì)解決問題．13．（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，在中，和的平分線相交于點，，連接．

(1)求的度數(shù)；(2)求證：平分．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，，根據(jù)角之間的關(guān)系得，即可得；（2）過點作，，垂足分別為，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，，根據(jù)即可得．【詳解】（1）解：∵分別平分，，∴，，∴，∴；（2）證明：如圖，過點作，，垂足分別為．

平分，，同理得．．又，平分．【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點，添加輔助線．14．（2023秋?黃岡期末）如圖①，在中，是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點，且于，于．（1）求證：；（2）請你判斷并與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖②，在中，如果不是直角，，、分別是、的平分線，、相交于點．請問，你在（2）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得出即可；（2）首先過點作于．作于，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，又由在中，，，求得，又由，利用，即可證得，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得；（3）過點作于．作于，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，由，即可求得，，繼而求得，利用，即可證得，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可證得．【解答】解：（1）、分別是、的平分線，，，，，；（2）相等，理由：如圖①，過點作于．作于，連接，是角平分線交點，也是角平分線，，，在中，，，，，，，，，，在和中，，，；（3）成立．理由：如圖②，過點作于．作于，連接，是角平分線交點，也是角平分線，，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，．又，，，在和中，，．【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．考點5：利用角平分線的判定求角的度數(shù)15.在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為()A．110°B．120°C．130°D．140°解析：由已知，O到三角形三邊的距離相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線的交點，AO，BO，CO都是角平分線，所以有∠CBO＝∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝eq\f(1,2)∠ACB，∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，∠OBC＋∠OCB＝70°，∠BOC＝180°－70°＝110°，故選A.方法總結(jié)：由已知，O到三角形三邊的距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BOC的度數(shù)．16.（2023八年級·陜西咸陽·期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=70°，AB=4，AC=2，若S△ABD=2S△ACD，則A．45° B．40° C．35° D．30°【答案】C【分析】作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，根據(jù)S△ABD=2S△ACD可證DE=DF，從而可知AD是【詳解】解：如圖，作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，∵S△ABD∴12∵AB=4，AC=2，∴4DE=4DF∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分線．∴∠CAD=1故選C．17.（2023八年級·山東聊城·期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，則∠EBF=．【答案】24°【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，證明BE平分∠ABC；過點E作EM⊥AB、EN⊥BC、EO⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EM=EO，EN=EO，則有EM=EN，再根據(jù)EM⊥AB、EN⊥BC，即可得出BE平分【詳解】解：過點E作EM⊥AB、EN⊥BC、EO⊥AC，如圖所示：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分線交于點E，∴EM=EO，∴EM=EN，∵EM⊥AB、EN⊥BC，∴BE平分∠ABC，∴∠EBF=1故答案為：24°．考點6：三角形內(nèi)角平分線的應(yīng)用18.（2023八年級·黑龍江大慶·期末）Rt△ABC中，∠C是直角，O是兩內(nèi)角平分線的交點，AC=6，BC=8，BA=10，O到三邊的距離是.【答案】2【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)求出OE＝OD＝OF，根據(jù)三角形面積公式求出R即可．【詳解】解：過O作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，OF⊥AB于F，連接OC，∵O為∠A、∠B的平分線的交點，∴OD＝OF，OE＝OF，∴OD＝OE＝OF，設(shè)OD＝OE＝OF＝R，∵S△ACB＝S△AOC＋S△BCO＋S△ABO，則12×6×8＝12×6R＋12解得R＝2，即OD＝OE＝OF＝2，∴點O到三邊的距離為2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等的知識是解答此題的關(guān)鍵19.（2023·甘肅武威·八年級期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40、50、60，其三條角平分線交于點O，則S△ABO:【答案】4:5:6【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，過點O作OD，OF，OE分別垂直于AB，BC，CA，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到OD=OE=OF，進而可得到三個三角形面積的比值．【詳解】如圖，過點O作OD，OF，OE分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，F(xiàn)，E．

∵BO平分∠ABC，∴OD=OF．同理OE=OD，∴OD=OE=OF．∵△ABC的三邊AB，∴S=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6，故答案為：4:5:6．20.已知：如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個塔臺，若要求它到三條公路的距離都相等，試問：(1)可選擇的地點有幾處？(2)你能畫出塔臺的位置嗎？解析：(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出符合條件的點有4處．(2)作出相交組成的角的平分線，平分線的交點就是所求的點．解：(1)可選擇的地點有4處，如圖：P1、P2、P3、P4，共4處．(2)能，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)的作三條直線相交的角的平分線，平分線的交點就是所求的點．方法總結(jié)：三角形內(nèi)角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，反過來，到三角形三邊距離相等的點，即為三角形內(nèi)角平分線的交點，這一結(jié)論在以后的學習中經(jīng)常遇到．一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?鄒平市期末）在正方形網(wǎng)格中，的位置如圖所示，到兩邊距離相等的點應(yīng)是A．點 B．點 C．點 D．點【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，注意觀察點、、、中的哪一點在的平分線上．【解答】解：從圖上可以看出點在的平分線上，其它三點不在的平分線上．所以點到兩邊的距離相等．故選．【點評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，根據(jù)正方形網(wǎng)格看出平分線上的點是解答問題的關(guān)鍵．2．（2023秋?廉江市期末）如圖，點在的平分線上，，垂足為，點在上，若，，則等于A．2 B．4 C．6 D．8【分析】過點作于點，如圖，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【解答】解：過點作于點，如圖，點在的平分線上，，，，在中，，．故選：．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．3．（2023秋?東豐縣期末）如圖，在中，，平分交于點，，，，若點是上的動點，則線段的最小值是A．3 B．2.4 C．4 D．5【分析】由垂線段最短可知當時，最短，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：當時，的值最小，平分，當時，，，的最小值是3，故選：．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023秋?肥東縣期末）如圖，是的角平分線，于點，，，，則的長是A．3 B．4 C．6 D．5【分析】過點作于，然后利用的面積公式列式計算即可得解．【解答】解：過點作于，是的角平分線，，，，解得．故選：．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?南寧期末）如圖，在中，，是的平分線，若，，則點到的距離是A．2 B．3 C．4 D．5【分析】過點作于點，求出，再由角平分線的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點作于點，，，，是的角平分線，，，即點到的距離是2，故選：．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋?廉江市期末）如圖，中，、的角平分線、交于點，延長、，，，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)①平分；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】過點作于，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷④．【解答】解：①過點作于，平分，平分，，，，，，，，，點在的角平分線上，故①正確；②，，，，在和中，，，，同理：，，，，②正確；③平分，平分，，，，③正確；④由②可知，，，，故④正確，故選：．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋?博興縣期末）如圖，兩個外角的平分線與相交于點，于點，于點，且，小明同學得出了下列結(jié)論：①；②點在的平分線上；③；④．其中錯誤的個數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4【分析】過點作于點，由角平分線的性質(zhì)可得出，故①正確；連接，由可知點在的平分線上，故②正確；由平行線的性質(zhì)可知，再由可知，由定理可知，故，所以，由圖可知，故③錯誤；根據(jù)是的平分線可知，再由可知，，故可得出，據(jù)此得出結(jié)論．【解答】解：過點作于點，平分，平分，于點，于點，，，，故①正確；連接，，點在的平分線上，故②正確；，，，，，在與中，，，，，由圖可知，故③錯誤；是的平分線，，，，，，，故④正確．故選：．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋?公安縣期末）如圖，在中，，平分，，，則的面積是A．12 B．8 C．24 D．11【分析】過作于，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出，根據(jù)三角形面積公式即可求出答案．【解答】解：過作于，如圖所示：，，平分，，，故選：．【點評】本題主要考查了角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出的高的長度．9．（2023秋?定陶區(qū)期末）如圖，在中，，點是、平分線的交點，且，，則點到邊的距離為A． B． C． D．【分析】直接利用三角形的角平分線的性質(zhì)和結(jié)合三角形面積求法得出答案．【解答】解：點為與的平分線的交點，點在的角平分線上，點到的三邊的距離相等，過作，連接，，又，，為直角三角形，，，解得：．故選：．【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形面積求法，正確表示出三角形面積是解題關(guān)鍵．10．（2023秋?安順期末）如圖，在中，，以點為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點，，再分別以點，，為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點，若，，則的面積是A．12 B．18 C．24 D．36【分析】過點作于點，根據(jù)題意得，是的角平分線，得，根據(jù)三角形面積公式，即可求出的面積．【解答】解：過點作于點，根據(jù)題意得，是的角平分線，，，，，，，故選：．【點評】本題考查角分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)．二．填空題（共6小題）11．（2023秋?伊犁州期末）如圖中，，平分，，，則的面積是14．【分析】過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．【解答】解：如圖，過點作于，，平分，，的面積．故答案為：14．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋?慶陽期末）如圖，在中，，是的一條角平分線，若，則點到的距離為6．【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得點到的距離長為等于的長，進行解答即可．【解答】解：過作于，是的角平分線，，，，，故答案為：6．【點評】本題主要考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，比較簡單．13．（2023秋?高郵市期末）如圖，中，，，，與的角平分線交于點，則點到的距離為2．【分析】連接，過作于，于，于，由角平分線的性質(zhì)推出，由勾股定理求出，由三角形面積公式得到，即可求出，于是得到點到的距離是2．【解答】解：連接，過作于，于，于，、分別平分和，，，，，，的面積的面積的面積的面積，，，，點到的距離是2．故答案為：2．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)得到，由三角形面積公式得到．14．（2023秋?北京期末）如圖，在中，是邊上的高線，的平分線交于點，當，的面積為3時，的長為1．【分析】過點作于，根據(jù)三角形面積計算公式求出，再由角平分線上的點到角兩邊的距離相等得到．【解答】解：如圖所示，過點作于，，的面積為3，，，是邊上的高線，的平分線交于點，，故答案為：1．【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形面積計算，牢記“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋?平泉市期末）如圖，已知點是角平分線上的一點，，，，如果點是上一個動點．（1）若時，與的位置關(guān)系；（2）最小值為．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及平行線的判定進行解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得到結(jié)果．【解答】解：（1）平分，，，，，，故答案為：；（2）過點作，是角平分線上的一點，，，，，，平分，，，，點是上一個動點，的最小值為到距離，即的長，的最小值．故答案為：4．【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造成直角三角形是解