高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）專題強(qiáng)化訓(xùn)練一 空間向量在直線、平面平行垂直和角的應(yīng)用(附答案)

專題強(qiáng)化訓(xùn)練一：空間向量在直線、平面和角的應(yīng)用【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：空間中直線、平面的平行1.線線平行的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.2.線面平行的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.面面平行的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.考點(diǎn)二：空間中直線、平面的垂直1.線線垂直的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.2.線面垂直的向量表示設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.知識(shí)點(diǎn)三面面垂直的向量表示設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.考點(diǎn)三：角角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩個(gè)平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【題型歸納】題型一：空間向量證明直線與平面平行1．如圖，在四棱錐中，，，點(diǎn)F為棱CD的中點(diǎn)，與E，F(xiàn)相異的動(dòng)點(diǎn)P在棱EF上.(1)當(dāng)P為EF的中點(diǎn)時(shí)，證明：平面ADE；(2)設(shè)平面EAD與平面EBC的交線為l，是否存在點(diǎn)P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，P、Q是正方體表面上相異兩點(diǎn)．若P、Q均在平面上，滿足，．(1)判斷PQ與BD的位置關(guān)系；(2)求的最小值．題型二：空間向量證明直線與平面垂直3．如圖，在四棱錐中，平面，底面是梯形，點(diǎn)E在上，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值．4．在直三棱柱中，且分別是的中點(diǎn).(1)求BN的長(zhǎng)；(2)求異面直線和所成角的余弦值；(3)證明：．題型三：空間角的向量求法5．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，底面ABCD為正方形，且．(1)若，證明：平面AMN．(2)若平面MNA與底面ABCD所成銳二面角的大小為45°，求PC的長(zhǎng)．6．如圖，在四棱錐中，和均為正三角形，且邊長(zhǎng)為，，，與交于點(diǎn)．(1)求證：平面(2)求二面角的余弦值．7．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，，平面平面ABCD.(1)證明：；(2)若，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn)，求直線PE與平面PAB所成角的正弦值.【專題突破】一、單選題8．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線和平面的位置關(guān)系是（

）A． B．C．或 D．9．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．10．在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．11．直三棱柱中，，則與所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．12．已知矩形ABCD，，，將沿AC折起到的位置若，則二面角平面角的余弦值的大小為（

）A． B． C． D．13．如圖，在菱形中，，，沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．平面平面B．線段的最小值為C．當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)D到直線的距離為D．當(dāng)P，Q分別為線段，的中點(diǎn)時(shí)，與所成角的余弦值為二、多選題14．給出下列命題，其中是真命題的是（

）A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則與垂直B．若直線的方向向量，平面的法向量，則C．若平面，的法向量分別為，，則D．若存在實(shí)數(shù)使則點(diǎn)共面15．如圖，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分別是的中點(diǎn)，則（

）A． B．BE∥平面C．與CD所成角的余弦值為 D．與平面所成角的余弦值為16．已知四棱錐的底面為直角梯形，,底面，且,是的中點(diǎn)，則下列正確的有（

）A．平面平面B．與平面所成的角的余弦值為C．點(diǎn)到平面的距離為D．平面與平面所成二面角的余弦值為17．如圖，在平行六面體中，，，點(diǎn)M，N分別是棱的中點(diǎn)，則下列說法中正確的有（

）A．B．向量共面C．平面D．若AB=1，則該平行六面體的高為18．如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，平面，下列說法正確的是（

）A．與所成的角是B．平面與平面所成的銳二面角余弦值是C．三棱錐的體積是D．與平面所成的角的正弦值是19．如圖，正方形和矩形所在平面所成的角為60°，且，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．直線與所成角的余弦值是C．直線與平面所成角的正弦值是D．點(diǎn)到平面的距離是三、填空題20．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在線段CC1上，且．點(diǎn)P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，則線段AP的長(zhǎng)為________．21．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在面上，且，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為______．22．在平行六面體中，，，，，，則與夾角的余弦值為__________.23．如圖，在正方體中，平面，垂足為M，以下四個(gè)結(jié)論①AM垂直于平面；②直線AM與所成的角為45°；③AM的延長(zhǎng)線過點(diǎn)；④直線AM與平面所成的角為60°其中正確的結(jié)論序號(hào)為______．24．如圖，在三棱錐中，，，E，F(xiàn)，O分別為棱，，的中點(diǎn)，記直線與平面所成角為，則的取值范圍是______.四、解答題(共0分)25．如圖，在直三棱柱中，側(cè)面?zhèn)让娣謩e為的中點(diǎn)，；(1)求證：直線面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．26．在如圖所示的五面體中，面是邊長(zhǎng)為2的正方形，面，，且，為的中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．27．如圖，在正三棱柱中，P為的中點(diǎn)，Q為棱的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求AC與平面所成角的正弦值.28．如圖，且，，且，且，平面ABCD，.(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：平面CDE；(2)求二面角的正弦值；29．如圖在四棱錐中，，，，，點(diǎn)F，Q分別為CD，PB的中點(diǎn).(1)證明：平面PAD；(2)若，平面ABCD，AP與平面ABCD所成的角為，求二面角的余弦值.30．如圖，在梯形ABCD中，已知AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M為AB的中點(diǎn).將沿DM翻折至，連接PC，PB．(1)證明：DM⊥PC.(2)若二面角P－DM－C的大小為60°，求PB與平面ABCD所成角的正弦值.31．在直角梯形中，，A為線段的中點(diǎn)，四邊形為正方形．將四邊形沿折疊，使得，得到如圖（2）所示的幾何體．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)當(dāng)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值．32．如圖，三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都為2，且，平面平面，點(diǎn)P，Q分別在上，且．(1)求證：平面；(2)當(dāng)點(diǎn)P是邊的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離．33．如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)若為線段的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若，且，求二面角的余弦值.34．在四棱錐中，四邊形為菱形，，且平面平面.(1)證明：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.35．如圖，在三棱柱中，底面，的中點(diǎn)為，四面體的體積為，四邊形的面積為.(1)求到平面的距離；(2)設(shè)與交于點(diǎn)O，是以為直角的等腰直角三角形且.求直線與平面所成角的正弦值.36．如圖，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的對(duì)角線交于點(diǎn)F，G為SB的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面AEG；(2)求二面角的余弦值；(3)在線段EG上是否存在一點(diǎn)H，使得BH與平面SCD所成角的大小為？若存在，求出GH的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.參考答案：1．(1)證明見解析(2)存在，【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，連接，，通過證明四邊形為平行四邊形，得到，再根據(jù)線面平行的判定定理可證平面ADE；（2）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連接，則直線為平面與平面的交線，連接，交于點(diǎn)，若平面，由線面平行的性質(zhì)可知，設(shè)，推出，根據(jù)三點(diǎn)共線的結(jié)論求出，從而可推出.(1)如圖，設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，連接，，∴,，∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.(2)如圖，延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，連接，則直線為平面與平面的交線，連接，交于點(diǎn)，若平面，由線面平行的性質(zhì)可知，設(shè)，∵點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，即，所以當(dāng)時(shí)，，∴，又平面，平面，∴平面，∴存在滿足條件的點(diǎn)使得平面，此時(shí).2．(1)PQ與BD的位置關(guān)系是平行(2)【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判斷PQ與BD的位置關(guān)系；（2）用含參數(shù)的表達(dá)式求出，進(jìn)而求出最小值.(1)以D為原點(diǎn)，以射線DA，DC，分別為x，y，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，，，．因?yàn)镻、Q均在平面上，所以設(shè)，，則，，．因?yàn)?，，所以解?所以，，即，，所以PQ與BD的位置關(guān)系是平行．(2)由（1）可知：，，所以．當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為．3．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量可得，由線面垂直的判定定理可得平面，然后由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論，（2）由（1）可得是平面的法向量，然后向量的夾角公式可求得結(jié)果(1)證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?2)設(shè)直線與平面所成的角為，由（1）可知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成的角的正弦值為4．(1)；(2)；(3)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)幾何關(guān)系，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出B和N的坐標(biāo)即可求BN長(zhǎng)度；(2)利用向量數(shù)量積即可求；(3)證明數(shù)量積等于零即可.(1)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系：則，，；(2)由題可知，，，，，，，，，，，，異面直線與所成角的余弦值為；(3)，，，，即.5．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)條件首先證明，再證明，由線面垂直的判定定理即可證明平面.（2）如圖，以為一組正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面MNA與底面ABCD的法向量，由二面角公式可求出，即可求出PC的長(zhǎng).(1)證明：連接BD，因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕驗(yàn)槠矫?，平面，所以．又，平面，平面，所以平面因?yàn)槠矫妫裕?，．在中，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以．又，平面，平面，所以平面?2)解：如圖，以為一組正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，．設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．所以，．6．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可證明；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的一個(gè)法向量，利用空間向量求解二面角即可.(1)證明：因?yàn)楹途鶠檎切?，所以．又，所以為的中垂線．所以為的中點(diǎn)．又，所以．又，，平面，所以平面．(2)因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以．又因?yàn)?，所以，，為全等三角形．所以，所以．結(jié)合（1）知，不妨以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故，令，則，，所以．設(shè)二面角的大小為，則．又二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．7．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）易證，再根據(jù)平面平面ABCD，利用面面垂直的性質(zhì)定理證明；（2）連接CE，易證平面ABCD.得到CA，CD，CP兩兩互相垂直，則C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CD，CA，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAB的一個(gè)法向量為，再由求解.(1)證明：在中，由余弦定理，得，所以，則，即.又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且平面平面，所以平面PAC.又因?yàn)槠矫鍼AC，所以.(2)連接CE，由（1）可知，故.又，所以.又，所以平面PEC.又平面PEC，所以.又，，所以平面ABCD.所以CA，CD，CP兩兩互相垂直.如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CD，CA，CP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為，則即令，得.所以.所以直線PE與平面PAB所成角的正弦值為.8．A【解析】【分析】利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求得，即，進(jìn)而可知直線和平面的位置關(guān)系.【詳解】由，，，所以，即，所以.故選：A9．D【解析】【分析】解法一：可以通過幾何法找到異面直線所成角的平面角，結(jié)合余弦定理可以求出；解法二：通過空間向量法，用坐標(biāo)運(yùn)算可以求出.【詳解】解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接FE，如圖，∵E是BC的中點(diǎn)，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，易知，，，所以，，則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.故選：D10．B【解析】【分析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.【詳解】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選：B.11．A【解析】【分析】根據(jù)幾何體特點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式即可得出異面直線所成角.【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，以分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，可得，，，.，故BM與AN所成角的余弦值為故選：A.12．C【解析】【分析】作，垂足分別為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，可得即為二面角的平面角，再根據(jù)，兩邊平方求出，即可得解.【詳解】解：作，垂足分別為，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以即為二面角的平面角，由矩形ABCD，可得，則，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所?所以二面角平面角的余弦值的大小為.故選：C.13．C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，易知，結(jié)合條件及線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有平面平面，即可判斷A；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷BCD.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，∵在菱形中，，，∴，又，∴，所以，又易知，因?yàn)?，，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故A正確；以為原點(diǎn)，分別為軸建立坐標(biāo)系，則，當(dāng)，時(shí)，，，，，所以點(diǎn)D到直線PQ的距離為，故C錯(cuò)誤；設(shè)，設(shè)，可得，，當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點(diǎn)時(shí)，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；故選：C.14．AD【解析】【分析】對(duì)于A：先計(jì)算出，判斷出，即可證明與垂直；對(duì)于B：判斷出，即可得到不成立；對(duì)于C：判斷出不垂直，即可得到不成立；對(duì)于D：不共線，由平面向量基本定理可以判斷；共線時(shí)，可以判斷共線，則點(diǎn)共面也成立.即可判斷.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)橹本€的方向向量，直線的方向向量，且，所以，所以與垂直.故A正確；對(duì)于B：因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，且，所以不成立.故B不正確；對(duì)于C：因?yàn)槠矫?，的法向量分別為，，且，所以不垂直，所以不成立.故C不正確；對(duì)于D：若不共線，則可以取為一組基底，由平面向量基本定理可得存在實(shí)數(shù)使則點(diǎn)共面；若共線，則存在實(shí)數(shù)使所以共線，則點(diǎn)共面也成立.綜上所述：點(diǎn)共面.故D正確.故選：AD15．BCD【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對(duì)選項(xiàng)ACD一一判斷；對(duì)選項(xiàng)B，連接與交于點(diǎn)，連接，易知，則由線面平行的判定定理可知BE∥平面，即可判斷B.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，對(duì)于A，，，所以，所以與不垂直，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，連接與交于點(diǎn)，連接，易知，所以面，面，所以BE∥平面，所以B正確；對(duì)于C，，，所以，，所以，與CD所成角的余弦值為，故C正確；對(duì)于D，，設(shè)面，，，令，，所以，與平面所成角為，，所以，與平面所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.16．AC【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，可由面面垂直的判定定理直接證明，對(duì)于B，C，D選項(xiàng)可建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷正確與否【詳解】對(duì)于A，由題意,底面,可得,又四棱錐的底面為直角梯形,且，則,又平面，平面所以平面,又平面，所以平面平面,故A正確建立如圖所示的坐標(biāo)系,可得,,可得，，設(shè)平面的法向量，則即令，則，所以又，設(shè)與平面所成的角大小為則，所以，故B錯(cuò)誤點(diǎn)到平面的距離，故C正確設(shè)平面AMC的法向量,平面BMC的法向量,由得令,得,所以,同理可求,設(shè)平面AMC與平面BMC所成二面角的大小為，為鈍角所以所以平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值為.故D錯(cuò)誤故選：AC17．AD【解析】【分析】選定空間的一個(gè)基底，表示出相關(guān)向量，計(jì)算數(shù)量積判斷A，C；利用共面向量定理判斷B；求出正四面體的高判斷D作答.【詳解】在平行六面體中，令，不妨令，依題意，，，因點(diǎn)M，N分別是棱的中點(diǎn)，則，，有，A正確；，若向量共面，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)使得，即，而不共面，則有，顯然不成立，B不正確；因，，因此，與不垂直，不垂直平面，C不正確；連接，依題意，，即四面體是正四面體，因此，平行六面體的高等于點(diǎn)到平面的距離，即正四面體的高h(yuǎn)，由知，由選項(xiàng)A知，，則平面，是平面的一個(gè)法向量，，，則，所以平行六面體的高為，D正確.故選：AD18．ACD【解析】【分析】由題意以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷選項(xiàng)A，B，D，直接由錐體的體積公式求出三棱錐的體積，判斷選項(xiàng)C.【詳解】由,可得,又平面故以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則選項(xiàng)A.由則,所以所以與所成的角是，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B.由題意為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，即，則取所以所以平面與平面所成的銳二面角余弦值是，故選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.,故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D.,設(shè)與平面所成的角為則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD19．BCD【解析】【分析】由條件建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法判斷的位置關(guān)系，利用空間角的向量求法判斷B，C，再結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量求法判斷D.【詳解】由已知，，又，平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，又正方形和矩形所在平面所成的角為60°，所以，，所以，，，，所以，，所以，所以不垂直，A錯(cuò)，，，所以，所以直線與所成角的余弦值是，B對(duì)，設(shè)平面的法向量為，，由已知，所以，取可得，，即可取法向量為，直線的方向向量，所以，所以線與平面所成角的正弦值是，C對(duì)，因?yàn)?，平面的法向量為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，D對(duì)，故選：BCD.20．##【解析】【分析】分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由求出點(diǎn)坐標(biāo)后可得線段的長(zhǎng)．【詳解】如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，則是靠近的線段的三等分點(diǎn)，，，，在平面上，設(shè)，則，由AP⊥平面MBD1，得，解得，所以，．故答案為：．21．【解析】【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用空間向量求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，即可求出的最值，即可得解；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)，，則，，因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)的軌跡是側(cè)面內(nèi)，和的中點(diǎn)，連線的線段，所以，顯然，所以的最小值為，最大值為．所以故答案為：22．【解析】【分析】由表示出，再結(jié)合空間向量的夾角公式計(jì)算即可．【詳解】設(shè)，則，同理，，平行六面體中，，，；則，，，設(shè)直線和所成角為，則．所以與夾角的余弦值為，故答案為：.23．①③【解析】【分析】①根據(jù)AM⊥平面A1BD，平面A1BD∥CB1D1，判斷AM⊥平面CB1D1；②建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，求出平面BDA1的法向量，求得與的夾角，判斷直線AM與BB1所成的角不是45°；③求出，判斷它與平面CB1D1的法向量共線，得出AM的延長(zhǎng)線過點(diǎn)C1；④求出AC1與平面A1B1C1D1所成的角，即為直線AM與平面A1B1C1D1所成的角．【詳解】對(duì)于①，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AM⊥平面A1BD，由正方體的性質(zhì)可得，平面A1BD，平面A1BD，平面A1BD，同理可得，平面A1BD，，∴平面A1BD∥CB1D1，∴AM⊥平面CB1D1，①正確；對(duì)于②，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)棱長(zhǎng)為1，則A(0，0，1)，B(1，0，1)，C(1，1，1)，D(0，1，1)，A1(0，0，0)，∴=(－1，1，0)，=(1，0，1)，設(shè)平面BDA1的法向量為=(x，y，z)，則，即，令x=1，則y=1，z=－1，∴=(1，1，－1)，又=(0，0，－1)，∴cos＜，＞==，∴與的夾角不是45°且不是135°，又與共線，∴直線AM與BB1所成的角不是45°，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，=（1，1，－1），與平面CB1D1的法向量共線，∴與共線，即AM的延長(zhǎng)線過點(diǎn)C1，③正確；④與共線，且tan∠AC1A1=，∴AC1與平面A1B1C1D1所成的角不是60°，即直線AM與平面A1B1C1D1所成的角不是60°，④錯(cuò)誤；綜上，正確的命題序號(hào)是①③．故答案為：①③．24．【解析】【分析】易證得，引入輔助角變量，設(shè)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得線面角的正弦值，從而可判斷所求角的范圍.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以平面，設(shè)，如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則平面與平面重合，不妨設(shè)，則，則，，則，因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一條法向量，因?yàn)橹本€與平面所成角為，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：.25．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）證明平行四邊形得線線平行，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可證明.（2）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系根據(jù)向量的夾角求線線角.(1)證明：取的中點(diǎn)P，連因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且，又在直三棱柱中，且，所以且.所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，所以直線平面；(2)解在直三棱柱中平面，所以，又側(cè)面?zhèn)让?，平面平面，所以平面，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則由題意可知，所以；所以．所以異面直線MC1與BN所成角的余弦值為．26．(1)證明見解析(2)(3)【解析】【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得；(1)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，顯然平面的法向量可以為，所以，即，又平面，所以平面；(2)解：因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，顯然平面的法向量可以為，設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍角，則，所以二面角的余弦值為；(3)解：由（2）知平面的法向量為，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則所以點(diǎn)到平面的距離；27．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）利用正三棱柱的幾何性質(zhì)，取線段AB的中點(diǎn)記為D，連接CD，PD，可推證平面，再利用平行四邊形證得，即能證明平面；（2）由（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中線面夾角公式求解即可.(1)證明：正三棱柱中，取線段AB的中點(diǎn)記為D，連接CD，PD，由已知，易知，且，所以四邊形PDCQ是平行四邊形，.又，，，所以平面，所以平面.(2)解：由（1）易知，DB，DC，DP兩兩垂直，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，可得所以，即AC與平面所成角的正弦值為.28．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用空間向量證明線面平行，即證；（2）利用空間向量求二面角，，再求．(1)因?yàn)椋?，平面ABCD，而AD?平面ABCD，所以，，因此以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以??的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榍?，且，，所以，，，，，，，?設(shè)為平面CDE的法向量，，，則，不妨令，可得；又，所以.又∵直線平面CDE，∴平面CDE；(2)依題意，可得，，.設(shè)為平面BCE的法向量，則，不妨令，可得.設(shè)為平面BCF的法向量，則，不妨令，可得.若二面角的大小為，則，因此.∴二面角的正弦值為29．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取AB的中點(diǎn)H，連接QH，HF，根據(jù)線面平行的判定證明平面平面PAD.（2）以直線EC，EA，EP為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAF一個(gè)法向量，再根據(jù)平面PAE的一個(gè)法向量結(jié)合二面角的向量求法求解即可(1)證明：取AB的中點(diǎn)H，連接QH，HF.∵在中，Q，H分別為BP，BA的中點(diǎn)，∴.又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.∵在梯形ABCD中，H，F(xiàn)分別為AB，DC的中點(diǎn)，∴.又∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD.又∵，平面QHF，平面QHF，∴平面平面PAD.又∵平面QHF，∴平面PAD.(2)由題知，EP，EA，EC互相垂直，分別以直線EC，EA，EP為x軸，y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面PAF的法向量為，則，即，不妨取，得平面PAF的一個(gè)法向量為，由題知平面EAP，∴平面PAE的一個(gè)法向量為，因，所以所求二面角的余弦值為.30．(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接AC，交DM于點(diǎn)O，連接PO，根據(jù)線段長(zhǎng)度關(guān)系可得四邊形AMCD為菱形，從而得到DM⊥AC，再根據(jù)等腰三角形證明DM⊥PO即可證明DM⊥平面PCO，從而得到DM⊥PC.（2）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再由（1）可得∠POC＝60°，進(jìn)而得到，再根據(jù)線面角的向量求法求解即可(1)證明：連接AC，交DM于點(diǎn)O，連接PO.因?yàn)锳B＝4，AD＝DC＝BC＝2，M為AB的中點(diǎn)，所以AM＝AD＝CD.又四邊形ABCD為梯形，則四邊形AMCD為菱形，所以DM⊥AC.又PD＝PM，O是DM的中點(diǎn)，所以DM⊥PO.因?yàn)锳C?平面PCO，PO?平面PCO，AC∩PO＝O，所以DM⊥平面PCO又PC?平面PCO，所以DM⊥PC.(2)以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槎娼荘－DM－C的大小為60°，由（1）DM⊥平面PCO，所以∠POC＝60°，易得∠BAD＝60°，則.平面ABCD的一個(gè)法向量，設(shè)PB與平面ABCD所成的角為，則，即PB與平面ABCD所成角的正弦值為31．(1)(2)【解析】【分析】（1）（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用即可向量法計(jì)算可得；(1)解：依題意可得、，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則(2)解：依題意可得，則，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，則，顯然二面角的銳二面角，所以二面角的余弦值為；32．(1)詳見解析；(2).【解析】【分析】（1）作，根據(jù)條件證明四邊形為平行四邊形，然后得到即可；（2）取中點(diǎn)，然后證明平面，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法即得.(1)作，交于點(diǎn)，由，則，∵，∴，即，∴且，連接，所以四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，且平面，∴平面．(2)取中點(diǎn)，連接、，∵，，，根據(jù)余弦定理得