高中數(shù)學(xué)思想函數(shù)與圖像

數(shù)形結(jié)合、函數(shù)

(-)數(shù)形結(jié)合在求函數(shù)定義域方面的應(yīng)用

、/丫2_4Y?

例1：求函數(shù)丁=""十’的定義域.

X

(-)數(shù)形結(jié)合在求函數(shù)值域方面的應(yīng)用

例2：求函數(shù)y=/—2x—3,x?—1,2］的值域.

(三)數(shù)形結(jié)合在函數(shù)單調(diào)性方面的應(yīng)用

例3：已知/&)=/+2(1-?？?2在(-8,4］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍。

(四)數(shù)形結(jié)合在函數(shù)奇偶性方面的應(yīng)用

例4：已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，/0)=%(1+乂).試求當(dāng)了＜0

時(shí)，函數(shù)/(x)的解析式。

(五)數(shù)形結(jié)合在函數(shù)求解析式方面的應(yīng)用

例5：(軸定區(qū)間變問(wèn)題)已知函數(shù)/(X)=X2—2X—3,試求：在［a,。+2］上函數(shù)的最小

值g(a).

例6：(軸變區(qū)間定問(wèn)題)試求函數(shù)/(x)=—/+2ax-3在［1,3］上的最大值g(a)。

函數(shù)可變?yōu)椋?(x)=—(x—。)2+“2一3,對(duì)稱軸方程：x=a。

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想

一、數(shù)形結(jié)合思想方法

中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程(組)、不

等式(組)、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面兒何、立體兒何等；一類是關(guān)于數(shù)

形結(jié)合的知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大

致可以分為兩種情形:或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段,

數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)：或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范

嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡

明曲線的幾何性質(zhì)。

恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)數(shù)形結(jié)合就是根

據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量

關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解

題思路，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間

萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說(shuō)過(guò)：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難

入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休。

數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題

與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

分析和解決問(wèn)題時(shí).，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代

數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義：第二是恰當(dāng)設(shè)參

數(shù)、合理用參數(shù)，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的

取值范圍。

數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于

直角三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的。

I、再現(xiàn)性題組：

1.設(shè)命題甲：0〈x<5：命題乙：|x—2|<3,那么甲是乙的。（90年全國(guó)文）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.若log/Vlog",則o（92年全國(guó)理）

A.0<a<b<lB.0<b<a<lC.a>b>lD.b>a>l

JT,

3.如果|x|W-j,那么函數(shù)f（x）=cos-x+sinx的最小值是___。（89年全國(guó)文）

4

V2-1V2+11-V2

A.-------B.---------C.—1D.-------

222

4.如果奇函數(shù)f（x）在區(qū)間［3,7］上是增函數(shù)且最小值是5,那么￡a）的［-7,-3］上是

。（91年全國(guó)）

A.增函數(shù)且最小值為一5B.增函數(shù)且最大值為一5

C.減函數(shù)且最小值為一5D.減函數(shù)且最大值為一5

丁一3

5.設(shè)全集1={(x,y)|x,ySR},集合M={(x,y)|=1］，N={(x,y)|yWx+l}，

x-2

那么MUN等于（90年全國(guó)）

A.6B.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)'y=x+l

000

6.如果9是第二象限的角，且滿足cos-二:---sin-sine，那么丁是

222

A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第

二象限角

7.已知集合￡=｛。cos0<sin0,0W0W2n},F={0jtg0<sin0},那么ECF的區(qū)

間是。（93年全國(guó)文理）

JIn3n,3n、5n、

A.(―,)B.(―,——)C.(W，—-)D.(——,---)

244244

8.若復(fù)數(shù)z的輻角為空■,實(shí)部為一2J5,則

6

A.—2V3—2iB.-2v+2iC.—2V3+25/3iD.-2V3—2V3

1

9.如果實(shí)數(shù)X、y滿足等式(x-2)2+y2=3,那么2的最大值是一

(90年全國(guó)

X

理)

，4D.V3

10.滿足方程|Z+3—J5i|=J5的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是。

【簡(jiǎn)解】1小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲=>乙，選A;

2小題：由已知畫出對(duì)數(shù)曲線，選B；

3小題：設(shè)sinx=t后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；

4小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱畫出圖像，選B；

5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來(lái)，選B；

6小題：利用單位圓確定符號(hào)及象限；選B；

7小題：利用單位圓，選A；

8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；

9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問(wèn)題；選D；

10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解，答案一二+fi。

22

【注】以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來(lái)處理與數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,

即借助數(shù)軸(①題)、圖像(②、③、④、⑤題)、單位圓(⑥、⑦題)、復(fù)平面(⑧、⑩題)、

方程曲線(⑨題)。

II、示范性題組：

例1.若方程lg(—X?+3x—m)=lg(3—x)在xd(0,3)-X--------yT-m

內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。°、

【分析】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為?元二次方程[?3—>X

在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問(wèn)題，再利用二次函數(shù)的圖像進(jìn)行解

決。

3-x>0

【解】原方程變形為2cc

-x~+3x-m=3-x

f3—x>0

即：\2

[(x-2)2=l-m

設(shè)曲線yi=(x—2產(chǎn)，x￡(0,3)和直線y2=l—m,圖像如圖所示。由圖可知：

①當(dāng)1—m=0時(shí)，有唯一解，m=l;

②當(dāng)時(shí),有唯一解,即一3<mW0,

/.m=l或一3<mW0

此題也可設(shè)曲線yi=—(x-2)2+l,xd(0,3)和直線y2=m后畫出圖像求解。

【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函

數(shù)的圖像直觀解決，簡(jiǎn)單明了。此題也可用代數(shù)方法來(lái)討論方程的解的情況，還可用分離參

數(shù)法來(lái)求(也注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)x值)。

例2.設(shè)|z"=5,|z2!=2,|Z1-4

求Y的值。N

【分析】利用復(fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將c

復(fù)數(shù)問(wèn)題用幾何圖形幫助求解。

【解】如圖，設(shè)Z]=3、Z2=而后，則[=而、公=而如圖所示。

由圖可知，—ZA0D=ZB0C,由余弦定理得：

z22

2X5X2

75A

【另解】設(shè)Z|=次、乙=而如圖所示。則IJI=；,y個(gè)A

Zr2/n

52+22-(V13)24

cosZAOD=-------------------------—,sinZAOD=±

2X5X25

所以幺=i)=2±"|i,z,3

即」=2±一i。

S-2

【注】本題運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把共燒復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算

的幾何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑。一般地，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以利

用復(fù)數(shù)的幾何意義而將問(wèn)題變成幾何問(wèn)題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)

求解。

本題設(shè)三角形式后轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題的求解過(guò)程是：設(shè)Z1=5(cos。|+isin。p,Z2=

+isin02),則|Z]一I=I(5cos0,—2cos02)+(5sin01+2sin02)i|=

，29-20cos(4+%)=V13,所以cos(。j+02)=^,sin(01+。2)=±,

Z]

1212

工22(cos%+isin%)2255

3

=2±-io

2

本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解，其過(guò)程是：山反|一口|=J萬(wàn)得:

(Zj-z2)(Zj—Z2)=Z1Z1+z2^7—ZjZ2—Zjz2=25+4-Z|Z2—Zjz2=13,

____7773

所以ZRz+Z1=16,再同除以Z2言得J+—^=4,設(shè)一^=2,解得z=2±4i。

Z2Z2Z22

幾種解法，各有特點(diǎn)，由于各人的立足點(diǎn)與思維方式不同，所以選擇的方法也有別。一

般地，復(fù)數(shù)問(wèn)題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形

式轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題求解；設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解；利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化

為幾何問(wèn)題求解。

例3.直線L的方程為：x=-^(p>0),橢圓中心D(2+5,0),焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半

軸為2,短半軸為1,它的左頂點(diǎn)為A。問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，

它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離？

【分析】山拋物線定義，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí)，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物

線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題(研究方程組解的情況)。

【解】由已知得：a=2,b=l,A(g,O),設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：

y2=2Px

2

22

<[x_(2+—)]，消y得：X—(4—7p)x+(2p+-^-)=0

所以△=16-64p+48P2>0,即6P2-8p+2>0,解得：p<g或p>l。

2

結(jié)合范圍嗎,4+9內(nèi)兩根，設(shè)f(x)=x2-(4-7p)x+(2p+勺)，

所以即p<1,且f(4)>0、f(4+-)>0UPp>-4+3V2o

222222

結(jié)合以上，所以-4+3&<p〈g。

(注】本題利用方程的曲線將曲線有交點(diǎn)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問(wèn)題。

?般地，當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時(shí)可以考慮應(yīng)用了“判別式法”，其中特別要

注意解的范圍。另外，“定義法”、“數(shù)形結(jié)合法”、“轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識(shí)都在本

題進(jìn)行了綜合運(yùn)用。

例4.設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A={(x,y)x=n,y=na+b}(nGZ),B={(x,y)|x=m,y

=3m2+15)(mGZ),C={(x,y)!x2+y2<144},討論是否，使得AClB#6與(a,b)GC

同時(shí)成立。(85年高考)

【分析】集合A、B都是不連續(xù)的點(diǎn)集，“存在a、b,使得AnB￥4”的含意就是“存

在a、b使得na+b=3n2+15(nGZ)有解(ACB時(shí)x=n=m)。再抓住主參數(shù)a、b,則此問(wèn)

題的幾何意義是：動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nx+y=3M+15上，且直線與圓x?+y?=144有公

共點(diǎn)，但原點(diǎn)到直線L的距離212。

【解】由ACB#小得：na+b=3n2+15;

設(shè)動(dòng)點(diǎn)(a,b)在直線L：nx+y=3r?+15上，且直線與圓x?+y?=144有公共點(diǎn)，

所以圓心到直線距離d==3(J/+i+_A=)212

yin2+1yjn2+1

：n為整數(shù)上式不能取等號(hào)，故a、b不存在。

【注】集合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集(即曲線)，而用幾何方法進(jìn)行研究。此題也屬探索性問(wèn)題用數(shù)

形結(jié)合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對(duì)有公共點(diǎn)問(wèn)題的恰當(dāng)處理方法。

本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是：

由APBW。得：na+b=3n2+15,BPb=3n2+15-an(①式)；

由(a,b)eC得，a2+b2144(②式)；

把①式代入②式，得關(guān)于a的不等式：

(l+n2)a2—2n(3n2+15)a+(3n2+15)2—144W0(③式),

它的判別式△=4/(3^+15)2—4(1+!?)[(3n2+15)2-144]--36(n2-3)2

因?yàn)閚是整數(shù)，所以n2—3#0,因而△〈()，又因?yàn)?+/>0,故③式不可能有實(shí)數(shù)解。

所以不存在a、b,使得ACBW小與(a,b)WC同時(shí)成立

山、鞏固性題組：

1.已知5x+12y=60,則曲歹的最小值是。

A.竺B.12C.12D.1

13512

2.已知集合「={區(qū)丫)y=}、Q={(x,y)，y=x+b},若PAQW?,則b的取值

范圍是。

A.|b|<3B.|b|W3收C.一3WbW3&D.-3<b<3后

3.方程2'=*2+2*+1的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是_/

A.1B.2C.3D.以上都不對(duì)

4.方程x=10sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_____。

5.若不等式m>|x-l|+|x+l|的解集是非空數(shù)集，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

6.設(shè)2=￡：0$<1+_1i且|z|W1,那么argz的取值范圍是。

2

7.若方程x?-3ax+2a2=0的一個(gè)根小于1,而另一根大于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

8.sin220°+cos280°+6sin20°,cos80°=。

9.解不等式：V-x2-2x>b-x

10.設(shè)A={x[<lx<3},又設(shè)B是關(guān)于x的不等式組卜2-2x+"W°的解集，試確定a、b

[x2-2bx+5^O

的取值范圍，使得A=B。(90年高考副題)

11.定義域內(nèi)不等式萬(wàn)九〉x+a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

12.已知函數(shù)y=J(x-1)2+1+J(x-5)2+9，求函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值。

13.已知zGC,且|z|=L求|(z+1)(z—i)|的最大值。

14.若方程lg(kx)=21g(x+l)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。

二、分類討論思想方法

在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，

然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同

時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)

分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概

括性，所以在高考試題中占有重要的位置。

引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面：

①問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種

情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

②問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分

類給出的。如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，分q=l和q#l兩種情況。這種分類討論題型可

以稱為性質(zhì)型。

③解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax>2時(shí)

分a>0、a=0和a〈0三種情況討論。這稱為含參型。

另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過(guò)

分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。

進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、

不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。

解答分類討論問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象

的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥

（沒有重復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，

綜合得出結(jié)論。

I、再現(xiàn)性題組：

1.集合A={x||x|W4,xGR},B={x||x-3|Wa,xGR}，若A=B,那么a的范圍是。

A.OWaWlB.a^lC.a<lD.0<a<l

32

2.若a〉O且aWLp=logfl(a+a+l),q=loga(a+a+l),則p、q的大小關(guān)系是

A.p=qB.p<qC.p>qD.當(dāng)a>l時(shí)，p>q；當(dāng)0<a<l時(shí),p<q

”,smxcosxtgxIc/gxl“心……口

3.函數(shù)y=—一---------+:H--------的值域是

IsinxlIcosx\\tgx\ctgx

JIcos"0-sin"9

4.若8e(0,,則lim的值為

n—0°cos"0+sin"9

A.1或一1B.0或一1C.0或1D.0或1或一1

5.函數(shù)y=x+—的值域是。

x

A.[2,+8)B.(-8,-2]u[2,+8)c.(-8,+8)D.[-2,2]

6.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形，則它的體積為。

A.B.§6C.3△D.或

7.過(guò)點(diǎn)P⑵3),且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是。

A.3x-2y=0B.x+y-5=0C.3x—2y=0或x+y-5=0D.不能確定

【簡(jiǎn)解】1小題：對(duì)參數(shù)a分a>0、a=0、a<0三種情況討論，選B；

2小題：對(duì)底數(shù)a分a〉l、0<a〈l兩種情況討論，選C；

3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案｛4,-2,0｝；

兀71TCTC

4小題：分。=一、0<0<-^一<9〈一三種情況，選D；

4442

5小題:分x>0、x<0兩種情況，選B；

6小題：分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D；

7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。

II、示范性題組：

例1.設(shè)0<x<La>0且aWl,比較Ilog”(1—x)|與|log“(1+x)|的大小。

【分析】比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對(duì)底

數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論。

【解】0<x<l0<l-x<l,l+x>l

①當(dāng)0<a<l時(shí)，log。(1—x)>0,loga(l+x)<0,所以

2

Iloga(1—X)I—)loga(1+x)I=loga(1—x)—[—log4(l+x)]=loga(1—x)>0;

②當(dāng)a>l時(shí)，log。(1—x)<0,loga(l+x)>0,所以

loga(1—X))—|logfl(1+x)|=—loga(1—X)—loga(1+X)=-loga(1—

x2)>0；

由①、②可知，Ilog。(1—X)I>1log“(1+x)I。

【注】本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y=10g“X的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a>l時(shí)其是

增函數(shù)，當(dāng)0〈a〈l時(shí)其是減函數(shù)。去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值

的符號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。

例2,已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，AAB含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面

兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)：①.CuAUB且C中含有3個(gè)元素；②.CCAWe。

【分析】由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：①屬于A元素；②不屬于A

而屬于B的元素。并由含A中元素的個(gè)數(shù)1、2、3,而將取法分三種。

【解】C；2?C；+C；2?以+C%?以=1084

【注】本題是排列組合中“包含與排除”的基本問(wèn)題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的

分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一-種

解題思路是直接使用“排除法"，即《=1084。

例3.設(shè)｛a“｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S“是前n項(xiàng)和。①.證明：

1&g5,".+21gS“+2(lgS"+i；②-.是否存在常數(shù)c>0,使得與lgJ(5?--c)+2lg(5?+一2-c-)=lg

(S?+1-c)成立？并證明結(jié)論。(95年全國(guó)理)

【分析】要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中

在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q=l和qWl兩種情況。

【解】設(shè)｛a“｝的公比q,則a。。，q>0

222

①.當(dāng)q=l時(shí);S“=na],從而SnSn+2—Sn+|=na,(n+2)a]—(n+1)a(=—

a,2<0；

4Z.(1-qn)

當(dāng)qWl時(shí)，S〃=---------,從而

i-q

2,2(1一Q(1—/+2)人2/[八〃+1\2

%(If)

S”S〃+2—S〃+]=-a]~q"<0；

(I"(IM

由上可得s“s”+2<s用2,所以lg(S,S“+2)Qg(S.+J),即Igs“；gs"+2〈]gs“

②.要使~；g(S"+2__0=]g(S"+]-c)成立，則必有(S“一c)(S“+2-c)=

(S"+「c)2,

分兩種情況討論如下：

當(dāng)q=l時(shí)，Sn=叫,則

22

(Sn-c)(Sn+2-c)—(S〃+]-c)=(naj-c)[(n+2)a)—c]—[(n+l)a,-c]=—

a,2<0

當(dāng)q#l時(shí)，S〃=?則(S“_C)(S.+2-C)_(S._C)2=[\

1_qY—q

ci.(1-Q，，+~)

c][-------------------c]-[-------------------c]~9=—acif[a,-c(l—q)]

l-<71-q]

*/a.qw7^0a,—c(l—q)=0HPc=——

i-q

而S"一c=S“一7^—=一*<0對(duì)數(shù)式無(wú)意義

\-q\-q

lg(S—c)+lg(S+2—c)

由上綜述，不存在常數(shù)cX),使得至J-22---1g(Sn+1-c)成立。

【注】本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問(wèn)題為：證明

'和理科第一問(wèn)類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時(shí)，

對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。

例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等是分類討論的

問(wèn)題或者分類給出的，我們解決時(shí)按要求進(jìn)行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。

例4.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2,對(duì)于滿足l〈x<4的一切x值都有f(x)>0,求實(shí)數(shù)a

的取值范圍。

【分析】含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上冰J最大

值、最小值等值域問(wèn)題，需要先對(duì)開口方向討論，再入1.其拋\i/

物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最亢

海合\、NJ

得解。

-1|4\?x

【解】當(dāng)a〉0忖，f(x)=a(x--)2+2--

aa

f1

-<11<-<4

5a或《1

/⑴="2+220/(-)=2-->0

.aa

或"ja

/(4)=16a-8+220

a》l或一<a<l或"即a>—；

2

/⑴=“-2+2>0

當(dāng)a<0時(shí),、，解得<!)；

/(4)=16a—8+220

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=-2x+2,f(l)=0,f(4)=-6,.,.不合題意

由上而得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>；。

【注】本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a〉0、a<0、a=0三種情

況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)

間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是

“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。

例5.解不等式(“+[)(：—6。)*(a為常數(shù)，a^-1)

【分析】含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a+l的符號(hào)和兩根一4a、6a的大小，故對(duì)

參數(shù)a分四種情況a>0、a=0、一=<a<0、a<—:分別加以討論。

22

【解】2a+l>0時(shí)，a>-g；—4a<6a時(shí)，a>0。所以分以下四種情況討論：

2

當(dāng)a>0時(shí),(x+4a)(x—6a)>0,解得：x<—4a或x>6a；

當(dāng)a=0時(shí)，x2>0,解得：xWO；

當(dāng)---<a<0時(shí),(x+4a)(x—6a)>0,解得：x<6a或x>一4a；

2

當(dāng)a>---時(shí)，(x+4a)(x—6a)<0,解得：6a<x<—4a。

2

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，x<—4a或x>6a；當(dāng)a=0時(shí)，xWO；當(dāng)一5<a<0時(shí)，x〈6a或x>

—4a；當(dāng)a>---時(shí)，6a<x<—4a。

2

【注】本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇

到題目中含有參數(shù)的問(wèn)題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型

為含參型。

例6.設(shè)a20,在復(fù)數(shù)集C中，解方程：z2+2|z|=a。(90年全國(guó)高考)

2

【分析】由已知z2+21z|=a和|z|￡R可以得到z€R,即對(duì)z分實(shí)數(shù)、純虛數(shù)兩種情

況進(jìn)行討論求解。

【解】Viz|eR,由z2+2|z|=a得：Z2GR；二z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)

當(dāng)zGR時(shí)，|z|2+21z'=a,解得：|z|=-1+Jl+az—±(―1+Vl+a);

當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，設(shè)z=±yi(y>0),—y2+2y=a解得:y=l±6r(0

?Wl)

由上可得，z=±(—1+Jl+a)或±(1士Jl-a)i

【注】本題用標(biāo)準(zhǔn)解法(設(shè)z=x+yi再代入原式得到一個(gè)方程組，再解方程組)過(guò)程

十分繁難，而挖掘隱含，對(duì)z分兩類討論則簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)問(wèn)題。

【另解】設(shè)z=x+yi,代入得x1—y2+2y]x2+y2+2xyi=a；

.x2-y2+2-yJx2+y2=a

2xy=0

當(dāng)y=0時(shí)，x2+21x|=a,解得x=±(—1+Jl+a),所以z=±(—1+Jl+a)；

當(dāng)x=0時(shí)，-y2+2|y|=a,解得y=±(l±Jl-a),所以士(1±Jl-a)i。

由上可得，z=±(―1+Jl+a)或±(1土Jl-a)i

【注】此題屬于復(fù)數(shù)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)解法，即設(shè)代數(shù)形式求解。其中抓住2xy=0而分x=0

和y=0兩種情況進(jìn)行討論求解。實(shí)際匕每種情況中絕對(duì)值方程的求解，也滲透了分類討

論思想。

例7.在xoy平面上給定曲線y2=2x,設(shè)點(diǎn)A(a,0),aGR,曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離

的最小值為f(a),求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。(本題難度0.40)

【分析】求兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約

束條件x'O下的最小值問(wèn)題，而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論.

【解】設(shè)M(x,y)為曲線y2=2x上任意一點(diǎn)，則

|MA|2=(X—a)2+y2—(x—a)2+2x=x2—2(a—l)x+a2~[x—(a—1)]2+(2a—1)

由于y2=2x限定x20,所以分以下情況討論：

當(dāng)a—120時(shí)，x=a—1取最小值，即|MA}2min=2a—1；

當(dāng)a—1<0時(shí)，x=0取最小值，即|MA}2mM=a?；

僅21時(shí))

綜上所述，有f(a)=

(a<1時(shí))

【注】本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題我們

十分熟悉，但含參數(shù)a,以及還有隱含條件x20的限制，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn),

從而得到d=f(a)的函數(shù)表達(dá)式。

III、鞏固性題組：

1.若logaZ。，則a的取值范圍是___。

3

A.(0,2)B.(2,1)C.(0,Z)U(1,+oo)D.(2,+8)

3333

2.非零實(shí)數(shù)a、b、c,則幺+2+￡+￡絲的值組成的集合是o

Id1〃Id\ahc\

A.{-4,4}B.{0,4}C.{-4,0}D.{-4,0,4}

3.f(x)=(a—x)|3a—x|,a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是。

A.當(dāng)x=2a時(shí)有最小值0B.當(dāng)x=3a時(shí)有最大值0

C.無(wú)最大值，且無(wú)最小值D.有最小值但無(wú)最大值

4.設(shè)f1(x,y)=0是橢圓方程，f2(x,y)=0是直線方程，則方程f?(x,y)+入f2區(qū)丫)

=0(XGR)表示的曲線是o

A.只能是橢圓B.橢圓或直線C.橢圓或一點(diǎn)D.還有上述外的其它情況

5.函數(shù)f(x)=ax2—2ax+2+b(aWO)在閉區(qū)間［2,3］上有最大值5,最小值2,則a、

b的值為_____O

A.a=l,b=0B.a=l,b=0或a=—l,b=3

C.a=-l,b=3D.以上答案均不正確

6.方程(x2-X-l)-2=l的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是___。

A.1B.3C.4I).5

7.到空間不共面的4個(gè)點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)是o

A.7B.6C.5D.4

8.zee,方程z?—3|z|+2=0的解的個(gè)數(shù)是。

A.2B.3C.4D.5

9.復(fù)數(shù)z=a+ai(a*0)的輻角主值是。

2

10.解關(guān)于x的不等式：21og^2(2x—l)>loga(x—a)(a>0且a#l)

11.設(shè)首項(xiàng)為1,公比為q(q>0)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為S〃，又設(shè)T”=且，求lim。

C8

D/t+l

12.若復(fù)數(shù)z、z\z3在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)三點(diǎn)A、B、C組成直角三角形，且|z|=2,求

ZO

13.有卡片9張，將0、1、2、…、8這9個(gè)數(shù)字分別寫在每張卡片上?，F(xiàn)從中任取3

張排成三位數(shù)，若6可以當(dāng)作9用，問(wèn)可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)。

14.函數(shù)f(x)=(|m-l)x2-2(m+l)x-l的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求參數(shù)m的

值及交點(diǎn)坐標(biāo)。

三、函數(shù)與方程的思想方法

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是

從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或

方程與不等式的混合組)，然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還

實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題一數(shù)學(xué)問(wèn)題f代數(shù)問(wèn)題一方程問(wèn)題。宇宙世界，充斥著

等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值

問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的……等等：不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多

元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y=f(x),就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)—y

=0?？梢哉f(shuō)，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程

思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)

系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地，

函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)U-'(x)的單調(diào)性、

奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函

數(shù)、募函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱

含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問(wèn)題觀察、

分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，

方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解

答非函數(shù)問(wèn)題。

函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是

高考中考查的重點(diǎn)。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；

有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量

的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，翻譯成數(shù)學(xué)

語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，

通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決。

I、再現(xiàn)性題組：

1.方程lgx+x=3的解所在的區(qū)間為。

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+~)

2.如果函數(shù)f(x)=x2+bx+c對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,都有f(2+t)=f(2—t),那么一。

A.f(2)<f(l)<f(4)B.f(l)<f(2)<f(4)C.f(2)<f(4)<f(l)D.

f(4)<f(2)<f(l)

3.已知函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，則方程f(x)=a(a是常數(shù))。

A.有且僅有一個(gè)實(shí)根B.至多一個(gè)實(shí)根C.至少一個(gè)實(shí)根D.不同于以上結(jié)論

4.已知sin0+cos0=-^,JI

0e(—,n),則tg0的值是—

2

4343

A.---B.—c.-D.-

3434

5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S“，且S、=Sg(pHq,P、qWN),則S0+g=。

6.關(guān)于x的方程sin2x+cosx+a=0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。

7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°,則此棱錐的側(cè)面積為

8.建造一個(gè)容積為8m3,深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米

分別為120元和80元，則水池的最低造價(jià)為。

【簡(jiǎn)解】1小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)(特值法或代入法)，選3

2小題：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為2,結(jié)合其單調(diào)性，選A；

3小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；

Q?r1-r21

4小題：設(shè)tg二=x(x〉0),則----r+----~—解出x=2,再用萬(wàn)能公式，選A；

21+x1+x5

SS.

5小題：利用」是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)S,,=S,=m,上二=x,則('，p)、('，q)、

n1"p+q