因式分解-第十講學(xué)生版

第十講因式分解

一.基礎(chǔ)知識

多項(xiàng)式因式分解是中學(xué)代數(shù)中的變形基礎(chǔ)，是代數(shù)恒等變形的最有力的杠桿之一.它作為數(shù)學(xué)工具,

在

代數(shù)、幾何、三角等的解題與證明中起著重要作用.

概念:把一個多項(xiàng)式分成幾個整式乘積的叫做多項(xiàng)式的因式分解,也叫分解因式.

性質(zhì)：多項(xiàng)式能被它的每一個因式整除.因式分解與整式的乘法是互逆的整式變形.

1.因式分解的常用方法：

1)提取公因式法ma+mb+me=m(a+b+c)

2)運(yùn)用公式法

a2-b2=(a+b)(a-b)

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)

a2±lab+b2=(a+b)2

a3±3a2b+3ab^+b3=(a土b)3

a2+b2+c~+lab+2bc+2ac=(a+b+c)2

/+/r+—3abe=(a+)+c)(a~+b~+c~—ab—be—ac)

an-bn={a-。)(屋t+an-2b+a"+……+叱+產(chǎn))

3)十字相乘法

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

4)分組分解法

常用的分組方法有:按系數(shù)分組;按字母分組;按次數(shù)分組；按符號分組;重新分組.

2.其它方法

5)拆項(xiàng),添項(xiàng)法

6)換元法

7)求根法(配方法)

令展'+bx+c=0若A=〃-4-acN0那么有兩實(shí)根石,々?則?x2+bx+c=”(％-七)(%一々).

8)雙十字相乘法

9)待定系數(shù)法

10)因式定理和綜合除法

3.解題技巧

1)思想是初中數(shù)學(xué)中常見的一種數(shù)學(xué)思想,它的應(yīng)用范圍廣泛,在因式分解中也常用到轉(zhuǎn)化的思想.

2)整體思想也是常見的一種數(shù)學(xué),尤其實(shí)在因式分解中,運(yùn)用整體思想可以使解題思路清晰,步驟簡潔.

3)因式分解在中考中也占有一定地位,應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：因式分解的對象是多項(xiàng)式，如果不是多項(xiàng)式,即

使寫成乘積的形式也不是因式分解；結(jié)果一定是乘積的形式;每個因式必須是整式;分解要徹底.

一般而言,把一個多項(xiàng)式分解因式,可按下列步驟進(jìn)行：

多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時,首先提取公因式;各項(xiàng)沒有公因式時,看能否用公式法分解;對于二次三項(xiàng)式可考

慮用完全平方公式或者十字相乘法分解;如果都不能分解,再看能否用分組分解法分解.若以上方法均感到

困難,可考慮配方法,換元法,待定系數(shù)法等.

二.例題

L選擇題

1）（2004.西寧★★）分解因式：2x（〃—2）+3y（2—。）等于()

A.(〃一2)(2x-3y)B.(a-2)(3x-2y)C.(2-a)(2x-3y)D.(2-a)(3x-2y)

2）（2004.寧夏★★★）把多項(xiàng)式l-x2+2xy-y2分解因式的結(jié)果是)

A.(l-x-y)(l+x-y)B.(l+x-y)(l-x+y)

C.(1—x—y)(l—%+y)D.(l+%-y)(l+%+y)

3)(2005.鹽城★)下列因式分解中,結(jié)果正確是()

A.X2-4=(X+2)(X-2)B.l-(x+2)2=(x+l)(x+3)

232222

C.2mn-8n=2?(m-47i)D.x-x+—=x(1-—H----T)

4x4x

4)(2007.創(chuàng)新題★★)已知向T與互S+1)2為相反數(shù),則ax3-by3-a^y+bxy2分解因式的結(jié)果為

()

A.(x+y)(x-y)2B.(x-j)(x+y)2C.(x+y)3D.(x-2y)(x-y)2

5)(2006.中考預(yù)測★★)要使二次三項(xiàng)式V+m—6能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式,則，〃可取整數(shù)為

()

A.±1B.±5C±1,±5D.±1,±6

6)(2006.中考預(yù)測十川已知二次三項(xiàng)式2爐+法+。分解因式為2(%—3)(%+1),則仇。的值為(D)

A.b=3,c=-lb=-6,c=2C.b=-6,c=4D.b=-4,c=-6

7)(2004.河南★★★)已知a=Lx+20/='x+19,c=°x+21,那么代數(shù)式

202020

/十〃一Qb—bc—ac的值是(B)

**B.3C.2D.1

8)(2007.中考預(yù)測★★)將多項(xiàng)式爐—4：/—gz?-12yz分解成因式的積,結(jié)果是(D)

A.(x+2y-3z)(x-2y-3z)B.(x-2y-3z)(x-2y+3z)

C.(x+2y+3z)(x+2y-3z)D.(x+2y+3z)(x-2y-3z)

9）（2001.廣東競賽★★）下列各式分解因式后,可表示為一次因式乘積的是(A)

A.X3-9X2+27X-27B.丁——+27x—27

C.x4—%3+27x—27D.丁—+9x—27

10)(2007.中考預(yù)測★★★★)已知％+y=1,丁+3/+3%+3y—3y2+y=37,貝頻—+1)4+⑶-i)4=

(A)

**B.17C.97D.1

2.（1998.安徽★★★）證明1997x1998x1999x2000+1是一個整數(shù)的平方,并求出這個整數(shù).

3.（1999.天津★★★★）k為何值時,多項(xiàng)式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成兩個一次因式的積？

4.（1999.北京★★★★）不等于0的三個數(shù)a,dc滿足工+▲+」=—i—，求證：a,4c中至少有兩個數(shù)

abca+b+c

互為相反數(shù).

5.（1984.廣州）若。是自然數(shù)，則/-3a2+9是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)?給出證明.

6.（1999.武漢★★★★）已知關(guān)于x的一元二次方程好++c=0,（1）若"c,是方程的兩個不同的根,求

b,c,的值；⑵設(shè)％尸是這個方程的兩個根,分解因式：[/+S+l）x+cy+b[V+3+l）x+c]+c.

7.（2007.中考預(yù)測★★★）分解因式：（l+x+f+Vy—d.

8.（2001.山東競賽★★★★）分解因式：（。+。一2ab）（a+0—2）+（l-仍了

9.(1997.全國聯(lián)賽★★★★)分解因式：6x4+5x3-38x2+5x+6

10.(2003.山西競賽★★★★)已知x5-5qx+4r能被(x-c)?整除,求證：q，=/.

補(bǔ)充：

例1.（2005年北京市競賽題）設(shè)a,b,c是三角形的三邊長，求證:

13+Z?3+/—a(b—c)2—b(c—Q)?—c(a—Z?)2—4-cibc<0

x+xy+y=2+30

例2.（2001年北京市初二數(shù)學(xué)競賽題）已知實(shí)數(shù)無,y滿足方程組

12+,2=6

貝(J|x+y+l|=

例3.（2。?！隳晷熘菔懈傎愵}）⑴化簡3+沙凄何⑵化簡史/齊

例4解方程2(lOx+13)