新人教版高中數(shù)學選擇性必修第二冊綜合測評卷（含答案）

全書綜合測評

(滿分:15()分;時間:12()分鐘)

一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的)

1.已知等差數(shù)列⑶｝的公差40,且a3+a6+a9=18,若an=6,則n為()

A.12B.8C.6D.4

2.已知函數(shù)f(x)=alnx+2f(e)=2,則a的值為()

A.-lB.lC.2eD.e2

3.在等比數(shù)列｛%｝中,a2+a3=l,a4+a5=2,則a6+a7=()

A.2B.2V2

C.4D.4V2

4.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有女子善織,日自倍，五日織五

尺，問日織幾何?”意思是：“一女子善于織布,每天織出的布都是前一天的2倍，已知

她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述已知條件，該女子第3

天所織布的尺數(shù)為()

A.-B.-C.-D.-

313142

5.在等差數(shù)列｛期｝中，首項aA0,公差dWO,前n項和為Sn(n《N*),且滿足S3=S15,則Sn

的最大項為()

A.S7B.SgC.S9D.S10

6.已知函數(shù)f(x)=e'(cosx+sinx),記f(x)是f(x)的導函數(shù),將滿足f(x)=O的所有正數(shù)

X從小到大排成數(shù)列｛Xn｝,nWN*,則f(xn)=()

A.(-l)ne-(n+l)"B.(-l)n+1en,t

C.GDLD.(-l)n+le(n+1)Jt

7.設奇函數(shù)f(x)在R上存在導函數(shù)f(x),且在(0,+8)上f(x)<x2,若

f(l-m)-f(m)2，(l-m)3-n?],則實數(shù)m的取值范圍為()

C.(-8，TD,[1,+°O)

8.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足:函數(shù)y=f(x-l)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且當

xG(-oo,0)時，有f(x)+xf(x)<0(f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù))成立.若a=(sinJ?f(sin0,

b=(ln2)?f(ln2),c=(】og《)?f(log[),則a,b,c的大小關(guān)系是(深度解析)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.

在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得3分,

有選錯的得0分)

9.設等差數(shù)列｛aj的首項為a1,公差為d,其前n項和為Sn,已知S|6>O,SI7<(),則下列結(jié)

論正確的是()

A.ai>0,d<()

B.as+a9>0

C.S8與S9均為工的最大值

D.a9<0

10.已知函數(shù)f(x)=e2nx-2,則下列說法正確的是()

A.f(x)有且僅有一個極值點

B.f(x)有零點

C.若f(x)的極小值點為xo,則0<f(x0)<i

D.若f(x)的極小值點為xo,則如f(x0)<l

11.已知數(shù)列⑶｝為等差數(shù)列a=1,且@2加熱是一個等比數(shù)列中的相鄰三項，記

壯=2應廝。力0,1),則｛悅｝的前n項和Sn可以是()

A.n

B.nq

「q+nqn+1-nqn-qn

■

口q+nqn+2-nqn+1-qn+1

12.已知f(x)=ex?X：則下列結(jié)論正確的是()

A.f(x)在R上單調(diào)遞增

1

B.f(log52)<f(eW)<f(lnit)

C.方程f(x)=-l有實數(shù)根

D.存在實數(shù)k,使得方程f(x)=kx有4個實數(shù)根

三'填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.將答

案填在題中橫線上)

13.在等差數(shù)列｛aj中，已知a3=4,a6=l(),則ai0-a7=.

14.已知數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若ai=l,an+i=3Sn(n@N*),則比=.

15.已知函數(shù)f(x)=xg(x),曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線方程是x-y-l=0,則曲線

y=g(x)在點(l,g(l))處的切線方程是.

16.已知函數(shù)f(x)=(4-x?)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，則a+b=,f(x)

的最大值為.(第一空2分,第二空3分)

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要

的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)在等差數(shù)列｛aj中,a2=3,a5=6.

(1)求數(shù)列｛aj的通項公式；

(2)設bn=」一,求數(shù)列｛bn｝的前n項和Sn.

anan+l

18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ex(x-l)-|eax2,a<0.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的極小值；

(3)求函數(shù)f(x)的零點個數(shù).

19.(本小題滿分12分)已知數(shù)列｛a"是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列［—一)的前n項

和為

2n+l

(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式;

⑵設bn=(an+l)-2和,求數(shù)列｛bn｝的前n項和Tn.

20.(本小題滿分12分)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年

年初有資金2000萬元,將其投入生產(chǎn)，到當年年底資金增長了50%.預計以后每年資

金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元,

并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an

萬元.

⑴用d表示ai,a2,并寫出an+i與an的關(guān)系式；

(2)若公司希望經(jīng)過m(m23)年使企業(yè)的剩余資金為4()0()萬元，試確定企業(yè)每年上

繳資金d的值(用m表示).

21.(本小題滿分12分)如圖,有一塊半徑為20米,圓心角NAOB=m的扇形展示臺，該

展示臺分為四個區(qū)域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中

NAOC=NBOD).某次菊花展依次在這四個區(qū)域擺放:泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、

朱砂紅霜.預計這三種菊花展示帶來的日效益分別是:泥金香50元/米1紫龍臥雪30

元/米2,朱砂紅霜40元/米2.

⑴設NCODM,試建立日效益總量y關(guān)于0的函數(shù)關(guān)系式；

(2)試探求9為何值時，日效益總量達到最大值.

22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲線y=f(x)在點(l,f(l))處的

切線在y軸上的截距為In3-|.

⑴求a的值；

(2)討論函數(shù)g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-募Y(X>。)的單調(diào)性;

⑶設ai=-an+i=f(an),求證:n一<--2<0(n22).

52an

答案全解全析

一、單項選擇題

1.C由a3+a6+a9=18,得3a6=18,；冏=6,

又an=6,/.an=a6,XdWO,；.｛aj為單調(diào)數(shù)列,，n=6.故選C.

2.C由f(x)=alnx+2得，f(x)=*

...f(e)=2=2,解得a=2e.故選C.

e

3.C設等比數(shù)列｛%｝的公比為q,

則也厘陋也貯2=2,

/.a6+a7=a4q2+a5q2=(a4+a5)q2=2x2=4.

故選C.

4.B設該女子每天分別織布的尺數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛a0｝,則數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)歹！J,設其首項

為由,公比為q,前n項和為Sn.則q=2S=5,

???5=喈2解得山哈

?,間=裊<22=與故選B.

5.C由S3=Si5得,如+@5+…+ai5=0,

6(a9+aio)=O,BPa9+aio=O.

又ai>O,/.a9>O,aio<O,

，Sn的最大項為S9.故選C.

6.Cf(x)=-e-x(cosx+sinx)+ex(-sinx+cosx)=-2exsinx.

令f(x)=0,得-2e-'sinx=0,解得x=k&k?Z,從而xn=rut,nN*,f(xn)=(-l)ne-嗎因為

學平=-e%所以數(shù)列｛f(Xn)｝是公比為-仃的等比數(shù)列,其首項f(x,)=(-l),e-lt=-e-".

f(%n)

其通項公式為f(Xn)=(-l)ne嗎故選C.

7.D由f(1-m)-f(m)^~[(1-m)3-m3]W,32f(m)-1m3,構(gòu)造函數(shù)

g(X)=f(X)+x3,則g<X)=f(X)-x2<0.故g(X)在(0,+QO)上單調(diào)遞減,由函數(shù)f(X)為奇函數(shù)可

得g(x)為奇函數(shù)，故g(x)在R上單調(diào)遞減，

因此原不等式可化為1-mWm,解得故選D.

8.A由函數(shù)y=f(x-l)的圖象關(guān)于直線x=l對稱知,f(x)是偶函數(shù)，設g(x)=x?f(x),則

g(x)是奇函數(shù)，且當x<()時,g，(x)=f(x)+x?f(x)<0,即g(x)是減函數(shù),當x>()時,g(x)也

是減函數(shù).

又0<singq<ln2<logi^=2,

.,.g(sin0>g(ln2)>g(logd).

即(sing)f(sin；)>(ln2)f(ln2)乂log4)f(log《).

...a>b>c.

故選A.

解題模板構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性解決比較大小的問題中，掌握一些基本的大小關(guān)

系可幫助解題，如本題中，當0<x<1時,sinx<x,ln2>111粕=；等

二'多項選擇題

9.ABD?.§6/69；%6)>0,

/.a8+a9=ai+ai6>0,/.B正確.

17(a+a)

又Si7n117■=17a9<0,:.a9<0,

2

:.as>0,：?d=a9-ag<0,/.ai>0,:?A、D正確.

易知S8是Sn的最大值,S9不是Sn的最大值,???C錯誤.故選ABD.

10.AC由題意得,f(x)的定義域為(0,+⑼，且f(x)=ex+,設h(x)=f(x),則h'(x)=ex+^>0,

Jh(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又hQ^=e2-2=Ve-2<0,h(1)=e'-1>0,

???h(x)存在唯一零點，設為Xo,

當OVXVXo時,f(x)v(),f(x)單調(diào)遞減，

當X>Xo時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

???f(x)有唯一極小值點Xo,???A正確.

令琳(。飛祀-三祝得心。一，

X0X0

/.xo=ln—="lnXQ.

出

1

.??f(xo)=e"o-lnxo-2=—+xo-2

x0

22?%o-2=O(當且僅當x()=l時等號成立)，又［<xo<l,

.?.f(Xo)>O,即［f(X)］min>0,

，f(x)無零點,；.B錯誤.

由f(xo)=-I-XO-2,-<XO<1,

XQZ

可設g(x)=：+x-2,貝I」g"(x)=-^+l.

當沁<1時,g'(x)<o,；.g(x)在&i)上單調(diào)遞減.

...g(i)<g(x)<g(m，即o<f(xO)<i，

，C正確,D錯誤.故選AC.

11.BD設等差數(shù)列｛a0｝的公差為d,由題意得W=a2a8,即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),

.,"刁=0,解得d=0或d=L

當d=0時,an=ai=l,

an

/.bn=anq=q,

???｛1｝的前n項和為nq,B正確.

當d=l時,an=n,

/.bn=n?qn(qWO,l).

2n

/.Sn=1xq+2xq+?--+nq,

2nn+l

/.qSn=1xq+**-+(n-1)q+n?q,

?2nn+lq(l-q")n+lQ-Qn+1+nQn+2-riQn+1

2n1n1

..(I-q)Sn=q+q+,?,+q-nq=-^--nq=---------------.

n4.nnn+2nnn+1nn+1

又q#l,...Sn=qq〃%，D正確.故選BD.

12.BCDf(x)=ex?x3,

f(x)=ex(x'+3x2).

令f(x)=O,得x=0或x=-3.

當x<-3時，f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

當x>-3時，f(x)NO,f(x)單調(diào)遞增,A錯誤.

iI

又0<log52VLeKelvin兀，

1

??.f(log52)<f(ei)<f(ln?,B正確.

???f(0)=0,f(-3)=e-3?(-3)3=-(|)3<-l,

.,.f(x)=-l有實數(shù)根,C正確.

設f(x)=kx,顯然x=0是方程的根，

當xWO時,k=^^=ex?x2,設g(x)=e',x?,貝!|g'(x)=x(x+2)ex,

令g'(x)=O,得x=0或x=-2.當x發(fā)生變化時￡(x),g(x)的變化情況如下表:

X(-8,-2)-2(-2,0)0(0,+8)

g'(x)+0-0+

/4

g(x)0/

ez

畫出y=g(x)的大致圖象,如圖,

，當0<kq時,g(x)=k有3個實數(shù)根,...D正確.故選BCD.

三、填空題

13.答案6

解析設等差數(shù)列｛an｝的公差為d.則3d=洪處=6,解得d=2.

所以aio-a7=3d=6.

14.答案768

解析由an+l=3Sn,得Sn+l-Sn=3Sn,即S*=4Sn,又S尸街=1,所以數(shù)列｛SJ是首項為1,

n544

公比為4的等比數(shù)列，所以Sn=4”,所以a6=S6-S5M-4=3x4=768.

15.答案x-y-l=O

解析f(x)=xg(x),，f(x)=g(x)+xg'(x).

,/曲線y=f(x)在(1,f(l))處的切線方程是x-y-l=O,

.fl-/(l)-l=O,.f/(l)=O,

,,(r⑴=i,,,i/1(i)=i.

.7(l)=lXg(l)=O,襟得.(1)=°，

?1r(i)=gCi)+ixg'(D=i"Tg'(i)=L

則曲線y=g(x)在(l,g(l))處的切線方程為y-O=lx(x-l),BPx-y-l=O,

即切線方程為x-y-l=O.

16.答案-4;16

解析由4-x2-0可得x=2或x=-2,即2,-2是函數(shù)f(x)的零點，

???f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，且(2,0),(-2,0)關(guān)于x=l對稱的點分

別為(0,0),(4,0),.?.0,4也是函數(shù)f(x)的零點，

/.0,4是x2+ax+b=0的根,.,.b=0,a=-4,...a+b=-4,

/.f(x)=(4-x2)(x2-4x),Jf(x)=-4(x-1)(x2-2x-4),

令f(x)=0,得x=l或x=l-V5或x=l+V5.

當xAl+前或1-V5<X<1,f(x)<(),f(x)單調(diào)遞減，

當1。<1+逐或*<1-西時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

又當X-00時，f(x)<0,f(l+V^)=f(l-V^=16,...f(x)的最大值為16.

四,解答題

17.解析⑴設等差數(shù)列面｝的首項為ai,公差為d.

,.飛2=3抱5=6,

???｝汽3解得竹=上(2分)

(%+4d=6,(d=L

/.an=ai+(n-1)d=n+1.(4分)

-i-111

(2)由(1)知an=n+l,；.bn=-----=7——(6分)

(7i+l)(7i+2)n+1TI+2

:1

，Sn=b|+b->++bn=---+---+…+——(8分)

2334n+1n+2v/

(10分)

2n+22(n+2)'7

18.解析⑴由已知得，f(x)的定義域為R,

f(x)=ex(x-l)+ex-eax=x(ex-ea),f(())=0.

又f(0)=-l,.?.切點坐標為(0,-1).

曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程為y=-l.(4分)

(2)由(1)知f(x)=x(ex-ea).

令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).

當x發(fā)生變化時，f(x),f(x)的變化情況如下表：

X(-00,a)a(a,0)0(0,+oo)

f(x)+0-0+

f(x)/極大值極小值/

，f(x)在(-8⑶,(0,+8)上單調(diào)遞增，在(a,0)上單調(diào)遞減.

，f(x)在x=0處取得極小值，且極小值為f(0)=-l.(8分)

(3)由(2)知f(x)的極大值為f(a)=ea(a-l)-ieaa2=(a-l-1a2)ea<0(a<0),

f(0)=-l<0,f(2)=e2-2ea.

Va<0,/.0<ea<l,/.f(2)>0.

，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為1.(12分)

19.解析(1)設等差數(shù)列面｝的首項為ai,公差為d,

令n=l,得二一=；,所以a〕a2=3.①(1分)

令n=2,得+^—=：,

。2a35

所以a2a3=15.②(3分)

由①②得a尸l,d=2,所以an=2n-l.(5分)

2nn

(2)由(1)知bn=2n?2-'=n?4,

n

所以Tn=l,41+2?42+…+n?4,

所以叫=1?42+—+(n-l)?4n+n?4n+1,(7分)

兩式相減，得-3Tn=4i+42+…+45?4n+l(9分)

=4(i2n?4n+1=—?4n+l--,(H分)

7

1-433八

所以Tn=等?4用+產(chǎn)*二”+；(12分)

20.解析(1)由題意得ai=2000(l+50%)-d=30()()-d,a2=ai(l+50%)-d=|ai-d=4

500-jd,(2分)

an+i=an(l+50%)-d=|an-d.(5分)

(2)由(1)得an=|an-i-d=|?(|a加2-d)-d=(|)?an.2-|d-d=-=Q)ard[

吟(滬…+(茅](7分)

ri-1/o\n-1zo\n-1

?(3000-d)-2d?(I)-1需)(3000-3d)+2d.(9分)

由題意知am=4000,所以(第(3000-3d)+2d=4000,

解得d=^-±一

(1)-1

j喈/⑴分)

故該企業(yè)每年上繳資金d的值為萬元時，經(jīng)過m(m》3)年企業(yè)的剩余

資金為4000萬元.(12分)

2110

21.解析⑴依題意得,NAOC日-吟*(2分)

貝°y=M*)x202x40x2+9202xsin0x5O+(|x0x2O2-|x2O2xsin9)x30

=16OOOxQ-0+10OOOsin0+60009-6OOOsin0

^16ooon+4OOOsine-20009,0〈吟.(6分)

⑵由⑴得y，=4OOOcos9-2000,

令y'=0,得cos0=1,

又0＜。＜拳所以吟,(8分)

當0＜崎時,y，＞0,當3吟時,廣0,(10分)

所以是函數(shù)的極大值點，且唯一；

所以當時，日效益總量達到最大值.(12分)

22.解析⑴由f(x)=ln(2x+a),

得畋)=康，因此F)=京C分)

又因為f(l)=ln(2+a),

所以曲線y=f(x)在點(1,f(l)處的切線方程為y-ln(2+a)^(x-l),

即y=5-x+ln(2+a)-總(2分)

2+a2+a

由題意得,ln(2+a)-￡=ln3-|,

易得a=l,符合上式.(3分)

令(p(a)=ln(2+a)--^-(a>0),

則爐伯尸土扁R>°，

所以(p(a)為單調(diào)遞增函數(shù)，故a=l是唯一解.(4分)

(2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+l)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+l)-^(x>0),

貝Ug<x)=二一一2二上<(),

S')2X+12X+1

所以g(x)=f(x)-2x(x>0)為單調(diào)遞減函數(shù).(6分)