2025高考備考數(shù)學知識點第5講　解三角形應用舉例

第5講解三角形應用舉例課標要求命題點五年考情命題分析預測能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.余弦定理、正弦定理應用舉例2021全國卷乙T9；2021全國卷甲T8本講知識單一，主要考查利用正、余弦定理求解距離、高度、角度問題，對數(shù)學建模能力的要求較高，一般以選擇題形式出現(xiàn)，難度中等.在2025年高考的備考中要提升閱讀理解能力，要能夠從文字信息中提取出解三角形的模型.學生用書P129測量中的常用術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在豎直平面內(nèi)的目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線①上方的叫做仰角，目標視線在水平視線②下方的叫做俯角.方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0≤θ＜2π.方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北（南）偏東（西）α.北偏東α南偏西α坡角與坡度坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角.坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫坡度.設坡角為α，坡度為i，則i＝?l＝1.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取A，B兩點（A，B與樹所在的直線在同一平面內(nèi)），從A，B兩點測得樹尖P的仰角分別為30°和45°，且A，B兩點之間的距離為60m，則樹的高度為（A）A.（30＋303）m B.（30＋153）mC.（15＋303）m D.（15＋33）m解析解法一在△ABP中，由正弦定理可得60sin（45°－30°）＝PBsin30°，則PB＝60×1設樹的高度為hm，則h＝PBsin45°＝30＋303.解法二設樹的高度為hm，則AB＝?tan30°－?tan45°＝60，解得h2.[易錯題]兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的（B）A.北偏東10° B.北偏西10° C.南偏東10° D.南偏西10°解析燈塔A，B的相對位置如圖所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，則α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故選B.3.[教材改編]已知A船在燈塔C的北偏東85°方向且A到C的距離為2km，B船在燈塔C的西偏北25°方向且B到C的距離為3km，則A，B兩船的距離為（A）A.13km B.15km C.23km D.32km解析畫出圖形如圖所示，由題意可得∠ACB＝（90°－25°）＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝3，在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos150°＝13，所以AB＝13，即A，B兩船的距離為13km.學生用書P130命題點余弦定理、正弦定理應用舉例角度1距離問題例1[2023合肥市二檢]如圖，某地需要經(jīng)過一座山兩側的D，E兩點修建一條穿山隧道.工程人員先選取直線DE上的三點A，B，C，在隧道DE正上方的山頂P處測得A處的俯角為15°，B處的俯角為45°，C處的俯角為30°，且測得AB＝1.4km，BD＝0.2km，CE＝0.5km，則擬修建的隧道DE的長為0.7km.解析由題意知，∠PAB＝15°，∠PBC＝45°，∠PCB＝30°，所以∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°，∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝105°，在△PAB中，由正弦定理得ABsin∠APB＝PBsin∠PAB，則1.4sin30°＝在△PBC中，由正弦定理得PBsin∠PCB＝BCsin∠BPC，則PBsin30°＝BCsin105°，所以BC＝PBsin30°×sin105°＝2PB×sin105°＝5.6sin15°·sin105°＝5.6sin15°cos15°＝2.8sin30°＝1.4（km），所以DE＝BC－BD－EC＝1.4即擬修建的隧道DE的長為0.7km.角度2高度問題例2[2021全國卷甲]2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'滿足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C點測得B點的仰角為15°，BB'與CC'的差為100；由B點測得A點的仰角為45°，則A，C兩點到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'約為（3≈1.732）（B）A.346 B.373 C.446 D.473解析如圖所示，根據(jù)題意過C作CE∥C'B'，交BB'于E，過B作BD∥A'B'，交AA'于D，則BE＝100，C'B'＝CE＝100ta在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，則BD＝A'B'＝C'B'×sin45°sin75°.又在B點處測得A點的仰角為45°，所以AD＝BD＝C'B'×sin45°sin75°，所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝C'B'×sin45°sin75°＋100＝100tan15°×sin45°sin75°＋100＝100sin45°sin15°＋角度3角度問題例3如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cosθ＝2114.解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝207.由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，故cos∠ACB＝277，從而cosθ＝cos（∠ACB＋30°）＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝277×32－21方法技巧1.解三角形實際問題的一般求解步驟（1）分析.理解題意，分析已知與未知，畫出示意圖.（2）建模.根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與所求量盡量集中在相關的三角形中，建立一個解三角形的模型.（3）求解.利用正、余弦定理解三角形，求得數(shù)學模型的解.（4）檢驗.檢驗上述所求出的解是否具有實際意義，從而得出實際問題的解.2.對于立體測量問題，通常要轉化為兩類平面問題，一類是豎直放置的平面，通常要解直角三角形；另一類是水平放置的平面，通常要解斜三角形.訓練（1）如圖，為測量某塔的高度CD，在點A測得塔底在北偏東60°方向的點D處，塔頂C的仰角為30°.在點A的正東方向且距離D點50m的B點測得塔底在北偏西45°方向，則塔的高度CD約為（參考數(shù)據(jù)：6≈2.4）（C）A.30m B.35m C.40m D.45m解析由題意知，BD＝50m，∠DAB＝∠DAC＝30°，∠DBA＝45°，在△ABD中，由正弦定理得ADsin45°＝50sin30°，則AD＝502m，所以tan∠DAC＝CDAD＝CD502＝340（m），故塔的高度CD約為40m.故選C.（2）[多選]一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°方向，距離為126海里，燈塔C在A的北偏西30°方向，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向，則下列結論正確的有（ABD）A.AD＝24海里 B.CD＝12海里C.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D.∠CDA＝60°解析如圖，由題意得∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，AB＝126海里，AC＝123海里，在△ABD中，易得B＝45°，由正弦定理得ADsin45°＝ABsin60°，則AD＝126×2232＝24（海里），故A正確.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos30°，得CD2＝（123）2＋242－2×123×24×32＝144，所以CD＝12海里，故B正確.在△ACD中，由正弦定理得CDsin30°＝ACsin∠CDA，得sin∠CDA＝12×12312＝32，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因為AD1.[角度1]如圖，曲柄連桿機構中，曲柄CB繞C點旋轉時，通過連桿AB的傳遞，使活塞做直線往復運動.當曲柄在CB0位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在A0處.設連桿AB長200mm，曲柄CB長70mm，則曲柄自CB0按順時針方向旋轉53.2°時，活塞移動的距離（即連桿的端點A移動的距離A0A）約為36mm.（結果保留整數(shù)，取sin53.2°＝45解析解法一在△ABC中，AB＝200mm，BC＝70mm，∠ACB＝53.2°，sin∠ACB＝45.由正弦定理得sin∠BAC＝BCsin∠ACBAB＝725，由題意知∠BAC，∠ACB均為銳角，所以cos∠BAC＝1－（725）2＝2425，cos∠ACB＝1－（45）2＝35，所以sin∠ABC＝sin（∠ACB＋∠BAC）＝45×2425＋35×725＝117125，所以AC＝ABsin∠ABCsin∠ACB＝200×117125×54＝234（mm），故A53.2°時，活塞移動的距離約為36mm.解法二因為∠ACB＝53.2°，sin∠ACB＝45，且∠ACB為銳角，所以cos∠ACB＝1－sin2∠ACB＝35.在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BCcos∠ACB，解得AC＝234mm（負值舍去），故A0A＝（A0B0＋B0C）－AC＝（200＋70）－234＝36（2.[角度2]如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從點A測得點M的仰角∠MAN＝60°，點C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；從點C測得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，則山高MN＝150m.解析在△ABC中，因為∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，所以AC＝100sin45°＝1002.在△AMC中，因為∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝45°，由正弦定理可得AMsin60°＝1002sin45°，解得AM＝1003.在Rt△AMN中，MN＝AM·sin∠MAN＝1003×sin60°＝150.學生用書·練習幫P3251.[2024黑龍江省實驗中學開學考試]中國古代四大名樓之一鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而聞名遐邇.如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°，在A處測得鸛雀樓頂部M的仰角為15°，則鸛雀樓的高度MN約為（B） A.64m B.74m C.52m D.91m解析在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝37，∠ACB＝30°，所以AC＝2AB＝74，在Rt△MNC中，NC⊥MN，∠MCN＝45°，所以MN＝MC·sin45°＝22MC.由題意，∠MAC＝15°＋30°＝45°，∠MCA＝180°－45°－30°＝105°，故∠AMC＝180°－105°－45°＝30°.在△ACM中，由正弦定理MCsin∠MAC＝ACsin∠AMC，得MCsin45°＝74sin30°，故MC＝74sin45°sin30°＝742，所以2.[設問創(chuàng)新/多選/2024江蘇南通階段檢測]重慶的解放碑是重慶的地標性建筑，吸引了眾多游客打卡拍照.某中學數(shù)學興趣小組對解放碑的高度進行測量，并繪制出測量方案示意圖，如圖所示，A為解放碑的頂端，B為基座（B在A的正下方），在步行街（與B在同一水平面內(nèi)）上選取C，D兩點，測得CD的長為100m.小組成員利用測角儀已測得∠ACB＝π6，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)，能計算出解放碑高度AB的是（ABD）A.∠BCD，∠BDC B.∠ACD，∠ADCC.∠BCD，∠ACD D.∠BCD，∠ADC解析對于A，根據(jù)CD，∠BCD，∠BDC，可解三角形求得CB，從而在Rt△ABC中求得AB，所以A符合題意.對于B，根據(jù)CD，∠ACD，∠ADC，可解三角形求得AC，從而在Rt△ABC中求得AB，所以B符合題意.對于C，根據(jù)CD，∠ACB，∠BCD，∠ACD四個條件，無法通過解三角形求得AB，所以C不符合題意.對于D，第一步，∠ACB已知，在Rt△ABC中，用AB表示出BC，AC；第二步，在△BCD中，根據(jù)余弦定理用AB表示出BD，在△ACD中，根據(jù)正弦定理用AB表示出AD；第三步，在Rt△ABD中，利用勾股定理列方程，即可求得AB.所以D符合題意.3.[2023皖豫名校聯(lián)考]如圖，一艘巡邏船由南向北行駛，在A處測得某山的底部C在北偏東15°方向上，勻速向北航行20min到達B處，此時測得該山的底部C在北偏東60°方向上，測得山頂P（P在C正上方）的仰角為60°，已知山的高度為23km.則巡邏船的航行速度為6（3＋1）km/h.解析由題意知，在△BCP中，PC＝23km，∠PBC＝60°，故tan∠PBC＝PCBC＝3，得BC＝2km.在△ABC中，∠BCA＝60°－15°＝45°，則BCsin∠BAC＝ABsin∠BCA，即2sin15°＝ABsin45°，而sin15°＝sin（45°－30°）＝6－24，所以AB＝2×46－2＝2（3＋1）（km）.4.[2023鄭州一中期中]如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)某海域上有三個小島，小島B位于小島A北偏東75°的60海里處，在小島B北偏東15°方向上，相距（303－30）海里處有一個小島C.（1）求小島A與小島C之間的距離；（2）如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.解析（1）在△ABC中，AB＝60，BC＝303－30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，根據(jù)余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝602＋（303－30）2－2×60×（303－30）×cos120°＝5400，得AC＝306，∴小島A與小島C之間的距離是306海里.（2）根據(jù)正弦定理得，ACsin∠ABC∴306sin120°＝60sin∠ACB，得sin又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°－120°－45°＝15°.由75°－15°＝60°得，游船應該沿北偏東60°的方向航行.5.[2023貴州診斷]鏡面反射法是測量建筑物高度的重要方法，在如圖所示的模型中，已知人眼距離地面高度h＝1.5m，某建筑物高h1＝4.5m，將鏡子（平面鏡）置于平地上，人后退至從鏡中能夠看到建筑物頂部的位置，測量人與鏡子間的距離a1＝1.2m，將鏡子后移am，重復前面的操作，測量人與鏡子間的距離a2＝3.2m，則a＝（A）A.6 B.5 C.4 D.3解析如圖，設建筑物最高點為A，建筑物底部為O，第一次觀察時鏡面位置為B，第一次觀察時人眼睛位置為C，第二次觀察時鏡面位置為D，設O到B之間的距離為a0m，由光線反射性質得∠ABO＝∠CBD，所以tan∠ABO＝tan∠CBD，即?1a0＝?a1①，同理可得?由①②可得a0＋aa0＝a2a1，解得a0＝a1·aa6.[背景創(chuàng)新]1471年，德國數(shù)學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即視角最大，視角是指由物體兩端引出的兩條光線在眼球內(nèi)交叉而成的角）？這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山頂上的鐵塔，塔高90m，山高160m，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（B）A.12 B.941 C.1625 解析如圖，由諾德爾教授對米勒問題的解答，設此時的視角為θ，易知塔底距離地面的高度為BC＝160m，塔頂離地面的高度為AC＝90＋160＝250（m），則人距塔的距離CD＝AC·BC＝200m，由∠C＝90°得BD＝BC2＋CDAD＝AC2＋CD2＝5041（m），則在△ABD中cosθ＝AD2＋BD2－A7.[2024青島市檢測]海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”.若要測量如圖所示某藍洞口邊緣A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得CD＝8海里，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點間的距離為85海里.解析如圖所示，在△ACD中，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°，∠DCA＝15°，則∠DAC＝180°－150°－15°＝15°，即△ACD為等腰三角