備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練第八章平面解析幾何第2講兩條直線的位置關(guān)系

第2講兩條直線的位置關(guān)系1.[命題點(diǎn)1]已知點(diǎn)A（－m－3，2），B（－2m－4，4），C（－m，m），D（3，3m＋2），若直線AB⊥CD，則m的值為1或－1.解析解法一∵A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)不相等，∴AB與x軸不平行，又AB⊥CD，∴CD與x軸不垂直，∴－m≠3，即m≠－3.當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而當(dāng)m＝－1時(shí)，點(diǎn)C，D的縱坐標(biāo)均為－1，則CD∥x軸，此時(shí)AB⊥CD，滿意題意.當(dāng)AB與x軸不垂直，即m≠－1時(shí)，kAB＝4－2－kCD＝3m+2－∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1，即2－（m+1）·2（m+1綜上，m的值為1或－1.解法二由題意可得AB·CD＝0，所以（－m－1，2）·（3＋m，2m＋2）＝0，解得m＝±1.2.[命題點(diǎn)2/2024武漢市部分學(xué)校質(zhì)檢]在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對(duì)邊所在的直線方程分別為x＋2y＋1＝0和x＋2y＋3＝0，另一組對(duì)邊所在的直線方程分別為3x－4y＋c1＝0和3x－4y＋c2＝0，則｜c(diǎn)1－c2｜＝（B）A.23 B.25 C.2 D.4解析直線x＋2y＋1＝0與x＋2y＋3＝0間的距離d1＝｜3－1直線3x－4y＋c1＝0與3x－4y＋c2＝0間的距離d2＝｜c(diǎn)1－c2｜32＋（－4）2＝｜c(diǎn)1－c2｜5.由菱形的性質(zhì)知d3.[命題點(diǎn)2]｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜的最小值為13.解析設(shè)點(diǎn)P（x，y），l1：3x＋4y－12＝0，l2：3x＋4y＋1＝0，則點(diǎn)P到l1的距離d1＝｜3x+4y－12｜5，點(diǎn)P到l2的距離d2＝｜3x+4y+1｜5，則｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜＝5l1與l2之間時(shí)，｜3x＋4y－12｜＋｜3x＋4y＋1｜最小，最小值為直線l1與l2之間的距離的5倍，即d＝|-12-14.[命題點(diǎn)2，3/2024江西景德鎮(zhèn)一中模擬]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－4，2），AB邊上的中線CM所在的直線方程為x－y＋1＝0，∠B的角平分線所在的直線方程為2x＋y－2＝0，則直線BC的方程為18x－y－38＝0.解析設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為（a，b），因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（－4，2），所以AB的中點(diǎn)M（a-42，b+22），所以a－42－b+22＋1因?yàn)辄c(diǎn)B在直線2x＋y－2＝0上，所以2a＋b－2＝0.由a－b－4=0，2a＋b－2=0設(shè)點(diǎn)A（－4，2）關(guān)于直線2x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A'（m，n），則2×m所以A'（125，265），所以直線BC的方程為y＋2＝265+2125－2·（x－2），即5.[命題點(diǎn)3]已知直線l：x－y－1＝0.若直線l上存在一點(diǎn)P，使P到A（4，1）與B（0，4）的距離之差的確定值最大，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(103若直線l上存在一點(diǎn)Q，使Q到A（4，1）與C（3，0）的距離之和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(52解析如圖1，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（a，b），連接BB'，PB，PB'，易得b－4a×1=－1，a2－b易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜≤｜AB'｜，當(dāng)P，B'，A三點(diǎn)共線時(shí)，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.于是直線AB'的方程為y－1－1－1＝x－45－4，即2x＋聯(lián)立直線l與AB'的方程，解得x即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（103，73）如圖2，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（m，n），連接CC'，QC，QC'，QA，易得nm－3×1=－1，m+3∴點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（1，2），∴直線AC'的方程為y－12－1＝x－41－易知｜QA｜