高中數(shù)學(xué)《離散型隨機(jī)變量及分布列》考點(diǎn)講解與訓(xùn)練

《7.2離散型隨機(jī)變量及分布列》考點(diǎn)講解

【思維導(dǎo)圖】

一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)

概念WW,

都有唯一的實(shí)數(shù)（）與之對(duì)應(yīng)

隨Xw

機(jī)離散型隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量叫做隨機(jī)變量.所有

變隨機(jī)變量取值可以一一列出的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量

量

隨機(jī)變量一般用大寫(xiě)字母表示

表小

用小寫(xiě)字母表示隨機(jī)變量的取值

一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為

離XX”................

散X取每一個(gè)值x*=l?2,…，”）的概率P（X=x?=m，則稱表

型

隨

概念

機(jī)

分

布

變

列

量

及

分為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱為X的分布列

布

列...rr/=1?2,…,n

性質(zhì)

+.??+/+???+，”=1

如果隨機(jī)變量x的分布列為其中oq，vi,則稱離散型隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布.

兩

點(diǎn)其中尸=P（X=1）稱為成功概率.

分

布

【常見(jiàn)考點(diǎn)】

考法一隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量）

考法二分布列）

離散型隨機(jī)變量及分布列

考法三兩點(diǎn)分錄）

考法一隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量

【例1】（1）下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（）

A.一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)

B.標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時(shí)的溫度

C.拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和

D.某電話總機(jī)在時(shí)間區(qū)間（0,T）內(nèi)收到的呼叫次數(shù)

（2）.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.擲5次硬幣正面向上的次數(shù)M

B.從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和Y

C.某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時(shí)間T

D.將一個(gè)骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X

【一隅三反】

1.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機(jī)變量的是（）

A.出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù)B.出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)

C.出現(xiàn)2點(diǎn)的次數(shù)D.出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2小于6的次數(shù)

2.拋擲兩枚骰子各一次,記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為C,則

“&〉4”表示試驗(yàn)的結(jié)果為（）

A.第一枚為5點(diǎn),第二枚為1點(diǎn)

B.第一枚大于4點(diǎn),第二枚也大于4點(diǎn)

C.第一枚為6點(diǎn),第二枚為1點(diǎn)

D.第一枚為4點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)

3.甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用s表示甲的得

分，則｛4=3｝表示（）

A.甲贏三局

B.甲贏一局

C.甲、乙平局三次

D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次

4.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為離散型隨機(jī)變量的是（）

A.至少取到1個(gè)白球B.至多取到1個(gè)白球

C.取到白球的個(gè)數(shù)D.取到的球的個(gè)數(shù)

5.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（填序號(hào)）.

①某賓館每天入住的旅客數(shù)量是X；

②某水文站觀測(cè)到一天中珠江的水位X；

③西部影視城一日接待游客的數(shù)量X；

④閱海大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)是X.

考法二分布列

【例2-1]若隨機(jī)變量X的分布列如下所示

X-1012

P0.2ab0.3

且E（X）=0.8,則a、b的值分別是（）

A.0.4,0.1B.0.1,0.4

C.0.3,0.2D.0.2,0.3

【例2-2].（某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動(dòng)：對(duì)首次消費(fèi)的顧客，按200元/

次收費(fèi)，并注冊(cè)成為會(huì)員，對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下：

消費(fèi)次第第1次第2次第3次第4次之5次

收費(fèi)比率10.950.900.850.80

若該公司注冊(cè)的會(huì)員中沒(méi)有消費(fèi)超過(guò)5次的，從注冊(cè)的會(huì)員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)

行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

消費(fèi)次數(shù)12345

人數(shù)60201055

假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：

（1）某會(huì)員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)；

（2）以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會(huì)員服務(wù)的平均利潤(rùn)為

X元，求X的分布列.

【一隅三反】

1.（多選）已知隨機(jī)變量X的分布列如下表（其中a為常數(shù)）:

X01234

P0.10.20.40.2a

則下列計(jì)算結(jié)果正確的有（）

A.a=0.1B.P（X》2）=0.7

C.P（X23）=0.4D.P（XW1）=O.3

2.在某校舉辦的“知識(shí)競(jìng)賽”決賽中，甲、乙兩隊(duì)各派出3名同學(xué)參加比賽.規(guī)則是：每

名同學(xué)回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)為本隊(duì)贏得1分，答錯(cuò)得0分.假設(shè)甲隊(duì)中每名同學(xué)答對(duì)的概率

2122

均為；，乙隊(duì)中3名同學(xué)答對(duì)的概率分別是且每名同學(xué)答題正確與否互不

3233

影響.用X表示乙隊(duì)的總得分.

（1）求隨機(jī)變量X的分布列；

（2）設(shè)事件A表示“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，求P（A）.

3.甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為《、?、:，三人各射擊一次，擊

中目標(biāo)的次數(shù)記為。.

（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒(méi)有擊中的概率；

（2）求4的分布列.

考法三兩點(diǎn)分布

【例3】設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P（X=l）—P（X=0）=0.2,則成功概率

P（X=1）=（）

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【一隅三反】

1.若某品種水稻雜交試驗(yàn)成功率是失敗率的2倍，一次試驗(yàn)只有成功與失敗兩種結(jié)果，用

J描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則。（4=1）=（）

121

A.0B.—C.-D.一

233

2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且P（X=0）=3-4尸（X=l）=a,

則。=（)

2

A.B.C.D.

3234

答案解析

考法一隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量

【例1】（1）下列變量中，不是隨機(jī)變量的是（）

A.一射擊手射擊一次命中的環(huán)數(shù)

B.標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時(shí)的溫度

C.拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和

D.某電話總機(jī)在時(shí)間區(qū)間（0,T）內(nèi)收到的呼叫次數(shù)

（2）.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（）

A.擲5次硬幣正面向上的次數(shù)M

B.從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和Y

C.某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時(shí)間T

D.將一個(gè)骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X

【答案】（1）B（2）C

【解析】（1）因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，水沸騰時(shí)的溫度是一個(gè)常量，所以不是隨機(jī)變量.故選：B

（2）在A中，擲5次硬幣，正面向上的次數(shù)M可能取的值，可以按一定次序一一列出，故

M是離散型隨機(jī)變量

在B中，從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和Y

可能取的值，可以按一定次序一一列出，

故Y是離散型隨機(jī)變量

在C中，某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時(shí)間T可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，

無(wú)法一一列出，

故T不是離散型隨機(jī)變量

在D中，將一個(gè)骰子擲3次，3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X可能取的值，可以按一定次序一一列

出，故X是離散型隨機(jī)變量故選：C

【一隅三反】

1.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子5次,那么不能作為隨機(jī)變量的是（）

A.出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù)B.出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)的次數(shù)

C.出現(xiàn)2點(diǎn)的次數(shù)D.出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2小于6的次數(shù)

【答案】A

【解析】???拋擲一枚骰子不可能出現(xiàn)7點(diǎn)，出現(xiàn)7點(diǎn)為不可能事件

???出現(xiàn)7點(diǎn)的次數(shù)不能作為隨機(jī)變量本題正確選項(xiàng)：A

2.拋擲兩枚骰子各一次，記第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差為€,則

“g>4”表示試驗(yàn)的結(jié)果為（）

A.第一枚為5點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)

B.第一枚大于4點(diǎn),第二枚也大于4點(diǎn)

C.第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)

D.第一枚為4點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)

【答案】C

【解析】由于4表示“第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與第二枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)的差”，差的最大值

為6-1=5,而自>4只有一種情況，也即J=5,此時(shí)第一枚為6點(diǎn)，第二枚為1點(diǎn)，故選

C.

3.甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用〈表示甲的得

分，則｛0=3｝表示（）

A.甲贏三局

B.甲贏一局

C.甲、乙平局三次

D.甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次

【答案】D

【解析】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得。分，

故4=3有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次，故選：D.

4.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，可以作為離散型隨機(jī)變量的是（）

A.至少取到1個(gè)白球B.至多取到1個(gè)白球

C.取到白球的個(gè)數(shù)D.取到的球的個(gè)數(shù)

【答案】C

【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義可得選項(xiàng)c是離散型隨機(jī)變量，其可以一一列出，

其中隨機(jī)變量X的取值0,1,2,3,故選C.

5.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（填序號(hào)）.

①某賓館每天入住的旅客數(shù)量是X；

②某水文站觀測(cè)到一天中珠江的水位X；

③西部影視城一日接待游客的數(shù)量X；

④閱海大橋一天經(jīng)過(guò)的車輛數(shù)是X.

【答案】②

【解析】①③④中的隨機(jī)變量X的所有取值，我們都可以按照一定的次序一一列出，因此

它們是離散型隨機(jī)變量；②中隨機(jī)變量X可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，但無(wú)法按一定次序

一一列出，故不是離散型隨機(jī)變量.故答案為：②

考法二分布列

【例2-1]若隨機(jī)變量X的分布列如下所示

X-1012

P0.2ab0.3

且E（X）=0.8,則a、b的值分別是（）

A.0.4,0.1B.0.1,0.4

C.0.3,0.2D.0.2,0.3

【答案】B

【解析】由隨機(jī)變量X的分布列得：O.2+a+b+O.3=l,所以。+匕=（）.5,

又因?yàn)镋（X）=-lx0.2+0xa+lx匕+2x03=0.8,解得〃=0.4,所以故

選：B

【例2-2].某汽車美容公司為吸引顧客，推出優(yōu)惠活動(dòng)：對(duì)首次消費(fèi)的顧客，按200元/

次收費(fèi)，并注冊(cè)成為會(huì)員，對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)給予相應(yīng)優(yōu)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下：

消費(fèi)次第第1次第2次第3次第4次“次

收費(fèi)比率10.950.900.850.80

若該公司注冊(cè)的會(huì)員中沒(méi)有消費(fèi)超過(guò)5次的，從注冊(cè)的會(huì)員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:

消費(fèi)次數(shù)12345

人數(shù)60201055

假設(shè)汽車美容一次，公司成本為150元，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：

(1)某會(huì)員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)；

(2)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，設(shè)該公司為一位會(huì)員服務(wù)的平均利潤(rùn)為

X元，求X的分布列.

【答案】(1)公司獲得的平均利潤(rùn)為45元；(2)分布列答案見(jiàn)解析.

【解析】(1)因?yàn)榈谝淮蜗M(fèi)時(shí)，公司獲得利潤(rùn)為200—150=50元，

第二次消費(fèi)時(shí)，公司獲得利潤(rùn)為200x0.9—150=40元，

所以兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)為絲士竺=45元，

2

(2)因?yàn)楣境杀緸?50元，所以消費(fèi)一次公司獲得的平均利潤(rùn)為50元，消費(fèi)兩次公司

獲得的平均利潤(rùn)為竺:竺=45元，消費(fèi)三次公司獲得的平均利潤(rùn)為50+，+3°=40

23

50+40+30+20

元，消費(fèi)四次公司獲得的平均利潤(rùn)為=35元,

4

50+40+30+20+10

消費(fèi)五次公司獲得的平均利潤(rùn)為=30元,

5

X的所有可能的取值為50,45,40,35,30,

p(X=50)=—=0.6,

100

P(X=45)=—=0.2,

100

P(X=4O)=—=0.1

100

p(X=35)=—=0.05,

100

P（X=3O）=H=O.O5,

100

.故X的分布列為

X5045403530

P0.60.20.10.050.05

A.a=0.1B.P(X》2)=0.7

C.P(X23)=0.4D.P(XW1)=O.3

【答案】ABD

【解析】因?yàn)?.1+0.2+0.4+().2+a=l,解得a=().l,故A正確；

由分布列知P(XN2)=0.4+0.2+0.1=0.7，尸(XN3)=0.2+0.1=0.3,

P(X<l)=0.1+0.2=0.3,故BD正確，C錯(cuò)誤.

故選：ABD

2.在某校舉辦的“知識(shí)競(jìng)賽”決賽中，甲、乙兩隊(duì)各派出3名同學(xué)參加比賽.規(guī)則是：每

名同學(xué)回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)為本隊(duì)贏得1分，答錯(cuò)得0分.假設(shè)甲隊(duì)中每名同學(xué)答對(duì)的概率

2172

均為彳，乙隊(duì)中3名同學(xué)答對(duì)的概率分別是工，彳，；，且每名同學(xué)答題正確與否互不

3233

影響.用X表示乙隊(duì)的總得分.

(1)求隨機(jī)變量X的分布列；

(2)設(shè)事件A表示“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，求P(A).

【答案】⑴見(jiàn)解析；⑵銬

O1

【解析】(1)由題意知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

P(X=0)4d,

1723318

2(*=1)=』倉(cāng)立倉(cāng)仁：1？2

',233223318

P(X=2)=，倉(cāng)仁心-?--rf-=

''22332339

P(X=3)=J倉(cāng)32=2,

172339

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

1542

P

181899

（2）設(shè)甲隊(duì)得分為Y,則

4

-X=\?y

7^9-

3.甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為!、->三人各射擊一次，擊

中目標(biāo)的次數(shù)記為九

（1）求甲、乙兩人擊中，丙沒(méi)有擊中的概率；

（2）求4的分布列.

【答案】（1）1（2）見(jiàn)解析

【解析】（1）記甲、乙兩人擊中丙沒(méi)有擊中為事件A，則甲，乙兩人擊中，丙沒(méi)有擊中的

(2)由題意可知，隨機(jī)變量4的可能取值為。、1、2、3,

24

12Y2=

P（舁0）=—x3-9-

23J9

5

18

所以，隨機(jī)變量j的分布列如下:

40123

2451

P

991818

考法三兩點(diǎn)分布

【例3】設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P(X=1)-P(X=())=0.2,則成功概率

P(X=1)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

【答案】C

【解析】隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，P(X=l)-P(X=0)=0.2,

>(X=l)-P(X=0)=0.2,、

根據(jù)兩點(diǎn)分布概率性質(zhì)可知：jp,X=ij+p；x=oj=],解得尸(X=l)=0.6,故

選：C.

【一隅三反】

1.若某品種水稻雜交試驗(yàn)成功率是失敗率的2倍，一次試驗(yàn)只有成功與失敗兩種結(jié)果，用

。描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則%=1)=()

21

A.0B.—C.D.

23

【答案】C

【解析】據(jù)題意知，“4=0”表示一次試驗(yàn)試驗(yàn)失敗，“4=1”表示一次試驗(yàn)試驗(yàn)成功.

設(shè)一次試驗(yàn)失敗率為“，則成功率為2,，所以〃+2〃=1,所以〃=；,

2

所以p（g=i）=3.故選：c.

2.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且P（X=0）=3—4P（X=l）=a,

則。=（）

2111

A.-B.-C.-D.一

3234

【答案】C

【解析】因?yàn)閄的分布列服從兩點(diǎn)分布，所以P（X=O）+P（X=1）=1,

因?yàn)镻（X=（））=3—4P（X=l）=a,所以P（X=0）=3-4[l-P（X=（））]

...p（x=O）=；,「.a=；

故選：C.

《7.2離散型隨機(jī)變量及分布列》考點(diǎn)訓(xùn)練

【題組一隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量】

1.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（）

A.至少取到1個(gè)白球B.取到白球的個(gè)數(shù)

C.至多取到1個(gè)白球D.取到的球的個(gè)數(shù)

2.袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放

回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為X,則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是（）

A.X=4B.X=5C.X=6D.X?5

3.下列隨機(jī)變量不是離散型隨機(jī)變量的是

A.某景點(diǎn)一天的游客數(shù)&

B.某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)&

C.水文站觀測(cè)到江水的水位數(shù)&

D.某收費(fèi)站一天內(nèi)通過(guò)的汽車車輛數(shù)&

4.下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，不能用離散型隨機(jī)變量表示的是（）

A.將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)之和

B.某籃球運(yùn)動(dòng)員6次罰球中投進(jìn)的球數(shù)

C.電視機(jī)的使用壽命

D.從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)

5.袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任意取出一個(gè)球，直到取出的球是

白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X的可能取值為（）

A.1,2,6B.1,2,…，7C.1,2,…，11D.1,2,3…

6.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（）.

A,擲5次硬幣正面向上的次數(shù)M

B.某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時(shí)間T

C.從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和Y

D.將一個(gè)骰子擲3次,3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X

7.（多選）如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，那么下列命題中是真命題的為（）

A.X取每一個(gè)可能值的概率是正數(shù)

B.X取所有可能值的概率和為1

C.X取某兩個(gè)可能值的概率等于取其中每個(gè)值的概率之和

D.X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和

8.（多選）如果。是一個(gè)隨機(jī)變量，則下列命題中的真命題有（）

A.J取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)數(shù)B.J取所有可能值的概率之和是1

C.J的取值與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)D.。的取值是實(shí)數(shù)

9.小王錢夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張.他決定隨機(jī)抽出兩張，用

來(lái)買晚餐,用X表示這兩張金額之和.寫(xiě)出X的可能取值,并說(shuō)明所取值表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)

果.

10.一個(gè)袋中裝有形狀、大小均相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球

的個(gè)數(shù)為X.

(1)列表說(shuō)明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的X的值；

(2)若規(guī)定抽取3個(gè)球的過(guò)程中，每抽到一個(gè)白球加5分，抽到黑球不加分，且最后結(jié)果

都加上6分，求最終得分y的可能取值，并判斷丫是不是離散型隨機(jī)變量.

【題組二分布列】

1.若隨機(jī)變量X的分布列為尸(x=i)=二(i=l,2,3,4),則P(X>2)=

2.某校組織一次冬令營(yíng)活動(dòng)，有7名同學(xué)參加，其中有4名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活

動(dòng)的需要，要從這7名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，記其中有X名男同

學(xué).

(1)求X的分布列；

(2)求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.

【題組三兩點(diǎn)分布】

1.下列問(wèn)題中的隨機(jī)變量不服從兩點(diǎn)分布的是()

A.拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X

B.某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量X

C.從裝有5個(gè)紅球，3個(gè)白球的袋中取1個(gè)球，令隨機(jī)變量X={1,取出白球；0,取出

紅球}

D.某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X

2.設(shè)離散型隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若尸(X=O)=；,則尸(X=l)=_.

3.若離散型隨機(jī)變量X的分布列是

X01

P9c-c3-Be

則常數(shù)c的值為

4.設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量J描述一次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則

%=0)

答案解析

【題組一隨機(jī)變量及離散型隨機(jī)變量】

1.袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（）

A.至少取到1個(gè)白球B.取到白球的個(gè)數(shù)

C.至多取到1個(gè)白球D.取到的球的個(gè)數(shù)

【答案】B

【解析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義可得選項(xiàng)B是隨機(jī)變量，其可以一一列出，

其中隨機(jī)變量X的取值0,1,2.故選：B.

2.袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球.每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放

回袋中，直到取到紅球?yàn)橹?若抽取的次數(shù)為X,則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是

（）

A.X=4B.X=5C.X=6D.X?5

【答案】C

【解析】因?yàn)椤胺呕?個(gè)紅球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到紅球，所以

X=6.故選：C

3.下列隨機(jī)變量不是離散型隨機(jī)變量的是

A.某景點(diǎn)一天的游客數(shù)&

B.某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)&

C.水文站觀測(cè)到江水的水位數(shù)€

D.某收費(fèi)站一天內(nèi)通過(guò)的汽車車輛數(shù)&

【答案】C

【解析】隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變

量，稱為離散型隨機(jī)變量.對(duì)于C選項(xiàng)來(lái)說(shuō)，由于水位數(shù)是屬于實(shí)數(shù)，是一個(gè)連續(xù)的變

量，不屬于離散型隨機(jī)變量.

4.下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，不能用離散型隨機(jī)變量表示的是（）

A.將一枚均勻正方體骰子擲兩次，所得點(diǎn)數(shù)之和

B.某籃球運(yùn)動(dòng)員6次罰球中投進(jìn)的球數(shù)

C.電視機(jī)的使用壽命

D.從含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取2件，其中抽到次品的件數(shù)

【答案】C

【解析】隨機(jī)取值的變量就是隨機(jī)變量，隨機(jī)變量分為離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量

兩種，隨機(jī)變量的函數(shù)仍為隨機(jī)變量，有些隨機(jī)變量，它全部可能取到的不相同的值是有

限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，這種隨機(jī)變量稱為“離散型隨機(jī)變量”，題目中4民。都屬于離散

型隨機(jī)變量，而C電視機(jī)的使用壽命屬于連續(xù)型隨機(jī)變量，故選C.

5.袋中有大小相同的紅球6個(gè)，白球5個(gè)，從袋中每次任意取出一個(gè)球，直到取出的球是

白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機(jī)變量X,則X的可能取值為（）

A.1,2,…，6B.1,2,…，7C.1,2,…，11D.1,2,3…

【答案】B

【解析】從袋中每次任意取出一個(gè)球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨

機(jī)變量X,則有可能第一次取出球，也有可能取完6個(gè)紅球后才取出白球.

6.下列隨機(jī)變量中不是離散型隨機(jī)變量的是（）.

A.擲5次硬幣正面向上的次數(shù)M

B.某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時(shí)間T

C.從標(biāo)有數(shù)字1至4的4個(gè)小球中任取2個(gè)小球，這2個(gè)小球上所標(biāo)的數(shù)字之和Y

D.將一個(gè)骰子擲3次,3次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和X

【答案】B

【解析】由隨機(jī)變量的概念可知.某人每天早晨在某公共汽車站等某一路車的時(shí)間T不能

一一舉出，故不是離散型隨機(jī)變量

7.（多選）如果X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，那么下列命題中是真命題的為（）

A.X取每一個(gè)可能值的概率是正數(shù)

B.X取所有可能值的概率和為1

C.X取某兩個(gè)可能值的概率等于取其中每個(gè)值的概率之和

D.X在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和

【答案】BC

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，X取每一個(gè)可能值的概率是非負(fù)數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于B選項(xiàng)，X取所有可能值的概率和為1,故B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，X取某兩個(gè)可能值的概率等于取其中每個(gè)值的概率之和，故C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，X在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和，故D選

項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：BC

8.（多選）如果J是一個(gè)隨機(jī)變量，則下列命題中的真命題有（）

A.J取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)數(shù)B.J取所有可能值的概率之和是1

C.J的取值與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)D.J的取值是實(shí)數(shù)

【答案】ABD

【解析】根據(jù)概率性質(zhì)可得J取每一個(gè)可能值的概率都是非負(fù)數(shù)，所以A正確；

。取所有可能值的概率之和是1,所以B正確；

。的取值是實(shí)數(shù)，不一定是自然數(shù)，所以C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD

9.小王錢夾中只剩下20元、10元、5元和1元的人民幣各一張.他決定隨機(jī)抽出兩張，用

來(lái)買晚餐,用X表示這兩張金額之和.寫(xiě)出X的可能取值,并說(shuō)明所取值表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果

【答案】6,11,15,21,25,30

【解析】X的可能取值為6,11,15,21,25,30.

其中，X=6表示抽到的是1元和5元；

X=ll表示抽到的是1元和10元；

X=15表示抽到的是5元和10元；

X=21表示抽到的是1元和20元；

X=25表示抽到的是5元和20元；

X=30表示抽到的是10元和20元.

10.一個(gè)袋中裝有形狀、大小均相同的5個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)，其中所含白球

的個(gè)數(shù)為X.

（1）列表說(shuō)明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對(duì)應(yīng)的X的值；

（2）若規(guī)定抽取3個(gè)球的過(guò)程中，每抽到一個(gè)白球加5分，抽到黑球不加分，且最后結(jié)果

都加上6分，求最終得分y的可能取值，并判斷丫是不是離散型隨機(jī)變量.

【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）y的可能取值為6,11,16,2i,y為離散型隨機(jī)變量.

【解析】（1）

X0123

取得1個(gè)白取得2個(gè)白

結(jié)果取得3個(gè)黑球取得3個(gè)白球

球，2個(gè)黑球球，1個(gè)黑球

（2）由題意可得y=5X+6,而X的可能取值為0,1,2,3,

故y的可能取值為6,11,16,21.

顯然，y為離散型隨機(jī)變量.

【題組二分布列】

1.若隨機(jī)變量X的分布列為P（X=i）=二（i=l,2,3,4）,則P（X>