陜西省西安市西安高新區(qū)第三初級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期期末考試七年級(jí)數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）1.2024年是農(nóng)歷甲辰年(龍年)，為寄托對(duì)新的一年的美好憧憬，人們會(huì)制做一些龍的圖標(biāo)、飾品、窗花等．下列龍的圖標(biāo)中是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可．解：選項(xiàng)A、B、C均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對(duì)折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)D能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對(duì)折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選D．2.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了冪的運(yùn)算以及完全平方公式，合并同類項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，完全平方公式，冪的乘方進(jìn)行計(jì)算即可求解．解：A．，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B．，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C．，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D．，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：C3.一把直尺與一塊直角三角板按如圖方式擺放，若，則()．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵，過三角板的直角頂點(diǎn)作直尺兩邊的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再結(jié)合角的和差關(guān)系可得答案．解：過三角板的直角頂點(diǎn)作直尺兩邊的平行線，∵直尺兩邊互相平行，∴，，∵，∴．故選：B．4.如圖，在和中，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，，，添加下列一個(gè)條件，不能判定的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有．解：∵，∴，即，添加條件，結(jié)合，，不可以利用證明，故A符合題意；添加條件，結(jié)合，，可以利用證明，故B不符合題意；添加條件，結(jié)合，，可以利用證明，故C不符合題意；添加條件，結(jié)合，，可以利用證明，故D不符合題意；故選：A．5.《九章算術(shù)》內(nèi)容豐富，與實(shí)際生活聯(lián)系緊密，在書上講述了這樣一個(gè)問題“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊．引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈．將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對(duì)齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時(shí)的位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動(dòng)1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上．問木桿長多少尺？”（說明：1丈＝10尺）設(shè)木桿長尺，依題意，下列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問題抽象出直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．當(dāng)木桿的上端與墻頭平齊時(shí)，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長為尺，則木桿底端離墻有尺，根據(jù)勾股定理可列出方程．解：如圖，設(shè)木桿長為尺，則木桿底端B離墻的距離即的長有尺，在中，，∴，故選B．6.小明把如圖所示的3×3的正方形網(wǎng)格紙板掛在墻上玩飛鏢游戲（每次飛鏢均落在紙板上，且落在紙板的任何一個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)都相等），則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用拼接法得出陰影部分的面積，再求出大正方形的面積，最后根據(jù)陰影部分的面積與總面積的比，即可得出答案．解：∵經(jīng)過拼接陰影部分的面積＝4個(gè)小正方形的面積，網(wǎng)格紙板的總面積＝9個(gè)小正方形的面積，∴陰影部分的面積占總面積的，∴飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了概率的求法，解題的關(guān)鍵是求出陰影部分的面積．7.為了測(cè)定某種型號(hào)小型載客汽車的剎車性能（車速不超過），對(duì)這種型號(hào)的汽車進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)得的數(shù)據(jù)如表，以下說法錯(cuò)誤的是（）剎車時(shí)車速01020304050剎車距離02.557.51012.5A.在變化中，剎車時(shí)車速是自變量，剎車距離是因變量B.隨的增大而增大C.當(dāng)剎車時(shí)車速為時(shí)，剎車距離是D.在限速的高速公路上，最大剎車距離為【答案】C【解析】【分析】本題考查了用表格表示變量之間的關(guān)系，由表格可得剎車時(shí)車速是自變量，剎車距離是因變量，隨的增大而增大，當(dāng)剎車時(shí)車速每增加，剎車距離增加，逐項(xiàng)判斷即可得出答案．解：在變化中，剎車時(shí)車速是自變量，剎車距離是因變量，故A正確，不符合題意；由表格可得：隨的增大而增大，當(dāng)剎車時(shí)車速每增加，剎車距離增加，故B正確，不符合題意；當(dāng)剎車時(shí)車速為時(shí)，剎車距離是，故C錯(cuò)誤，符合題意；在限速的高速公路上，最大剎車距離為，故D正確，不符合題意；故選：C．8.如圖，中，，，，直線經(jīng)過點(diǎn)且與邊相交．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿路徑向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)和點(diǎn)的速度分別為和，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)并開始計(jì)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束．在某時(shí)刻分別過點(diǎn)和點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則當(dāng)為（）秒時(shí)，與全等．A.12或 B.2或或10 C.1或 D.2或或12【答案】D【解析】【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．分點(diǎn)Q在上，點(diǎn)P在上；點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；Q與A重合三種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．解：①如圖1，Q在上，點(diǎn)P在上時(shí)，作，由題意得，，∵，∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，則，即，解得：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，由題意得，，∵，∴，當(dāng)，則，∴，解得：；③如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，由題意得，，∵，∴，∵，∴，當(dāng)，則，即，解得：；當(dāng)綜上所述：當(dāng)秒或秒或12秒時(shí)，與全等，故選D．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）9.在，，，，，，中無理數(shù)有_______個(gè)．【答案】【解析】【分析】本題主要考查無理數(shù)的定義，無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，理解無理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，由此即可判斷選項(xiàng)．其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開不盡方的數(shù)；以及像0.101001000100001…等有這樣規(guī)律的數(shù)．也考查了求算術(shù)平方根．解：∵，∴在，，，，，，中無理數(shù)有，，，共個(gè)，故答案為：．10.某商場(chǎng)為了增加銷售額，推出“七月銷售大酬賓”活動(dòng)，其活動(dòng)內(nèi)容為：“凡七月份在該商場(chǎng)一次性購物超過100元以上者，超過100元的部分按8.5折優(yōu)惠．”在大酬賓活動(dòng)中，小王到該商場(chǎng)為單位購買單價(jià)為60元的辦公用品x件，則應(yīng)付貨款y（元）與商品件數(shù)x的關(guān)系式是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，所以應(yīng)付貨款超過100的按8.5折優(yōu)惠后的部分，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：，，，應(yīng)付貨款（元與商品件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式是：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用關(guān)系式表示變量之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找出題目的等量關(guān)系．11.請(qǐng)將“”“”填入方框內(nèi)，則代數(shù)式能構(gòu)成完全平方式的概率為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了完全平方式、根據(jù)概率公式求概率，先寫出所有可能的情況，從中找出符合題意得情況，再由概率公式計(jì)算即可得出答案，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．解：由題意得：填入的情況有：，，，，共種情況，其中，，故共種情況能構(gòu)成完全平方式，∴代數(shù)式能構(gòu)成完全平方式的概率為，故答案為：．12.規(guī)定一種新運(yùn)算，如，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)新定義直接代入求解即可得到答案；】解：由題意可得，，故答案：；【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)新定義計(jì)算，解題的關(guān)鍵讀懂新定義．13.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)，，，均落在格點(diǎn)上，則的度數(shù)為______．【答案】【解析】【分析】本題網(wǎng)格型問題，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，本題構(gòu)建全等三角形是關(guān)鍵．證明，得，根據(jù)同角的余角相等可得結(jié)論．解：，，，，，，故答案為：．14.如圖，在中，，，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)，且使得的面積為3，點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂線段最短、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，作于，先由三角形面積公式得出，作直線，距離為，則點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)且在內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離為，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則，作于，交于，連接，當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上，且垂直于時(shí)，的值最小，為，再由等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案．】解：如圖，作于，，∵的面積為3，∴，∴，作直線，距離為，則點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)且在內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離為，作關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，∴，，∴，作于，交于，連接，當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上，且垂直于時(shí)，的值最小，為，∵在中，，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．三、解答題（本大題共10小題，共58分）15.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零次冪、二次根式等化簡(jiǎn)，再計(jì)算加減即可求解．解：．16.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，先根據(jù)平方差公式和完全平方公式去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，最后計(jì)算除法即可化簡(jiǎn)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出的值，代入計(jì)算即可得出答案，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．解：，∵，∴，∵，，∴，，解得：，，∴原式．17.已知：，過點(diǎn)A畫的平行線（說明：只允許尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】見【解析】【分析】用尺規(guī)做平行一般要做角相等；用到知識(shí)點(diǎn)為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．可做的內(nèi)錯(cuò)角，作直線即可．解：如圖，直線即為所求．18.如圖，點(diǎn)、在上，，，．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，由題意得出，由平行線的性質(zhì)得出，利用證明，得出，即可得證．證明：∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴．19.如圖，在的三個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．

（1）在圖中作出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形；（2）在軸上找一點(diǎn)，使的值最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)________．【答案】（1）圖見解析（2）【解析】【分析】本題考查坐標(biāo)與軸對(duì)稱，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，畫出即可；（2）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)即為所求．【小問1】解：如圖，即為所求；【小問2】如圖，點(diǎn)即為所求；由圖可知：．20.把一張長方形的紙片沿對(duì)角線折疊，折疊后，邊的對(duì)應(yīng)邊交于．（1）求證：長方形各內(nèi)角均為；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了折疊問題，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理；（1）由折疊的性質(zhì)知，，，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證；（2）勾股定理求得，由（）知，根據(jù)得出，即可求解．【小問1】證明：由折疊的性質(zhì)知，，．四邊形是長方形，∴，在和中，，，；【小問2】解：四邊形是長方形，，，，由（）知，，，，∴．21.吊車在作業(yè)過程中會(huì)對(duì)周圍產(chǎn)生較大的噪聲．如圖，吊車在工地點(diǎn)處，為附近的一條街道，已知點(diǎn)與直線上兩點(diǎn)、的距離分別為和，，若吊車周圍以內(nèi)會(huì)受噪聲影響．（1）求的度數(shù)；（2）街道上的居民會(huì)受到噪聲的影響嗎？如果會(huì)受影響，求出受影響的居民的范圍；如果不會(huì)受影響，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）會(huì)受到影響，會(huì)影響位于吊車垂直位置左右街道上的居民，理由見解析【解析】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用勾股定理以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理逆定理求解即可；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等面積法求出，結(jié)合題意可得街道上的居民會(huì)受到噪聲的影響，當(dāng)，時(shí)，此范圍內(nèi)的居民會(huì)受影響．由勾股定理得，推出，即可求解．【小問1】解：，，，，，是直角三角形，；【小問2】街道上的居民會(huì)受到噪聲的影響，理由如下：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由（1）得，，，解得：，吊車周圍以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響，街道上的居民會(huì)受到噪聲的影響．當(dāng)，時(shí)，此范圍內(nèi)的居民會(huì)受影響．，，即會(huì)影響位于吊車垂直位置左右街道上的居民，即范圍內(nèi)的居民會(huì)受影響．（說法合理即可）22.某天中午，小明從文具店步行返回學(xué)校，與此同時(shí)，小亮從學(xué)校騎自行車去文具店購買文具（購買文具時(shí)間忽略不計(jì)），然后原路返回學(xué)校，兩人均勻速行駛，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)學(xué)校．小明、小亮兩人離書店的路程，（單位：米）與出發(fā)時(shí)間單位：分）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）學(xué)校和文具店之間的路程是________米，小亮的速度是小明的速度的_________倍；（2）小明與小亮迎面相遇以后，再經(jīng)過多長時(shí)間兩人相距30米．【答案】（1），2（2）小明與小亮迎面相遇以后，再經(jīng)過分鐘或分鐘兩人相距30米【解析】【分析】本題考查了從函數(shù)圖象中獲取信息，一元一次方程的應(yīng)用，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)和題意，可直接寫出學(xué)校和文具店之間的路程以及小亮的速度是小明速度的幾倍；（2）先求出小明與小亮的速度，設(shè)小明與小亮迎面相遇以后，再經(jīng)過分鐘兩人相距30米，分兩種情況，分別列出一元一次方程，解方程即可得出答案．【小問1】解：由圖象可得：學(xué)校和文具店之間的路程是米，∵小明從文具店步行返回學(xué)校，與此同時(shí)，小亮從學(xué)校騎自行車去文具店購買文具(購買文具時(shí)間忽略不計(jì))，然后原路返回學(xué)校，兩人均勻速行駛，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)學(xué)校，∴小亮的速度是小明速度的2倍；【小問2】解：設(shè)小明的速度為米/分鐘，則小亮的速度為米/分鐘，由題意得：，解得：，∴小明的速度為米/分鐘，則小亮的速度為米/分鐘，設(shè)小明與小亮迎面相遇以后，再經(jīng)過分鐘兩人相距30米，當(dāng)小亮未達(dá)到文具店時(shí)，，解得：；當(dāng)小亮從文具店返回學(xué)校時(shí)，，解得：，綜上所述，小明與小亮迎面相遇以后，再經(jīng)過分鐘或分鐘兩人相距30米．23.如圖，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，兩垂直平分線交的邊于點(diǎn)，，，，連接．（1）求的度數(shù)；（2）求證：平分．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)等角對(duì)等邊得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，即可求解；（2）過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)與判定即可得證；【小問1】分別為的垂直平分線，，，，，，，；【小問2】證明：過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，又，，，，同理，平分．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)以及角平分的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24.“數(shù)形結(jié)合”和“建模思想”是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)很重要的思想方法，先閱讀以下材料，然后解答后面的問題．例：求代數(shù)式的最小值．分析：和是勾股定理的形式，是直角邊分別是x和3的直角三角形的斜邊，是直角邊分別是12－x和2的直角三角形的斜邊，因此，我們構(gòu)造兩個(gè)直角三角形△ABC和△DEF，并使直角邊BC和EF在同一直線上（圖1），向右平移直角三角形ABC使點(diǎn)B和E重合（圖2），這時(shí)CF＝x＋12－x＝12，AC＝3，DF＝2，問題就變成“點(diǎn)B在線段CF的何處時(shí)，AB＋DB最短？”根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，得到線段AD就是它們的最小值．小結(jié)：本題利用代數(shù)式的形式特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形的問題，從而利用已學(xué)過的幾何知識(shí)來解決這個(gè)代數(shù)問題，這就是建模思想與數(shù)形結(jié)合思想．回答下面問題：（1）代數(shù)式的最小值為；（2）變式訓(xùn)練：求代數(shù)式的最小值；（3）拓展練習(xí)：解方程（利用幾何方法解答）【答案】（1）13；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給的方法直接建立模型進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題目所給的方法建立直角三角形然后進(jìn)行求解即可；（3）先建立模型，然后根據(jù)題意直接進(jìn)行求解即可．（1）AG＝3＋2＝5，GD＝12AD＝∴的最小值是13，故答案為13；（2）如（1）圖，AC＝4，DF＝2，CF＝10AG＝4＋2＝6，GD＝10AD＝∴的最小值是（3）構(gòu)造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝3，BC＝4，如圖所示：設(shè)CD＝x，則AD＝，BD＝∴AB＝∵∴∠ACB＝90°∴∴另外，也滿足方程．∴方程的解是．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意的數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解問題．四、拓展題（本大題共2小題，共20分）25.（1）若多項(xiàng)式能被和整除，則_________．（2）如圖，在中，，為內(nèi)一點(diǎn)，使得，，則的度數(shù)為_________．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)多項(xiàng)式的第三個(gè)因式為，根據(jù)題意得出，從而得出，，，求出、、，代入計(jì)算即可得出答案；（2）作于，延長交于，連接，先證，得，再證明得，則，然后求出，即可得出答案．解：（1）設(shè)多項(xiàng)式的第三個(gè)因式為，由題意得：，∴，，，解得：，，，∴，故答案為：；（2）如圖，作于，延長交于，連接，，∵，∴是等腰三角形，，，∵，∴垂直平分，，∴