安徽省A10聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

安徽省A10聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，m），則“”是“，的夾角是鈍角”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（5分）如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝2A′B′＝4．則該平面圖形的面積為（）A． B． C． D．4．（5分）在△ABC中，D是邊BC的中點，E是邊AC上一點，且AE＝2EC，記，．，則x﹣y＝（）A． B． C． D．5．（5分）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z﹣i|＝|z|，則的虛部為（）A． B． C．1 D．﹣16．（5分）平面上三個力作用于一點且處于平衡狀態(tài)．，．與的夾角為150°，則（）A．1N B． C． D．7．（5分）用一個圓心角為的扇形OMN（O為圓心）圍成一個圓錐（點M，N恰好重合），該圓錐頂點為S，底面圓的直徑為AB，則sin∠ASB的值為（）A． B． C． D．8．（5分）在△ABC中．，tanB＝﹣2，若△ABC的最長邊的長為，則最短邊的長為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知復(fù)數(shù)，，則下列說法一定正確的是（）A．若復(fù)數(shù)z1∈R，則B．若復(fù)數(shù)z2＝m+2i（m∈R），且，則m＝1C．D．若，則z1＝z2＝0（多選）10．（6分）下列說法正確的是（）A．已知P在△ABC所在平面內(nèi)，滿足，則點P是△ABC的外心B．長方體是平行六面體C．已知，是夾角為的單位向量，且，，則D．在復(fù)平面內(nèi)，已知平行四邊形ABCD的頂點A，B，C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+i，2﹣3i，﹣2i，z，則z＝﹣1+2i（多選）11．（6分）在△ABC中，，M是AC的中點，則（）A．若AC＝BC，則tan∠AMB＝2B．若，則C．若，AB＝10，則△BCM外接圓的面積為13πD．若AC＝2，則當(dāng)sin∠ABM取得最大值時，BC＝2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則m的值為．13．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A為銳角，a＝2，，b＝x，若符合條件的三角形有2個，則整數(shù)x構(gòu)成的取值集合為．14．（5分）在△ABC中，AB＝5，BC＝7，，點D是BC邊上一點，且，當(dāng)AD取得最小值時，x的值為．四、解答題：本題共5小題。共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知復(fù)數(shù)z滿足z﹣|z|＝﹣1﹣3i．（1）求z；（2）若z是實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c＝0的一個根，求方程的另一個根和bc的值．16．（15分）（1）如圖1，底面半徑為1cm，高為3cm的圓柱，在點A處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要圍繞圓柱，由點A爬到點B，求螞蟻爬行的最短路線長（π取3）；（2）如圖2，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是CC1的中點，AB＝BB1＝4cm，BC＝3cm，一只螞蟻從點A出發(fā)沿長方體表面爬行到點M，求螞蟻爬行的最短路線長．17．（15分）已知向量＝（2，﹣1），＝（3，4）．（1）求向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)；（2）已知，，m∈R．①若A、B、C三點共線，求m的值；②若AB⊥BC，求m的值．18．（17分）如圖，四邊形ABCD是正方形．E在邊AB上運動，F(xiàn)在邊BC上運動，AF與DE交于點G．（1）若E是AB的中點，BC＝3BF，，求實數(shù)λ的值；（2）若AE＝BF，，求的最大值．19．（17分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）若b＝2，，求△ABC的面積；（2）若△ABC是銳角三角形，，求的取值范固．參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．【分析】化簡復(fù)數(shù)z，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求解．【解答】解：z＝（3+2i）（1﹣4i）＝3﹣12i+2i+8＝11﹣10i，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是（11，﹣10），位于第四象限．故選：D．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的數(shù)量積運算，以及向量共線的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：，的夾角是鈍角，則且，不反向共線，故﹣2+3m＜0且﹣2m≠3，解得且m，故“”是“，的夾角是鈍角”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題主要考查向量的數(shù)量積運算，以及向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)題意，求出直觀圖的面積，進(jìn)而由原圖面積與直觀圖面積的關(guān)系，分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，直觀圖為直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝2A′B′＝4．其面積S′＝，故原圖的面積S＝2S′＝12．故選：A．【點評】本題考查平面圖形的直觀圖，注意原圖面積與直觀圖面積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的線性運算法則，即可求解．【解答】解：D是邊BC的中點，AE＝2EC，則，，則，，所以．故選：C．【點評】本題主要考查向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的基本概念即可求解．【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)z＝a+bi（a，b∈R），因為|z﹣i|＝|z|，所以|a+（b﹣1）i|＝|a+bi|，即a2+（b﹣1）2＝a2+b2，即a2+b2﹣2b+1＝a2+b2，得，所以復(fù)數(shù)的虛部為．故選：B．【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的基本概念的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)已知條件，推得，再將兩邊同時平方，即可求解．【解答】解：平面上三個力作用于一點且處于平衡狀態(tài)．則，，．與的夾角為150°，故．故選：A．【點評】本題主要考查數(shù)量積表示兩個向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，根據(jù)側(cè)面展開圖扇形的弧長等于底面圓的周長求出l＝3r，利用圓錐的軸截面△SAB求出cos∠ASB和sin∠ASB．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則，解得l＝3r，所以在圓錐的軸截面△SAB中，SA＝SB＝3r，AB＝2r，由余弦定理得cos∠ASB＝，所以sin∠ASB＝．故選：D．【點評】本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．【分析】設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，利用兩角和的正切公式得tanC＝1，則，，根據(jù)切化弦求得sinA和sinB，利用正弦定理即可求解．【解答】解：在△ABC中．，tanB＝﹣2，△ABC的最長邊的長為，設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由題意得，，因為tanC＞tanA＞0，tanB＜0，故，故，又，sin2A+cos2A＝1，解得，同理可得，由正弦定理得，即，解得，則最短邊的長為．故選：A．【點評】本題考查了兩角和的正切公式和正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．【分析】由已知結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算及復(fù)數(shù)的基本概念檢驗各選項即可判斷．【解答】AC對于A，設(shè)z1＝a+b（a，b∈R），若復(fù)數(shù)z1∈R，即b＝0，則Z＝z＝a∈R，故A正確；對于B．z2＝m+2i（m∈R）則，解得m＝±1，故B錯誤；對于C．設(shè)z1＝a+b，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），則，，所以，＝|（a﹣bi）（c﹣di）|＝|ac﹣bd﹣（ad+bc）i|＝，故C正確；對于D．令z1＝1+i，z2＝1﹣i，此時，故D錯誤．故選：AC．【點評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算及模長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．【分析】結(jié)合外心、平行六面體的定義，判斷AB，結(jié)合向量的數(shù)量積運算，判斷C，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及平行四邊形的性質(zhì)，判斷D．【解答】解：對于A，記BC的中點為D，因為，所以，所以P，A，D三點共線，故點P在中線AD上，同理點P也在△ABC的另外兩條中線上，則點P是△ABC的重心，故A錯誤；對于B，底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，則長方體是平行六面體．故B正確；對于C，，是夾角為的單位向量，則，，，則，故，故C正確；對于D，A（1，1），B（2，﹣3）．C（0，﹣2），∴，設(shè)D（x，y），則，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，即，解得，故點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z＝﹣1+2i，故D正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查命題的真假判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．【分析】根據(jù)正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，誘導(dǎo)公式，即可求解．【解答】解：對于A，若AC＝BC，且M是AC的中點，則BC＝2CM，則tan∠CMB＝2，則tan∠AMB＝﹣2，故A錯誤；對于B，，由正弦定理．所以，因為，所以，設(shè)BC＝x、AM＝CM＝y(tǒng)，所以，得x4﹣4x2y2+4y4＝（x2﹣2y2）2＝0，所以所以，故B正確；對于C，在Rt△ABC中，AB＝10．則BC＝6，AC＝8，所以CM＝4，，則△BCM外接圓的半徑為面積為13π，故C正確；對于D，由，可得，設(shè)BC＝x，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查解三角形，屬于中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義求解．【解答】解：z＝m2﹣2i+＝m2﹣2i+＝m2﹣4+（m﹣2）i，令m2﹣4＝0且m﹣2≠0，解得m＝﹣2．故答案為：﹣2．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】由已知結(jié)合正弦定理即可求解．【解答】解：當(dāng)bsinA＜a＜b時，符合條件的三角形有2個，所以，解得2＜x＜6，則整數(shù)x構(gòu)成的集合為{3，4，5}．故答案為：{3，4，5}．【點評】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】由余弦定理可得AC＝3，由B，C，D三點共線，可得x+y＝1，從而得，兩邊平方，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：由余弦定理得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA，即，解得AC＝3（AC＝﹣8舍去），因為點D是BC邊上一點，且，所以x+y＝1，所以，所以＝9x2+25（1﹣x）2﹣15x（1﹣x）＝49x2﹣65x+25．所以當(dāng)時．AD取最小值．故答案為：．【點評】本題考查了余弦定理的應(yīng)用、向量的線性運算，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題。共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．【分析】（1）結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)相等的條件，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，推得＝4+3i也為實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c＝0的一個根，再結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解．【解答】解：（1）設(shè)z＝m+ni（m，n∈R），z﹣|z|＝﹣1﹣3i，則m+ni﹣，故，解得，故z＝4﹣3i；（2）z是實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c＝0的一個根，則＝4+3i也為實系數(shù)一元二次方程x2+bx+c＝0的一個根，故，解得b＝﹣8，c＝25，故bc＝﹣200．【點評】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題．16．【分析】（1）根據(jù)題意，把圓柱的側(cè)面沿過點A的母線剪開，然后展開成為矩形，由此分析可得答案；（2）根據(jù)題意，沿長方體的一條棱剪開，分3種情況討論，求出AM的值，比較可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，把圓柱的側(cè)面沿過點A的母線剪開，然后展開成為矩形，如圖所示，連接AB，則AB就是為螞蟻爬行的最短距離，因為AC＝3cm，CB＝π×1＝3cm，所以，所以螞蟻爬行的最短路線長為cm；（2）根據(jù)題意，沿長方體的一條棱剪開，有三種剪法，①如圖1，以DC為軸展開，此時AM＝＝cm，②如圖2．以BC為軸展開，此時，AM＝cm，③如圖3、以BB1為軸展開，此時AM＝cm，綜上，螞蟻爬行的最短路線長為cm．【點評】本題考查圓柱、長方體的結(jié)構(gòu)特征，涉及圓柱的側(cè)面展開圖，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（1）結(jié)合向量在向量上的投影向量為求解；（2）①若A、B、C三點共線，則，然后利用平面向量數(shù)量積的運算求解；②若AB⊥BC，則，然后利用平面向量數(shù)量積的運算求解．【解答】解：（1）已知向量＝（2，﹣1），＝（3，4），則，又，則向量在向量上的投影向量為；（2）由題意得．，，①若A、B、C三點共線，則，則3（4m﹣1）＝﹣7（3m+2），解得；②若AB⊥BC，則，即3（3m+2）﹣7（4m﹣1）＝13﹣19m＝0，解得．【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，重點考查了平面向量共線及垂直的運算，屬中檔題．18．【分析】（1）建系，利用向量坐標(biāo)運算，建立方程，即可求解；（2）建系，設(shè)正方形的邊長為1，AE＝BF＝x（0≤x≤1），構(gòu)建函數(shù)模型，根據(jù)基本不等式，即可求解．【解答】解：（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為6，則A（0，6），F(xiàn)（6，4），D（0，0），E（3，6），所以，，設(shè)點G（x，y），則，由，得（x，y﹣6）＝λ（6，﹣2），所以，所以，即G（6λ，6﹣2λ），設(shè)，則（6λ，6﹣2λ）＝μ（3，6），所以，解得；（2）因為A，G，F(xiàn)三點共線，且，所以m＞0，n＞0，m+n＝1，設(shè)正方形的邊長為1，AE＝BF＝x（0≤x≤1）．則A（0，1），B（1，1），C（1，0），D（0，0），E（x，1），F(xiàn)（1，1﹣x）．所以，，，所以，又，所以n＝x﹣nx2，所以，，所以，若x＝0．則，若x∈（0，1]，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝1時，等號成立，綜上所述：的故大值為1．【點評】本題考查向量的線性運算，向量共線定理的推論的應(yīng)用，函數(shù)思想的應(yīng)用，屬中檔題．19