北師大版初中九年級數(shù)學(xué)上冊第四章素養(yǎng)提優(yōu)測試卷課件

第四章素養(yǎng)提優(yōu)測試卷(時間：90分鐘

滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.(2024陜西西安未央期末,1,★☆☆)已知

=

,則

=

()A.

B.

C.

D.

D解析

D∵

=

,∴

-1=

,∴

=

,故選D.2.[教材變式P79隨堂練習(xí)T3](2023吉林北京師大長春附屬學(xué)校期末,2,★☆☆)下列四組線段中,是成比例線段的一組是

()A.a=1,b=2,c=3,d=4

B.a=1,b=

,c=

,d=

C.a=5,b=6,c=7,d=8

D.a=4,b=6,c=6,d=8B解析

B

A.∵1×4≠2×3,∴四條線段不成比例,故本選項不符合題意;B.∵1×

=

×

,∴四條線段成比例,故本選項符合題意;C.∵5×8≠6×7,∴四條線段不成比例,故本選項不符合題意;D.∵4×8≠6×6,∴四條線段不成比例,故本選項不符合題意.故選B.3.[教材變式P84T1(1)](2023廣東廣州黃埔期末,7,★☆☆)如圖所示的是某商店售賣的花架,其中AD∥BE∥CF,DE=24cm,EF=40cm,BC=50cm,則AB的長為

()A.

cm

B.

cm

C.50cm

D.30cm解析

D∵AD∥BE∥CF,∴

=

,即

=

,∴AB=30cm,∴AB的長是30cm.故選D.D4.(2022重慶中考A卷,5,★☆☆)如圖,△ABC與△DEF位似,點O為位似中心,相似

比為2∶3.若△ABC的周長為4,則△DEF的周長為

()A.4

B.6

C.9

D.16B解析

B∵△ABC與△DEF位似,相似比為2∶3,∴C△ABC∶C△DEF=2∶3,∵△ABC的周長為4,∴△DEF的周長為6,故選B.5.(2024河北唐山樂亭期末,10,★★☆)如圖,在三角形紙片ABC中,∠A=76°,∠B=

34°.將紙片沿某處剪開,下列四種方式中剪下的陰影三角形與原三角形相似的是

()A.①②

B.②④

C.①③

D.③④C解析

C題圖①中,∠B=∠B,∠A=∠BDE=76°,所以陰影三角形和△ABC相似;題圖②中,根據(jù)已知不能判定陰影三角形和△ABC相似;題圖③中,∠C=∠C,∠B=∠CED=34°,所以陰影三角形和△CAB相似;題圖④中,根據(jù)已知不能判定陰影三角形和△ABC相似.所以陰影三角形與原三角形相似的有①③,故選C.6.(2024上海虹口期末,6,★★☆)如圖,四邊形的頂點在方格紙的格點上,下列方

格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是

()D解析

D設(shè)每個小正方形的邊長為1,則已知四邊形的四條邊長分別為1,

,2,

.選項A中的四邊形的四條邊長分別為

,2,2,

,兩個四邊形的四條邊不成比例,故選項A中的四邊形與已知四邊形不相似,不符合題意;選項B中的四邊形

的四條邊長分別為2,

,

,4,兩個四邊形的四條邊不成比例,故選項B中的四邊形與已知四邊形不相似,不符合題意;選項C中的四邊形的四條邊長分別為2,

,

,4,兩個四邊形的四條邊不成比例,故選項C中的四邊形與已知四邊形不相似,不符合題意.故選D.7.[學(xué)科素養(yǎng)幾何直觀](2024廣東深圳外國語學(xué)校月考,6,★★☆)如圖,已知矩形OABC∽矩形OA′B′C′,B′(10,5),AA′=1,則CC′的長是

()A.1

B.2

C.3

D.4B解析

B∵點B'的坐標(biāo)為(10,5),∴B'C'=5,A'B'=10,∵四邊形OABC和四邊形OA'B'C'是矩形,∴AO=BC,A'O=B'C'=5,OC'=A'B'=10,∵AA'=1,∴AO=BC=A'O-AA'=4,∵矩形OABC∽矩形OA'B'C',∴

=

,即

=

,∴OC=8,∴CC'=OC'-OC=10-8=2,故選B.8.(2023山東濟南歷下期中,9,★★☆)圖①是小玉制作的簡易投石機的示意圖,

GP是杠桿,點A為支點,AD=AC,支架AH垂直于地面BC,且AH=CD=2.如圖②,當(dāng)投

石機準(zhǔn)備時,點G恰好與點B重合,此時AG和AC互相垂直,則線段AG=()BA.4

B.2

C.6

D.2

第8題圖解析

B∵AD=AC,AH⊥CD,AH=CD=2,∴CH=

CD=

×2=1,∠AHC=90°,∴AC=

=

=

,在題圖②中,∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠AHC,∵∠ACB=∠ACH,∴△ACH∽△BCA,∴

=

,即

=

,∴AB=2

,∴AG=2

,故選B.9.(2023山東濟南中考,9,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,以點C為

圓心,以BC為半徑作弧交AC于點D,再分別以B,D為圓心,以大于

BD的長為半徑作弧,兩弧相交于點P,作射線CP交AB于點E,連接DE.以下結(jié)論不正確的是

()CA.∠BCE=36°

B.BC=AEC.

=

D.

=

解析

C由題意得,BC=DC,CE平分∠ACB.∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,

∴∠ABC=∠ACB=72°.∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=36°,故A正確.∵CE平分∠ACB,∠ACB=72°,∴∠ACE=36°=∠A,∴AE=CE.∵∠ABC=72°,∠BCE=36°,∴∠BEC=72°=∠B,∴CE=BC,∴BC=AE,故B正確.∵∠A=∠BCE,∠ABC=∠CBE,∴△ABC∽△CBE,∴

=

.設(shè)AB=1,BC=x,則BE=1-x,∴

=

,∴x2=1-x,解得x=

(負(fù)值舍去),∴BE=1-

=

,∴

=

,故C錯誤.如圖,過點E作EG⊥BC于G,EH⊥AC于H.∵CE平分∠ACB,EG⊥BC,EH⊥AC,∴EG=EH,∴

=

=

=

,故D正確.10.(2022河南鄭州外國語學(xué)校期中,10,★★★)如圖,在矩

形ABCD中,AB=2,CB=4,連接AC,以對角線AC為邊,按逆時針方向作矩形ACC1B1,

使矩形ACC1B1∽矩形ADCB;再連接AC1,以對角線AC1為邊,按逆時針方向作矩形

AC1C2B2,使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1;……,按照此規(guī)律作下去.若矩形ABCD的

面積記作S1,矩形ACC1B1的面積記作S2,矩形AC1C2B2的面積記作S3,……,則S2021的

值為()A.4×

B.8×

C.4×

D.8×

考向規(guī)律探究題D解析

D∵四邊形ABCD是矩形,∴AB⊥BC,∴AC=

=

=2

,∵按逆時針方向作矩形ACC1B1,且矩形ADCB∽矩形ACC1B1,∴矩形ACC1B1和矩

形ADCB的相似比為

∶2,∴矩形ACC1B1和矩形ADCB的面積比為5∶4,同理可得,矩形AC1C2B2和矩形ACC1B1的面積比為5∶4,……,∵S1=2×4=8,∴S2=8×

,S3=8×

,……,∴S2021=8×

.故選D.二、填空題(本大題共6小題,每小題4分,共24分)11.(2024陜西咸陽市實驗中學(xué)期中,11,★☆☆)如圖,在小提琴的

設(shè)計中,蘊含著數(shù)學(xué)知識,AC,BC,AB各部分長度的比滿足

=

=

,已知AB=56cm,則BC的長為

cm.(結(jié)果保留根號)

學(xué)科音樂(28?-28)解析∵AC,BC,AB各部分長度的比滿足

=

=

,AB=56cm,∴BC=

×56=(28

-28)cm,故答案為(28

-28).12.(2023山東青島市南期中,11,★☆☆)如圖,已知l1∥l2∥l3,AB=6cm,BC=3cm,A1B1=4cm,則線段B1C1=

cm.2答案

2解析∵l1∥l2∥l3,∴

=

,∵AB=6cm,BC=3cm,A1B1=4cm,∴

=

,解得B1C1=2cm.13.[一題多解](2024四川綿陽涪城期末,13,★☆☆)若

=

=

且a-b+c=2,則a+b-c的值為

.

對應(yīng)目標(biāo)編號M9104001答案

解析解法一(等比性質(zhì)法):∵

=

=

,∴

=

=

,∴

=

=

=

=

=

,∴a=

,b=2,c=

,∴a+b-c=

+2-

=

.解法二(參數(shù)法):設(shè)a=2k,b=3k,c=4k(k≠0),∵a-b+c=2,∴2k-3k+4k=2,解得k=

,∴a=

,b=2,c=

,∴a+b-c=

+2-

=

.故答案為

.14.(2024內(nèi)蒙古包頭東河期末,16,★★☆)如圖,將一副三角板按如圖所示的方式

疊放,則

的值為

.解析∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥CD,∴△ABO∽△CDO,∴

=

,設(shè)AB=a,則BC=a,∴BD=2a,∴CD=

a,∴

=

=

=

,故答案為

.答案

15.(2023遼寧沈陽南昌中學(xué)期中,13,★★☆)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,

AD=5,BC=10,四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形,且點E、F、G、N、M都

在△ABC的邊上,那么△AEM與四邊形BCME的面積比為

.1∶3答案

1∶3解析∵四邊形EFGH和四邊形HGNM均為正方形,∴EF=EH=HM,EM∥BC,∴△AEM∽△ABC,∴

=

,∴

=

,∴EF=

,∴EM=5,∵△AEM∽△ABC,∴

=

=

,∴S四邊形BCME=S△ABC-S△AEM=3S△AEM,∴△AEM與四邊形BCME的面積比為1∶3.16.(2023山東青島五中期末,16,★★★)如圖,(n+1)個邊長

為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,設(shè)△B2D1C1的面積為S1,△B3D2C2的面

積為S2,……,△Bn+1DnCn的面積為Sn,則Sn=

(用含n的式子表示).考向規(guī)律探究題解析∵(n+1)個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上,∴B1,B2,B3,…,Bn

在一條直線上,作出直線B1B2,如圖,易得B1B2∥AC1,△B1C1B2是等邊三角形,且邊長

為2,∴△B1B2D1∽△C1AD1,

=

×2×

=

,∴B1D1∶D1C1=1∶1,∴S1=

,同理:B2B3∶AC2=1∶2,∴B2D2∶D2C2=1∶2,∴S2=

,∴BnBn+1∶ACn=1∶n,∴BnDn∶DnCn=1∶n,∴Sn=

.故答案為

.

答案

三、解答題(本大題共6小題,共66分)17.(2023四川自貢榮縣月考,20,★☆☆)(10分)如圖,△ABC的頂點都在網(wǎng)格點上,

點M的坐標(biāo)為(0,1).

(1)以點O為位似中心,把△ABC按2∶1進行放大,在y軸的左側(cè),畫出放大后的△

DEF(D、E、F分別是A、B、C的對應(yīng)點).(2)點D的坐標(biāo)是

.(3)S△ABO∶S四邊形ABED=

.

解析

(1)如圖所示,△DEF即為所求.(2)(-2,6).(3)1∶3.[詳解]由題意得,AB∥DE,∴△ABO∽△DEO,∵△DEF與△ABC的相似比為2∶1,∴

=

,∴S△ABO∶S△DEO=

=

,∴S△ABO∶S四邊形ABED=1∶3.18.(新獨家原創(chuàng),★★☆)(10分)翻花繩是中國傳統(tǒng)的民間益智游戲,圖①是翻花

的一種圖案,可以抽象成圖②,且AF∥EC,DE∥BF,求證:

=

.

第18題圖證明:∵AF∥EC,∴

=

,∵DE∥BF,∴

=

,∴

=

,∵GF∥EH,EG∥HF,∴四邊形EHFG是平行四邊形,∴GF=EH,FH=EG,∴

=

.19.(2023山西晉中期末,20,★★☆)(10分)如圖,強強同學(xué)為了測

量學(xué)校一座高樓OE的高度,在操場上點A處放一面平面鏡,從點A處后退1m到達(dá)

點B處,恰好在平面鏡中看到高樓的頂部點E的像,再將平面鏡向后移動4m(即AC

=4m)放在點C處,從點C處后退1.5m到達(dá)點D處,恰好再次在平面鏡中看到高樓

的頂部點E的像,測得強強同學(xué)的眼睛距地面的高度為1.5m.已知點O,A,B,C,D在

同一水平線上,且GD,FB,EO均與OD垂直.求高樓OE的高度.(平面鏡的厚度忽略

不計)

學(xué)科物理解析由已知得∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°,∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE.∵

∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE,∴△BAF∽△OAE,∴

=

,即

=

,∴OE=1.5OA,∵∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE,∴△GDC∽△EOC,∴

=

,即

=

,∴OE=OA+4,∴1.5OA=OA+4,∴OA=8m,∴OE=12m.答:高樓OE的高度為12m.20.[學(xué)科素養(yǎng)推理能力](2022山東泰安中考,23,★★☆)(10分)如圖,矩形ABCD中,點E在DC上,DE=BE,AC與BD相交于點O,BE與AC相交于點F.

(1)若BE平分∠CBD,求證:BF⊥AC.(2)找出圖中與△OBF相似的三角形,并說明理由.(3)若OF=3,EF=2,求DE的長度.解析如圖.

(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴OD=OC,AB∥CD,∠BCD=90°,∴∠2=∠3=∠4,∠3+∠5=90°,∵DE=BE,∴∠1=∠2,∵BE平分∠DBC,∴∠1=∠6,∴∠3=∠6,∴∠6+∠5=90°,∴∠BFC=90°,即BF⊥AC.(2)與△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF.理由如下:由(1)可得∠1=∠4,又∵∠AFB=∠BFO,∴△BAF∽△OBF,∵∠1=∠2=∠3,∠EFC=∠OFB,∴△ECF∽△OBF.(3)∵四邊形ABCD是矩形,∴OA=OC,∵△ECF∽△OBF,∴

=

,∴

=

,即3CF=2BF,∴3CF+3OF=2BF+3OF,∴3OA=2BF+9①,∵△BAF∽△OBF,∴

=

,∴BF2=OF·AF,∴BF2=3(OA+3)②,聯(lián)立①②,可得BF=1+

(負(fù)值已舍去),∴DE=BE=EF+BF=2+1+

=3+

.21.(2023山西臨汾安澤期末,19,★★☆)(12分)閱讀與思考:凸透鏡在我們的生活

中有著廣泛的應(yīng)用,如照相機和望遠(yuǎn)鏡.凸透鏡成像規(guī)律是一種光學(xué)定律.在光學(xué)

中,由實際光線會聚而成,且能在光屏上呈現(xiàn)的像稱為實像.凸透鏡成像公式也被

稱為高斯成像公式,其形式為

=

+

.圖①是蠟燭成像的光路圖,其中f為焦距,u為物距,v為像距.現(xiàn)將圖①的光路圖抽象為圖②所示的數(shù)學(xué)幾何圖形,蠟燭AC發(fā)

出的光線CE平行于直線AB,光線CE經(jīng)過凸透鏡MN后,經(jīng)過焦點F與經(jīng)過凸透鏡

中心O的光線交于點D,其中物距AO=u,像距BO=v,焦距OF=f,四邊形AOEC是矩

形,DB⊥AB,MN⊥AB.

第21題圖(1)請根據(jù)圖②提供的信息,用所學(xué)數(shù)學(xué)知識證明高斯成像公式.(2)當(dāng)凸透鏡的焦距為10cm,把物體放在離凸透鏡30cm處時,所成的像離凸透鏡

的距離為

.解析本題借助物理學(xué)中的凸透鏡成像原理,設(shè)置相似三角形的實際應(yīng)用問題,

考查學(xué)生跨學(xué)科學(xué)習(xí)的效果和應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力,貼合課標(biāo)新理念.(1)證明:∵∠CAO=∠DBO=90°,∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD.∴

=

,∵AC=OE,∴

=

,∵∠EOF=∠DBO=90°,∠EFO=∠DFB,∴△EOF∽△DBF,∴

=

.∴

=

.∵AO=u,BO=v,OF=f,∴BF=OB-OF=v-f,∴

=

,∴u(v-f)=vf.∴uv-uf=vf.∵uvf≠0,∴等式兩邊同時除以uvf得

-

=

.∴

=

+

.(2)∵凸透鏡的焦距為10cm,把物體放在離凸透鏡30cm處,∴