高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件：4 4- 數(shù)學(xué)歸納法(人教A版)

第四章4.4*數(shù)學(xué)歸納法1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地，證明一個與__________有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以“當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)____________時命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.正整數(shù)nn＝k＋12.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟之間的關(guān)系記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題.可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)P(n0)為真；(2)若______為真，則________也為真，結(jié)論：P(n)為真.(1)第一步驗證(或證明)了當(dāng)n＝n0時結(jié)論成立，即命題____________為真；(2)第二步是證明一種遞推關(guān)系，實(shí)際上是要證明一個新命題：若____________________________________.只要將兩步交替使用，就有P(n0)為真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真…….從而完成證明.P(k)P(k＋1)P(n0)P(k)為真，則P(k＋1)也為真1.思考辨析，判斷正誤×(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.(

)提示

也可用其他方法證明.(2)在利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，只要推理過程正確，也可以不用歸納假設(shè).(

)提示

數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可.(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，由n＝k到n＝k＋1，等式的項數(shù)不一定增加了一項.(

)×√C解析

邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形，故選C.BB解析

本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應(yīng)用了等比數(shù)列的求和公式，而未用上歸納假設(shè)，這與數(shù)學(xué)歸納法的要求不符.未用歸納假設(shè)課堂互動題型剖析2題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式所以左邊＝右邊，等式成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，等式成立，那么當(dāng)n＝k＋1時，1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立，綜上，對任何n∈N*，等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；二是弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端的項是如何變化的，即增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并向n＝k＋1時證明目標(biāo)的表達(dá)式進(jìn)行變形.思維升華用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時，一是弄清n取第一個值n0時等式兩端項的情況；二是弄清從n＝k到n＝k＋1等式兩端的項是如何變化的，即增加了哪些項，減少了哪些項；三是證明n＝k＋1時結(jié)論也成立，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，并向n＝k＋1時證明目標(biāo)的表達(dá)式進(jìn)行變形.思維升華【訓(xùn)練1】用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*).證明

(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝2(2－3)＋3＝1，左邊＝右邊，所以等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3.則當(dāng)n＝k＋1時，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，即當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立.由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式解

由(1)，知Sn＝n2，綜上，原不等式成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的四個關(guān)鍵：思維升華(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，不等式成立.則當(dāng)n＝k＋1時，即當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立.由(1)和(2)可知，不等式對所有的n∈N*都成立.【例3】

證明：當(dāng)n∈N*時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除等數(shù)學(xué)命題證明

(1)當(dāng)n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除.(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，則當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.故f(k＋1)也能被64整除.綜合(1)(2)，知當(dāng)n∈N*時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是證明當(dāng)n＝k＋1時，代數(shù)式可被除數(shù)整除，一般利用構(gòu)造法，構(gòu)造出含有除數(shù)及n＝k時的代數(shù)式，根據(jù)歸納假設(shè)即可證明.思維升華(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥4，k∈N*)時，命題成立.現(xiàn)在考慮n＝k＋1時的情形.由(1)和(2)，可知原結(jié)論成立.題型四歸納——猜想——證明【例4】

將正整數(shù)進(jìn)行如下分組：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)……，分別計算各組包含的正整數(shù)的和如下：S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，……(1)求S7的值；解

S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175.(2)由S1，S1＋S3，S1＋S3＋S5，S1＋S3＋S5＋S7的值，試猜測S1＋S3＋…＋S2n－1的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解

S1＝1；S1＋S3＝16；S1＋S3＋S5＝81；S1＋S3＋S5＋S7＝256；猜測S1＋S3＋…＋S2n－1＝n4.證明如下：記Mn＝S1＋S3＋…＋S2n－1.①當(dāng)n＝1時，猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥1)時，猜想成立，即Mk＝S1＋S3＋…＋S2k－1＝k4.則當(dāng)n＝k＋1時，從而Mk＋1＝Mk＋S2k＋1＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，所以當(dāng)n＝k＋1時猜想也成立.由①②，可知對任意n∈N*，猜想都成立.“歸納—猜想—證明”的一般步驟思維升華(2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)n＝1時，結(jié)論成立；∴當(dāng)n＝k＋1時結(jié)論成立.1.1個思想方法 “歸納—猜想—證明”的思想方法2.3個注意點(diǎn) (1)驗證是基礎(chǔ)：找準(zhǔn)起點(diǎn)，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定為1； (2)遞推是關(guān)鍵：正確分析由n＝k到n＝k＋1時，式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障； (3)利用假設(shè)是核心：在第二步證明中一定要利用歸納假設(shè)，這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié)，否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

C解析

因為題目要求是對n為正偶數(shù)，等式成立.D3.凸n邊形有f(n)條對角線，則凸n＋1邊形對角線的條數(shù)f(n＋1)等于(

) A.f(n)＋n＋1 B.f(n)＋n C.f(n)＋n－1 D.f(n)＋n－2

解析

增加一個頂點(diǎn)，就增加(n＋1－3)條對角線，另外原來的一邊也變成了對角線，對f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故選C.CBD當(dāng)n＝k＋1時，要證明的等式為7.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應(yīng)等于________.6解析

由題意，當(dāng)n＝1時，21<(1＋1)2；當(dāng)n＝2時，22<(2＋1)2；當(dāng)n＝3時，23<(3＋1)2；當(dāng)n＝4時，24<(4＋1)2；當(dāng)n＝5時，25<(5＋1)2；當(dāng)n＝6時，26>(6＋1)2，所以用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應(yīng)等于6.(2)假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時等式成立，即即n＝k＋1時等式成立.綜合(1)(2)知，對任意n≥2，n∈N*等式恒成立.所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式也成立.綜上所述，對任意n≥2的正整數(shù)，不等式都成立.11.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用歸納假設(shè)證n＝k＋1時的情況，只需展開(

) A.(k＋3)3 B.(k＋2)3 C.(k＋1)3 D.(k＋1)3＋(k＋2)3

解析

假設(shè)當(dāng)n＝k時，原式能被9整除，

即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除.

當(dāng)n＝k＋1時，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3為了能用上面的歸納假設(shè)，

只需將(k＋3)3展開，讓其出現(xiàn)k3即可.A12.(多選題)已知一個命題p(k)，k＝2n(n∈N*)，若當(dāng)n＝1，2，…，1000時，p(k)成立，且當(dāng)n＝1001時也成立，則下列判斷中正確的是(

) A.p(k)對k＝528成立 B.p(k)對每一個自然數(shù)k都成立 C.p(k)對每一個正偶數(shù)k都成立 D.p(k)對某些偶數(shù)可能不成立

解析

由題意知p(k)對k＝2，4，6，…，2002成立，當(dāng)k取其他值時不能確定p(k)是否成立，故選AD.AD(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論.①當(dāng)n＝1時，結(jié)論成立.又an>0，∴a1＝1；(2)猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的