高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(提升版)(新高考地區(qū)專用)3.6零點(diǎn)定理(精講)(提升版)(原卷版+解析)

3.6零點(diǎn)定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一零點(diǎn)的區(qū)間【例1】(2023·河南開(kāi)封·）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·湖南）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A．B．C．D．2．(2023·四川攀枝花）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則（

）A． B． C． D．3．(2023·云南德宏）方程的解所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例2-1】(2023·陜西）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【例2-2】(2023·山西）已知若，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【一隅三反】1．(2023·安徽）已知函數(shù)則方程的解的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．03．(2023·海南省）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)有（

）個(gè)零點(diǎn)A．4 B．5 C．6 D．7考點(diǎn)三比較零點(diǎn)的大小【例3】(2023·安徽）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·河南）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．2．(2023·安徽）已知，，，則（

）A． B． C． D．3．(2023·山西）正實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四已知零點(diǎn)求參數(shù)【例4-1】(2023·山東濰坊）已知函數(shù)的圖像與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例4-2】(2023·吉林）已知若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍為（

）A． B． C． D．【例4-3】(2023·安徽·合肥市）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．(2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．(2023·廣西·貴港市高級(jí)中學(xué)三模）已知在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．(2023·山西）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五零點(diǎn)的綜合運(yùn)用【例5-1】(2023·新疆克拉瑪依）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B．C． D．【例5-2】(2023·甘肅）若函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例5-3】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．(2023·安徽·合肥一六八中學(xué)）若為奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，則一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（

）A． B． C． D．2．(2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．103．(2023·陜西·西安中學(xué)一模（理））函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為_(kāi)________.3.6零點(diǎn)定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一零點(diǎn)的區(qū)間【例1】(2023·河南開(kāi)封·）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)?，的定義域?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，所以，，由零點(diǎn)存在性定理知：，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：D.【一隅三反】1．(2023·湖南）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A．B．C．D．答案：B【解析】因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，且，所以的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選：B2．(2023·四川攀枝花）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間上，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，故其至多一個(gè)零點(diǎn)；又，，故的零點(diǎn)在區(qū)間，故.故選：．3．(2023·云南德宏）方程的解所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)，易知在定義域內(nèi)是增函數(shù)，又，，所以的零點(diǎn)在上，即題中方程的根屬于．故選：B．考點(diǎn)二零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例2-1】(2023·陜西）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】當(dāng)時(shí)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與函數(shù)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有兩個(gè)，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有一個(gè).綜上，函數(shù)的零點(diǎn)有三個(gè).故選：D【例2-2】(2023·山西）已知若，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11答案：B【解析】作出的圖像，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為曲線與直線在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)9.選：B.【一隅三反】1．(2023·安徽）已知函數(shù)則方程的解的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【解析】令，得，則函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，可知兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，故方程的解的個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C．2．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．0答案：C【解析】在上是增函數(shù)，在和上是減函數(shù)，在和上是增函數(shù)，，，，作出函數(shù)的圖像，如圖，由圖像可知它們有4個(gè)交點(diǎn)．故選：C．3．(2023·海南省）設(shè)函數(shù)定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)有（

）個(gè)零點(diǎn)A．4 B．5 C．6 D．7答案：C【解析】的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱，又為偶函數(shù)，故關(guān)于對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，畫出圖象，易得函數(shù)的圖象有6個(gè)交點(diǎn)故選：C考點(diǎn)三比較零點(diǎn)的大小【例3】(2023·安徽）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c則a，b，c的大小順序?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．答案：D【解析】由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：D【一隅三反】1．(2023·河南）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．答案：B【解析】畫出與三個(gè)函數(shù)的圖象，如圖可得的與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，故故選：B2．(2023·安徽）已知，，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點(diǎn)存在定理可知．；設(shè)函數(shù)，易知在上遞增，，，即，由零點(diǎn)存在定理可知，；設(shè)函數(shù)，易知在上遞減，，，因?yàn)椋珊瘮?shù)單調(diào)性可知，，即.故選:A．3．(2023·山西）正實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，即，即，與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，則；，即，即，由與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，故；，即，即，由與的圖象在只有一個(gè)交點(diǎn)，則在只有一個(gè)根，令，，，，則；故選：A.考點(diǎn)四已知零點(diǎn)求參數(shù)【例4-1】(2023·山東濰坊）已知函數(shù)的圖像與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，在處取得極小值，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖像和直線，如圖，觀察圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B【例4-2】(2023·吉林）已知若關(guān)于x的方程有3個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因?yàn)闀r(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；時(shí)，，則，令，則，所以時(shí)，，則單調(diào)遞增；時(shí)，，則單調(diào)遞減；且，，時(shí)，；作出在上的圖象，如圖：由圖可知要使有3個(gè)不同的實(shí)根，則.故選：D.【例4-3】(2023·安徽·合肥市）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)，若，即，必有，令，則，設(shè)，則函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)，又由于，必有，即的取值范圍是，故選：B.【一隅三反】1．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】函數(shù)的圖像如下圖所示：若關(guān)于x的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則函數(shù)的圖像與直線有三個(gè)交點(diǎn)，若直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，m＝0，若直線與函數(shù)的圖像相切，令，令.故.故選：D．2．(2023·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)為定義在上的單調(diào)函數(shù)，且．若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】因?yàn)闉槎x在R上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的，使得，則，，即，因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，且，所以，.當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，由，得.結(jié)合函數(shù)的圖象可知，若有3個(gè)零點(diǎn)，則．故選：A3．(2023·廣西·貴港市高級(jí)中學(xué)三模）已知在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由，得，即.設(shè)，即在有且僅有6個(gè)實(shí)數(shù)根，因?yàn)?，故只需，解得，故選：D．4．(2023·山西）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知，畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，如圖所示由恰好有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)兩點(diǎn)的斜率為，則.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：C.考點(diǎn)五零點(diǎn)的綜合運(yùn)用【例5-1】(2023·新疆克拉瑪依）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因?yàn)?，令，即，?dāng)時(shí)顯然不成立，當(dāng)時(shí)，作出和的圖象，如圖，它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由圖象可知它們?cè)谏嫌?個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，每對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為，所以4個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．故選：C．【例5-2】(2023·甘肅）若函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)即方程在區(qū)間上有2個(gè)實(shí)數(shù)根設(shè)，則為偶函數(shù).且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，又時(shí)，；時(shí)，，則的大致圖像如圖.所以方程在區(qū)間上有2個(gè)實(shí)數(shù)根滿足則，設(shè)，則在上恒成立所以故選：A【例5-3】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】令、，則、，在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)、、的圖像，因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，所以，，解方程組，因?yàn)楹瘮?shù)與互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知、關(guān)于對(duì)稱，則，，，A、B、D錯(cuò)誤，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，故C正確，故選：C．【一隅三反】1．(2023·安徽·合肥一六八中學(xué)）若為奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，則一定是下列哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)（

）A． B． C． D．答案：B【解析】是奇函數(shù)，且是的一個(gè)零點(diǎn)，所以，把分別代入下面四個(gè)選項(xiàng)，對(duì)于A，，不一定為0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以是函數(shù)的零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，，故C不正確；對(duì)于D，，故D不正確；故選：B.2．(2023·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．10答案：A【解析】方程可變形為方程，方程可變形為