廣東省茂名市2024屆高三模擬測試臨門一腳 數(shù)學試卷【含答案】

高三數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．32．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．某公司10月23日、10月30日、11月6日、11月13日、11月20日、11月27日這6天員工的出勤率的折線圖如圖所示，則下列判斷正確的是（

）A．這6天員工的出勤率呈遞增趨勢B．這6天員工的出勤率呈遞減趨勢C．這6天員工的出勤率的極差大于0.15D．這6天員工的出勤率的中位數(shù)小于0.854．展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有（

）A．2項 B．3項 C．4項 D．5項5．在四面體ABCD中，平面平面BCD，，且，則四面體ABCD的體積為（

）A．2 B．6 C． D．6．若函數(shù)的圖象與圓恰有4個公共點，則的解析式可以為（

）A． B．C． D．7．一箱蘋果共有12個蘋果，其中有個是爛果，從這箱蘋果中隨機抽取3個．恰有2個爛果的概率為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．68．是內(nèi)一點，，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知為非零實數(shù)，復(fù)數(shù)，則（

）A．的虛部為 B．的最小值為C．的實部為 D．當時，為純虛數(shù)10．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制．例如：正方體每個頂點均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點的曲率均為．如圖，在直三棱柱中，，點的曲率為分別為的中點，則（

）A．直線平面B．在三棱柱中，點的曲率為C．在四面體中，點的曲率小于D．二面角的大小為11．已知為方程的根，為方程的根，則（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則的最小正周期為，.13．已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為.14．設(shè)向量，則的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．設(shè)函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在上的最大值和最小值.16．如圖，在三棱錐中，平面平．(1)證明：．(2)若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值．17．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為2的直線與交于A，B兩點，且．(1)求的方程；(2)過點作軸的平行線是動點，且異于點，過點作AP的平行線交于，兩點，證明：．18．如圖，開車從站到站有3條路線.甲、乙、丙路線分別為.開車從站到站需要3分鐘，從站到站需要2分鐘，從站到站需要2分鐘，從站到站需要，2.5分鐘，從站到站需要分鐘，從站到站需要分鐘，從站到站需要分鐘，從站到站需要分鐘，受路上的紅綠燈影響，都是隨機變量，且分布列如下.

22.50.40.61.52.50.50.523m230.50.5(1)若選擇甲路線，開車從站到站的總時間為分鐘，求的分布列；(2)小張從這3條路線中選擇1條，他在每站選擇前進的方向時，都會等可能地選擇其中一個方向，在他開車經(jīng)過站的前提下，若他開車從站到站的總時間少于5分鐘的概率為0.4，求的值；(3)以各條路線開車需要的總時間的期望為依據(jù)，若三條路線中只有丙路線最快捷，求的取值范圍.19．已知是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)求；(3)[x]表示不超過的最大整數(shù)，當時，是定值，求正整數(shù)的最小值．1．C【分析】由雙曲線的方程可得，a，b，c的值，根據(jù)離心率公式即可求解.【詳解】由雙曲線的方程可得，，，，所以.故選：C.2．A【分析】解不等式，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域可得.【詳解】由已知，，所以，故選：A.3．D【分析】由圖可知這6天員工的出勤率有增也有減即可判斷AB；根據(jù)極差和中位數(shù)的定義即可判斷CD.【詳解】A：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故A錯誤；B：由圖可知，這6天員工的出勤率有增也有減，故B錯誤；C：這6天員工的出勤率按照從小到大的順序排列為0.776，0.8077，0.8333，0.86，0.895，0.92，所以這6天員工的出勤率的極差為，故C錯誤；D：中位數(shù)為，故D正確.故選：D4．D【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式直接得出結(jié)果.【詳解】展開式的通項公式為（），所以展開式中的第1項、第3項、第5項、第7項、第9項的系數(shù)均為有理數(shù)，共5項.故選：D5．C【分析】根據(jù)面面垂直可得線面垂直，結(jié)合等腰三角形可知四面體的高，進而可得體積.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，因為，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，因為，，所以，又，所以四面體的體積，故選：C.6．D【分析】利用絕對值函數(shù)的圖象特征，分別作出選項中的函數(shù)圖象，觀察即可判斷.【詳解】作出的圖象，如圖1所示，作出的圖象，如圖2所示，由圖可知，滿足題意．故選：D.7．B【分析】由超幾何分布的概率公式列方程即可求解.【詳解】依題意可得，即，整理得，解得或9，因為，所以．故選：B.8．D【分析】在中，分別使用正弦定理，結(jié)合化簡整理即可得解【詳解】因為，所以，設(shè)，因為，所以．在中，由正弦定理可得，則，即，即，解得．故選：D9．BC【分析】求得的虛部判斷選項A；求得的最小值判斷選項B；求得的實部判斷選項C；當時，求得的值判斷選項D.【詳解】對于AC，因為，所以，則的虛部為，選項A錯誤，的實部為，選項C正確．對于B，，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為，B正確．對于D，當時，，則為實數(shù)，選項錯誤．故選：BC10．ABD【分析】利用面面平行的判定性質(zhì)判斷A；利用曲率的定義計算判斷BC；作出二面角的平面角并求得其大小判斷D【詳解】對于A，取的中點，連接BG，F(xiàn)G，由D，E，F(xiàn)分別為的中點，得，而平面，平面，則平面，又，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，則平面，又，平面，于是平面平面，由平面BFG，得平面，A正確；對于B，在直三棱柱中，，則點的曲率為，解得，由，得，而，因此點的曲率為，B正確；對于C，過作，交的延長線于，連接，由平面ABC，平面ABC，得，，平面，則平面，平面，因此，，，又，則，，在四面體中，點的曲率為，C錯誤；對于D，由選項C知，為二面角的平面角，又，則，所以，D正確．故選：ABD.11．BCD【分析】設(shè)，利用導數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理得，從而，即可判斷A，結(jié)合零點存在定理得，從而，即可判斷B，由及得，進而，利用的單調(diào)性即可判斷C，令，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，利用單調(diào)性即可判斷D.【詳解】設(shè)，由知均在上單調(diào)遞增.由，可得，則，整理得，A不正確；由，可得，則，從而，B正確；由，可得．因為，所以，則，即，即，則，C正確；令，則，當時，單調(diào)遞增，因為，且，所以，即，從而，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小是高考熱點和難點，結(jié)合代數(shù)式的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，通過導函數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出代數(shù)式的大小，本題根據(jù)式子特征選擇，從而達到構(gòu)造出適當函數(shù)的目的.12．##【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮變換可得，結(jié)合和求出即可求解.【詳解】由題意知，，則的最小正周期，.故答案為：；13．【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和橢圓定義得到，再利用關(guān)系即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，則，所以點的軌跡為以A，B為焦點，長軸長為6的橢圓．則，所以，所以動圓的圓心的軌跡方程為．故答案為：.14．##【分析】先求得的表達式，再利用換元法并結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得其最小值.【詳解】，令，則，所以，當，即時，取得最小值，且最小值為．故答案為：15．(1)(2)在上的最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義直接求解即可；（2）利用導函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷出在上的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）因為，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）由（1）可知，.令，則，當時，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，當時，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以的最大值為，的最小值為.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，通過說明可得結(jié)論；（2）以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求解線面角.【詳解】（1）取的中點，連接，因為，所以，又，面，所以平面，因為平面，所以；（2）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又，所以以為坐標原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令得．所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件，得到直線方程為，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)拋物線的弦長求得，即得答案；（2）設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)拋物線的弦長求得，由，所以，由（1）可知，計算即可證得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)．因為點的坐標為，所以，由得，則，從而得，所以的方程為．（2）證明：因為點的坐標為，直線MN的斜率不為0，所以設(shè)直線MN的方程為．設(shè)，由可得，則所以．由（1）可知，因為點A，P的縱坐標分別為，且，所以可得，即．18．(1)分布列見解析(2)(3)【分析】（1）由題意的可能取值為9，9.5，10，10.5，由獨立乘法公式算出對應(yīng)的概率即可得解；（2）由全概率公式即可列方程求解；（3）設(shè)選擇乙路線開車從站到站的總時間為分鐘，選擇丙路線開車從站到站的總時間為分鐘，分別算出的表達式，即可列不等式組求解的范圍.【詳解】（1）的可能取值為9，9.5，10，10.5，，則的分布列為99.51010.50.20.30.20.3（2）若他開車經(jīng)過站，則他選擇的路線是甲路線或乙路線，記選擇甲路線為事件，選擇乙路線為事件，則，若他開車從站到站的總時間少于5分鐘，則或，所以由全概率公式得，解得.（3）設(shè)選擇乙路線開車從站到站的總時間為分鐘，則設(shè)選擇丙路線開車從站到站的總時間為分鐘，，則若三條路線中只有丙路線最快捷，則即，又，所以，即的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問的關(guān)鍵是準確表示出，列出不等式組即可順利得解.19．(1)(2)(3)7【分析】（1）先由是公差為2的等差數(shù)列，求得遞推關(guān)系，再利用疊加法求得，進而得到的通項公式；（2）法一：兩次利用錯位相減法即可求得數(shù)列的前項和為；法二：構(gòu)造得，再利用裂項相消法即可得解；（3）利用數(shù)列單調(diào)性結(jié)合題給條件即可求得正整數(shù)的最小值.【詳解】（1）設(shè)，則．因為是公差為2的等差數(shù)列