專題06 冪運(yùn)算壓軸題（解析版）（人教版）

專題06冪運(yùn)算壓軸題的三種考法類型一、比較大小【答案】B【分析】逆運(yùn)用冪的乘方法則，把a(bǔ)、b、c都寫成一個(gè)數(shù)的8次方的形式，比較底數(shù)得結(jié)論.【詳解】解::a=240=(25)8=328,843:32<64<81,8:a<c<b.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，掌握冪的乘方法則是解決本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練1】．已知a1,a2,a3,...a20N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，則M與N的大小關(guān)系是()A．M=NB．M>NC．M<ND．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)換元法將，設(shè)x=a1+a2+…+a2014，y=a2+a3+…+a2015，則M=xy，N=(x+a2015)(ya2015)，作差即可求得大小關(guān)系.則M=xy，MN=a2015(yxa2015)=a1a2015由于a1,a2,a3,...a2015均為負(fù)數(shù)所以a1a2015為正數(shù)，則M—N=a1a2015>0，M>N.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是關(guān)鍵，解答時(shí)注意運(yùn)用整體思想，屬難題.【變式訓(xùn)練2】已知a=355，b=444，c=533，則a、b、c的大小關(guān)系為()【答案】A【分析】把a(bǔ)、b、c三個(gè)數(shù)變成指數(shù)相同的冪，通過底數(shù)可得出a、b、c的大小關(guān)系.【詳解】解：∵a35）11＝24311，b44）11＝25611，c53）11＝12511，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵是掌握冪的乘方法則，把各數(shù)的指數(shù)變成相同.【變式訓(xùn)練3】340430（填“＞??<?或“=”）【答案】＞【詳解】因340=（34）10=8110，430=（43）10=6410，81＞64，可得8110＞6410，所以340＞430.點(diǎn)睛：此題考查了冪的乘方．解此題的關(guān)鍵是將將340與430變形為同指數(shù)的冪.【變式訓(xùn)練4】比較52012+62012與72012的大小.【答案】72012>52012+62012.【分析】先比較52012+62012<62012+62012=2×62012，再比較72012>2×62012，即可得出結(jié)論.【詳解】∵52012+62012<62012+62012=2×62012=2×63×62009=432×62009=93312×62006，72012=73×72009=343×72009=117649×72006，∴72012>2×62012>52012+62012.【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的大小比較，難點(diǎn)在于得出52012+62012<2×62012，72012>2×62012.類型二、化簡(jiǎn)求值【答案】A【分析】利用同底數(shù)冪乘法、冪的乘方等法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案.【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法、冪的乘方等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則以及逆運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵.【答案】1.【分析】利用冪的乘方與同底數(shù)冪相乘，得到2a+1＝2a×2＝6，3b+1＝3b×3＝6，進(jìn)而得到6.6=6+=6，求出答案即可.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方與同底數(shù)冪相乘，掌握冪的乘方與同底數(shù)冪相乘的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】．若am=20，bn=20，ab=20，則=.【答案】1【分析】先根據(jù)ab=20可得anbn=20n，再結(jié)合bn=20可得an=20n—1，由此結(jié)合am=20可得am+n=amn=20n，由此可得m+n=mn，進(jìn)而可求得答案.【詳解】解：∵ab=20，即anbn=20n，又∵am=20，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪的乘除法法則及冪的乘方法則是解決本題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】．已知2a=5b=10，判斷a＋b和ab的大小關(guān)系.【分析】利用冪的乘方和積的乘方將式化簡(jiǎn)得到：(2a)b=2ab=10b，(5b)a=5ab=10a，10a×10b=10a+b=5ab×2ab=(5×2)ab=10ab，即可求出a＋b和ab的大小關(guān)系.【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方和積的乘方，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方和積的乘方，求出類型三、新定義問題例．閱讀下列材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘a.a…，記為an．如2×2×2=23=8，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log28（即log28＝3一般地，若an＝b（a>0且a≠1，b>0則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab（即logab=n．如34＝81，則4叫做以3 為底81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381=4）.(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：log24log216log264=.(2)寫出（1）log24、log216、log264之間滿足的關(guān)系式.(3)由（2）的結(jié)果，請(qǐng)你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論：logaM+logaN=_____（a>0且a≠1，(4)設(shè)an＝N，am＝M，請(qǐng)根據(jù)冪的運(yùn)算法則以及對(duì)數(shù)的定義說明上述結(jié)論的正確性.【答案】(1)2，4，6(2)log24+log216=log264(3)loga(MN)(4)證明見解析【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求解；（2）認(rèn)真觀察，即可找到規(guī)律：4×16＝64，log24+log216=log264；（3）由特殊到一般，得出結(jié)論：logaM+logaN=loga(MN).（4）設(shè)logaM＝b1，logaN＝b2，根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算法則：am.an=am+n和給出的材料證明結(jié)論.故答案為：2，4，6；故答案為：log24+log216=log264；（3）由（2）的結(jié)果可得logaM+logaN=loga(MN)，故答案為：loga(MN).（4）設(shè)logaM＝b1，logaN＝b2，則ab=M，ab=N∴MN=abab∴l(xiāng)ogaM+logaN=loga(MN).【點(diǎn)睛】本題是開放性的題目，難度較大．借考查同底數(shù)冪的乘法，對(duì)數(shù)，實(shí)際考查學(xué)生對(duì)指數(shù)的理解、掌握的程度；解題的關(guān)鍵是要求學(xué)生不但能靈活、準(zhǔn)確的應(yīng)用其運(yùn)算法則，還要會(huì)類比、歸納，推測(cè)出對(duì)數(shù)應(yīng)有的性質(zhì).【變式訓(xùn)練1】閱讀理解：規(guī)定兩數(shù)a，b之間的一種運(yùn)算，記作(a,b)；如果ac=b，那么(a,b)=c．例如：因?yàn)?3=8，(1)根據(jù)上述規(guī)定，填空：②若=5，則x=______；③若(3,y)=4，則y=.(2)若(4,7)=a，(2,3)=b，(4,63)=c．請(qǐng)?zhí)剿鱝，b，c之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.【答案】(1)①2；②2；③81【分析】（1）根據(jù)規(guī)定的運(yùn)算法則結(jié)合有理數(shù)的乘方和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪解答即可；（2）由題意可得出4a=7，2b=3，4c=63，結(jié)合7×32=63，即得出4a×(2b)2=4c，再根據(jù)冪的乘方及其逆用法則和同底數(shù)冪乘法的逆用法則計(jì)算即可求解.故答案為：2；故答案為：2；故答案為：81.a2=4ca×4b=4c，解題意，掌握新規(guī)定的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練2】如果xn=y，那么我們規(guī)定(x,y]=n．例如：因?yàn)?2=16，所以(4,16]=2.(1)(2,16]=______；若(2,y]=6，則y=______；②求t的值.【答案】(1)4，64(2)y=604=1，可直接得出(2,16]=4；由26=64，可得出y=64；（2）由題意可得出4a=12，4b=5，4c=y．根據(jù)a+b=c，得出4a+b=4c，即4a.4b=4c，進(jìn)而即可求出y=12×5=60；b4bb4合題意可得出(5,10babbb，進(jìn)而得:(2,y]=6，且26=64，:y=64.:a+b=c，:4a+b=4c，即4a.4b=4c，2b4bb44:5ab=10b，:(5,10b:(5,10b【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，積的乘方與其逆用，冪的乘方與其逆用．熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.課后訓(xùn)練1．計(jì)算(0.125)2020×(2)606【答案】A【分析】將(2)6060化為(8)2020使兩個(gè)冪的指數(shù)相同，再利用積的乘方逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查冪的乘方逆運(yùn)算，積的乘方逆運(yùn)算，熟記公式是解題的關(guān)鍵.2．已知2x+2.3x+2=36x—3，則x=.【答案】8.【分析】根據(jù)積的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算，把等式變形，根據(jù)指數(shù)相同求解即可.【詳解】解：2x+2.3x+2=36x—3，根據(jù)積的乘方和冪的乘方，等式可變形為：(2×3)x+2=(62)x—3，即6x+2=62x—6，x+2=2x6，解得，x=8故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算的逆運(yùn)算，解題關(guān)鍵是把等式恰當(dāng)變形，依據(jù)底數(shù)相同，指數(shù)也相同列方程.3．已知a=2255，b=3344，c=5533，d=6622，則a、b、c、d的大小關(guān)系是()【答案】A433=32比較11次冪的底數(shù)大小即可.3所以553＞662，故5533＞6622即c>d；同理可證a>b，b>c所以a>b>c>d，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握冪的乘方及其逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.2=3③b+c=2a+3；④b=a+2．其中，正確的關(guān)系式是（填序號(hào)）.【答案】①②③【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求出a、b、c的關(guān)系，代入各式驗(yàn)證即可.ac所以a+c＝2b，因此①正確；所以a+b＝2c﹣3，因此②正確；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正確；④b＝a+1，因此④不正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①②③三個(gè)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則，得出a、b、c的關(guān)系.【答案】1【分析】本題的思路是將等式兩邊化成同底數(shù)冪，推出指數(shù)相等．由于5×32=160，因此對(duì)等式5x=160兩邊同時(shí)取y次方，可以得到5xy=160y，再把160換成5×32得到5xy=5y×32y，接著把32y換成5x（都等于160）得到5xy=5x+y，從而推出xy=x+y，最后對(duì)(—2022)(x—1)(y—1)—1中的指數(shù)去括號(hào)，整體代入可得結(jié)果.【詳解】解：∵5x=160，x=160，32y=160,5y×∴(2022)(x1)(y1)1=(2022)xyxy+11=(2022)x故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，將等式兩邊化成同底數(shù)冪，推出指數(shù)相等是解題的關(guān)鍵.【答案】<【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)大于1時(shí)，根據(jù)指數(shù)越大冪越大，可得答案.3即430＜340，【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，利用冪的乘方化成同指數(shù)的冪是解題關(guān)鍵.7．閱讀材料：3的末尾數(shù)字是3，32的末尾數(shù)字是9，3的末尾數(shù)字是7，3的末尾數(shù)字是1，3的末尾數(shù)字是3，......，觀察規(guī)律，34n+1=(34)n×3，∵3的末尾數(shù)字是1，∴(34)n的末尾數(shù)答下列問題：(1)32021的末尾數(shù)字是，142022的末尾數(shù)字是；(2)求22022的末尾數(shù)字；(3)求證：122024+372018能被5整除.【答案】(1)3，6；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的結(jié)論可知32021的末尾數(shù)字；根據(jù)閱讀材料中提供的方法，可得142n+1的末尾數(shù)字是4，142n的末尾數(shù)字是6，于是得解；（2）先將22022化成(24)505×4，再利用(24)505=16505的末尾數(shù)字是6，從而得出結(jié)論；（3）分別證明122024的末尾數(shù)字為6和372018的末尾數(shù)字9，則命題即可得證.【詳解】（1）解：:32021=34×505+1，:32021的末尾數(shù)字為3；:141的末尾數(shù)字是4，142的末尾數(shù)字是6，143的末尾數(shù)字是4，?:142n+1