人教版初中數(shù)學(xué)中考沖刺：動(dòng)手操作與運(yùn)動(dòng)變換型問(wèn)題-知識(shí)講解（基礎(chǔ)）

第三十二講動(dòng)手操作與運(yùn)動(dòng)變換型問(wèn)題

【中考展望】

1.對(duì)于實(shí)踐操作型問(wèn)題，在解題過(guò)程中學(xué)生能夠感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情趣與價(jià)值，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)化”

和“再創(chuàng)造”的過(guò)程，不斷提高自己的創(chuàng)新意識(shí)與綜合能力，這是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)

驗(yàn)稿）》的基本要求之一，因此，近年來(lái)實(shí)踐操作性試題受到命題者的重視，多次出現(xiàn).

2.估計(jì)在今年的中考題中，實(shí)踐操作類(lèi)題目依舊是出題熱點(diǎn)，仍符合常規(guī)題型，與三角形的全等

和四邊形的性質(zhì)綜合考查.需具備一定的分析問(wèn)題能力和歸納推理能力.

圖形的設(shè)計(jì)與操作問(wèn)題，主要分為如下一些類(lèi)型：

1.已知設(shè)計(jì)好的圖案，求設(shè)計(jì)方案（如：在什么基本圖案的基礎(chǔ)上，進(jìn)行何種圖形變換等）.

2.利用基本圖案設(shè)計(jì)符合要求的圖案（如：設(shè)計(jì)軸對(duì)稱(chēng)圖形，中心對(duì)稱(chēng)圖形，面積或形狀符合特定

要求的圖形等）.

3.圖形分割與重組（如：通過(guò)對(duì)原圖形進(jìn)行分割、重組，使形狀滿(mǎn)足特定要求）.

4.動(dòng)手操作（通過(guò)折疊、裁剪等手段制作特定圖案）.

解決這樣的問(wèn)題，除了需要運(yùn)用各種基本的圖形變換（平移、軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、位似）外，還需要綜合

運(yùn)用代數(shù)、幾何知識(shí)對(duì)圖形進(jìn)行分析、計(jì)算、證明，以獲得重要的數(shù)據(jù)，輔助圖案設(shè)計(jì).

另外，由于折疊操作相當(dāng)于構(gòu)造軸對(duì)稱(chēng)變換，因此折疊問(wèn)題中，要充分利用軸對(duì)稱(chēng)變換的特性，以

獲得更多的圖形信息.必要時(shí)，實(shí)際動(dòng)手配合上理論分析比單純的理論分析更為快捷有效.

從歷年中考來(lái)看，動(dòng)態(tài)問(wèn)題經(jīng)常作為壓軸題目出現(xiàn)，得分率也是最低的.動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般分兩類(lèi)，一類(lèi)

是代數(shù)綜合題，在坐標(biāo)系中有動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)直線(xiàn)，一般是利用多種函數(shù)交叉求解.另一類(lèi)就是幾何綜合題，

在梯形，矩形，三角形中設(shè)立動(dòng)點(diǎn)、線(xiàn)以及整體平移翻轉(zhuǎn)，對(duì)考生的綜合分析能力進(jìn)行考查.所以說(shuō)，

動(dòng)態(tài)問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)當(dāng)中的重中之重，只有完全掌握，才有機(jī)會(huì)拼高分.

【方法點(diǎn)撥】

實(shí)踐操作問(wèn)題：

解答實(shí)踐操作題的關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、抽象、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，

揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題.解答實(shí)踐操作題的基本步驟為：從實(shí)例或?qū)嵨锍霭l(fā),

通過(guò)具體操作實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中可能存在的規(guī)律，提出問(wèn)題，檢驗(yàn)猜想.在解答過(guò)程中一般需要經(jīng)歷操作、

觀察、思考、想象、推理、探索、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、歸納等實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程，利用自己己有的生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)

知識(shí)去感知發(fā)生的現(xiàn)象，從而發(fā)現(xiàn)所得到的結(jié)論，進(jìn)而解決問(wèn)題.

動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題：

1、動(dòng)態(tài)幾何常見(jiàn)類(lèi)型

(1)點(diǎn)動(dòng)問(wèn)題(一個(gè)動(dòng)點(diǎn))

(2)線(xiàn)動(dòng)問(wèn)題(二個(gè)動(dòng)點(diǎn))

(3)面動(dòng)問(wèn)題(三個(gè)動(dòng)點(diǎn))

2、運(yùn)動(dòng)形式

平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動(dòng)

3、數(shù)學(xué)思想

函數(shù)思想、方程思想、分類(lèi)思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想

4、解題思路

(1)化動(dòng)為靜，動(dòng)中求靜

(2)建立聯(lián)系，計(jì)算說(shuō)明

(3)特殊探路，一般推證

【典型例題】

類(lèi)型一、圖形的折疊

.(2016?濟(jì)南)如圖1,在矩形紙片ABCD中，AB=8J5,AD=10,點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，將這張紙片依

次折疊兩次；第一次折疊紙片使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，如圖2,折痕為MN,連接ME、NE；第二次折疊紙片使

圖1圖2圖3

【思路點(diǎn)撥】

如圖2中，作NF_LCD于F.設(shè)DM=x,則AM=EM=10-x,利用勾股定理求出x,再利用△DMEs/\FEN,得

/L,求出EN,EM,求出tan/AMN,再證明NEIIG=/AMN即可解決問(wèn)題.

FNEN

【答案】45°.

【解析】

解：如圖2中，作NF_LCD于F.設(shè)DM=x,則AM=EM=10-x,

VDE=EC,AB=CD=8V3-

.?.DE當(dāng)D=4遂，

在RTADEM中,VDM2+DE2=EM2,

2+X2=(10-x)2,

解得x=2.6,

ADM=2.6,AM=EM=7.4,

VZDEM+ZNEF=90°,ZNEF+ZENF=90°,

AZDEM=ZENF,VZD=ZEFN=90°,

AADME^AFEN,

.DE=EM,

..麗EN，

圖2

.4G7.4

"^o-而，

.,.EN=3LV3，

6

.?.AN=EN=WL?,

6

.?.tanZAMN=M=_§.J3，

AM6

如圖3中,VME±EN,HG1EN,

NNME=NNHG,

圖3

VZNME=ZAMN,ZEHG=ZNHG,

ZAMN=ZEHG,

AtanZEHG=tanZAMN=-^J3，

6

故答案為春仃

【總結(jié)升華】

本題考查翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，證明

/AMN=/EHG是關(guān)鍵，屬于中考填空題中的壓軸題.

舉一反三：

【變式】如圖所示，已知四邊形紙片ABCD,現(xiàn)需將該紙片剪拼成一個(gè)與它面積相等的平行四邊形紙片，

如果限定裁剪線(xiàn)最多有兩條，能否做到：（用“能”或“不能”填空）.若填“能”，請(qǐng)確定裁

剪線(xiàn)的位置，并說(shuō)明拼接方法；若填“不能”，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.

A,

BC

【答案】

解：能.如圖所示，取四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)E,F,G,H,連接EG,FH,交點(diǎn)為0.

以EG,FH為裁剪線(xiàn),EG,FH將四邊形ABCD分成I,II,HLW四部分,拼接時(shí)圖中的I不動(dòng)，將

II,IV分別繞E,H旋轉(zhuǎn)180°,將川平移，拼成的四邊形OOQ2O3即為所求.沿CA方向平移，將點(diǎn)

C平移到點(diǎn)A位置.

類(lèi)型二、實(shí)踐操作

2.如圖，在等腰梯形ABCD中AB〃CD,AB=30,DC=&，高CE=2亞，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于H,平

行于線(xiàn)段BD的兩條直線(xiàn)MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊

于M、N和R、Q,分別交對(duì)角線(xiàn)AC于F、G；當(dāng)直線(xiàn)RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩直線(xiàn)同時(shí)停止移動(dòng).記等腰梯形

ABCD被直線(xiàn)MN掃過(guò)的面積為,被直線(xiàn)RQ掃過(guò)的面積為S2,若直線(xiàn)MN平移的速度為1單位/秒,直線(xiàn)

RQ平移的速度為2單位/秒,設(shè)兩直線(xiàn)移動(dòng)的時(shí)間為x秒.

(1)填空：ZAHB=；AC=；

⑵若S2=3S],求X；

(3)若S2=〃2，，求m的變化范圍.

【思路點(diǎn)撥】

(1)如例2圖-1所示,平移對(duì)角線(xiàn)DB,交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于P.則四邊形BPCD是平行四邊形,BD=PC,BP=DC

=JI.因?yàn)榈妊菪蜛BCD,AB〃CD,所以AC=BD.所以AC=PC.又高CE=2啦，AB=3四，所以AE=EP

=2J2.所以NAHB=90°AC=4；

DC

例溷-1

⑵直線(xiàn)移動(dòng)有兩種情況：0<x<23及3需要分類(lèi)討論.

22

①當(dāng)0<x<」時(shí)，有*=f9]=4.'S,#3sl

2$("J

②當(dāng)|?x<2時(shí)，先用含有x的代數(shù)式分別表示S.S2,然后由邑二

=35列出方程,解之可得x的值：

(3)分情況討論：

①當(dāng)0<時(shí)，m=—=4.

25,

②當(dāng)時(shí)，由S2=,得"二邑=&二一％)=_36(：一,)+4.然后討論這個(gè)函數(shù)

2E±x2\

的最值，確定m的變化范圍.

【答案與解析】

解：⑴90°,4；

33

(2)直線(xiàn)移動(dòng)有兩種情況：0＜九＜一和一

22

)當(dāng)0＜%＜一時(shí)，?.」識(shí)〃8口，.r.△AMN^AARQ,AANF^AAQG.

2

?(AdX2

S2W3S]

S]VAFJ

3

②當(dāng)—<x<2時(shí),如例2圖-2所不，

2

DRC

可

ANEB

例2圖-2

2x(^^}=8(2—x)2

CG=4—2x,CH=1,SABCD=-x4xl=2.S&CRQ=

\17

2,

2

S,=-x,S2=8-8(2-%)-

2

由S2=3S「得方程8—8(2—x)9-=3x-x2,

解得％舍去)，々=2.

.*.x=2.

3

(3)當(dāng)0<x<一時(shí),m=4

2

3

當(dāng)時(shí)，

2

8-8(2-xV3648f12丫

由S2=加5「得加=一——L=_:+竺_12=-36-------+4.

22XX3)

—X

3

131121

M是一的二次函數(shù)，當(dāng)一Wx?2時(shí)，即當(dāng)一《—W；二時(shí)，M隨上的增大而增大.

x22x3x

3

當(dāng)X=一時(shí),最大值m=4.當(dāng)x=2時(shí),最小值m=3.

2

???3Wm<4.

【總結(jié)升華】

本題是一道幾何代數(shù)綜合壓軸題,重點(diǎn)考查等腰梯形，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的增減性和最

值及分類(lèi)討論，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想等的綜合應(yīng)用.解題時(shí)，

(1)小題,通過(guò)平移對(duì)角線(xiàn)，將等腰梯形轉(zhuǎn)化為等腰三角形,從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化,是我們解決梯形問(wèn)題常

用的方法.

33

(2)小題直線(xiàn)移動(dòng)有兩種情況：0<x<一及一4x42,需要分類(lèi)討論.這點(diǎn)萬(wàn)不可忽略,解題時(shí)用到的

22

知識(shí)點(diǎn)主要是相似三角形面積比等于相似比的平方.

小題仍需要分情況討論.對(duì)于函數(shù)加+4,討論它的增減性和最值是個(gè)難點(diǎn).討論

之前點(diǎn)明我們把這個(gè)函數(shù)看作“M是'的二次函數(shù)”對(duì)順利作答至關(guān)重要.

X

C3.已知等邊三角形紙片ABC的邊長(zhǎng)為8,I)為AB邊上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作I)G〃BC交AC于點(diǎn)G,I)E±

BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)G作GFJ_BC于點(diǎn)F,把三角形紙片ABC分別沿DG、DE、GF按圖①所示方式折疊.點(diǎn)A、

B、C分別落在A'、B'、C'處.若點(diǎn)A'、B'、C'在矩形DEFG內(nèi)或其邊上.且互不重合，此時(shí)我們

稱(chēng)△A'B'C'(即圖中陰影部分)為“重疊三角形

(1)若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網(wǎng)格圖中(圖中每個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形),

點(diǎn)A、B、C、D恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上，如圖②所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)重疊三角形A'B'C'的面積;

(2)實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)AD的長(zhǎng)為m,若重疊三角形A'B'C'存在，試用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A'

B'C'的面積，并寫(xiě)出m的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果，備用圖供實(shí)驗(yàn)探究使用).

【思路點(diǎn)撥】

本題是折疊與對(duì)稱(chēng)類(lèi)型操作題，折疊實(shí)質(zhì)為對(duì)稱(chēng)變換，故軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)運(yùn)用是解本類(lèi)型題的關(guān)

鍵.另外，本題對(duì)新概念“重疊三角形”的理解正確才能求得m的取值范圍.

【答案與解析】

解：(1)重疊三角形A'B'C'的面積為6.

理由：如題圖，AA'B'C'是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

???其高為6,面積為L(zhǎng)x2x6=g.

2

(2)用含m的代數(shù)式表示重疊三角形A'B，C’的面積為6(4-〃?)2,m的取值范圍是§Wm<4.

3

理由：如圖(1),AD=m,貝UBD=GC=8-m,

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知DB'=DB=8-m.DA'=DA=m.

‘A'B'=DB'-DA'=8-m—m=2(4-m),

由AABC是等邊三角形及折疊過(guò)程知AA'B'C'是等邊三角形.

它的高是x2(4—in)=,\/3(4—ni).

S,^,B,C=5x2(4—in)x>J3(4—tn)-^3(4—tn)~.

以下求m的取值范圍：

如圖(1),若B'與F重合，則C'與E重合.

由折疊過(guò)程知BE=EB'=EF.

s.“8

CPPF=FC=FpEr...RBrE=rEPF=FC=-.

3

VZB=60°，BD=2BE=—,

3

AD=8--=—,即"？=§.

333

8

若機(jī)＜一，如圖(2),點(diǎn)B'、C'落在矩形DEFG外，不合題意.

3

,8

??ntN—.

3

又由又B'=2(4-m)>0,得mV4.

o

.??m的取值范圍是根<4.

3

【總結(jié)升華】親自操作實(shí)驗(yàn)有助于突破難點(diǎn).

舉一反三：

【變式】閱讀下面問(wèn)題的解決過(guò)程：

問(wèn)題：已知aABC中，P為BC邊上一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作一直線(xiàn)，使其等分aABC的面積.

解決：情形1：如圖①，若點(diǎn)P恰為BC的中點(diǎn)，作直線(xiàn)AP即可.

情形2：如圖②，若點(diǎn)P不是BC的中點(diǎn)，則取BC的中點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)AP,過(guò)點(diǎn)D作DE〃AP交AC于

E,作直線(xiàn)PE,直線(xiàn)PE即為所求直線(xiàn).

問(wèn)題解決：

如圖③，已知四邊形ABCD,過(guò)點(diǎn)B作一直線(xiàn)(不必寫(xiě)作法)，使其等分四邊形ABCD的面積，并證明.

B

圖③

【答案】

解：如圖③，取對(duì)角線(xiàn)4C的中點(diǎn)0,聯(lián)結(jié)BO、DO、BD,

過(guò)點(diǎn)。作0E〃即交切于E,

直線(xiàn)原即為所求直線(xiàn)

類(lèi)型三、動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)問(wèn)題

如圖①，有一張矩形紙片，將它沿對(duì)角線(xiàn)AC剪開(kāi)，得到4ACD和AA'BC'.

(1)如圖②，將4ACD沿A'C'邊向上平移，使點(diǎn)A與點(diǎn)C'重合，連接A'D和BC,四邊形A，BCD是

形；

(2)如圖③，將4ACD的頂點(diǎn)A與A'點(diǎn)重合，然后繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A、B在同一直

線(xiàn)上，則旋轉(zhuǎn)角為度；連接CC',四邊形CDBC'是形；

(3)如圖④，將AC邊與A'C'邊重合，并使頂點(diǎn)B和D在AC邊的同一側(cè)，設(shè)AB、CD相交于E,連接

BD,四邊形ADBC是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)利用平行四邊形的判定，對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可；(2)利用旋轉(zhuǎn)變換的

性質(zhì)以及直角梯形判定得出即可；(3)利用等腰梯形的判定方法得出BD〃AC,AD=CE,即可得出答案.

【答案與解析】

解：(1)平行四邊形；

證明:VAD=AB,AA'=AC,:.A'C與BD互相平分，

四邊形A'BCD是平行四邊形；

(2)：DA由垂直于AB,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D、A、B在同一直線(xiàn)上,

.??旋轉(zhuǎn)角為90度;

證明：VZD=ZB=90°,A,D,B在一條直線(xiàn)上，

...CD〃BC',...四邊形CDBC'是直角梯形；

故答案為：90,直角梯；

(3)四邊形ADBC是等腰梯形；

證明：過(guò)點(diǎn)B作BMLAC,過(guò)點(diǎn)D作DNLAC,垂足分別為M,N,

?有一張矩形紙片，將它沿對(duì)角線(xiàn)AC剪開(kāi)，得到4ACD和AA'BCr..,.△ACD^AA,BC',

；.BM=ND,ABD/7AC,

?；AD=BC,四邊形ADBC是等腰梯形.

【總結(jié)升華】

此題主要考查了圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識(shí),

熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】(秋?莘縣期末)如圖，^ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,2),B(4,0),C(6,4)以原點(diǎn)

為位似中心，將4ABC縮小，位似比為1：2,則線(xiàn)段AC中點(diǎn)P變換后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為

【答案】（2，3）或（-2,3--）.

22

【解析】

解：如圖，；A(2,2),C(6,4),

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,3）,

V以原點(diǎn)為位似中心將△ABC縮小位似比為1：2,

線(xiàn)段AC的中點(diǎn)P變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,-心）或（2,心）.

22

故答案為：（2,至）或（-2,

22

5.如圖①,在梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=60°,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以lcm/s的速度沿著A-B-C^D

的方向不停移動(dòng)，直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后才停止.已知aPAD的面積S（單位：cm?）與點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間（單

秒（結(jié)果保留根號(hào)）.

根據(jù)圖②判斷出AB、BC的長(zhǎng)度,過(guò)點(diǎn)B作BELAD于點(diǎn)E,然后求出梯形ABCD的高BE,再根據(jù)t=2

時(shí)4PAD的面積求出AD的長(zhǎng)度，過(guò)點(diǎn)C作CFLAD于點(diǎn)F,然后求出DF的長(zhǎng)度，利用勾股定理列式求出

CD的長(zhǎng)度，然后求出AB、BC、CD的和，再根據(jù)時(shí)間=路程+速度，計(jì)算即可得解.

【答案】(4+273).

【解析】

解：由圖②可知，t在2到4秒時(shí)，4PAD的面積不發(fā)生變化，

...在AB上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是2秒，在BC上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是4-2=2秒，

???動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是lcm/s,

，AB=2cm,BC=2cm,

過(guò)點(diǎn)B作BE1AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CF±AD于點(diǎn)F,

則四邊形BCFE是矩形，

BE=CF,BC=EF=2cm,

VZA=60°,

.".BE=ABsin600=2X??,

2

AE=ABcos600=2X_1=1,

2

...工XADXBE=3?,

2

BplxADXJ3=3A/3，

2

解得AD=6cm,

:.DF=AD-AE-EF=6-l-2=3,

在RtACDF中，CD=^Qp24.j)jr2+32=2V3>

所以，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路程為AB+BC+CD=2+2+2后4+2?,

???動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是lcm/s,

...點(diǎn)P從開(kāi)始移動(dòng)到停止移動(dòng)一共用了(4+273)+1=4+2F(秒).

故答案為：(4+2A/3)-

【總結(jié)升華】

本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，根據(jù)圖②的三角形的面積的變化情況判斷出AB、BC的長(zhǎng)度是解題

的關(guān)鍵，在梯形的問(wèn)題中，作過(guò)梯形的上底邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的高線(xiàn)是常見(jiàn)的輔助線(xiàn).

第三十二講動(dòng)手操作與運(yùn)動(dòng)變換型問(wèn)題

一、選擇題

1.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒0cm的速度向終點(diǎn)

B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，將△PQC沿BC翻折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為點(diǎn)P'.設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t秒，若四邊形QPCP為菱形，則t的值為（）.

A.V2B.2C.272D.3

2.如圖，AB是。。的直徑，弦BC=2cm,F是弦BC的中點(diǎn)，NABC=60°.若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A

點(diǎn)出發(fā)沿著A-B-A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0<t<3）,連接EF,當(dāng)ABEF是直角三角形時(shí)，t

779

C.一或1D.一或1或一

第1題圖

3.（?盤(pán)錦）如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A-D-C-B的路徑向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，

另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)aAMN的面積為s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則能大致反映s與t的函數(shù)關(guān)系的

圖象是（）.

二、填空題

4.如圖，已知點(diǎn)力（0,2）、6（26，2）、C（0,4）,過(guò)點(diǎn)C向右作平行于x軸的射線(xiàn)，點(diǎn)。是射線(xiàn)上的動(dòng)

點(diǎn),連結(jié)AP,以/尸為邊在其左側(cè)作等邊△/四，連結(jié)PB、BA.若四邊形如閣為梯形,則（1）當(dāng)為梯形

的底時(shí)，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是;（2）當(dāng)四為梯形的腰時(shí),點(diǎn)？的橫坐標(biāo)是.

（第4題圖）

5.如圖，矩形紙片/及力，/廬2,點(diǎn)￡在加上，且出C.若將紙片沿/￡折疊，點(diǎn)8恰好落在上,

貝I]的長(zhǎng)是.

第5題

6.（2016?東河區(qū)二模）如圖，正方形ABCD中，AB=6,點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE.將AADE沿AE對(duì)

折至AAFE,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF.下列結(jié)論：①aAlJG也AAFG；②BG=GC；③AG〃CF；

@SAFGC-3.其中正確結(jié)論的是.

三、解答題

7.如圖所示是規(guī)格為8義8的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)?jiān)谒o網(wǎng)格中，按下列要求操作:

(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，使A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,4),B點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,2)；

(2)在第二象限內(nèi)的格點(diǎn)上畫(huà)一點(diǎn)C,使點(diǎn)C與線(xiàn)段AB組成一個(gè)以AB為底的等腰三角形，且腰長(zhǎng)是

無(wú)理數(shù)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)是，AABC的周長(zhǎng)是(結(jié)果保留根號(hào))；

(3)畫(huà)出aABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)180°后的AA'B'C,連接AB'和A'B,試說(shuō)出四邊形

是何特殊四邊形，并說(shuō)明理由.

8.(1)觀察與發(fā)現(xiàn)

小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD,展平紙片

(如圖①)；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF,展平紙片后得到4AEF(如圖②).小

明認(rèn)為4AEF是等腰三角形，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)實(shí)踐與運(yùn)用

將矩形紙片ABCD沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，折痕為BE(如圖③)；再沿過(guò)

點(diǎn)E的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)D落在BE上的點(diǎn)D'處，折痕為EG(如圖④)；再展平紙片(如圖⑤).求圖⑤中

Za的大小.

③④⑤

9.如圖(1),已知AABC中，AB=BC=1,ZABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)

D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE,長(zhǎng)直角邊為DF),將直角三角形板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn).

⑴在圖⑴中,DE交AB于M,DF交BC于N.

①證明：DM=ND；

②在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直角三角板DEF與aABC的重疊部分為四邊形DMBN,請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的

面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的；若不發(fā)生變化，求出其面積；

(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖⑵所示的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M,延長(zhǎng)BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立？

若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖(3)所示的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N,延長(zhǎng)ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?

若成立，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論，不用證明.

(2)

10.(2016?綿陽(yáng))如圖，以菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)

分別為(-2、而，0)、(0,-娓),直線(xiàn)DELDC交AC于E,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速

度沿著A-D-C的路線(xiàn)向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)4PDE的面積為S(SW0),點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)求直線(xiàn)DE的解析式；

(2)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，ZEPD+ZDCB=900?并求出此時(shí)直線(xiàn)BP與直線(xiàn)AC所夾銳角的正切值.

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】B；

【解析】連接PP'交BC于點(diǎn)D,若四邊形QPCP為菱形，則PP'±BC,CD=-CQ=-(6-t),

22

ABD=6--(6-t)=3+L.在RtZ\BPD中，PB=AB-AP=6正-&t,而PB=V^BD,

22

6y/2-5/2t=5/2(3+—t)，解得：t=2,故選B.

2

2.【答案】D；

【解析】；AB是。0的直徑，.?./ACB=90°；RtAABCBC=2,ZABC=60°；

.?.AB=2BC=4cm.①當(dāng)NBFE=90°時(shí)；RtZ\BEF中，ZABC=60°,

則BE=2BF=2cm；故此時(shí)AE=AB-BE=2cm；點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：2cm或6cm,

故t=ls或3s；由于0Wt<3,故t=3s不合題意，舍去；所以當(dāng)/BFE=90°時(shí)，t=ls；②當(dāng)/BEF=90°

時(shí);同①可求得BE=O.5cm,此時(shí)AE=AB-BE=3.5cm；AE點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為：3.5cm或4.5cm,故t=l.75s

或2.25s；綜上所述，當(dāng)t的值為1、1.75或2.25s時(shí)，^BEF是直角三角形.故選D.

3.【答案】D.

【解析】(1)如圖1,

當(dāng)點(diǎn)N在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

S=1AM?AN=1XtX3t=紀(jì)

(2)如圖2,

當(dāng)點(diǎn)N在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí),

s=L\l?AD=tX.

當(dāng)點(diǎn)N在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),

s=lAM?BN=lxtX(3-3t)=-Et'Vt

2222

綜上可得，能大致反映s與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是選項(xiàng)D中的圖象.故選：D.

二、填空題

4.【答案】(1)—V3；(2)0,2-\/3;

3

【解析】(1)由題意知，當(dāng)AB為梯形的底時(shí)，AB〃PQ,即PQJ_y軸，又AAPQ為等邊三角形，AC=2,

由幾何關(guān)系知，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是2g.(2)當(dāng)A?為梯形的腰時(shí)，當(dāng)PB〃y軸時(shí)，滿(mǎn)足題意，此時(shí)AQ=4,

3

【解析】由折疊可知NBAE=NCAE,因?yàn)锳E=EC所以NCAE=NACE,所以NBAE=NCAE=NACE,

三角的和為90°,所以/ACE=30°,所以AC=2AB=4.

6.【答案】①②③.

【解析】①正確.因?yàn)锳B=AD=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90°,AAABG^AAFG；

②正確.因?yàn)椋篍F=DE=&D=2,設(shè)BG=FG=X,則CG=6-X.在直角aECG中，

3

根據(jù)勾股定理,得(6-x)2+42=(x+2)解得x=3.所以BG=3=6-3=GC；

③正確.因?yàn)镃G=BG=GF,所以AFGC是等腰三角形，ZGFC=ZGCF.

又NAGB=/AGF,ZAGB+ZAGF=1800-ZFGC=ZGFC+ZGCF,

ZAGB=ZAGF=ZGFC=ZGCF,，AG〃CF；

④錯(cuò)誤.過(guò)F作FH_LDC,VBC±DH,：.FH〃GC,AAEFH^AEGC,二型=皮,

GCEG

EF=DE=2,GF=3,，EG=5,.,.△EFH^AEGC,二相似比為：型=巫=2,

GCEG5

SAFGC=SACCE-SAFEc=ix3X4-4X(2x3)=致23.

2255

故答案為：①②③.

三、解答題

7.【答案與解析】

(1)如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系.

⑵如圖畫(huà)出點(diǎn)C,C(-l,1).ZXABC的周長(zhǎng)是2夜+2W.

⑶如圖畫(huà)出aA'B'C,四邊形ABA'B'是矩形.

理由:：CA=CA',CB=CB',

四邊形ABA'B'是平行四邊形.

又：CA=CB,

.*.CA=CA,=CB=CB(.

：.卜卜'=BB'.

.??四邊形ABA'B'是矩形.

8.【答案與解析】

解：（1）同意.

如圖所示，設(shè)AD與EF交于點(diǎn)G.

由折疊知，AD平分/BAC,所以NBAD=/CAD.

又由折疊知，ZAGE=ZAGF=90°,

所以NAEF=/AFE,

所以AE=AF,即AAEF為等腰三角形.

（2）由折疊知，四邊形ABFE是正方形/AEB=45°,

所以NBED=135°.

又由折疊知，ZBEG-ZDEG,

所以NDEG=67.5°.

從而/a=90°-67.5°=22.5°.

9.【答案與解析】

解：⑴①連接DB,禾I」用△BMD絲4CND或△ADMsaBDN即可證明DM=DN.

②由△BMDgZ\CND知，S^BMD=S&CND，

S四邊形DMBN=S&DBN+S4DMB=S&DBN+SADNC=耳[

即在直角三角板DEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形DMBN的面積始終等于工，不發(fā)生變化.

4

(1)(2)(3)

⑵連接DB,由空Z(yǔ)XCND可證明DM=DN,即DM=DN仍然成立.

（3）連接DB.由AByD之△CND,可證明DM=ND仍成立.

10.【答案與解析】

解：由菱形的對(duì)稱(chēng)性可得，C（2加，0）,D（0,娓）,

/.OD=^/5?0C=2j^,tanNDCO=更LJ_,

OC2

VDE±DC,

AZED0+ZCD0=90°,

VZDC0+ZCDZ=90°,

AZEDO=ZDCO