高中數(shù)學選擇性必修3課件：7 4 2 超幾何分布(人教A版)

7.4.2超幾何分布課標要求素養(yǎng)要求1.通過具體實例，了解超幾何分布及其均值.2.能用超幾何分布解決簡單的實際問題.通過本節(jié)課的學習，提升數(shù)學抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).新知探究2020年春節(jié)前一場新型冠狀病毒肺炎像場風一樣，席卷了全國，中國湖北成為重災區(qū)，為了更好地支援湖北抗擊疫情，某醫(yī)院派出16名護士，4名內科醫(yī)生組成支援隊伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去黃岡支援，設X表示其中內科醫(yī)生的人數(shù)．問題X的可能取值有哪些，你能求出當X＝2時對應的概率嗎？這里的X的概率分布有怎樣的規(guī)律？1．超幾何分布超幾何分布模型是一種不放回抽樣一般地，假設一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為

其中n，N，M∈N*

，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布．2．超幾何分布的期望拓展深化[微判斷]1．超幾何分布的總體里只有兩類物品．

(

)2．超幾何分布的模型是不放回抽樣．

(

)3．超幾何分布與二項分布的期望值都為np. (

)√√√[微訓練]1．設袋中有80個紅球、20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為(

)2．在含有5名男生的100名學生中，任選3人，求恰有2名男生的概率表達式為______．2．在含有5名男生的100名學生中，任選3人，求恰有2名男生的概率表達式為______．[微思考]

超幾何分布模型在形式上有怎樣的特點？

提示

在形式上適合超幾何分布的模型常由較明顯的兩部分組成，如“男生、女生”，“正品、次品”等．題型一利用超幾何分布的公式求概率【例1】在元旦晚會上，數(shù)學老師設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同，從中任意摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率(結果保留兩位小數(shù))．

解設摸出紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中獎的概率為P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)規(guī)律方法超幾何分布是一種常見的隨機變量的分布，所求概率分布問題由明顯的兩部分組成，或可轉化為明顯的兩部分.【訓練1】某小組共有10名學生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當選的概率為(

)題型二超幾何分布的分布列【例2】某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓．由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊． (1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率； (2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．題型二超幾何分布的分布列【例2】某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓．由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊． (1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率； (2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．解(1)由題意知，參加集訓的男生、女生各有6人．(2)根據(jù)題意，知X的所有可能取值為1，2，3.規(guī)律方法解決超幾何分布問題的兩個關鍵點(1)超幾何分布是概率分布的一種形式，一定要注意公式中字母的范圍及其意義，解決問題時可以直接利用公式求解，但不能機械地記憶．(2)超幾何分布中，只要知道M，N，n就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，從而求出X的分布列．【訓練2】從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項公益活動． (1)求所選3人中恰有一名男生的概率； (2)求所選3人中男生人數(shù)X的分布列．∴X的分布列為題型三超幾何分布的綜合應用【例3】某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)． (1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率； (2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及期望．所以隨機變量X的分布列是二、素養(yǎng)訓練1．今有電子元件50個，其中一級品45個，二級品5個，從中任取3個，則出現(xiàn)二級品的概率為(

)答案C3．從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學競賽，則所選3人中，女生的人數(shù)不超過1人的概率為__________．

解析設所選女生數(shù)為隨機變量X，X服從超幾何分布，4．從含有5個紅球和3個白球的袋中任取3球，則所取出的3個球中恰有1個紅球的概率為__________．5．交5元錢，可以參加一次摸獎，一袋中有同樣大小的球10個，其中8個標有1元錢，2個標有5元錢，若摸獎者只能從中任取2個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎人所得錢數(shù)的分布列．

解設抽獎人所得錢數(shù)為隨機變量X，則X＝2，6，10.故X的分布列為備用工具&資料5．交5元錢，可以參加一次摸獎，一袋中有同樣大小的球10個，其中8個標有1元錢，2個標有5元錢，若摸獎者只能從中任取2個球，他所得獎勵是所抽2球的錢數(shù)之和，求抽獎人所得錢數(shù)的分布列．

解設抽獎人所得錢數(shù)為隨機變量X，則X＝2，6，10.3．從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學競賽，則所選3人中，女生的人數(shù)不超過1人的概率為__________．

解析設所選女生數(shù)為隨機變量X，X服從超幾何分布，題型二超幾何分布的分布列【例2】某市A，B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦了3名男生、2名女生，B中學推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學生一起參加集訓．由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人、女生中隨機抽取3人組成代表隊． (1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率； (2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列．題型一利用超幾何分布的公式求概率【例1】在元旦晚會上，數(shù)學老師設計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同，從中任意摸出5個球，至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率(結果保留兩位小數(shù))．

解設摸出紅球的個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中N＝30，M＝10，n＝5，于是中獎的概率為

其中n，N，M∈N*

，M≤N