高中數(shù)學(xué)選擇性必修一課件2：3 3 1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(人教版)

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.拋物線的定義(1)文字語言：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離_____的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語言：P={M||MF|=d}.必備知識·素養(yǎng)奠基相等思考定義中為什么要求直線l不經(jīng)過點F？提示：當(dāng)直線l經(jīng)過點F時，點的軌跡是過點F且垂直于直線l的一條直線，而不是拋物線.2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程由于拋物線焦點位置不同，方程也就不同，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下幾種形式：y2=2px(p>0)，y2=-2px(p>0)，x2=2py(p>0)，x2=-2py(p>0).現(xiàn)將這四種拋物線對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下：標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形

焦點坐標(biāo)

準(zhǔn)線方程x=____x=y=_____y=p的幾何意義___________的距離焦點到準(zhǔn)線思考二次函數(shù)的圖象也是拋物線，與本節(jié)所學(xué)拋物線相同嗎？提示：不完全相同.當(dāng)拋物線的開口向上或向下時可以看作是二次函數(shù)的圖象，當(dāng)開口向左或向右時不能看作二次函數(shù)的圖象.素養(yǎng)小測1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)拋物線的方程都是二次函數(shù). (

)(2)準(zhǔn)線方程為y=4的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-16y.(

)(3)拋物線的開口方向由一次項確定. (

)提示：(1)×.當(dāng)拋物線是開口向上或向下時，該曲線也是二次函數(shù)的圖象；當(dāng)拋物線是開口向右或向左時，該曲線不是二次函數(shù)的圖象.(2)√.由題意可設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0)，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為y==4，所以p=8，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-16y.(3)√.一次項決定焦點所在的坐標(biāo)軸，一次項系數(shù)的正負(fù)決定焦點是在正半軸或負(fù)半軸上，故該說法正確.提示：(1)×.當(dāng)拋物線是開口向上或向下時，該曲線也是二次函數(shù)的圖象；當(dāng)拋物線是開口向右或向左時，該曲線不是二次函數(shù)的圖象.(2)√.由題意可設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0)，因為拋物線的準(zhǔn)線方程為y==4，所以p=8，所以該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-16y.(3)√.一次項決定焦點所在的坐標(biāo)軸，一次項系數(shù)的正負(fù)決定焦點是在正半軸或負(fù)半軸上，故該說法正確.

3.已知動點M(x，y)到定點(2，0)的距離比到直線x=-3的距離少1，則動點M的軌跡方程為

.

【解析】因為動點M(x，y)到定點(2，0)的距離比到直線x=-3的距離少1，所以動點M(x，y)到定點(2，0)的距離與到直線x=-2的距離相等.根據(jù)拋物線的定義可知：動點M的軌跡是拋物線，其方程為y2=8x.

【答案】y2=8x關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例】1.頂點在原點,準(zhǔn)線與y軸垂直，且經(jīng)過點(,-1)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (

)

A.y2=-2x

B.y2=2x

C.x2=2y

D.x2=-2y【解析】因為拋物線頂點在原點，準(zhǔn)線與y軸垂直，且經(jīng)過點(，-1)，所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py，p>0,把點(，-1)代入，得2=2p，解得p=1，所以拋物線方程為x2=-2y.【答案】D關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2.求焦點在直線x-2y-4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程2.求焦點在直線x-2y-4=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：當(dāng)焦點在y軸上時，已知方程x-2y-4=0,令x=0，得y=-2，所以所求拋物線的焦點為(0，-2)，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0)，由-=-2，得2p=8,所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y；當(dāng)焦點在x軸上時，已知x-2y-4=0，令y=0，得x=4，所以拋物線的焦點為(4，0)，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，由=4，得2p=16，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x.綜上，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-8y或y2=16x.類題·通法拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法(1)定義法：建立適當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出方程，進行化簡，根據(jù)定義求出p，最后寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)待定系數(shù)法：由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，因而在求方程時應(yīng)首先確定焦點在哪一個半軸上，進而確定方程的形式，然后再利用已知條件確定p的值.習(xí)練·突破根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點;(2)拋物線的焦點F在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點A，|AF|=5.

類型二拋物線的定義及其應(yīng)用【典例】1.動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必過定點 (

)

A.(4，0)

B.(2，0)

C.(0，2)

D.(0，-2)【解析】

因為圓心到直線x+2=0的距離等于到拋物線焦點的距離，所以定點為(2，0).【答案】B類型二拋物線的定義及其應(yīng)用【典例】2.已知動圓過點(1，0)，且與直線x=-1相切，則動圓的圓心的軌跡是

.

【解析】設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與其到直線x=-1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡是拋物線.【答案】拋物線內(nèi)化·悟拋物線的定義可以理解為“一動三定”什么意思?提示：拋物線的定義可歸為“一動三定”，即“一個動點M”“一個定點F”“一條定直線l”“一個定值”.其中“定點”為拋物線的焦點,“定直線”為拋物線的準(zhǔn)線，“定值”指動點M到定點F的距離與它到定直線l(準(zhǔn)線)的距離之比等于1.類題·通法拋物線的判斷方法(1)定義判斷：可以看動點是否符合拋物線的定義，即到定點的距離等于到定直線(直線不過定點)的距離.(2)方程判斷：求出動點的軌跡方程，看方程是否符合拋物線的方程.習(xí)練·突破1.若點P到點F(4，0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則P點的軌跡方程是 (

)A.y2=-16x

B.y2=-32xC.y2=16x

D.y2=32

3.拋物線x2=4y上的點P到焦點的距離是10，則P點的坐標(biāo)為

.

【解析】設(shè)點P(x0，y0)，由拋物線方程x2=4y，知焦點坐標(biāo)為(0，1)，準(zhǔn)線方程為y=-1，由拋物線的定義，得|PF|=y0+1=10，所以y0=9，代入拋物線方程得x0=±6.

【答案】(6，9)或(-6，9)類型三拋物線的實際應(yīng)用【典例】河上有一拋物線形拱橋,當(dāng)水面距拱橋頂5m時，水面寬為8m，一小船寬4m，高2m，載貨后船露出水面上的部分高0.75m，問：水面上漲到與拋物線拱橋拱頂相距多少米時，小船開始不能通航?

內(nèi)化·悟解決拋物線的實際應(yīng)用的關(guān)鍵是什么？提示：拋物線應(yīng)用題的解題關(guān)鍵：把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)學(xué)語言(文字、符號、圖形、字母等)表達、分析、解決問題.類題·通法拋物線應(yīng)用題的解法建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為一條坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系.這樣可使得標(biāo)準(zhǔn)方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應(yīng)用.習(xí)練·破如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點處,容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐.已知鏡口圓的直徑為12米，鏡深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作點，求每根鐵筋的長度為多少米.解：如圖，在反光鏡的軸截面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使反光鏡的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，x軸垂直于鏡口直徑.由已知，得A點坐標(biāo)是(2，6)，設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，則36=2p×2，p=9.所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=18x，焦點坐標(biāo)是F.因為盛水和食物的容器在焦點處,所以A，F(xiàn)兩點間的距離即為每根鐵筋長.|AF|==6.5，故每根鐵筋的長度是6.5米.課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)1.對拋物線x2=4y，下列描述正確的是 (

)

A.開口向上，焦點為(0,1)B.開口向上，焦點為C.開口向右，焦點為(1,0)D.開口向右，焦點為【解析】拋物線x2=4y開口向上，焦點為(0，1).【答案】A

【答案】B

【答案】A4.如圖所示，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py(p>0)上.求拋物線E的方程.解：依題意，|OB|=8，∠BOy=30°.設(shè)B(x，y)，則x=|OB|sin30°=4，y=|OB|cos30°=12.因為點B(4，12)在x2=2py上，所以(4)2=2p×12，解得p=2.故拋物線E的方程為x2=4y.

備用工具&資料4.如圖所示，等邊三角形OAB的邊長為8，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py(p>0)上.求拋物線E的方程.

1.拋物線的定義(1)文字語言：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離_____的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.(2)集合語言：P={M||MF|=d}.必備知識·素養(yǎng)奠基相等2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程由于拋物線焦點位置不同，方程也就不同，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有以下幾種形式：y2=2px(p>0)，y2=-2px(p>0)，x2=2py(p>0)，x2=-2py(p>0).現(xiàn)將這四種拋物線對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形、焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程列表如下：思考二次函數(shù)的圖象也是