偏微分方程數(shù)值解3

雙曲型方程的差分解法

一階線性雙曲型方程最簡(jiǎn)單的形式為（10.4.1)當(dāng)給定初始條件(10.4.2)以后，容易驗(yàn)證，雙曲型方程(10.4.1)的解為：(10.4.3)也就是說，在平面

xt上，沿著（k

是常數(shù)）

這樣的直線，u的值保持不變。這種直線叫做特征線。0xta>00xta<0這是個(gè)單向的傳播波，a>0時(shí)，波形

（x）沿x軸方向傳播，為右傳播波，a<0時(shí)，為左傳播波，在傳播過程中，波形均不發(fā)生變化。在物理上常見的雙曲型偏微分方程最簡(jiǎn)單模型是波動(dòng)方程其中，如果引進(jìn)變量則得到與波動(dòng)方程等價(jià)的方程組(10.4.4)(10.4.6)(10.4.5)10.4.1矩形網(wǎng)格用兩組平行直線族xj=jh,

tn=n

(j=0,

1,…，n=0，1,2…)構(gòu)成的矩形網(wǎng)覆蓋了xt平面，網(wǎng)格點(diǎn)（xj,tn）稱為結(jié)點(diǎn)，簡(jiǎn)記為（j,n），h、

為常數(shù)，分別稱為空間步長(zhǎng)及時(shí)間步長(zhǎng)，或稱h為沿x方向的步長(zhǎng)，稱

為沿t方向的步長(zhǎng)，，N為正整數(shù)。在t=0上的結(jié)點(diǎn)稱為邊界結(jié)點(diǎn)，其余所有屬于

內(nèi)的結(jié)點(diǎn)稱為內(nèi)部結(jié)點(diǎn)。txoh

(xj,tn)a）迎風(fēng)格式

ut(xj,tn)用向前差商代替，ux（xj,tn）用向前或向后差商代替，得10.4.2一階雙曲方程的差分法或令r=

/h，得截?cái)嗾`差均為節(jié)點(diǎn)分布圖：

*

***

（j,n）(10.4.7)(10.4.8)穩(wěn)定性的討論：令代入（10.4.7）得傳播因子當(dāng)a>0時(shí)，恒有，格式（10.4.7）不穩(wěn)定；當(dāng)a<0且ar

1時(shí)，，格式（10.4.7）穩(wěn)定。

格式（10.4.8）在a<0時(shí)不穩(wěn)定，在a>0且ar

1時(shí)穩(wěn)定。

將迎風(fēng)格式寫為統(tǒng)一形式：穩(wěn)定性條件為：(10.4.9)b)Lax-Friedrichs格式該格式構(gòu)造于1954年，用到

的技巧，截?cái)嗾`差為：節(jié)點(diǎn)分布圖：

*

***

（j,n）(10.4.10)傳播因子時(shí)穩(wěn)定。當(dāng)

時(shí)，，即格式（10.4.10）在c）Lax-Wendroff格式截?cái)嗾`差為節(jié)點(diǎn)分布圖：

*

***

（j,n）傳播因子當(dāng)時(shí)有，即格式在條件下穩(wěn)定。d）古典隱式格式ut用向后差商代替，ux用中心差商代替得截?cái)嗾`差為：傳播因子：對(duì)任意的網(wǎng)格比，均有，故古典隱格式絕對(duì)穩(wěn)定。e）Grank-Nicholson格式在（）處展開，由及中心差商以式而得到：截?cái)嗾`差為：絕對(duì)穩(wěn)定10.4.3二階雙曲型方程的差分格式直接構(gòu)造方程的差分格式utt,uxx均用中心差商代替之，得其中網(wǎng)格比:截?cái)嗾`差b）隱格式利用關(guān)系可得三層隱式格式：截?cái)嗾`差:絕對(duì)穩(wěn)定期末考試上機(jī)實(shí)習(xí):1.

列主元高斯消元法解方程組Ax=b2.

平方根法解方程組Ax=b3.

雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法解方程組Ax=b4.

乘冪法求矩陣A的最大特征值和特征向量

6.

樣條函數(shù)方法8.

龍貝格積分7.

最小二乘法（Excel）9.

龍格-庫塔方法5.

雅可比方法求矩陣A的全部特征值和特征向量

(可用軟件做)期末考試筆試題：2.第二章非線性方程求根：二分法、迭代法、牛頓法和弦截法要求：根的存在，公式，收斂性定理，收斂條件的判別3.第三章解線性方程組的直接法：掌握Gauss消元法進(jìn)行到底的條件，矩陣三角分解定理的條件和結(jié)論，向量和矩陣的范數(shù)，方程組的條件數(shù)與病態(tài)方程組的求解4.第四章解線性方程組的迭代法：雅可比迭代法，高斯-賽德爾迭代法；要求：求解公式，收斂條件。1.概念題和思考題5.函數(shù)插值：拉格朗日插值，牛頓插值，埃米爾特插值要求：插值公式，余項(xiàng)公式6.數(shù)值積分：插值型求積公式（矩形、梯形、辛普生、龍貝格）。公式和誤差，代數(shù)精確度的概念。7.