第4章 第6課時　函數(shù)y＝A sin (ωx＋φ)-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第6課時函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)[考試要求]1．結(jié)合具體實(shí)例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的實(shí)際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.2．會用三角函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題，體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型．1．簡諧運(yùn)動的有關(guān)概念已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期頻率相位初相AT＝2f＝1T＝ωx＋φφ2．用“五點(diǎn)法”畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點(diǎn)ωx＋φ0ππ32πx－φππ32y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03．函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種途徑提醒：兩種變換的區(qū)別①先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位長度；②先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是φω(ω[常用結(jié)論]1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”．2．函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象的對稱軸是直線x＝kπω+π2ω?φω(k∈一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值為A，最小值為－A． ()(2)y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，把橫坐標(biāo)縮短為原來的12，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sinx2．(3)將y＝3sin2x的圖象向左平移π4個單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是y＝3sin2x+π(4)如果函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為T，那么函數(shù)圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為T2． [答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第一冊P254復(fù)習(xí)參考題5T10改編)y＝2sin12A．2，4π，π3 B．2，C．2，14π，－π3C[由題意知A＝2，f＝1T＝ω2π＝12．(人教A版必修第一冊P239練習(xí)T2改編)為了得到函數(shù)y＝2sin2x?π3的圖象，可以將函數(shù)y＝2sin2A．向右平移π6B．向右平移π3C．向左平移π6D．向左平移π3A[y＝2sin2x?π3＝2sin3．(人教A版必修第一冊P240習(xí)題5.6T1改編)為了得到y(tǒng)＝3cos3x+π8的圖象，只需把yA．縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍，橫坐標(biāo)不變B．橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)縮短到原來的13D．橫坐標(biāo)縮短到原來的13D[因?yàn)樽儞Q前后，兩個函數(shù)的初相相同，所以只需把y＝3cosx+π8圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的13，即可得到函數(shù)4．(人教A版必修第一冊P245例1改編)如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B，A＞0，ω＞0，0<φ<π，則這段曲線的函數(shù)解析式為________．y＝5sinπ8x+3π4＋10，x∈[6，14][從題圖中可以看出，從6～14時的圖象是函數(shù)y＝Asin(ωx所以A＝12×(15－5)＝5，B＝12×又12×2πω又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，0<φ<π，所以φ＝3π4，所以y＝5sinπ8點(diǎn)撥：A＝y(tǒng)max?ymin2，考點(diǎn)一函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換[典例1](1)(2021·全國乙卷)把函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y＝sinx?π4的圖象，則A．sinx2?7πC．sin2x?7π12(2)為得到函數(shù)y＝cos2x+π3的圖象，只需將函數(shù)yA．向左平移5πB．向右平移5πC．向左平移5πD．向右平移5π(1)B(2)A[(1)依題意，將y＝sinx?π4的圖象向左平移π3個單位長度，再將所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得到f(x)的圖象，所以y＝sinx?π4將其圖象向左平移π3個單位長度y＝sin(2)y＝cos2x+π3＝sin2x將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移φ個單位長度，得到y(tǒng)＝sin(2x＋2φ)，故2φ＝5π6，解得φ＝5π(1)由y＝sinωx的圖象到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的圖象的變換：向左平移φω個單位長度．注意：不是向左平移φ個單位長度，相位變換是針對“x”．(2)如果平移前后兩個圖象對應(yīng)的函數(shù)的名稱不一致，那么應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)，ω為負(fù)值時應(yīng)先變成正值．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(1)(2022·全國甲卷)將函數(shù)f(x)＝sinωx+π3(ω>0)的圖象向左平移π2個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于A．16 B．1C．13 D．(2)將函數(shù)y＝tanωx?π2(ω>0)的圖象分別向左、向右各平移π6A．32 C．3 D．6(1)C(2)A[(1)由題意知：曲線C為y＝sinωx+π2+π3＝sinωx+ωπ2+π3解得ω＝13＋2k，k∈Z.又ω>0，故當(dāng)k＝0時，ω的最小值為1(2)將函數(shù)y＝tanωx?π2(ω＞0)的圖象向左平移可得f(x)＝tanωx+π將函數(shù)y＝tanωx?π2(ω＞0)的圖象向右平移可得g(x)＝tanωx?π6因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)的對稱中心重合，所以π6ω?π2??即π3ω＝kπ2，k∈Z，解得ω＝3k2又因?yàn)棣?gt;0，所以ω的最小值為32【教師備選資源】(2023·全國甲卷)函數(shù)y＝f(x)的圖象由函數(shù)y＝cos2x+π6的圖象向左平移π6個單位長度得到，則y＝f(x)的圖象與直線y＝1A．1 B．2C．3 D．4C[把函數(shù)y＝cos2x+π6的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數(shù)y＝f(x)＝cos2x+π6+π6＝cos2x+π2＝－sin2x所以由圖可知，y＝f(x)＝－sin2x的圖象與直線y＝12x－12故選C.]考點(diǎn)二確定y＝Asin(ωx＋φ)＋B的解析式[典例2](1)(多選)(2020·新高考Ⅰ卷)如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)＝()A．sinx+π3C．cos2x+π6(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，如圖，A，B是直線y＝12與曲線y＝f(x)的兩個交點(diǎn)，若|AB|＝π6，則(1)BC(2)－32[(1)由題圖知T2＝2π3?π6＝π2，得T＝π，即2π由“五點(diǎn)法”，結(jié)合圖象可得φ＋π3＝π，即φ＝2所以sin(ωx＋φ)＝sin2x+由sin2x+2π3＝sin由sin2x+2π3＝sin由sin2x+2π3＝cos2x+綜上可知，選BC.(2)設(shè)Ax1，12，Bx2，12，由|AB|＝π6由sinx＝12可知，x＝π6＋2kπ或x＝5π6＋2kπ，ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝5π6?即ω(x2－x1)＝2π3，所以ω因?yàn)閒2π3＝sin所以8π3＋φ＝2kπ，即φ＝－8π3＋2k由題圖可知－1＜f(0)<0，即－1＜sinφ＜0，所以k＝1，則φ＝－2π3，所以f(x)＝sin4x?2π3，所以fy＝Asin(ωx＋φ)中φ的確定方法(1)代入法：把圖象上的一個已知點(diǎn)代入(此時要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入．(2)五點(diǎn)法：確定φ值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的特殊點(diǎn)作為突破口．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)(2024·天門模擬)函數(shù)f(x)＝tan(ωx＋φ)ω>0，φ<π2A．－π4 B．－πC．π6 D．－(2)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG(點(diǎn)G是圖象的最高點(diǎn))是邊長為2的等邊三角形，則f(1)＝________．(1)B(2)－3[(1)如圖，①和②面積相等，故陰影部分的面積即為矩形ABCD的面積，可得AB＝3.設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，則AD＝T，由題意得3T＝6π，解得T＝2π，故πω＝2π，得ω＝12，即f(x)＝tanf(x)的圖象過點(diǎn)π6，?1，即tan1∵φ∈?π2，π2，則π∴π12＋φ＝－π4，解得φ＝－(2)由題意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝又因?yàn)閒(x)＝Acos(ωx＋φ)為奇函數(shù)，所以φ＝π2＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，則φ＝π所以f(x)＝3cosπ2x+π2考點(diǎn)三三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用[典例3](1)(多選)設(shè)函數(shù)f(x)＝cosωx+π3(ω>0)，已知f(xA．f(x)在(0，2π)上有且僅有5個零點(diǎn)B．f(x)在(0，2π)上有且僅有2個極大值點(diǎn)C．f(x)在0，D．ω的取值范圍是7(2)(多選)若關(guān)于x的方程23cos2x－sin2x＝3－m在區(qū)間?π4，A．－2 B．－1C．0 D．1(1)CD(2)AC[(1)因?yàn)閤∈(0，2π)，所以ωx＋π3∈π3，2πω+π3.設(shè)t＝ωx由圖象可知，若f(x)在(0，2π)上有且僅有3個極小值點(diǎn)，則5π＜2πω＋π3≤7π，故f(x)在(0，2π)上可能有5，6或7個零點(diǎn)，故A錯誤；f(x)在(0，2π)上可能有2或3個極大值點(diǎn)，故B錯誤；由5π<2πω＋π3≤7π，可得73<ω≤103，故D正確；當(dāng)x∈0，π6時，ωx＋π3∈π3，π6ω+π3.因?yàn)?3<(2)由23cos2x－sin2x＝3－m，整理可得cos2x+π6＝－m2，令t＝2x＋π6，因?yàn)閤∈?所以cost＝－m2在區(qū)間?π3，π2上有且只有一個解，即y＝cos由圖可知，－m2＝1或0≤－m2<12，解得m＝－2或－1<m]與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的綜合題的求解策略(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)時可將ωx＋φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解題．(2)方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(多選)(2024·廣東汕頭金山中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝sinωx－3cosωx(ω>0，x∈R)，且f(x)所有的正零點(diǎn)構(gòu)成一個公差為π2的等差數(shù)列，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移π3個單位長度，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)g(A．函數(shù)g(x)是偶函數(shù)B．g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)?πC．g(x)在?πD．當(dāng)x∈?π6，π6(2)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝cosωx－1(ω>0)在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點(diǎn)，則ω的取值范圍是________．(1)BD(2)[2，3)[(1)因?yàn)閒(x)＝sinωx－3cosωx＝2sinωx?π由ωx－π3＝kπ，k∈Z可得，x＝π3ω+k由已知可得，1ωπ＝π2，所以ω＝2，f(x)＝2sin將函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移π3可得y＝2sin2x+π3?π3＝2sin2x+π3的圖象，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到函數(shù)對于A，因?yàn)間(－x)＝2sin?x+π3≠g(x)，所以函數(shù)g對于B，因?yàn)椋?+π3＝0，所以g(對于C，因?yàn)椋?≤x≤π3，所以0≤x＋因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx在0，π2對于D，因?yàn)椋?≤x≤π6，所以π6≤x因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx在π6所以12＝sinπ6≤sinx+π所以1≤g(x)＝2sinx+π(2)法一：函數(shù)f(x)＝cosωx－1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點(diǎn)，即cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，因?yàn)棣兀?，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，則由余弦函數(shù)的圖象(圖略)可知，4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范圍是[2，3)．法二：函數(shù)f(x)＝cosωx－1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點(diǎn)，即cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，根據(jù)函數(shù)y＝cosx在[0，2π]上的圖象(圖略)可知，cosx＝1在區(qū)間[0，2π]有2個根，所以若cosωx＝1在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個根，則函數(shù)y＝cosωx在[0，2π]內(nèi)至少包含2個周期，但小于3個周期，即2×2πω≤2π，3×2【教師備選資源】(2024·黑龍江哈爾濱模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sinωxcosφ＋2sinφ－4sin2ωx2sinφ(ω＞0，|φ|＜π)，其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標(biāo)相差π4，________，從以下兩個條件中任選一個補(bǔ)充在空白橫線中．①函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱且f(0)＜0；②函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心為π12，(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?t(t＞0)，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若函數(shù)y＝g(x)在區(qū)間0，π[解](1)由題意可得f(x)＝2sinωxcosφ＋2sinφ－4sin2ωx2sin＝2sinωxcosφ＋2sinφ－sinφ(2－2cosωx)＝2sinωxcosφ＋2cosωxsinφ＝2sin(ωx＋φ)，由于其圖象的一條對稱軸與相鄰對稱中心的橫坐標(biāo)相差π4，故T＝4×π4＝2πω故f(x)＝2sin(2x＋φ)．若選①，函數(shù)f(x)的圖象向左平移π3個單位長度后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝2sin2由題意知該函數(shù)為偶函數(shù)，故2π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，∴φ＝－π6＋kπ，由于|φ|＜π且f(0)＜0，即sinφ＜0，故φ＝－π6，故f(x)＝2sin2x?若選②，函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心為π12，0且則π6＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－π6，k∈由于|φ|＜π且fπ6＞0，即sinπ3+φ＞0，故φ＝－π6，故f(2)由題意可得g(x)＝2sin2tx?π6，x∈0，π3，∴2tx由于y＝g(x)在區(qū)間0，故2π≤2πt3?π考點(diǎn)四三角函數(shù)模型的應(yīng)用[典例4](多選)筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用(圖1)，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖2)．一半徑為2米的筒車水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(圖3中點(diǎn)P0)開始計時，則下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)P再次進(jìn)入水中時用時30秒B．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點(diǎn)P處于最低點(diǎn)C．當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動150秒時，點(diǎn)P距離水面2米D．點(diǎn)P第二次到達(dá)距水面(1＋3)米時用時25秒BCD[由題意，角速度ω＝2π60＝又由水輪的半徑為2米，且圓心O距離水面1米，可知半徑OP0與水面所成角為π6，點(diǎn)P再次進(jìn)入水中用時為π+當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動50秒時，半徑OP0轉(zhuǎn)動了50×π30＝5π3(弧度)，而5π3建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度H＝Asin(ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由H所以A又角速度ω＝2π60＝π30(弧度/秒)，當(dāng)t＝0時，∠tOP0＝π6，所以ω＝π30所以點(diǎn)P距離水面的高度H＝2sinπ30t?π6＋1，當(dāng)水輪轉(zhuǎn)動150秒時，將t＝150代入，得將H＝1＋3代入H＝2sinπ30t?π6＋1中，得π30t－π6＝2kπ＋π3或π30t－π6＝2kπ＋2π3，即t＝60k＋15或t三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問題；二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．某地進(jìn)行老舊小區(qū)改造，有半徑為60米，圓心角為π3的一塊扇形空置地(如圖)，現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一塊三角形綠地PQR，其中P在BC上，PQ⊥AB，垂足為Q，PR⊥AC，垂足為R，設(shè)∠PAB＝α∈0，π3，則PQ＝________米(用α表示)；當(dāng)60sinα2253[在Rt△PAQ中，∠PAB＝α∈0，π3∴PQ＝APsinα＝60sinα(米)．在Rt△PAR中，可得PR＝60sinπ3由題可知∠QPR＝2π∴S△PQR＝12·PQ·PR·sin∠＝12×60sinα×60sinπ3?α＝9003sinαsinπ＝4503＝4503sin又α∈0，π3，∴2α＋π∴當(dāng)2α＋π6＝π2，即α＝π6時，△PQR的面積取最大值2253課時分層作業(yè)(二十八)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)一、單項(xiàng)選擇題1．(2023·天津高考)已知函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸為直線x＝2，f(x)的一個周期為4，則f(x)的解析式可能為()A．f(x)＝sinπ2x B．f(xC．f(x)＝sinπ4x D．f(xB[對于A，f(x)＝sinπ2x，最小正周期為2ππ2＝4，因?yàn)閒(2)＝sinπ＝0，所以函數(shù)f(x)＝sinπ2x的圖象不關(guān)于直線x＝2對稱，故排除A；對于B，f(x)＝cosπ2x，最小正周期為2ππ2＝4，因?yàn)閒(2)＝cosπ＝－1，所以函數(shù)f(x)＝cosπ22．(2023·延慶區(qū)一模)將f(x)的圖象向左平移π2個單位長度，所得圖象與y＝sin2x的圖象關(guān)于y軸對稱，則f(xA．－sin2x B．sin2xC．－cos2x D．cos2xB[與y＝sin2x的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)的解析式為y＝－sin2x，函數(shù)y＝－sin2x的圖象向右平移π2個單位長度，可得y＝－sin2x?π2＝－sin(23．(2022·浙江高考)為了得到函數(shù)y＝2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y＝2sin3x+A．向左平移π5B．向右平移π5C．向左平移π15D．向右平移π15D[y＝2sin3x+π54．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0，A>0，0<φ<π，b∈R)的部分圖象如圖，則()A．φ＝πB．fπ6C．點(diǎn)?5π18，0為曲線yD．將曲線y＝f(x)向右平移π9個單位長度得到曲線y＝4cos3xD[由題圖知A+b將點(diǎn)(0，4)的坐標(biāo)代入f(x)＝4sin(ωx＋φ)＋2得sinφ＝12，由題圖可知，點(diǎn)(0，4)在y＝f(x)圖象的下降部分上，且0<φ<π，所以φ＝5將點(diǎn)2π9，?2的坐標(biāo)代入f(x)＝4sinωx+5π6＋2，得ω·2π9+5π6＝3π2令3x＋5π6＝kπ，k∈Z，解得x＝kπ3取k＝0，則x＝－5π18，所以對稱中心為將曲線向右平移π9個單位長度得到曲線y＝4sin3x?π故選D.]5．將函數(shù)f(x)＝sinωx+π3(ω>0)圖象向左平移π2ω個單位長度后，得到g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在A．(0，3] B．(0，2]C．0，43C[將f(x)＝sinωx+π3(ω得g(x)＝sinωx+π2ω+π3＝sinωx+5π6，當(dāng)x∈0，π即ωπ2+5π6≤3π6．(2022·全國甲卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝sinωx+π3在區(qū)間(0，π)恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則ωA．53，136C．136，83C[依題意可得ω＞0，因?yàn)閤∈(0，π)，所以ωx＋π3∈π3，ωπ+π3，要使函數(shù)在區(qū)間(0，π)恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，又y＝sin則5π2＜ωπ＋π3≤3π，解得136＜ω≤83二、多項(xiàng)選擇題7．(2023·河北唐山三模)為了得到函數(shù)y＝cos2x?π3的圖象，只需把余弦曲線y＝cosA．橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移πB．橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移πC．向右平移π3個單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的1D．向右平移π6個單位長度，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的1BC[函數(shù)y＝cosx的圖象向右平移π3個單位長度，得y＝cosx?π3，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的12(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y＝cosx的圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的12(縱坐標(biāo)不變)，得y＝cos2x再向右平移π6個單位長度，得y＝cos2x?π6，即8．(2024·福建漳州模擬)把函數(shù)y＝sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移π6個單位長度，得到函數(shù)y＝g(A．g(x)在π3B．g(x)在[0，π]上有2個零點(diǎn)C．y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝π12D．g(x)在?π2BC[把函數(shù)y＝sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)＝sin2x再把所得曲線向左平移π6個單位長度，得到函數(shù)y＝g(x)＝sin2x當(dāng)x∈π3，5π6時，2則g(x)在π3，7令g(x)＝0，得2x＋π3＝kπ(k∈Z)，即x＝k因?yàn)閤∈[0，π]，所以0≤kπ2?π6≤π，解得1因?yàn)閗∈Z，所以k＝1或k＝2，所以g(x)在[0，π]上有2個零點(diǎn)，故B正確；因?yàn)間π12＝sin2×π12+π3＝sin所以直線x＝π12是y＝g(x當(dāng)x∈?π2，0時，2x＋π3∈?2π3三、填空題9．(2021·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則fπ2－3[由題意可得：34T＝13π12?π3＝3π4，∴T＝π，又T＝2π當(dāng)x＝13π12時，ωx＋φ＝2×13π12＋∴φ＝2kπ－13π6(k∈Z令k＝1，可得φ＝－π6據(jù)此有：f(x)＝2cos2x?πfπ2＝2cos2×π2?π10．李華以18km/h的速度騎著一輛車輪直徑為24寸(1米等于3尺，1尺等于10寸)的自行車行駛在一條平坦的公路上，自行車前輪胎上有一塊紅色的油漆印(圖中點(diǎn)A)，則點(diǎn)A滾動一周所用的時間為________s(用π表示)；若剛開始騎行時，油漆印離地面0.6m，在前行的過程中油漆印離地面的高度h(單位：m)與時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系式可以用h＝f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋bA>0，ω>0，?π4π2525sin252t+π6+25[李華的時速為18km/h＝5m/s，車輪直徑為45米，周長為4π5米，故滾動一周所用時間為4π25秒，即最小正周期為T＝4π25，于是ω＝252，依題意知A＝25，b故f(t)＝25sin25四、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，?π2<φ<π2的最小正周期是π，且當(dāng)(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的圖象(要求列表)；(3)函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？(4)函數(shù)y＝f(x)的圖象可由函數(shù)y＝cosx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因?yàn)楫?dāng)x＝π6時，f(x)取得最大值2，所以A同時2×π6＋φ＝2kπ＋π2，kφ＝2kπ＋π6，k∈因?yàn)椋?<φ<π2，所以φ＝所以f(x)＝2sin2x+(2)因?yàn)閤∈[0，π]，所以2x＋π6∈π列表如下：2x＋ππππ32π