高中數(shù)學數(shù)學文化鑒賞與學習專題題組訓練20科赫曲線教師版

專題20科赫曲線一、單選題1．科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖①，將線段AB等分為AC，CD，DB，如圖②，以CD為底向外作等邊三角形CMD，并去掉線段CD，在圖②的各條線段上重復上述操作，當進行三次操作后形成圖③的曲線，設線段AB的長度為1，則圖③曲線的長度為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，分別求得，，，進而求得的值，即可求解.【詳解】由題意可得，未進行操作時，曲線為，長度為，進行1次操作時，曲線的長度為；進行2次操作時，曲線的長度為，所以曲線的長度構(gòu)成一個等比數(shù)列，公比為，首項為1，故，所以當進行3次操作后形成圖③的曲線時，曲線的長度.故選：C.2．2024年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目起先后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中心，特殊壯麗．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年探討的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為6，則圖③中的值為（

）A．24 B．6 C． D．【答案】A【解析】【分析】在圖③中，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，由向量的運算求得的坐標，再由數(shù)量積的坐標表示計算．【詳解】在圖③中，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，，即，，由分形知，所以，所以，所以．故選：A．3．科赫曲線因形似雪花，又被稱為雪花曲線.其構(gòu)成方式如下：如圖1將線段等分為，，，如圖2以為底向外作等邊三角形，并去掉線段.在圖2的各條線段上重復上述操作，當進行三次操作后形成圖3的曲線.設線段的長度為1，則圖3曲線的長度為（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得曲線長度組成的數(shù)列的前4項，最終可得結(jié)果.【詳解】據(jù)題目供應的條件列出曲線長度組成的數(shù)列的前4項，依題意得，，，.所以當進行三次操作后形成圖3的曲線時，曲線的長度.故選：C.4．2024年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目起先后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中心，特殊壯麗．理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年探討的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．已知圖①中正三角形的邊長為3，則圖③中的值為（

）A． B． C．6 D．【答案】C【解析】【分析】在圖③中，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，由向量的運算求得的坐標，再由數(shù)量積的坐標表示計算．【詳解】在圖③中，以為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，，，，即，，由分形知，所以，所以，所以．故選：C．5．北京年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進行“次分形”．規(guī)定：一個分形圖中全部線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個長度不小于的分形圖，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)，）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析可知“次分形”后線段的長度為，可得出關于的不等式，解出的取值范圍即可得解.【詳解】圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，“次分形”后線段的長度為，所以要得到一個長度不小于的分形圖，只需滿意，則，即，解得，所以至少須要次分形．故選：C.6．瑞典人科赫提出了聞名的“雪花”曲線，這是一種分形曲線，它的分形過程是：從一個正三角形(如圖①)起先，把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段，這樣就得到一個六角形(如圖②)，所得六角形共有12條邊.再把每條邊分成三等份，以各邊的中間部分的長度為底邊，分別向外作正三角形后，抹掉“底邊”線段.反復進行這一分形，就會得到一個“雪花”樣子的曲線，這樣的曲線叫作科赫曲線或“雪花”曲線.已知點O是六角形的對稱中心，A，B是六角形的兩個頂點，動點P在六角形上(內(nèi)部以及邊界).若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設，，求的最大值，只需考慮圖中以O為起點，6個頂點分別為終點的向量即可，再依據(jù)對稱可得最小值.【詳解】如圖，設，，求的最大值，只需考慮圖中以O為起點，6個頂點分別為終點的向量即可，探討如下：當點P在A處時，，，故；當點P在B處時，，，故；當點P在C處時，，故；當點P在D處時，，故；當點P在E處時，，故；當點P在F處時，，故.于是的最大值為5.依據(jù)其對稱性可知的最小值為，故的取值范圍是.故選：C.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是依據(jù)題意得出只需考慮圖中以O為起點，6個頂點分別為終點的向量即可.7．如圖是瑞典數(shù)學家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案．圖形的作法是：從一個正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊．反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線．設原正三角形（圖①）的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】視察圖形可得出為首項為，公比為的等比數(shù)列，即可求出.【詳解】視察圖形發(fā)覺，從其次個圖形起先，每一個圖形的周長都在前一個的周長的基礎上多了其周長的，即，所以為首項為，公比為的等比數(shù)列，.故選：B.8．分形幾何是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為探討對象的幾何學，科赫曲線是比較典型的分形圖形，1904年瑞典數(shù)學家科赫第一次描述了這種曲線，因此將這種曲線稱為科赫曲線.其生成方法是：（I）將正三角形（圖（1））的每邊三等分，以每邊三等分后的中間的那一條線段為一邊，向形外作等邊三角形，并將這“中間一段”去掉，得到圖（2）；（II）將圖（2）的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖（3）；（Ⅲ）再按上述方法接著做下去……，設圖（1）中的等邊三角形的邊長為1，并且分別將圖（1）、圖（2）、圖（3）、…、圖（n）、…中的圖形依次記作，，，…，，…，設的周長為，則為A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由題意可知，每個三角形的都是正三角形，且邊長變?yōu)樵瓉砣切蔚?，從而邊長的遞推公式為，故可求出的周長為【詳解】解：由題意可知，每個三角形的都是正三角形，且邊長變?yōu)樵瓉砣切蔚模瑥亩呴L的遞推公式為，所以，所以故選：C【點睛】此題考查以實際問題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，屬于中檔題9．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到：任畫…條線段，然后把它分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段去掉，這樣，原來的一條線段就變成了由4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每一條小線段重復上述步驟，得到由16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”；…；如此進行“n次構(gòu)造”，就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度大于初始線段的100倍，則至少須要構(gòu)造的次數(shù)是（

）（取，）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】B【解析】由題知，每一次構(gòu)造即可將折線長度變成上一次長度的倍，故折線長度構(gòu)成一個以為公比的等比數(shù)列，寫出其通項公式，則要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度大于初始線段的100倍，只需求解不等式，即可得解.【詳解】設初始長度為，各次構(gòu)造后的折線長度構(gòu)成一個數(shù)列，由題知，，則為等比數(shù)列，，假設構(gòu)造次后，折線的長度大于初始線段的100倍，即，，【點睛】本題考查了圖形的歸納推理，等比數(shù)列的實際應用，指數(shù)不等式的求解，考查了數(shù)形結(jié)合的思想.其中對圖形進行歸納推理，構(gòu)造等比數(shù)列是關鍵.屬于中檔題.10．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到．任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把“中間一段”去掉，這樣，原來的條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每一條小線段重復上述步驟，得到了16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進行“次構(gòu)造”，就可以得到一條科曲線．若要科赫曲線的長度達到原來的100倍，至少須要通過構(gòu)造的次數(shù)是（

）．（?。〢．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【解析】【分析】由折線長度變更規(guī)律得到n次構(gòu)造后，曲線的長度為，建立不等式，利用對數(shù)運算求解.【詳解】設原線段長為a，經(jīng)過n次構(gòu)造后，曲線的長度為，則經(jīng)過1次構(gòu)造后，曲線的長度為，經(jīng)過2次構(gòu)造后，曲線的長度為，經(jīng)過3次構(gòu)造后，曲線的長度為，依次類推，經(jīng)過n次構(gòu)造后，曲線的長度為，若要科赫曲線的長度達到原來的100倍，則，所以，所以至少須要通過構(gòu)造的次數(shù)是17.故選：C【點睛】本題主要考查數(shù)列新定義運算問題涉及到對數(shù)運算，還考查了推理論證的實力，屬于中檔題.11．科赫曲線是一種外形像雪花的幾何曲線，一段科赫曲線可以通過下列操作步驟構(gòu)造得到，任畫一條線段，然后把它均分成三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并把中間一段去掉，這樣，原來的一條線段就變成了4條小線段構(gòu)成的折線，稱為“一次構(gòu)造”；用同樣的方法把每條小線段重復上述步驟，得到16條更小的線段構(gòu)成的折線，稱為“二次構(gòu)造”，…，如此進行“次構(gòu)造”，就可以得到一條科赫曲線.若要在構(gòu)造過程中使得到的折線的長度達到初始線段的1000倍，則至少須要通過構(gòu)造的次數(shù)是（

）.（取，）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】D【解析】由折線長度變更規(guī)律可知“次構(gòu)造”后的折線長度為，由此得到，利用運算法則可知，由此計算得到結(jié)果.【詳解】記初始線段長度為，則“一次構(gòu)造”后的折線長度為，“二次構(gòu)造”后的折線長度為，以此類推，“次構(gòu)造”后的折線長度為，若得到的折線長度為初始線段長度的倍，則，即，，即，至少須要次構(gòu)造.故選：.【點睛】本題考查數(shù)列新定義運算的問題，涉及到對數(shù)運算法則的應用，關鍵是能夠通過構(gòu)造原則得到每次構(gòu)造后所得折線長度成等比數(shù)列的特點.12．雪花曲線是在1906年由瑞典數(shù)學家科赫第一次作出.如圖所示，由等邊三角形ABC起先，然后把三角形的每條邊三等分，并在每條邊三等分后的中段向外作新的等邊三角形（并去掉與原三角形疊合的邊）；接著對新圖形的每條邊再接著上述操作，即在每條邊三等分后的中段，向外畫新的尖形.不斷重復這樣的過程，便產(chǎn)生了雪花曲線.雪花曲線的周長可以無限長，然而圍成的面積卻是有限的.設初始三角形ABC的邊長為a，不斷重復上述操作，雪花曲線圍成的面積趨于定值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依次計算得到第次操作后面積，依據(jù)等比數(shù)列求和得到，再由時，得到結(jié)果即可.【詳解】由題意知，初始三角形的面積，第一次操作后，增加了3個邊長為的等邊三角形，此時面積；其次次操作后，增加了個邊長為的等邊三角形，此時面積；；第次操作后，增加了個邊長為的等邊三角形，此時面積，當時，，.故選：A.13．2024年其次十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學中也有一朵漂亮的雪花一“科赫雪花”．它可以這樣畫，隨意畫一個正三角形，并把每一邊三等分：取三等分后的一邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線；重復上述兩步，畫出更小的三角形．始終重復，直到無窮，形成雪花曲線，．設雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為，若，則下列說法正確的是（

）A． B．C．均構(gòu)成等比數(shù)列 D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知寫出、、的通項公式且時，應用累加法求通項，進而推斷各選項的正誤.【詳解】據(jù)題意知：，∴，A錯誤；，當時，，D錯誤；∴，由也滿意上式，則，所以不構(gòu)成等比數(shù)列，C錯誤；由上，，則，B正確.故選：B．二、多選題14．年，瑞典數(shù)學家科赫構(gòu)造了一種曲線.如圖，取一個邊長為的正三角形，在每個邊上以中間的為一邊，向外側(cè)凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的擦掉，得到第個圖形，重復上面的步驟，得到第個圖形.這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線.云層的邊緣，山脈的輪廓，海岸線等自然界里的不規(guī)則曲線都可用“科赫曲線”的方式來探討，這門學科叫“分形幾何學”.下列說法正確的是（

）A．第個圖形的邊長為B．記第個圖形的邊數(shù)為，則C．記第個圖形的周長為，則D．記第個圖形的面積為，則對隨意的，存在正實數(shù)，使得【答案】BCD【解析】【分析】由各個圖形的邊長構(gòu)成等比數(shù)列，可判定A錯誤；由各個圖形的邊數(shù)也成等比數(shù)列且，可判定B正確；由第個圖形的周長為，得到周長為，可判定C正確；結(jié)合極限的思想，可得判定D正確.【詳解】由題意，各個圖形的邊長成首項為，且的等比數(shù)列，可得可設邊長為，則，所以A錯誤；由各個圖形的邊數(shù)也成等比數(shù)列且，所以，所以B正確；由第個圖形的周長為，可得周長為，所以C正確；當時，圖形無限接近于圓，可得，所以D正確.故選:BCD.三、填空題15．分形幾何號稱“大自然的幾何”，是探討和處理自然與工程中不規(guī)則圖形的強有力的理論工具，其應用已涉及自然科學、社會科學、美學等眾多領域.圖1展示了“科赫雪花”的分形過程.現(xiàn)在向圖2的“科赫雪花”中隨機撒1000粒豆子（豆子的大小忽視不計），有340粒豆子落在內(nèi)部的黑色正六邊形中，已知正六邊形的面積約為，依據(jù)你所學的概率統(tǒng)計學問，估計圖2中“科赫雪花”的面積為______.【答案】5【解析】【分析】依據(jù)幾何概型的意義，計算即可得出結(jié)果.【詳解】正六邊形的面積約為，設“科赫雪花”的面積為向圖2的“科赫雪花”中隨機撒1000粒豆子,有340粒豆子落在內(nèi)部的黑色正六邊形中，由幾何概型的概率公式進行估計得：,解得：.故答案為：5【點睛】本題考查模擬方法估計概率，考查幾何概型的概率計算，屬于基礎題.16．2024年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目起先后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中心，特殊壯麗.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學家科赫在1904年探討的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．若第1個圖形中的三角形的邊長為2，則第4個圖形的周長為______．【答案】【解析】【分析】由圖形之間的邊長的關系，得到周長是等比數(shù)列，再依據(jù)等比數(shù)列通項公式可得解.【詳解】記第個圖形為，三角形邊長為，邊數(shù)，周長為，則有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長；分析可知，即；，即，當?shù)?個圖形中的三角形的邊長為2，時，即，，所以，則第4個圖形的周長為.故答案為：.四、解答題17．分形幾何號稱“大自然的幾何”，是探討和處理自然與工程中不規(guī)則圖形的強有力的理論工具，其應用已涉及自然科學?社會科學?美學等眾多領域.圖1展示了“科赫雪花曲線”的分形過程.其生成方法是：（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；（ii）將圖②的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖③；（ⅲ）再按上述方法接著做下去，就得到了“科赫雪花曲線”.設圖①的等邊三角形的邊長為1，并且分別將圖①?②?③…中的圖形依次記作???…?…請解決如下問題：（1）設中的邊數(shù)為，中每條邊的長度為，寫出數(shù)列和的遞推公式與通項公式；（2）設的周長為，求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）且，且，，；（2）.【解析】【分析】（1）結(jié)合圖形特征和等比數(shù)列公式推導即可；（2）由周長等于邊長乘以邊數(shù)推導即可求解.【詳解】（1）由題意，可得數(shù)列的遞推關系為且，所以數(shù)列構(gòu)成首項為，公比為4的等比數(shù)列，所以;又由每個圖形的邊長都相等，且長度變?yōu)樵瓉淼模赃呴L滿意遞推關系式且，即數(shù)列構(gòu)成首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以;（2）由周長等于邊長乘以邊數(shù)可得，所以數(shù)列構(gòu)成首項為3，公比為的等比數(shù)列，18．2024北京冬奧會開幕式上，每個代表團都擁有一朵專屬的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界?。ㄈ鐖D一），如圖二是瑞典數(shù)學家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案．圖形的作法是從一個正三角形起先，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復進行這一過程，就得到一個“雪花”狀的圖案．設原正三角形（圖①）的邊長為3，把圖二中的①，②，③，④……圖形的周長依次記為，，，，…，得到數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，若，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先求出第個圖形的邊數(shù)為，，第個圖形的邊長為，從而求出數(shù)列的通項公式；（2）求出，列出不等式，化簡得到，求出的最小值.(1)由圖形的作法可知：①后一個圖形的邊數(shù)是前一個圖形的邊數(shù)的倍，所以，從一個正三角形起先，“雪花”圖案的作法所得圖形的邊數(shù)是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，第個圖形的邊數(shù)為；②后一個圖形的邊長是前一個圖形的邊長的倍，所以，從一個正三角形起先，“雪花”圖案的作法所得圖形的邊長是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，第個圖形的邊長為；所以，．(2)由（1）得：，所以，化簡得：，因為，，又因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，即，所以的最小值為．19．2024北京冬奧會開幕式上，每個代表團都擁有一朵專屬的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界?。ㄈ鐖D一），如圖二是瑞典數(shù)學家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案．圖形的作法是從一個正三角形起先，把每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復進行這一過程，就得到一個“雪花”狀的圖案．設原正三角形（圖①）的邊長為3，把圖二中的①，②，③，④，……圖形的周長依次記為，，，，…，得到數(shù)列．(1)干脆寫出，的值；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）由圖形干脆可得.（2）先求出第個圖形的邊數(shù)為，第個圖形的邊長為，從而求出數(shù)列的通項公式.(1)，.(2)由圖形的作法可知：從邊數(shù)看，后一個圖形的邊數(shù)是前一個圖形的邊數(shù)的倍，所以，從一個正三角形起先，“雪花”圖案的作法所得圖形的邊數(shù)是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，第個圖形的邊數(shù)為，從邊長看，后一個圖形的邊長是前一個圖形的邊長的倍，所以，從一個正三角形起先，“雪花”圖案的作法所得圖形的邊長是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，第個圖形的邊長為，所以，.五、雙空題20．1904年，瑞典數(shù)學家科赫構(gòu)造了一種曲線．如圖①，取一個邊長為1的正三角形，在每個邊上以中間的為一邊，向外側(cè)凸出作一個正三角形，再把原來邊上中間的擦掉，得到第2個圖形(如圖②)，重復上面的步驟，得到第3個圖形(如圖③)．這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線．云層的邊緣，山脈的輪廓，海岸線等自然界里的不規(guī)則曲線都可用“科赫曲線”的方式來探討，這門學科叫“分形幾何學”．則第5個圖形的邊長為__________；第n個圖形的周長為__________．【答案】

【解析】【分析】依據(jù)題中給出的圖形，先分析邊長之間的變換規(guī)律，再分析邊數(shù)的變更規(guī)律，最終分析周長的變更規(guī)律即可.【詳解】第1個圖形的邊長為1，第2個圖形的邊長為第1個圖形邊長的,以次類推，，則第5個圖形的邊長為;以—條邊為例，原本的一條也被分成了3份，擦去一份，在擦掉的那條邊上又衍生出2條，即原本的1條邊變成現(xiàn)在的（3-1)+2=4條，翻了4倍，所以周長之間的關系為，所以是公比為的等比數(shù)列，而首項，所以.故答案為：；21．雪花曲線是瑞典數(shù)學家科赫在1904年探討的一種分形曲線．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從圖①的正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊得到圖②，重復進行這一過程可依次得到圖③、圖④等一系列“雪花曲線”．①

②

③

④若第①個圖中的三角形的邊長為1，則第②個圖形的面積為___________；第n個圖中“雪花曲線”的周長Cn為___________．【答案】

【解析】【分析】依據(jù)題中圖形的規(guī)律，分別從邊長與邊數(shù)上找規(guī)律，從而得到通過公式即可求解.【詳解】第一個三角形面積，其次個圖形在第一個基礎上多了三個小正三角形，故．記第n個圖形為，三角形邊長為，邊數(shù)，周長，有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長，即，，周長．故答案為：；22．如圖是瑞典科學家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形態(tài)的圖案.圖案的作法是：從一個正三角形起先，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，這樣的過程稱為一次操作.反復進行這種操作過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，并記次操作后的曲線為，周長為.設原正三角形的邊長為1，即對應圖1，則進行二次操作后，曲線（對應圖3）的頂點數(shù)為___________；若進行次操作后，則___________.【答案】

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【解析】【分析】視察所給的圖形，得到圖2的頂點數(shù)和圖1的頂點數(shù)和邊數(shù)的關系，以及圖3的頂點數(shù)與圖2的頂點數(shù)和邊數(shù)的關系，推斷圖2的頂點數(shù)，再由圖形之間邊長的關系，得到數(shù)列是首項為3，公差為的等比數(shù)列，再依據(jù)等比數(shù)列求和.【詳解】有3個頂點，3條邊，的頂點數(shù)是個，有條邊，的頂點數(shù)是個，由圖形視察可知，，，……，所以數(shù)列是首項為3，公差為的等比數(shù)列，.故答案為：；23．如圖（1），畫一個邊長為1的正三角形，并把每一邊三等分，在每個邊上以中間一段為一邊，向外側(cè)凸出作正三角形，再把原來邊上中間一段擦掉，得到第（2）個圖形，重復上面的步驟，得到第（3）個圖形，這樣無限地作下去，得到的圖形的輪廓線稱為科赫曲線．云層的邊緣、山脈的輪廓、海岸線等