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第2章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第8講函數(shù)與方程A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1.若函數(shù)f(x)的圖象是連綿起伏的,且f(0)>0,f(1)·f(2)·f(4)<0,則下列命題正確的是(D)A.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點B.函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點C.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有零點D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)有零點[解析]因為f(1)·f(2)·f(4)<0,所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一個小于0.若f(1)<0,則在(0,1)內(nèi)有零點,在(0,4)內(nèi)必有零點;若f(2)<0,則在(0,2)內(nèi)有零點,在(0,4)內(nèi)必有零點;若f(4)<0,則在(0,4)內(nèi)有零點.故選D.2.方程lnx=4-2x的解所在的區(qū)間為(B)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)[解析]通過構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在性定理求得正確答案.由lnx=4-2x得2x+lnx-4=0,設(shè)f(x)=2x+lnx-4,則f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(1)=-2<0,f(2)=ln2>0,所以f(x)的唯一零點在區(qū)間(1,2),即方程lnx=4-2x的解所在的區(qū)間為(1,2).故選B.3.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x-1,x≤1,,1+log2x,x>1,))則函數(shù)f(x)的零點為(D)A.eq\f(1,2),0 B.-2,0C.eq\f(1,2) D.0[解析]當(dāng)x≤1時,令f(x)=2x-1=0,解得x=0;當(dāng)x>1時,令f(x)=1+log2x=0,解得x=eq\f(1,2),又因為x>1,所以此時方程無解.綜上,函數(shù)f(x)的零點只有0.4.如圖是函數(shù)f(x)的圖象,它與x軸有4個不同的公共點,給出的下列四個區(qū)間之中,存在不能用二分法求出的零點,該零點所在的區(qū)間是(C)A.[-2.1,-1] B.[4.1,5]C.[1.9,2.3] D.[5,6.1][解析]結(jié)合圖象可得A、B、D選項每個區(qū)間的兩個端點函數(shù)值異號,可以用二分法求出零點,故選C.5.(2024·課標(biāo)全國Ⅲ)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點個數(shù)為(B)A.2 B.3C.4 D.5[解析]函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x,在[0,2π]的零點個數(shù)即2sinx-sin2x=0在區(qū)間[0,2π]的根的個數(shù),令h(x)=2sinx,g(x)=sin2x,畫出兩函數(shù)在區(qū)間[0,2π]的圖象(圖略),可知h(x)=2sinx和g(x)=sin2x在區(qū)間[0,2π]的圖象的交點個數(shù)為3.故選B.6.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號,設(shè)x∈R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù),y=[x]也被稱為“高斯函數(shù)”,例如[2.1]=2,[3]=3,[-1.5]=-2,設(shè)x0為函數(shù)f(x)=log3x-eq\f(3,x+1)的零點,則[x0]=(A)A.2 B.3C.4 D.5[解析]首先推斷函數(shù)的單調(diào)性,再依據(jù)零點存在性定理推斷x0所在區(qū)間,最終依據(jù)高斯函數(shù)的定義計算可得.因為y=log3x與y=-eq\f(3,x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)=log3x-eq\f(3,x+1)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又f(3)=log33-eq\f(3,3+1)=1-eq\f(3,4)=eq\f(1,4)>0,f(2)=log32-eq\f(3,2+1)=log32-1<0,所以f(x)在(2,3)上存在唯一零點x0,即x0∈(2,3),所以[x0]=2.故選A.7.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex-a,x≤0,,2x-a,x>0))(a∈R),若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(A)A.(0,1] B.[1,+∞)C.(0,1) D.(-∞,1][解析]畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示.因為函數(shù)f(x)在R上有兩個零點,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一個零點.當(dāng)x≤0時,f(x)有一個零點,需0<a≤1;當(dāng)x>0時,f(x)有一個零點,需-a<0,即a>0.綜上,0<a≤1.8.已知f(x)=|x2-1|,關(guān)于x的方程[f(x)]2-f(x)+k=0,則下列四個命題是假命題的為(A)A.存在實數(shù)k,使得方程恰有3個不同的實數(shù)解B.存在實數(shù)k,使得方程恰有4個不同的實數(shù)解C.存在實數(shù)k,使得方程恰有5個不同的實數(shù)解D.存在實數(shù)k,使得方程恰有8個不同的實數(shù)解[解析](1)令t=f(x)=|x2-1|(t≥0),則原方程可化為t2-t+k=0.作出f(x)=|x2-1|的圖象如圖所示,結(jié)合圖象可知:①當(dāng)t>1或t=0時,方程t=|x2-1|有2個不同的實數(shù)解;②當(dāng)t=1時,方程t=|x2-1|有3個不同的實數(shù)解;③當(dāng)0<t<1時,方程t=|x2-1|有4個不同的實數(shù)解.(2)作出函數(shù)y=t2-t(t≥0)的圖象如圖所示.①當(dāng)-k>0,即k<0時,方程-k=t2-t有1個實數(shù)解t1,且t1>1.②當(dāng)-k=0,即k=0時,方程-k=t2-t有2個不同的實數(shù)解t2,t3(t2<t3),則t2=0,t3=1.③當(dāng)-eq\f(1,4)<-k<0,即0<k<eq\f(1,4)時,方程-k=t2-t有2個不同的實數(shù)解t4,t5(t4<t5),則0<t4<eq\f(1,2)<t5<1.④當(dāng)-k=-eq\f(1,4),即k=eq\f(1,4)時,方程-k=t2-t有1個實數(shù)解t6,且t6=eq\f(1,2).⑤當(dāng)-k<-eq\f(1,4),即k>eq\f(1,4)時,方程-k=t2-t沒有實數(shù)解.綜合(1)(2)可知,當(dāng)k<0時,原方程有2個不同的實數(shù)解;當(dāng)k=0時,原方程有5個不同的實數(shù)解;當(dāng)0<k<eq\f(1,4)時,原方程有8個不同的實數(shù)解;當(dāng)k=eq\f(1,4)時,原方程有4個不同的實數(shù)解;當(dāng)k>eq\f(1,4)時,原方程沒有實數(shù)解.所以B,C,D都是真命題.A為假命題.故選A.二、多選題9.下列函數(shù)中,在(-1,1)內(nèi)有零點且單調(diào)遞減的是(AD)A.y=logeq\f(1,2)(x+1) B.y=2x-1C.y=x2-eq\f(1,2) D.y=-x3[解析]函數(shù)y=logeq\f(1,2)(x+1)在定義域上單調(diào)遞減,且x=0時y=0,y=x2-eq\f(1,2)在(-1,1)上不是單調(diào)函數(shù),y=-x3在定義域上單調(diào)遞減,且x=0時y=0.對于y=2x-1,當(dāng)x=0∈(-1,1)時,y=0且y=2x-1在R上單調(diào)遞增.故選AD.10.下列圖象表示的函數(shù)中有兩個零點的有(CD)[解析]有兩個零點就是函數(shù)圖象與x軸有兩個交點.11.若函數(shù)f(x)=ax+b的零點是2,則函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點可以是(AC)A.0 B.eq\f(1,2)C.-eq\f(1,2) D.2[解析]2a+b=0,∴g(x)=-2ax2-ax=0,得x=0或-eq\f(1,2),故選AC.12.(2024·濟寧模擬)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x-log2x,0<a<b<c,f(a)f(b)f(c)<0,實數(shù)d是函數(shù)f(x)的一個零點.給出下列四個推斷,其中可能成立的是(ABD)A.d<a B.d>bC.d>c D.d<c[解析]由y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在(0,+∞)上單調(diào)遞減,y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,可得f(x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x-log2x在定義域(0,+∞)上是減函數(shù),當(dāng)0<a<b<c時,f(a)>f(b)>f(c),因為f(a)f(b)f(c)<0,f(d)=0,所以①f(a),f(b),f(c)都為負(fù)值,則a,b,c都大于d;②f(a)>0,f(b)>0,f(c)<0,則a,b都小于d,c大于d.綜合①②可得d>c不行能成立.三、填空題13.用二分法求函數(shù)f(x)=ln(x+1)+x-1在區(qū)間(0,1)上的零點,要求精確度為0.01時,所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為_7__.[解析]開區(qū)間(0,1)的長度等于1,每經(jīng)過一次操作,區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?,?jīng)過n(n∈N+)次操作后,區(qū)間長度變?yōu)閑q\f(1,2n).令eq\f(1,2n)<0.01,解得n≥7,且n∈N+,故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.14.(2024·濟南模擬)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xlnx,x>0,,x2-x-2,x≤0,))則f(x)的零點為_-1和1__.[解析]令f(x)=0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,,xlnx=0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0,,x2-x-2=0,))解得x=1或x=-1,∴f(x)的零點為-1和1.15.(2024·江蘇淮安聯(lián)考)函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x都滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+x))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-x)),并且方程f(x)=0有三個實根,則這三個實根的和為eq\f(3,2).[解析]因為函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=eq\f(1,2)對稱,所以方程f(x)=0有三個實根時,確定有一個根是eq\f(1,2),另外兩個根的和為1,故方程f(x)=0的三個實根的和為eq\f(3,2).16.(2024·廣東陽江調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-1,x<1,,log\f(1,2)x,x≥1,))若關(guān)于x的方程f(x)=k有三個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是_(-1,0)__.[解析]關(guān)于x的方程f(x)=k有三個不同的實根,等價于函數(shù)f(x)與函數(shù)y=k的圖象有三個不同的交點,作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,由圖可知實數(shù)k的取值范圍是(-1,0).B組實力提升1.(2024·濟寧模擬)已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2+2x,x≤a,,x-1,x>a,))若f(x)有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(A)A.{a|0≤a<1} B.{a|-1≤a<0}C.{a|-1≤a<1} D.{a|a<1}[解析]因為y=x2+2x有2個零點x=-2和x=0,y=x-1有1個零點x=1,所以若要使f(x)有3個零點,則0≤a<1,故選A.2.函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點的個數(shù)為(C)A.2 B.3C.4 D.6[解析]函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點個數(shù),即方程|lgx2|=-x2+2|x|的根的個數(shù),考慮g(x)=|lgx2|,h(x)=-x2+2|x|,定義在(-∞,0)∪(0,+∞)的偶函數(shù),當(dāng)x>0時,g(x)=|2lgx|,h(x)=-x2+2x,作出函數(shù)圖象:兩個函數(shù)一共有兩個交點,即當(dāng)x>0時,|lgx2|=-x2+2|x|有兩根,依據(jù)對稱性可得:當(dāng)x<0時|lgx2|=-x2+2|x|有兩根,所以|lgx2|=-x2+2|x|一共4個根,即函數(shù)f(x)=|lgx2|+x2-2|x|的零點的個數(shù)為4.故選C.3.已知函數(shù)f(x)=x-eq\r(x)(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+lnx(x>0)的零點分別為x1,x2,x3,則(C)A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3C.x2<x3<x1 D.x3<x1<x2[解析]作出y=x與y=eq\r(x)(x>0),y=-ex,y=-lnx(x>0)的圖象,如圖所示,可知選C.4.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有四個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=_-8__.[解析]因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x)=f(-x),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,又f(x-4)=-f(x),所以f(x)=-f(x+4),所以f(x-4)=f(x+4),f(x)=f(x+8),所以f(x)是周期為8的周期函數(shù).因為奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[-6,-2]上單調(diào)遞減,畫出f(x)的可能圖象如圖所示.作出直線y=m(m>0).不妨設(shè)x1<x2<x3<x4,由對稱性可知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-8.5.(2024·廈
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