2024春七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題05同底數(shù)冪的乘法壓軸題四種模型全攻略含解析新版浙教版

Page1專(zhuān)題05同底數(shù)冪的乘法壓軸題四種模型全攻略【類(lèi)型一冪的乘法運(yùn)算】例1．計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方可干脆進(jìn)行求解；（2）依據(jù)冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的乘法及合并同類(lèi)項(xiàng)可干脆進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）原式=；（2）原式=．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方及積的乘方，嫻熟駕馭各個(gè)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】化簡(jiǎn)：．【答案】【解析】【分析】依據(jù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】解：，=，=，=．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是嫻熟運(yùn)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再精確地合并同類(lèi)項(xiàng)．【變式訓(xùn)練2】計(jì)算：（1）

（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方以及整式的加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)積的乘方，以及整式的加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘方，冪的乘方，積的乘方以及整式的加減計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠嫻熟駕馭相關(guān)計(jì)算法則．【變式訓(xùn)練3】計(jì)算(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】【分析】（1）由題意利用冪的乘方和積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由題意利用冪的乘方和積的乘方以及合并同類(lèi)項(xiàng)原則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由題意干脆利用同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；（4）由題意干脆利用同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；（5）由題意利用冪的乘方和積的乘方以及合并同類(lèi)項(xiàng)原則進(jìn)行計(jì)算即可.(1)解：.(2)解：.(3)解：.(4)解：.(5)解：.【點(diǎn)睛】本題考查整式的乘法運(yùn)算，嫻熟駕馭冪的四則運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.【類(lèi)型二冪的運(yùn)算逆用】例2（1）已知，求的值．（2）已知，求m的值．【答案】（1）16；（2）【解析】【分析】（1）逆運(yùn)用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法變形后，將代入求解即可；（2）等式的左邊逆運(yùn)用冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法變形后，依據(jù)底數(shù)相同指數(shù)相同的兩個(gè)數(shù)相同可得m的方程求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴；（2）∵，∴，即，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法．?huà)故祚{馭公式，并能逆運(yùn)用是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（1）若2x+5y﹣3=0，求4x?32y的值．（2）已知a3m=3，b3n=2．求（a2m）3+（bn）3-a2mbn·a4mb2n的值．【答案】（1）8；（2）-7【解析】【分析】（1）先化為以2為底的冪的形式，再利用同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，最終接受整體代入思想解題；（2）先利用冪的乘方公式將所要求的式子化簡(jiǎn)，再代入解題．【詳解】解：（1）若2x+5y﹣3=0，則2x+5y=3；（2）（a2m）3+（bn）3-a2mbn·a4mb2n=（a3m）2+（b3n）-a6mb3n=（a3m）2+（b3n）-（a3m）2b3n=32+2-32×2=9+2-18=-7．【點(diǎn)睛】本題考查冪的運(yùn)算，涉及同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、整體思想等學(xué)問(wèn)，是重要考點(diǎn)，駕馭相關(guān)學(xué)問(wèn)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】計(jì)算（1）已知，求x的值．（2）若為正整數(shù)，且，求的值．【答案】（1）4；（2）2450【解析】【分析】（1）已知等式左邊利用同底數(shù)冪的乘法法則變形，計(jì)算即可求出x的值．（2）首先計(jì)算積的乘方可得9x6n-13x4n，再依據(jù)冪的乘方進(jìn)行變形，把底數(shù)變?yōu)閤2n，然后代入求值即可．【詳解】解：（1）2x+3-2x=8?2x-2x=7×2x=112，得到2x=16，則x=4；（2）∵x2n=7，∴（3x3n）2-13（x2）2n=9x6n-13x4n=9（x2n）3-13（x2n）2=9×73-13×72=2450．【點(diǎn)睛】此題主要考查了冪的乘方和積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，嫻熟駕馭運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（1）已知，求的值．（2）已知：，求的值．（3）已知，求的值．（4）已知，求m的值．【答案】（1）；（2）；（3）16；（4）【解析】【分析】（1）依據(jù)冪的除法運(yùn)算法則再逆用冪的乘方即可求解；（2）利用冪的運(yùn)算法則都化成底數(shù)為x2n的形式，即可求解；（3）把8x化成底數(shù)為2的冪的形式，再利用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可；（4）都化成底數(shù)為3的冪的形式，再利用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算得到關(guān)于m的一元一次方程，再解即可．【詳解】解：（1）（1）∵，∴；（2）∵x2n=3，∴===．（3）∵，∴；（4）∵，∴，即，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方的計(jì)算方法，依據(jù)式子的特點(diǎn)，靈敏變形解決問(wèn)題．【類(lèi)型三新定義運(yùn)算】例3．規(guī)定兩個(gè)非零數(shù)a，b之間的一種新運(yùn)算，假如am＝b，那么a∧b＝m．例如：因?yàn)?2＝25，所以5∧25＝2；因?yàn)?0＝1，所以5∧1＝0．（1）依據(jù)上述規(guī)定填空：2∧32＝；﹣3∧81＝．（2）在運(yùn)算時(shí)，按以上規(guī)定請(qǐng)說(shuō)明等式8∧9+8∧10＝8∧90成立．【答案】（1）5，4；（2）說(shuō)明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）結(jié)合新定義運(yùn)算及有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則分析計(jì)算；（2）結(jié)合新定義運(yùn)算及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行分析說(shuō)明．【詳解】解：（1）∵25＝32，∴2∧32＝5，∵（?3）4＝81，∴?3∧81＝4，故答案為：5；4；（2）設(shè)8∧9＝a，8∧10＝b，8∧90＝c，∴8a＝9，8b＝10，8c＝90∴8a×8b＝8a＋b＝9×10＝90＝8c，∴a＋b＝c，即8∧9＋8∧10＝8∧90．【點(diǎn)睛】本題考查新定義運(yùn)算，駕馭有理數(shù)乘方運(yùn)算法則，同底數(shù)冪的乘方運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】規(guī)定，求：（1）求；（2）若，求x的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)規(guī)定即可完成；（2）依據(jù)規(guī)定及冪的運(yùn)算，可得關(guān)于x的方程，解方程即可．【詳解】（1），；（2），，則，解得：．【點(diǎn)睛】本題是新定義運(yùn)算問(wèn)題，考查了同底數(shù)冪的運(yùn)算，解方程等學(xué)問(wèn)，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】假如，那么我們規(guī)定．例如：因?yàn)?，所以?）依據(jù)上述規(guī)定填空：__________，__________，__________；（2）記，，．推斷a，b，c之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）3，0，?2；a＋b＝c．理由見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）干脆利用冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）干脆利用冪的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3，∵40＝1，∴（4，1）＝0，∵2?2＝0.25，∴（2，0.25）＝?2．故答案為：3，0，?2；（2）a＋b＝c．理由：∵（2，5）＝a，（2，6）＝b，（2，30）＝c，∴2a＝5，2b＝6，2c＝30，∴2a×2b＝5×6＝30，∴2a×2b＝2c，∴a＋b＝c．【點(diǎn)睛】題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，嫻熟駕馭同底數(shù)冪的乘法則及其逆運(yùn)用是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)“乘方”運(yùn)算，下面給同學(xué)們介紹一種新的運(yùn)算，即對(duì)數(shù)運(yùn)算．定義：假如＝N（a＞0，a≠1，N＞0），則b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作＝b，例如：因?yàn)椋?25，所以＝3；因?yàn)椋?21，所以＝2（1）填空：＝，＝；（2）假如＝3，求m的值．【答案】（1）1，0；（2）m＝10．【解析】【分析】（1）把對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪運(yùn)算求解即可；（2）把對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為冪的運(yùn)算求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴=1，=0，故答案為：1，0；（2）∵＝3，∴＝m﹣2，解得：m＝10．【點(diǎn)睛】本題考查了新運(yùn)算問(wèn)題，解答時(shí)，嫻熟將對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的冪的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型四比較大小】例4．比較下列各題中冪的大?。海?）已知，比較a、b、c的大小關(guān)系；（2）比較這4個(gè)數(shù)的大小關(guān)系；（3）已知，比較P，Q的大小關(guān)系；【答案】（1）a＞b＞c；（2）；（3）P=Q【解析】【分析】（1）依據(jù)冪的乘方公式，化為底數(shù)是3的形式進(jìn)行比較；（2）依據(jù)冪的乘方公式，化為指數(shù)是11的形式進(jìn)行比較；（3）利用作商法，結(jié)合積的乘方法則計(jì)算，依據(jù)結(jié)果推斷．【詳解】解：（1）∵，，，∴a＞b＞c；（2），，，，∵，∴；（3）∵，∴P=Q．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，靈敏運(yùn)用運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】閱讀材料，解決問(wèn)題．材料一：比較和的大?。猓阂?yàn)椋?，所以，即．小結(jié)：在指數(shù)相同的狀況下，可通過(guò)比較底數(shù)的大小，來(lái)確定兩個(gè)冪的大?。牧隙罕容^和的大?。猓阂?yàn)椋?，所以，即．小結(jié)：在底數(shù)相同的狀況下，可以通過(guò)比較指數(shù)的大小，來(lái)確定兩個(gè)冪的大?。?）比較，，的大小：（2）比較，，的大小．【答案】（1）344＞433＞522；（2）8131＞2741＞961【解析】【分析】（1）依據(jù)冪的乘方法則的逆運(yùn)算進(jìn)行變形，再比較大??；（2）依據(jù)冪的乘方法則的逆運(yùn)算進(jìn)行變形，再比較大?。驹斀狻拷猓海?）∵344=（34）11=8111，433=（43）11=6411，522=（52）11=2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131=（34）31=3124，2741=（33）41=3123，961=（32）61=3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961．【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方與積的乘方、有理數(shù)大小比較，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)大小的比較方法．【變式訓(xùn)練2】閱讀：已知正整數(shù)a、b、c，明顯，當(dāng)同底數(shù)時(shí)，指數(shù)大的冪也大，若對(duì)于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個(gè)冪ab和cb，當(dāng)a＞c時(shí)，則有ab＞cb，依據(jù)上述材料，回答下列問(wèn)題．(1)比較大?。?20420（填寫(xiě)＞、＜或＝）．(2)比較233與322的大?。▽?xiě)出比較的具體過(guò)程）．(3)計(jì)算42024×0.252024﹣82024×0.1252024【答案】(1)＞(2)233＜322(3)-4【解析】【分析】（1）依據(jù)同指數(shù)的冪底數(shù)越大冪越大，可得答案；（2）依據(jù)冪的乘方，可得指數(shù)相同的冪，依據(jù)底數(shù)越大冪越大，可得答案；（3）逆向運(yùn)用積的乘方運(yùn)算法則解答即可．(1)解：∵5＞4，∴520＞420，故答案是：＞；(2)解：∵233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，又∵811＜911，∴233＜322；(3)解：42024×0.252024﹣82024×0.1252024＝＝4×12024﹣8×12024＝4﹣8＝﹣4．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方，利用同指數(shù)的冪底數(shù)越大冪越大是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】將冪的運(yùn)算逆向思維可以得到，，，，在解題過(guò)程中，依據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，逆向運(yùn)用冪的運(yùn)算法則，?？苫睘楹?jiǎn)，化難為易，使問(wèn)題奇異獲解．（1）_________；（2）若，求的值；（3）比較大?。?，則的大小關(guān)系是什么？（提示：假如，為正整數(shù)，那么）【答案】（1）1；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）依據(jù)積的乘方公式，進(jìn)行逆運(yùn)算，即可解答；（2）轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（3）轉(zhuǎn)化為指數(shù)相同，再比較底數(shù)的大小，即可解答．【詳解】解：（1）故答案為：1（2）∵，∴，∴，即，∴，解得；（3）由題可得：，，，，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方和積的乘方，解決本題的關(guān)鍵是公式的逆運(yùn)用．【課后訓(xùn)練】一、選擇題1．計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)積的乘方法則，先各自乘方，后把積相乘即可．【詳解】∵==，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方運(yùn)算，正確進(jìn)行各自的乘方計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．下列運(yùn)算中正確的是（）A．3a﹣2a＝1 B．a(chǎn)?a2＝3a3 C．（ab2）3＝a3b3 D．a(chǎn)2?a3＝a5【答案】D【解析】【分析】依據(jù)同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，合并同類(lèi)項(xiàng)法則依次計(jì)算推斷即可得．【詳解】解：A、合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)相加字母部分不變，，故A錯(cuò)誤；B、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加，，故B錯(cuò)誤；C、積的乘方等于每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，，故C錯(cuò)誤；D、同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加，故D正確；故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，合并同類(lèi)項(xiàng)，嫻熟駕馭各個(gè)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算可干脆進(jìn)行解除選項(xiàng)．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的乘方的逆用，嫻熟駕馭冪的乘方的逆用是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．計(jì)算：a2?a4＝______．＝_____．【答案】

a6

【解析】【分析】依據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則和積的乘方法則計(jì)算．【詳解】解：a2·a4＝a6．＝．故答案為：a6；【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，嫻熟駕馭冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．同底數(shù)的冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．5．若為正整數(shù)，且，則的值為_(kāi)______．【答案】2891【解析】【分析】用冪的乘方法則將原式變形為，然后代入求值計(jì)算即可．【詳解】解：原式，因?yàn)椋?，原式故答案為?891【點(diǎn)睛】本題考查冪的乘方法則的靈敏應(yīng)用，嫻熟駕馭冪的乘方法則和整體代入的思想是本題的解題關(guān)鍵．6．閱讀理解：①依據(jù)冪的意義，表示個(gè)相乘；則；②，知道和可以求，我們不妨思索；假如知道，，能否求呢？對(duì)于，規(guī)定，，例如：，所以，．記，，，；與之間的關(guān)系式為_(kāi)_．【答案】【解析】【分析】由題意得：x＝54m，y?3＝54m＋2，然后依據(jù)同底數(shù)冪的逆用得問(wèn)題的答案．【詳解】解：由題意得：，，，即．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘方、同底數(shù)冪乘法的逆用，正確理解新規(guī)定是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．計(jì)算：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2?a4．【答案】【解析】【分析】原式利用冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算，合并即可得到結(jié)果．【詳解】解：（﹣3a2）3+（4a3）2﹣a2?a4===【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方與積的乘方運(yùn)算，嫻熟駕馭運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．8．計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算積的乘方，冪的乘方，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可；（2）計(jì)算同底數(shù)冪乘法，冪的乘方，積的乘方，合并同類(lèi)項(xiàng)即可．【詳解】解：（1），=，=，=；（2），，．【點(diǎn)睛】本題考查冪的混合運(yùn)算，駕馭冪的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．9．計(jì)算：(1)已知，求的值；(2)已知n為正整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由積的乘方公式解題；（2）由積的乘方公式解得，再利用整體代入法解題．(1)解：．(2)原式．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方、冪的乘方等學(xué)問(wèn)，是重要考點(diǎn)，難度一般，駕馭相關(guān)學(xué)問(wèn)是解題關(guān)鍵．10．（1）若，，求的值；（2）若，求的值；（3）比較大?。?，，．【答案】（1）108；（2）8；（3）．【解析】【分析】（1）依據(jù)求解即可；（2）依據(jù)求解即可；（3）先得到，，，然后比較大小即可．【詳解】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴；（3），，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆用，冪的乘方的逆用，解題的關(guān)鍵在于能夠嫻熟駕馭相關(guān)學(xué)問(wèn)進(jìn)行求解．11．定義：若am＝b，則Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，則L28＝3．（1）運(yùn)用以上定義，計(jì)算L525﹣L22；（2）假如L23＝x，，求x+2y的值．【答案】（1）1；（2）3．【解析】【分析】（1）由定義和冪的運(yùn)算可得，L525＝2，L22＝1；（2）由定義可得2x＝3，4y＝22y＝，所以2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，可求得結(jié)果為3．【詳解】解：（1）∵52＝25，21＝2，∴L525＝2，L22＝1，∴L525﹣L22＝2﹣1＝1；（2）由定義可得2x＝3，4y＝22y＝，∴2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×＝8＝23，∴x+2y的值是3．【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式求值及冪的應(yīng)用實(shí)力，關(guān)鍵是能依據(jù)題目定義和冪的運(yùn)算進(jìn)行精確變形、計(jì)算．12．若（且，m、n是正整數(shù)），則．利用上面結(jié)論解決下面的問(wèn)題：（1）假如，求x的值；（2）假如，求x的值；（3）若，，用含x的代數(shù)式表示y．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先,將底數(shù)都化為2，再利用同底數(shù)冪的乘除法法則計(jì)算；（2）利用積的乘方逆運(yùn)算解答；（3）利用等式的性質(zhì)及冪的乘方逆運(yùn)算將式子變形為，，即可得到x與y的關(guān)系式，由此得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∴，解得；（2）∵，∴，，，；（3）∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查整式的乘法公式：同底數(shù)冪相乘、同底數(shù)冪相除、積的乘方以及冪的乘方的計(jì)算法則，熟記法則及其逆運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．13．規(guī)定兩數(shù)之間的一種運(yùn)算，記作：假如，那么．例如：因?yàn)?，所?2，8)=3．（1）依據(jù)上述規(guī)定，填空：（5，125）=，（-2，4）=，（-2，1）=；（2）小明在探討這種運(yùn)算時(shí)發(fā)覺(jué)一個(gè)現(xiàn)象：，他給出了如下的證明：設(shè)，則，即∴，即，∴．請(qǐng)你嘗試運(yùn)用上述這種方法說(shuō)明下面這個(gè)等式成立的理由．(4，7)＋(4，8)=(4，56)【答案】（1）3、2、0；（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依據(jù)定義新運(yùn)算分別進(jìn)行計(jì)算，即可得答案；（2）設(shè)（4，7）=x，（4，8）=y，依據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則即可求解．【詳解】解：（1）53=125，（5，125）=3，（-2）2=4，（-2，4）=2，（-2）0=1，（-2，1）=0，

故答案為：3；2；0；（2）設(shè)（4，7）=x，（4，8）=y，∴

∴

∵

∴

∴(4