高考數(shù)學(xué)微專題集專題17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題微點(diǎn)1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題(原卷版+解析)

專題17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題微點(diǎn)1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題專題17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題微點(diǎn)1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)常用結(jié)論及其初步應(yīng)用【微點(diǎn)綜述】圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要研究對象，其中具有相同焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線更是引人矚目，耐人尋味．在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現(xiàn)以共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問題，此類問題因涉及知識的交匯、體現(xiàn)綜合運(yùn)用能力，學(xué)生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關(guān)的結(jié)論，通過具體例子說明結(jié)論的應(yīng)用，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考．一、常用結(jié)論【結(jié)論1】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結(jié)論2】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式得．【結(jié)論3】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則．證明：由結(jié)論2得，又．注意到．【結(jié)論4】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，則．證明：．【評注】結(jié)論4反映之間的等量關(guān)系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結(jié)論5】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．證法2：借助焦點(diǎn)三角形面積公式運(yùn)用面積公式，設(shè)橢圓的短半軸長為，雙曲線的虛半軸長為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結(jié)論6】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，則橢圓與雙曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直．證明：橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點(diǎn)處的切線，該切線的斜率為，；又由結(jié)論1得，則橢圓與雙曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直．【結(jié)論7】若點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，且它們在點(diǎn)處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)．二、應(yīng)用舉例（一）公共點(diǎn)問題1．已知點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的一個交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，則___________．（二）公共焦點(diǎn)三角形問題2．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，則的面積為_________，的形狀是_________．例3．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）3．已知?，設(shè)P是橢圓與雙曲線的交點(diǎn)之一，則___________.（三）角度問題4．設(shè)橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，是兩條曲線的一個公共點(diǎn)，則等于__________．（四）公共點(diǎn)處切線有關(guān)問題5．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為_________________．（五）求離心率的值例5．(2023·云南云南·高二月考）6．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個公共點(diǎn)，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率為______．7．若兩曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱這兩條曲線在點(diǎn)處正交．設(shè)橢圓與雙曲線在交點(diǎn)處正交，則橢圓的離心率為__________．不難看出，有了以上性質(zhì)之后，在解決有關(guān)共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的相關(guān)問題時，處理起來往往會比較簡便，真正達(dá)到“少算、巧算”的目的．當(dāng)然在具體的題目中，以上性質(zhì)是否有用，取決于相應(yīng)的題目條件．在教學(xué)過程中我們可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生作出相應(yīng)的歸納總結(jié)，如本文中由于經(jīng)常出現(xiàn)共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的相關(guān)問題，我們不妨將其進(jìn)行有效地研究與歸納總結(jié)，幫助學(xué)生提高計(jì)算的準(zhǔn)確性與方法選擇的恰當(dāng)性，從而高效地解決問題．（五）求橢圓、雙曲線離心率之積的取值范圍或最值問題（六）求（為正常數(shù)）型最值問題綜上可知，共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線一般有如下幾類題型：一是求兩離心率之積的取值范圍或最值問題；二是求兩離心率的倒數(shù)之和的最大值問題．不論是哪種題型，一般先由結(jié)論4或結(jié)論5得出的等量關(guān)系式，將問題轉(zhuǎn)化為二元條件最值問題，若求的取值范圍或最值問題，一般可考慮均值不等式、三角換元、消元等方法處理；若求（為正常數(shù)）的最大值，一般可考慮柯西不等式或三角換元等方法處理．8．設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足，則的值為

A． B．1 C．2 D．不確定9．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，P是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則A．4 B． C．2 D．310．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當(dāng)取最大值時，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，例4．（2023·新江寧這育·高二期末）11．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共交點(diǎn)，且，若橢圓離心率記為，雙曲線離心率記為，則的最小值為（

）A．25 B．100 C．9 D．36例5．（2023·全國高三專題練習(xí)）12．設(shè)，分別為橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為________________________．例6．（2023·河南鄭州市·高三一模（文））13．已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是在第二象限的公共點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例7．（2023·全國高二課時練習(xí)）14．橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)為，且，若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為___________.例8．（2023·浙江紹興市·高二期末）15．已知為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P為其一個公共點(diǎn)，且，若橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·陜西渭南市，高二期末（理））16．我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”，已知、是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時，這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．2自我檢測(2023·湖北卷）17．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A． B． C．3 D．218．已知橢圓，與雙曲線具有相同焦點(diǎn)F1、F2，且在第一象限交于點(diǎn)P，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，若∠F1PF2＝，則的最小值是A． B．2＋ C． D．19．設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C．4 D．（2023·江西南昌市·（理））20．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（

）A． B． C． D．（2023·江蘇徐州市高二月考）21．已知點(diǎn)，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別是和的離心率，點(diǎn)為和的一個公共點(diǎn)，且，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高二期中（理））22．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．1（2023·江西高三其他模擬（文））23．已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．（2023·貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高三開學(xué)考試（理））24．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，，為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，P點(diǎn)為它們在第一象限的一個交點(diǎn)，且，設(shè)，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為A． B． C． D．（2023·江蘇省前黃高級中學(xué)高二期末）25．，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別為曲線，的離心率，為曲線，的一個公共點(diǎn)，若，且，則___________.（2023·天津靜海區(qū)·高二期中）26．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，為與的一個交點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則_______．（2023·江蘇省天一中學(xué)高三一模）27．設(shè)P為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個交點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.（2023·江蘇省如皋中學(xué)高二月考（文））28．設(shè)為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個交點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為_________.（2023．湖北（理））29．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值是__________．（2023·浙江嘉興市·高二月考（理））30．設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為是兩曲線的一個公共點(diǎn),則的值等于A． B．C． D．（2023·江蘇泰州市·泰州中學(xué)高二開學(xué)考試）31．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)使兩曲線的一個公共點(diǎn)，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（

）A． B．2 C． D．3（2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）32．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．（2023·全國高三專題練習(xí)（理））33．若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩條曲線的一個交點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則__________.（2023·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））34．橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則A． B．C． D．（2023·陜西漢中市·高三月考（理））35．橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對兩公共焦點(diǎn)，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．專題17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題微點(diǎn)1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題專題17橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)問題微點(diǎn)1橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)常用結(jié)論及其初步應(yīng)用【微點(diǎn)綜述】圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要研究對象，其中具有相同焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線更是引人矚目，耐人尋味．在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現(xiàn)以共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數(shù)之和的最值與范圍問題，此類問題因涉及知識的交匯、體現(xiàn)綜合運(yùn)用能力，學(xué)生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關(guān)的結(jié)論，通過具體例子說明結(jié)論的應(yīng)用，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考．一、常用結(jié)論【結(jié)論1】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結(jié)論2】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)三角形面積公式得．【結(jié)論3】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則．證明：由結(jié)論2得，又．注意到．【結(jié)論4】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，則．證明：．【評注】結(jié)論4反映之間的等量關(guān)系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結(jié)論5】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，分別為的離心率，點(diǎn)是與的一個公共點(diǎn)，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．證法2：借助焦點(diǎn)三角形面積公式運(yùn)用面積公式，設(shè)橢圓的短半軸長為，雙曲線的虛半軸長為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結(jié)論6】已知點(diǎn)是橢圓與雙曲線共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，則橢圓與雙曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直．證明：橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點(diǎn)處的切線，該切線的斜率為，；又由結(jié)論1得，則橢圓與雙曲線在點(diǎn)處的切線相互垂直．【結(jié)論7】若點(diǎn)是橢圓與雙曲線的一個公共點(diǎn)，且它們在點(diǎn)處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)．二、應(yīng)用舉例（一）公共點(diǎn)問題1．已知點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓與雙曲線的一個交點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，則___________．（二）公共焦點(diǎn)三角形問題2．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，則的面積為_________，的形狀是_________．例3．(2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）3．已知?，設(shè)P是橢圓與雙曲線的交點(diǎn)之一，則___________.（三）角度問題4．設(shè)橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，是兩條曲線的一個公共點(diǎn)，則等于__________．（四）公共點(diǎn)處切線有關(guān)問題5．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為_________________．（五）求離心率的值例5．(2023·云南云南·高二月考）6．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個公共點(diǎn)，且，若雙曲線為等軸雙曲線，則橢圓的離心率為______．7．若兩曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱這兩條曲線在點(diǎn)處正交．設(shè)橢圓與雙曲線在交點(diǎn)處正交，則橢圓的離心率為__________．不難看出，有了以上性質(zhì)之后，在解決有關(guān)共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的相關(guān)問題時，處理起來往往會比較簡便，真正達(dá)到“少算、巧算”的目的．當(dāng)然在具體的題目中，以上性質(zhì)是否有用，取決于相應(yīng)的題目條件．在教學(xué)過程中我們可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生作出相應(yīng)的歸納總結(jié)，如本文中由于經(jīng)常出現(xiàn)共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的相關(guān)問題，我們不妨將其進(jìn)行有效地研究與歸納總結(jié)，幫助學(xué)生提高計(jì)算的準(zhǔn)確性與方法選擇的恰當(dāng)性，從而高效地解決問題．（五）求橢圓、雙曲線離心率之積的取值范圍或最值問題（六）求（為正常數(shù)）型最值問題綜上可知，共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線一般有如下幾類題型：一是求兩離心率之積的取值范圍或最值問題；二是求兩離心率的倒數(shù)之和的最大值問題．不論是哪種題型，一般先由結(jié)論4或結(jié)論5得出的等量關(guān)系式，將問題轉(zhuǎn)化為二元條件最值問題，若求的取值范圍或最值問題，一般可考慮均值不等式、三角換元、消元等方法處理；若求（為正常數(shù)）的最大值，一般可考慮柯西不等式或三角換元等方法處理．8．設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足，則的值為

A． B．1 C．2 D．不確定9．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，P是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則A．4 B． C．2 D．310．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當(dāng)取最大值時，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，例4．（2023·新江寧這育·高二期末）11．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共交點(diǎn)，且，若橢圓離心率記為，雙曲線離心率記為，則的最小值為（

）A．25 B．100 C．9 D．36例5．（2023·全國高三專題練習(xí)）12．設(shè)，分別為橢圓：與雙曲線：的公共焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為________________________．例6．（2023·河南鄭州市·高三一模（文））13．已知知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，是在第二象限的公共點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例7．（2023·全國高二課時練習(xí)）14．橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)為，且，若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為___________.例8．（2023·浙江紹興市·高二期末）15．已知為橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P為其一個公共點(diǎn)，且，若橢圓與雙曲線的離心率分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．（2023·陜西渭南市，高二期末（理））16．我們把焦點(diǎn)相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”，已知、是一對相關(guān)曲線的焦點(diǎn)，是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時，這一對相關(guān)曲線中雙曲線的離心率是A． B． C． D．2自我檢測(2023·湖北卷）17．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個公共點(diǎn)，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（）A． B． C．3 D．218．已知橢圓，與雙曲線具有相同焦點(diǎn)F1、F2，且在第一象限交于點(diǎn)P，橢圓與雙曲線的離心率分別為e1、e2，若∠F1PF2＝，則的最小值是A． B．2＋ C． D．19．設(shè)，分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A．3 B． C．4 D．（2023·江西南昌市·（理））20．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（

）A． B． C． D．（2023·江蘇徐州市高二月考）21．已知點(diǎn)，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別是和的離心率，點(diǎn)為和的一個公共點(diǎn)，且，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高二期中（理））22．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最大值為（

）A． B． C． D．1（2023·江西高三其他模擬（文））23．已知橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同，離心率分別為，，且滿足，，是它們的公共焦點(diǎn)，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．（2023·貴州黔東南苗族侗族自治州·凱里一中高三開學(xué)考試（理））24．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，，為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，P點(diǎn)為它們在第一象限的一個交點(diǎn)，且，設(shè)，分別為橢圓雙曲線離心率，則的最大值為A． B． C． D．（2023·江蘇省前黃高級中學(xué)高二期末）25．，是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別為曲線，的離心率，為曲線，的一個公共點(diǎn)，若，且，則___________.（2023·天津靜海區(qū)·高二期中）26．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，為與的一個交點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則_______．（2023·江蘇省天一中學(xué)高三一模）27．設(shè)P為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個交點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則______________.（2023·江蘇省如皋中學(xué)高二月考（文））28．設(shè)為有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的一個交點(diǎn)，且，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為_________.（2023．湖北（理））29．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值是__________．（2023·浙江嘉興市·高二月考（理））30．設(shè)橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)為是兩曲線的一個公共點(diǎn),則的值等于A． B．C． D．（2023·江蘇泰州市·泰州中學(xué)高二開學(xué)考試）31．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，，點(diǎn)使兩曲線的一個公共點(diǎn)，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（

）A． B．2 C． D．3（2023·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)高二期末）32．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個公共點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為（

）A． B． C． D．（2023·全國高三專題練習(xí)（理））33．若橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩條曲線的一個交點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，，則__________.（2023·江西南昌市·南昌二中高二月考（文））34．橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)、，它們的交點(diǎn)對兩公共焦點(diǎn)、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則A． B．C． D．（2023·陜西漢中市·高三月考（理））35．橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，，它們的交點(diǎn)對兩公共焦點(diǎn)，張的角為.橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則A． B．C． D．參考答案：1．分析：設(shè)點(diǎn)，根據(jù)直線的斜率公式得到；聯(lián)立兩方程解出，，即可代入得出答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)，根據(jù)直線的斜率公式得到，聯(lián)立方程與消去y，得：，解得，即，代入解得：，即，，故答案為：.2．

1

直角三角形分析：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可判斷直角三角形，進(jìn)而可求面積.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，為左右焦點(diǎn)，焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可得：，故，又，故可得且，故，因此形狀是直角三角形，以為直角，，故答案為：1；直角三角形.3．6分析：由于橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，利用兩者的定義列出等式求出即可得到答案.【詳解】橢圓和雙曲線分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程為、，可知兩曲線共焦點(diǎn)，設(shè)，由定義有：或.故答案為：6.4．【詳解】試題分析：，，，則，，考點(diǎn)：1.橢圓定義；2.雙曲線定義；3.余弦定理；5．##分析：依題意，注意到點(diǎn)在橢圓上，由此得到橢圓在點(diǎn)處的切線方程；再結(jié)合上述性質(zhì)得到橢圓與雙曲線在其公共點(diǎn)處的斜率間的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率．也可以利用結(jié)論6直接得到答案．【詳解】根據(jù)結(jié)論6，由題意得橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，即，該直線的斜率為，由結(jié)論5得知，該雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為．故答案為：.6．分析：設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得，再由余弦定理，可得，與的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，可得，的關(guān)系，計(jì)算可得所求值．【詳解】設(shè)，為第一象限的交點(diǎn)，設(shè)橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，在三角形中，，由余弦定理可得，，即有，可得，即為，由雙曲線為等軸雙曲線，所以，可得.故答案為：．7．分析：設(shè)橢圓與雙曲線的交點(diǎn)為，聯(lián)立兩曲線方程解得的值，再寫出兩曲線在的切線方程及斜率，由解出的值，進(jìn)而可求橢圓的離心率.【詳解】解：設(shè)橢圓與雙曲線的交點(diǎn)為，解方程組，得，橢圓在處的切線方程為，斜率；雙曲線在處的切線方程為，斜率；因?yàn)闄E圓與雙曲線在交點(diǎn)處正交，所以，所以，即，解得.所以橢圓的離心率.故答案為：.8．C分析：根據(jù)題意，設(shè)它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實(shí)軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關(guān)于a、c、m的方程，聯(lián)解可得a2+m2=2c2，再根據(jù)離心率的定義求解．【詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，設(shè)P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m

①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a

②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C【點(diǎn)睛】9．A分析：設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的實(shí)半軸長a2，焦距2c．結(jié)合橢圓與雙曲線的定義,得，,在△F1PF2中,根據(jù)余弦定理可得到與c的關(guān)系式,變形可得的值.【詳解】如圖所示:設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：，，∴，，設(shè)，，則在中由余弦定理得，，∴化簡得，該式可變成．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓及雙曲線的定義和離心率，考查了余弦定理的應(yīng)用;涉及圓錐曲線的離心率時,常通過結(jié)合圓錐曲線a,b,c的關(guān)系式和其他已知條件,轉(zhuǎn)化只含有a,c的關(guān)系式求解.10．A分析：設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，，，根據(jù)，利用余弦定理得到，進(jìn)而得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：不妨設(shè)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，，．設(shè)，．．則，，∴，．因?yàn)?，所以，即．∴，∴，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號．故選：A．11．A【解析】由橢圓與雙曲線的定義得記，則（橢圓長軸長），，用余弦定理得出的關(guān)系，代入和與差后得的關(guān)系式，然后用基本不等式求得最小值．【詳解】記，則（橢圓長軸長），（雙曲線的實(shí)軸長），又由余弦定理得，所以，即，變形為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓與雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是掌握兩個軸線的定義，在橢圓中，，在雙曲線中，不能混淆．12．分析：由題意，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，表示出焦半徑，整理齊次方程，根據(jù)離心率定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由橢圓及雙曲線定義得，，，因?yàn)?，所以，，，因?yàn)椋?，，所以，則，因?yàn)椋?，由，所以，因此．故答案為?13．B【解析】求出橢圓焦點(diǎn)得雙曲線焦點(diǎn)，從而得雙曲線的，利用勾股定理和橢圓的定義求得得雙曲線的實(shí)軸長，可得雙曲線離心率．【詳解】易知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線方程為，則，記，由在橢圓上有，∴，即，，∴雙曲線離心率為．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是利用雙曲線與已知橢圓共焦點(diǎn)，有公共點(diǎn)求出半焦距和半實(shí)軸長，注意點(diǎn)橢圓與雙曲線的定義的不同：橢圓中是，雙曲線中是．14．【解析】設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸上，設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實(shí)軸長為，兩曲線的焦距為，橢圓和雙曲線的離心率分別為、，利用余弦定理、橢圓和雙曲線的定義可得出，進(jìn)而可得出，結(jié)合可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)都在軸上，設(shè)橢圓的長軸長為，雙曲線的實(shí)軸長為，兩曲線的焦距為，橢圓和雙曲線的離心率分別為、，不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn)，在橢圓中：①，在雙曲線中：②，聯(lián)立①②解得，，，在中由余弦定理得：，即即，即，所以，，因?yàn)闄E圓的離心率，所以雙曲線的離心率，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.15．D分析：先設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長為，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，然后根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，再利用余弦定理列等式，轉(zhuǎn)化為離心率的等式后，根據(jù)基本不等式可求得.【詳解】如圖所示：設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實(shí)軸長為，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得，，，所以，，設(shè)，，在中，由余弦定理得，化簡可得：，所以，即，由，解得.故選：D16．A分析：設(shè)，，設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，根據(jù)余弦定理可得，利用橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合離心率的公式，求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，橢圓的離心率為，則，．雙曲線的實(shí)半軸長為，雙曲線的離心率為，，，設(shè)，，則，當(dāng)點(diǎn)P被看作是橢圓上的點(diǎn)時，有，當(dāng)點(diǎn)P被看作是雙曲線上的點(diǎn)時，有，兩式聯(lián)立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即雙曲線的離心率為，故選A．【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)橢圓和雙曲的有關(guān)問題，涉及到的知識點(diǎn)有橢圓和雙曲線的定義，新定義，橢圓和雙曲線的離心率，余弦定理，屬于中檔題目.17．A【詳解】試題分析：設(shè)橢圓的長半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為，由橢圓和雙曲線的定義可知，設(shè)，橢圓和雙曲線的離心率分別為由余弦定理可得，①在橢圓中，①化簡為即即在雙曲線中，①化簡為即即③聯(lián)立②③得，由柯西不等式得即（即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選A考點(diǎn)：橢圓，雙曲線的簡單性質(zhì)，余弦定理18．A分析：首先根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，得出與所滿足的關(guān)系，列出式子，求得邊長，之后借助于余弦定理，求得，之后應(yīng)用橢圓的離心率與雙曲線的離心率的式子，化簡應(yīng)用基本不等式求得最小值.【詳解】根據(jù)題意，可知，解得，根據(jù)余弦定理，可知，整理得，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)橢圓和雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點(diǎn)有橢圓和雙曲線的定義，余弦定理，橢圓和雙曲線的離心率，基本不等式求最小值的問題，正確理解知識點(diǎn)是正確解題的關(guān)鍵.19．B分析：對橢圓和雙曲線的離心率分別求出，首先根據(jù)橢圓及雙曲線的定義求出，可得，得，就得到了的關(guān)系，最后利用基本不等式求得最小值.【詳解】解：由題意設(shè)焦距為，橢圓的長軸長，雙曲線的實(shí)軸長為，不妨令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓的定義，又，故，得，將代入得，∴．故選：B．20．B分析：設(shè)為第一象限點(diǎn)，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理可得，再根據(jù)基本不等式求解最值即可.【詳解】設(shè)為第一象限點(diǎn)，橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，則.故選：B.21．D【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的實(shí)半軸長為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,由橢圓與雙曲線的定義和余弦定理,可得,再由求的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,雙曲線的實(shí)半軸長為,焦點(diǎn)坐標(biāo)為,不妨設(shè)為第一象限的點(diǎn),由橢圓與雙曲線的定義得,①,,②,由余弦定理得,③聯(lián)立①②③得,由,,得,,,,則,,,,,,又,,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓?雙曲線的離心率的范圍,考查余弦定理和定義法的運(yùn)用,需要一定的計(jì)算能力,屬于中檔題.22．B分析：首先設(shè)橢圓的方程為，雙曲線方程為，點(diǎn)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義得到：，，從而得到，，利用余弦定理得到，從而得到，再利用基本不等式即可得到答案?！驹斀狻吭O(shè)橢圓的方程為，雙曲線方程為，點(diǎn)在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義得：，，解得，，在中，由余弦定理得：，即：整理得：。所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故，所以的最大值為。故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓和雙曲線的離心率，同時考查了基本不等式，屬于中檔題。23．C分析：設(shè)，，利用余弦定理可得，再分別利用橢圓與雙曲線的定義可得，可得，結(jié)合，解方程即可得答案.【詳解】設(shè)，，在橢圓：中，，，在雙曲線：中，，即，則所以，又因?yàn)?，所以，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在處理焦點(diǎn)三角形問題時，一般要考慮橢圓和雙曲線的定義，注意余弦定理的應(yīng)用，得到基本量之間的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為離心率問題，一般此類問題比較靈活，需要基礎(chǔ)扎實(shí)，運(yùn)算能力強(qiáng).24．B分析：設(shè)橢圓的長半軸長為半焦距為,雙曲線的實(shí)半軸長為,半焦距為,根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得,,然后在焦點(diǎn)三角形中,由余弦定理以及離心率公式可得,最后利用柯西不等式即可得到.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為,半焦距為,雙曲線的實(shí)半軸長為,半焦距為,根據(jù)橢圓的定義可得:,根據(jù)雙曲線的定義可得:,兩式聯(lián)立解得:,,在焦點(diǎn)三角形中,由余弦定理得:,化簡得:,兩邊同時除以,得:,由柯西不等式得:,即,所以,所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓和雙曲線的定義,余弦定理,離心率以及柯西不等式,屬難題.25．【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，在中，由余弦定理可得：，，進(jìn)而得到，根據(jù)范圍可得到結(jié)果.【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的方程為，半焦距為，雙曲線的方程為，，半焦距為，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，設(shè)，，，，，，在中，由余弦定理可得：，，兩邊同時除以，得，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線離心率的綜合，通過計(jì)算得到是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯思維能力，屬于常考題.26．分析：】由題意畫出圖形，利用圓錐曲線定義及勾股定理可得，然后結(jié)合隱含條件列式求得，再由即可求得．【詳解】如圖，由橢圓定義及勾股定理得，，可得，同理可得即，∵，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的簡單性質(zhì)，利用三角形面積相等是解答該題的關(guān)鍵，屬于中檔題．27．【詳解】設(shè)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得,根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，,即故答案為28．8分析：由題設(shè)中的條件，設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，根據(jù)橢圓和雙曲線的性質(zhì)以及勾弦定理建立方程，聯(lián)立可得m，a，c的等式，整理即可得到+=2，再利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實(shí)軸長為2m，不妨令P在雙曲線的右支上由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∠F1PF2=90°，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③得a2+m2=2c2，可得+=2，∴=（+）（）=（10++）≥（10+6）=8，故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義焦點(diǎn)三角形中用勾弦定理建立三個方程聯(lián)立求橢圓離心率e1與雙曲線心率e2滿足的關(guān)系式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所得出的條件靈活變形，湊出兩曲線離心率所滿足的方程來．29．分析：設(shè)出雙曲線和橢圓方程，根據(jù)兩者關(guān)系得到，在中由余弦定理可得，根據(jù)均值不等式可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓方程是,雙曲線方程是,由定義可得,在中由余弦定理可得,即.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成