人教版九年級數學上冊23圖形的旋轉及中心對稱

圖形的旋轉及中心對稱

頭@知識集結

知識元

十二？旋轉圖形的識別

辿知識講解

旋轉的概念

把一個圖形繞著某一點A轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.點A叫做旋轉中心，轉動的角叫

做旋轉角（如NBAD）,如果圖形上的點B經過旋轉變?yōu)辄cD,那么這兩個點叫做這個旋轉的對

應點.

要點詮釋：旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度.

'例題精講

旋轉圖形的識別

例1.

下列現(xiàn)象屬于旋轉的是（）.

A.摩托車在急剎車時向前滑動B.飛機起飛后沖向空中的過程

C.幸運大轉盤轉動的過程D.筆直的鐵軌上飛馳而過的火車

【答案】C

【解析】

題干解析：

解：本題考查了旋轉，判斷旋轉的方法是：在平面內，將一個圖形繞著一個定點沿某個方向轉

動一個角度.

A、摩托車在急剎車時向前滑動是平移，故此選項錯誤；

B、飛機起飛后沖向空中的過程是平移，故此選項錯誤；

C、幸運大轉盤轉動的過程是旋轉，故此選項正確；

D、筆直的鐵軌上飛馳而過的火車是平移，故此選項錯誤；故選：C.

例2.

在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.下列

圖案中，不能由一個圖形通過旋轉而構成的是（）.

【答案】C

【解析】

題干解析：

解：A、旋轉90°后與原圖重合；

B、旋轉60°后與原圖重合；

C、只有C是軸對稱變換；

D、旋轉72°后與原圖重合.故選C.

例3.

下面生活中的實例，不是旋轉的是（）

A.傳送帶傳送貨物B.螺旋槳的運動

C.風車風輪的運動D.自行車車輪的運動

【答案】A

【解析】

題干解析：

解：傳送帶傳送貨物的過程中沒有發(fā)生旋轉.故選：A.

'旋轉變換

避知識講解

在解題的過程中，可看出如果選取的基本圖形不同，可得到不同的形成過程，甚至所選取的基

本圖形相同，也有不同的形成過程，因此分析圖案的形成過程旨在了解圖形的變化規(guī)律，而不

必強求分析的一致性.

例題精講

旋轉變換

例1.

在圖中，將左邊方格紙中的圖形繞0點順時針旋轉90。得到的圖形是（）

LTTL]

【答案】B

【解析】

題干解析：

解：根據旋轉的性質可知，繞O點順時針旋轉90。得到的圖形是:

例2.

如圖，沿圖中的右邊緣所在的直線為軸將該圖形向右翻折180。后，再將翻折后的正方形繞它

的右下頂點按順時針方向旋轉90。，所得到的圖形是（）

【答案】C

【解析】

題干解析：

解：首先根據軸對稱的性質得出翻折后圖形，再利用中心對稱圖形的概念得出即可.

以圖的右邊緣所在的直線為軸將該圖形向右翻轉180。后，圓在右上角，

再按順時針方向旋轉90。，圓在右下角.故選：A

例3.

直角坐標系中點A坐標為（5,3）,B坐標為（1,0）,將點A繞點B逆時針旋轉90。得到點

C,則點C的坐標為.

【答案】

（-2,4）

【解析】

題干解析:根據題意畫出圖形，易證AADB三ABEC,求出CE、OE的長即可求出C

的坐標.解：如圖所示，點A繞點B逆時針旋轉90。到點C,：A坐標為（5,

3）,B坐標為（1,0）,以口=3,BD=4,.-.AB=5,根據旋轉的性質，AB=BC,

vzABC=90°,.-.ZEBC+ZABD=9O°,VZDAB+ZABD=90°,.-.ZEBC=ZDAB.在

ZCEB=/BAD=90°

AEBC和ABAD中JZEBC=/DAB,

AB=BC

AAEBC=ABAD,??CE=BD=4,BE=AD=3,VOB=1,

??.OE=2,.?.C(-2,4).故答案為：(24).

'利用旋轉的性質求角度

知識講解

根據旋轉的性質可知，旋轉角都相等，所以在旋轉角度的計算中要準確找出旋轉角，然后運用

旋轉的性質求解.

例題精講

Co利用旋轉的性質求角度

例1.

如圖，在RTA4BC中，ZACB=9Q°,Af為2B邊的中點，將繞點Af旋

轉，使點力與點。重合得到△CED,連接若NB=25°,則等于

A.50。B,80°c.90°D,100°

【答案】B

【解析】

題干解析：

解：,-ZB=25°,ZACB=90°,.,ZA=65°.

?.?Af為SB邊的中點，A￡4=MC一?.乙4aVf=65°,

.-.ZAMC=180°-ZA-ZACM=50°,

ZAMD=2ZAMC=100°,ZBMD=180°-ZAMD=80°,故選B.

例2.

如圖，AOAB繞點。逆時針旋轉85。得到AOCD,若NA=110。，ZD=40°,則Na的度數是

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】C

【解析】

題干解析：

解：由題意可知：ZDOB=85°,

???△DCO=ABAO,

.,.ZD=ZB=4O0,

.-.ZAOB=180°40°-110°=30°

???4（1=85。-30。=55。,故選C

例3.

如圖，已知鈍角三角形ABC,將AABC繞點A按逆時針方向旋轉110。得到△AB，C,連接

BB\若AC1IBB：則NCAB，的度數為（）

D.85°

【答案】C

【解析】

題干解析：

解：?.?將ZkABC繞點A按逆時針方向旋轉110。得到AABC,

.?ZBAB'=NCAC=110。，AB=AB\

???ZAB,B=-(180°-110°)=35°,

2

.?ZC'AB'=NAB'B=35°,

.?.NCAB'=NCAC"CAB'=110。一35。=75。.故選C.

例4.

如圖，把AABC繞點C按順時針方向旋轉35。，得到AAB'C,AB交AC于點D.若

zA,DC=90°,則NA=.

【答案】

55°

【解析】

題干解析:解：??,把AABC繞點C按順時針方向旋轉35。，得到AABC,AB，交AC

于點D,ZA，DC=9O。，???NACA-35。,則zA，=90°-35°=55°,則ZA=ZA，=55。.故答

案為：55°.

利用旋轉的性質求邊

知識講解

利用旋轉的性質可知，旋轉前后的邊的長度是不變的，因此在利用旋轉計算線段長度時，會有

很多相等的邊.

例題精講

利用旋轉的性質求邊

例1.

如圖，在RtAABC中，ZACB=9O°,將AABC繞頂點C逆時針旋轉得到AAEC,M是BC的中

點，P是AB的中點，連接PM.若BC=2,NBAC=30。，則線段PM的最大值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

題干解析：

解：如圖連接PC.

在R3ABC中，?.?NA=30°,BC=2,.-.AB=4,

根據旋轉不變性可知，AB=AB=4,??AP=PB，，.?.PC=LA，B，=2,

?.CM=BM=1,

XvPM<PC+CM,即PMW3,

??.PM的最大值為3(此時P、C、M共線).故選B.

例2.

如圖，點C為線段AB上一點，將線段CB繞點C旋轉，得到線段CD,若DA1AB,AD=1,

BD=A/17,則BC的長為.

【答案】

17

【解析】

題干解析:如圖，首先運用旋轉變換的性質證明CD=CB（設為九）；運用勾股定理

求出AB的長度；再次運用勾股定理列出關于九的方程，求出入即可解決問

題.解：如圖，由題意得CD=CB（設為九）；由勾股定理得：AB2=BD2-AD2,而

BD=炳，AD=1,.?.AB=4,AC=4-X；由勾股定理得：X2=l2+（4入）2,解得：

A=—17.故答案為1U7.

88

例3.

如圖，ZkABC中，AB=AC=2,NBAC=45。，AAEF是由AABC繞點A按逆時針方向旋轉得到

的，連接BE、CF相交于點D.

（1）求證：BE=CF；

（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長.

F

【答案】

(1)證明：：AAEF是由AABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的，

.?.AE=AF=AB=AC=2,zEAF=zBAC=45°,.-.ZBAC+Z3=ZEAF+Z3,即

AB=AC

ZBAE=ZCAF,在AABE和AACF中=/，.-.AABESAACF,

AE=AF

??.BE=CF；(2)解：???四邊形ABDF為菱形，.?.DF=AF=2,DF||AB,

.?Z1=ZBAC=45。，.?.△ACF為等腰直角三角形，.?.CF=V^AF=26',.?.CD=CF-

DF=2V2-2.

【解析】

題干解析：（1）根據旋轉的性質得AE=AF=AB=AC=2,zEAF=zBAC=45°,然后根

據“SAS”證明AABE三4ACF,于是根據全等三角形的性質即可得到結論；（2）根

據菱形的性質得DF=AF=2,DFHAB,再利用平行線的性質得乙1=ZBAC=45。，則可

判斷AACF為等腰直角三角形，所以CF=V2AF=2近,然后計算CF-DF即可.

旋轉的作圖

避

知識講解

旋轉的作圖：

在畫旋轉圖形時，首先確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵點沿指定的方向

旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形.

作圖的步驟:

(1)連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心;

(2)把連線按要求(順時針或逆時針)繞旋轉中心旋轉一定的角度(旋轉角)；

(3)在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；

(4)連接所得到的各對應點.

例題精講

旋轉的作圖

例L

如圖，在10x10正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位.將C向下平移4

個單位，得到再把繞點C'順時針旋轉90”，得到請你畫

出和(不要求寫畫法).

【解析】

題干解析:解：利用平移與旋轉的性質進行作圖

例2.

如圖，正方形OABC在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2,0）,將正方形OABC繞點O

順時針旋轉45。，得到正方形OA，B，C,則點。的坐標為（）.

八%

C——

------------------?

OAx

A.（后，后）B.（-V2,忘）C.（0,-V2）D.（2應，20）

【答案】A

【解析】

題干解析：

先根據點A的坐標求出正方形的邊長，再根據旋轉可得點C，在第一象限的平分線上，然后求

解即可.

解：???點A的坐標為（2,0）,

正方形OABC的邊長為2,

,正方形OABC繞點O順時針旋轉45°,得到正方形OA，B，C,

???點C，在第一象限的平分線上，

.??點。的橫坐標為2xV2,

2

縱坐標為為2x1=0,

2

???點C，的坐標為（、/5,0）.故選A.

例3.

如圖，在平面直角坐標系中，將AABO繞點A順時針旋轉到AABiCi的位置，點B、O分別落

在點Bi、Ci處，點Bi在x軸上，再將AABiCi繞點&順時針旋轉到AA1B1C2的位置，點C2在

x軸上，將AAiBiCz繞點C2順時針旋轉到AA2B2c2的位置，點A2在x軸上，依次進行下

A.5B.12C.10070D.10080

【答案】D

【解析】

題干解析：

B2016B2,

由圖象可知點在第一象限，求出B4,B6的坐標，探究規(guī)律后即可解決問題.

解：由圖象可知點B2016在第一象限，

5

???OA=-,OB=4,ZAOB=90°,

3

...AB=yJOB'+OA2=產+(|)2=_,

.?.B2(10,4),B4(20,4),B6(30,4),

.-.B2016(10080,4).

???點B2016縱坐標為10080.故選D.

中心對稱與中心對稱圖形

避

知識講解

1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這

兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心.這兩個圖形中的對應點叫做關于

中心的對稱點.

要點詮釋:

(1)有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同;

(2)位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉180。能夠與另一個圖形重

合(全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的).

2.中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重

合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心.

要點詮釋：

(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；

(2)線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.

3.中心對稱與中心對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系:

中心對稱中心對稱圖形

區(qū)①指兩個全等圖形之間的相互位置關系.①指一個圖形本身成中心對稱.

別②對稱中心不定.②對稱中心是圖形自身或內部的點.

如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體如果把中心對稱圖形對稱的部分看成

聯(lián)

(一個圖形)，那么這個圖形就是中心對是兩個圖形，那么它們又關于中心對

系

稱圖形.稱.

例題精講

中心對稱與中心對稱圖形

例1.

下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()

【答案】D

【解析】

題干解析：

略

例2.

中國古代建筑中的窗格圖案美觀大方，寓意吉祥，下列繪出的圖案中既是軸對稱圖形又是中心

對稱圖形是（）

【答案】B

【解析】

題干解析：

本題考查中心對稱圖形，掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找

對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重

八口?

例3.

下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有（）個.

①線段；②等邊三角形；③矩形；④平行四邊形；⑤五角星；⑥圓.

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】A

【解析】

題干解析：

根據中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念對各小題分析判斷即可得解.

解：①線段，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；

②等邊三角形，不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形；

③矩形，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；

④平行四邊形，是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；

⑤五角星，不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形；

⑥圓，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；

綜上所述，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的有①③⑥共3個.故選A.

例4.

下列圖形中：①圓；②等腰三角形；③正方形；④正五邊形，既是軸對稱圖形又是中心對稱

圖形的有個.

【答案】

2

【解析】

題干解析:根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.解：①既是軸對稱圖形又

是中心對稱圖形，符合題意；②是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題

意；③既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意；④是軸對稱圖形，不是中

心對稱圖形，不符合題意；故既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是①③共2

個.故答案為：2.

’中心對稱作圖

避知識講解

確定關于某點成中心對稱的兩個圖形的對稱中心的方法：

⑴利用中心對稱的性質：對稱點所連線段被對稱中心所平分，所以連接任意一對對稱點，取這

條線段的中點，則該點即為對稱中心.

⑵利用中心對稱的性質：對稱點所連線段都經過對稱中心，所以連接任意兩對對稱點，則這兩

條線段的交點即為對稱中心.

例題精講

中心對稱作圖

例1.

如圖，已知AABC與AABC成中心對稱圖形，求出它的對稱中心O.

'B

【答案】

解：連接BB，，找BB，中點。或者連接BB，、CC,交點為對稱中心0.如圖所

示：

【解析】

題干解析:連接對應點BB，、CC,根據對應點的連線經過對稱中心，則交點就是對

稱中心。點.

例2.

如圖，在AABC中，點D是AB邊上的中點，已知AC=4,BC=6,

（1）畫出ABCD關于點D的中心對稱圖形;

（2）根據圖形說明線段CD長的取值范圍.

【答案】

解：（1）所畫圖形如下所示:△ADE就是所作的圖形.(2)

由(1)知：AADE2ABDC,(3)則CD=DE,AE=BC,.-.AE-AC<2CD<

AE+AC,即BCACV2CDVBC+AC,.-.2<2CD<10,解得：1<CDV5.

【解析】

題干解析：（1）根據中心對稱圖形的性質找出各頂點的對應點，然后順次連接即

可；（2）根據三角形的三邊關系求解即可.

'坐標系中的中心對稱

知識講解

關于原點對稱的兩個點的橫、縱坐標均互為相反數.

例題精講

坐標系中的中心對稱

例1.

如圖，在平面直角坐標系中，若△430與A44G關于E點成中心對稱，則對稱中心E

點的坐標是（）.

A.。，一1）B.（°.°）C.（2，一1）D.（-1，3）

【答案】A

【解析】

題干解析：

解：連接刁4、CG,則交點就是對稱中心后點.

觀察圖形知，￡（3,一1）.故選A.

例2.

若點工（〃，2）與3（-3,m）關于原點對稱,則”也等于（）.

A.-1B.-5C.1D.5

【答案】D

【解析】

題干解析：

解：?.?點力（〃，2）與5（-3,加）關于原點對稱，

?.?n=3，m=-2，

.n-m=3-（-2）=5故選口.

例3.

p（e，2）o（ab}

點。在第二象限，點關于原點對稱的點在（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

題干解析：

P（ac2,-）

解：???點a在第二象限，

<0,a,

.-.a<0,b<0,

...點Q（a?）在第三象限.

.?.點。（。，匕）關于原點對稱的點（一。，一匕）在第一象限.故選A.

坐標與圖形變化一旋轉性質的應用

避知識講解

坐標與圖形變化：

對應點到對稱軸的距離相等且對應點與旋轉中心在一條直線上

例題精講

匚二1坐標與圖形變化一旋轉性質的應用

例1.

如圖，菱形Q4BC的頂點O在坐標原點，頂點工在X軸上，Z5=120°,04=2,將

菱形Q4BC繞原點順時針旋轉105°至。4'MC'的位置，則點3'的坐標為（）

A.（母，-及）B.（—五"，&■）C.（2，一2）口.（石，-6）

【答案】A

【解析】

題干解析：

解：連接OB',過點3'作RE'x軸于E,

根據題意得：ZBOB'=105°,

四邊形Q4BC是菱形，

ZAOB=-ZAOC=-ZABC=-xl200=60°

,.QA=AB=2,222,

.?.△Q4B是等邊三角形，

...03=04=2,

.,ZAOB'=/BOB'-ZAOB=105°-60°=45。，OB'=OB=2,

設OE=B，E=x,則根據勾股定理可得：

OE2+B'E2=OB'2,即/+*2=2?,

...x=&*,即OE=JI,

點9的坐標為：（3\一"）.故選A.

例2.

如圖，在平面直角坐標系中，AAB'C由AABC繞點P旋轉得到，則點P的坐標為()

x

A.(0,1)B.(1,-1)

C.(0,-1)D.(1,0)

【答案】B

【解析】

題干解析：

連接AA，，CC,線段AA，、CC的垂直平分線的交點就是點P.

解：連接AA，、CC,如圖所示:

作線段AA，的垂直平分線MN,作線段CC的垂直平分線EF,

直線MN和直線EF的交點為P,點P就是旋轉中心.

丫直線MN為:x=l,設直線（?。為y=kx+b,

f_\k=-

由題意得：rk+b=Q,解得：3,

2左+6=1,1

Ib=一

[3

.??直線CC為y=-x+

33

???直線EF1CC,經過CC中點（L1）,

22

直線EF為y=-3x+2,

X=]X——1

由4得：4,.-.p（1,4）.

y--3x+2

故選：B.

圖案設計

避

知識講解

熟練掌握旋轉的概念與性質，主要有：根據旋轉的概念與性質設計圖案.

例題精講

例1.

下面四個圖案中，不能由基本圖案旋轉得到的是（）

【答案】D

【解析】

題干解析：

尋找基本圖形，旋轉中心，旋轉角，旋轉次數，逐一判斷.

A、可由一個基本“花瓣”繞其中心經過7次旋轉，每次旋轉45°得到;

B、可由一個基本“菱形”繞其中心經過5次旋轉，每次旋轉6°°得到；

C、可由一個基本圖形繞其中心旋轉180°得到；

D、不能由基本圖案旋轉得到.故選

例2.

下列圖案中，可以由一個“基本圖形''連續(xù)旋轉45。得到的是（）

OB.IC.*

【答案】D

【解析】

題干解析：

每個圖形都是旋轉對稱圖形，計算出最小的旋轉角，即可作出判斷.

A、至少旋轉3,故選項錯誤;

”=72。

B、至少旋轉5,故選項錯誤;

絲金。

C、至少旋轉6,故選項錯誤;

*5。

D、至少旋轉8，故選項正確.故選D.

當堂練習

單選題

練習1.

下列四個圖形中哪些圖中的一個矩形是由另一個矩形按順時針方向旋轉90。后所形成的？

練習2.

點口小'》在第二象限，點0（2）關于原點對稱的點在（）,

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

練習3.

下列各圖中，能由“基本圖案”通過旋轉變換得到的圖形是（）

練習4.

如圖，下列四個圖形都可以分別看作是一個“基本圖案”經過旋轉所形成，則它們的旋轉角相同

的圖形為（）

A.(1)(2)B.(1)(4)c.(2)(3)D.(3)(4)

練習5.

如圖，將圖（1）中的正方形圖案繞中心旋轉180。后，得到的圖案是（）

練習6.

如圖，把八48。經過一定的變換得到△A'B'C',如果八480上點尸的坐標為

（“'?。敲催@個點在△Z'8'C'中的對應點P的坐標為（

)

A.(-工，v-2)B(-x,y+2)Q(-x+2,-v)D(-x+2,y+2)

練習7.

中國古代建筑中的窗格圖案美觀大方，寓意吉祥,下列繪出的圖案中既是軸對稱圖形又是中心

對稱圖形是（

A.

練習8.

如圖，