高三數(shù)學一輪復(fù)習第二章函數(shù)第2課時函數(shù)的單調(diào)性與最值學案

第2課時函數(shù)的單調(diào)性與最值[考試要求]1．借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值．2．理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值的作用和實際意義．考點一確定函數(shù)單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)1．(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D，如果?x1，x2∈I當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時，我們就稱它是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，特別地，當函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時，我們就稱它是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．提醒：(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域．(2)有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫，不能用符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“逗號”或“和”聯(lián)結(jié)．[常用結(jié)論]函數(shù)單調(diào)性的兩個等價結(jié)論設(shè)?x1，x2∈I(x1≠x2)，則(1)fx1-fx2x1-x2>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2(2)fx1-fx2x1-x2<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x22．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)由f′(x)>0(或<0)解出相應(yīng)x的取值范圍．當f′(x)>0時，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的；當f′(x)<0時，f(x)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減的．[典例1](1)(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|C．y＝2x＋2cosx D．y＝x(2)函數(shù)f(x)＝2－A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)(1)AC(2)B[(1)∵y＝ex與y＝－e－x為R上的增函數(shù)，∴y＝ex－e－x為R上的增函數(shù)，故A正確；由y＝|x2－2x|的圖象(圖略)知，B不正確；對于選項C，y′＝2－2sinx≥0，∴y＝2x＋2cosx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故C正確；y＝x2+x-2的定義域為(－∞，－2]∪(2)f(x)＝2－x2－2x分解為y＝2u和u＝－x2－2x兩個函數(shù)，yu＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)＝2－x2－2x本例(1)可以借助圖象也可以利用定義法或?qū)?shù)法來解決；本例(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性與y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性有關(guān)．簡記：“同增異減”．跟進訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是()A．y＝e－x B．y＝x3C．y＝lnx D．y＝|x|(2)函數(shù)f(x)＝log12(－x2＋A．12，3 C．(－2，3) D．1(1)B(2)A[(1)四個函數(shù)的圖象如下，顯然B成立．(2)由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函數(shù)f(x)的定義域為(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，則y＝log12t，易知其為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，本題等價于求函數(shù)t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的單調(diào)遞減區(qū)間．利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得t＝－x2＋x考點二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1．比較大小問題，可借助函數(shù)的單調(diào)性求解．2．求解含“f”的函數(shù)不等式的解題思路：先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))．3．利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；(3)注意函數(shù)單調(diào)性呈現(xiàn)的三種方式：定義式、比值式fx2-fx1x2-x1、乘積式(x2－x1)[4．對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min．[典例2](1)(2024·武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝1ex+1－12，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，則aA．c<a<b B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．a(chǎn)<b<c(2)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(－x)，當x≥0時，f(x)＝3x＋2x，則不等式f(x－2)<13的解集為()A．(－∞，0)∪(4，＋∞) B．(0，4)C．(0，2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)(3)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)(1)C(2)B(3)D[(1)函數(shù)f(x)＝1ex+1－1又log38<2<21.3<21.4＝40.7，所以f(40.7)<f(21.3)<f(log38)，即b<a<c，故選C．(2)依題意知f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，當x≥0時，f(x)單調(diào)遞增，且f(2)＝13，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，由f(x－2)<13得|x－2|<2，即0<x<4，所以解集為(0，4)．故選B．(3)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函數(shù)y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a≥5，故選D．]本例(1)明確函數(shù)f(x)＝1ex+1－12是R上的減函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵；本例(2)中f(x)為偶函數(shù)，注意偶函數(shù)f跟進訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位長度后關(guān)于y軸對稱，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，設(shè)a＝f-12，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，A．c>a>b B．c>b>aC．a(chǎn)>c>b D．b>a>c(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝-x2+4x-A．-∞，32C．32，2 (3)若函數(shù)f(x)＝ax-2，x≤2，3A．(0，1] B．(0，2]C．0，32 (1)D(2)D(3)A[(1)根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且在(1，＋∞)上單調(diào)遞減．所以a＝f-12＝f52，f(2)>f5所以b＞a＞c．故選D．(2)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，因為f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等價于f(2x－1)<f(4)，故2x－1<4，即x<52(3)因為函數(shù)f(x)＝ax-2，x≤2，3-2alny＝(3－2a)ln(x－1)在(2，＋∞)上也單調(diào)遞增，于是得a>0所以實數(shù)a的取值范圍是(0，1]．故選A．]考點三函數(shù)的值域與最值函數(shù)最大(小)值的定義前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M(1)?x∈D，都有f(x)≥M；(2)?x0∈D，使得f(x0)＝M結(jié)論M為f(x)的最大值M為f(x)的最小值[典例3](1)函數(shù)f(x)＝13x－log2((2)設(shè)f(x)＝x+2x-3，x≥1，x2(3)已知f(x)＝5－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(xiàn)(x)＝gx，fx≥A．有最大值3，最小值5－25B．有最大值5＋25，無最小值C．有最大值3，無最小值D．既無最大值，又無最小值(1)3(2)022－3(3)C[(1)因為f(x)＝13x－log2(所以f(x)max＝f(－1)＝3－log21＝3．(2)因為f(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝2＋22當x≥1時，f(x)＝x＋2x－3在[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，＋∞所以f(x)在x＝2時取得最小值，即f(x)min＝22－3；當x＜1時，f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝0時取得最小值，即f(x)min＝1．綜上，f(x)的最小值為22－3．(3)由f(x)＝g(x)，得5－2|x|＝x2－2x．當x≥0時，5－2x＝x2－2x，所以x2＝5，所以x＝5或－5(舍去)．當x<0時，5＋2x＝x2－2x，即x2－4x－5＝0，解得x＝－1或x＝5(舍去)．故當x≤－1時，F(xiàn)(x)＝f(x)＝5＋2x；當－1<畫出F(x)的圖象，如圖，由圖象可知，當x＝－1時，F(xiàn)(x)取得最大值F(－1)＝f(－1)＝5－2＝3，無最小值．故選C．]求函數(shù)最值常用的五種方法跟進訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在區(qū)間(k，2]上的最大值為28，則實數(shù)k的值可以是()A．－4 B．－3C．－2 D．－1(2)已知f(x)＝ax+4，x≤1，log2x，x≥2，則f(1)A(2)2－3[(1)因為f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，所以f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝3x2＋6x－9＝0，解得x1＝－3，x2＝1，所以在x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)上，f′(x)>0，在x∈(－3，1)上，f′(x)<0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－3)和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞減，則f(x)在[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，所以在[1，2]內(nèi)，f(2)最大；f(x)在(－3，1)時單調(diào)遞減，所以在[－3，1]內(nèi)，f(－3)最大；f(x)在(－∞，－3)時單調(diào)遞增，所以在(－∞，－3]內(nèi)，f(－3)最大；因為f(2)＝3，f(－3)＝28，且f(x)在區(qū)間(k，2]上的最大值為28，所以k<－3，即k的取值范圍是(－∞，－3)，故選A．(2)f(f(0))＝f(4)＝log24＝2，要使得函數(shù)f(x)的值域為[1，＋∞)，則滿足a≤0a+課后習題(六)函數(shù)的單調(diào)性與最值1．(人教A版必修第一冊P85習題3.2T1改編)如圖是函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4，3]的圖象，則下列說法正確的是()A．f(x)在[－4，－1]上單調(diào)遞減，在[－1，3]上單調(diào)遞增B．f(x)在區(qū)間(－1，3)上的最大值為3，最小值為－2C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值3D．當直線y＝t與f(x)的圖象有三個交點時，－1<t<2[答案]C2．(人教A版必修第一冊P100復(fù)習參考題3T4改編)若函數(shù)f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是________．(－∞，2][由題意知，[2，＋∞)?[m，＋∞)，∴m≤2．]3．(人教A版必修第一冊P81例5改編)已知函數(shù)f(x)＝21-x，x∈[2，6]，則f(－25－2[可判斷函數(shù)f(x)＝21-x在區(qū)間[2，6]上單調(diào)遞增，所以f(x)max＝f(6)＝－25，f(x)4．(湘教版必修第一冊P86習題3.2T9改編)已知函數(shù)f(x)＝xx+a(x≠－a(1)若a＝2，證明：f(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增；(2)若a<0且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．[解](1)證明：當a＝2時，f(x)＝xx+任取x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝x1x＝x＝2x∵x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，∴(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴2x1-x2x1+2x2∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－2，＋∞)上單調(diào)遞增．(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝x1x＝x1x2∵a<0，x1－x2<0，又由題知f(x1)－f(x2)>0，∴(x1＋a)(x2＋a)>0恒成立，∴－a≤1，∴a≥－1，又a∴a的取值范圍為[－1，0)．5．(2023·安徽黃山統(tǒng)考二模)已知a，b，c滿足a＝sin13，b＝e-1A．a(chǎn)<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．a(chǎn)<c<bA[∵13<π6，∴a＝sin13<sinπ又e<23，∴e13<2，1e13>1b＝e-13＝1∴c>b>a，故選A．]6．函數(shù)f(x)＝－x＋1x在-A．32 B．－8C．－2 D．2A[函數(shù)f(x)＝－x＋1x在(－∞，0)上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在-2，-13上的最大值為f7．函數(shù)f(x)＝ln(4x2－1)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．12，+∞C．-12，12A[由4x2－1＞0，可得x＜－12或x＞1所以函數(shù)f(x)＝ln(4x2－1)的定義域為-∞，-1又y＝4x2－1在12，+∞上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f(x)＝ln(4x28．(2023·錫林郭勒盟二模)已知函數(shù)f(x)＝log2(－x2－mx＋16)在[－2，2]上單調(diào)遞減，則m的取值范圍是()A．[4，＋∞) B．(－6，6)C．(－6，4] D．[4，6)D[令g(x)＝－x2－mx＋16，∵函數(shù)f(x)＝log2(－x2－mx＋16)在[－2，2]上單調(diào)遞減，∴g(x)在[－2，2]上單調(diào)遞減，且大于零，故有-m29．(2024·河北石家莊二中模擬)已知定義在[－1，3]上的函數(shù)f(x)滿足對于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，則不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集為()A．(－∞，0] B．[0，1]C．[－1，0] D．[0，＋∞)B[∵對于任意的x1，x2∈[－1，3]，且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)＜0，∴f(x)在[－1，3]上單調(diào)遞減，∴由f(1－2x)≥f(x＋1)得，-解得0≤x∴不等式f(1－2x)≥f(x＋1)的解集為[0，1]