高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1課件3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.理解空間兩個(gè)向量夾角的定義.2.掌握空間向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律,會(huì)求空間向量的數(shù)量積.3.能夠運(yùn)用空間向量的數(shù)量積解決夾角與距離問(wèn)題.空間向量的數(shù)量積特別提醒1.由定義知,只有兩個(gè)非零空間向量才有夾角,當(dāng)兩個(gè)非零空間向量共線(xiàn)同向時(shí),夾角為0,共線(xiàn)反向時(shí),夾角為π.2.對(duì)空間任意兩個(gè)非零向量a,b有:①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.A.30° B.60°

C.150°

D.120°答案D【思考】(1)若a·b=0,則一定有a⊥b嗎?(2)若a·b>0,則<a,b>一定是銳角嗎?答案(1)若a·b=0,則不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0.(2)當(dāng)<a,b>=0時(shí),也有a·b>0,故當(dāng)a·b>0時(shí),<a·b>不一定是銳角.2.空間向量的數(shù)量積(1)已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||b|cos<a,b>叫做a,b的數(shù)量積,記作a·b.(2)數(shù)量積的運(yùn)算律:(λa)·b=λ(a·b);a·b=b·a(交換律);a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).(3)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì):①若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0.②若a與b同向,則a·b=|a||b|;若a與b反向,則a·b=-|a||b|.④|a·b|≤|a||b|.名師點(diǎn)撥1.對(duì)空間向量數(shù)量積的理解(1)兩個(gè)空間向量的數(shù)量積是數(shù)量,而不是向量,它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零;(2)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿(mǎn)足a·b=a·c?b=c,(a·b)·c=a·(b·c).2.空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

(3)利用關(guān)系a⊥b?a·b=0可以證明空間兩直線(xiàn)的垂直.【做一做2】

已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,下列向量的數(shù)量積一定不為0的是(

)解析當(dāng)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1為正方體時(shí),根據(jù)正方體的性質(zhì)可知AB⊥AD1,AD1⊥B1C,BD1⊥AC,答案C【做一做3】

已知向量i,j,k是一組單位向量,且兩兩垂直.若m=8j+3k,n=-i+5j-4k,則m·n的值為(

)A.7 B.-20 C.28 D.11解析向量i,j,k是一組單位向量,且兩兩垂直,所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.因?yàn)閙=8j+3k,n=-i+5j-4k,所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)=40-12=28.故選C.答案C探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一求空間向量的數(shù)量積

例1

已知三棱錐O-ABC的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)M,N,P分別為AB,BC,CA的中點(diǎn).試求:思路分析求出每個(gè)向量的模及其夾角,然后按照數(shù)量積的定義求解,必要時(shí),對(duì)向量進(jìn)行分解.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟空間向量運(yùn)算的方法與步驟方法:(1)利用定義,直接利用a·b=|a||b|cos

<a,b>并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.(2)利用圖形,計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點(diǎn),利用圖形尋找?jiàn)A角,再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.(3)利用向量分解,在幾何體中進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算時(shí),要充分利用幾何體的性質(zhì),把待求向量用已知夾角和模的向量表示后再進(jìn)行運(yùn)算.步驟:(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的線(xiàn)性組合形式;(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi),轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積;(3)代入a·b=|a||b|cos

<a,b>求解.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)解析如圖,連接AG并延長(zhǎng),與BC交于點(diǎn)D,∵點(diǎn)G是底面△ABC的重心,探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究二利用數(shù)量積求夾角

思路分析求兩個(gè)向量的夾角,可以把其中一個(gè)向量平移到與另一個(gè)向量的起點(diǎn)重合,從而轉(zhuǎn)化為求平面角的大小;也可以用兩個(gè)向量的數(shù)量積定義a·b=|a||b|cos

<a,b>,求出cos

<a,b>=的值,然后確定<a,b>的大小.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟兩個(gè)非零向量夾角求法的兩個(gè)途徑(1)轉(zhuǎn)化求角:把向量夾角轉(zhuǎn)化為平面幾何中的對(duì)應(yīng)角,利用解三角形的知識(shí)求解;(2)利用數(shù)量積求夾角:運(yùn)用公式cos<a,b>=進(jìn)行求解.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2(1)若非零空間向量a,b滿(mǎn)足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為(

)A.30° B.60°

C.120°

D.150°解析(1)設(shè)a與b的夾角為θ,則由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又因?yàn)閨a|=|b||≠0,所以cos

θ=-,所以θ=120°.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究三利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題

例3

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中點(diǎn),O是底面ABCD的中心.求證:B1O⊥平面PAC.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題的一般方法將所證垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直,然后把直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為向量,并用已知向量表示未知向量,然后通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算,證明直線(xiàn)所在向量的數(shù)量積等于零,即可證明線(xiàn)線(xiàn)垂直.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3已知空間四邊形OABC中,M,N,P,Q分別為BC,AC,OA,OB的中點(diǎn),若AB=OC,求證:PM⊥QN.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究四利用數(shù)量積求距離或長(zhǎng)度例4

如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿著它的對(duì)角線(xiàn)AC將△ACD折起,使AB與CD成60°角,求此時(shí)B,D間的距離.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟求兩點(diǎn)間的距離或線(xiàn)段長(zhǎng)度的方法(1)將此線(xiàn)段用向量表示;(2)用其他已知夾角和模的向量表示該向量;(3)利用|a|=,通過(guò)計(jì)算求出|a|,即得所求距離.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為2,E,F分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF的長(zhǎng)是(

)答案C探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)規(guī)范解答

利用向量的數(shù)量積求兩異面直線(xiàn)所成角典例如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,求異面直線(xiàn)BA1與AC所成角的余弦值.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)【答題模板】

第1步:確定兩兩垂直的向量,把待求直線(xiàn)看作向量,用相關(guān)向量表示.?第2步:計(jì)算直線(xiàn)BA1與AC對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積.?第3步:利用數(shù)量積公式計(jì)算兩個(gè)向量夾角的余弦值.?第4步:將兩向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩直線(xiàn)夾角的余弦值.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)失誤警示通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)造成失分的原因主要如下:(1)解題時(shí)忽視條件∠ABC=90°,從而得不出兩兩垂直的向量;探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)跟蹤訓(xùn)練在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線(xiàn)BA1與直線(xiàn)AC所成的角為

.

答案60°探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各對(duì)向量夾角為45°的是(

)解析四個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)向量的夾角依次是45°,135°,90°,180°,故選A.答案A探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,則AC1與CE的位置關(guān)系是(

)A.重合 B.平行C.垂直 D.無(wú)法確定答案C探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)3.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,若AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,則AC1的長(zhǎng)為(

)答案B探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測(cè)4.如圖,長(zhǎng)方體AB