2024年高中物理競(jìng)賽講義

電磁學(xué)靜電學(xué)靜電場(chǎng)的性質(zhì)靜電場(chǎng)是一個(gè)保守場(chǎng)，也是一個(gè)有源場(chǎng)。高斯定理靜電力環(huán)路積分等于零電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)是描述同一靜電場(chǎng)的兩種措施，二者有聯(lián)系=1\*GB3①過(guò)程一維情況下=2\*GB3②幾個(gè)對(duì)稱(chēng)性的電場(chǎng)球?qū)ΨQ(chēng)的電場(chǎng)場(chǎng)源EU點(diǎn)電荷均勻?qū)﹄娗蛎婢鶆驇c(diǎn)球體例:二分之一徑為的球體均勻帶電,體電荷密度為,球內(nèi)有二分之一徑為的小球形空腔,空腔中心與與球心相距為,如圖求空腔中心處的電場(chǎng)求空腔中心處的電勢(shì)解:(1)在空腔中任選一點(diǎn),能夠當(dāng)作兩個(gè)均勻帶電球體產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度之差,即令這個(gè)與在空腔中位置無(wú)關(guān),因此空腔中心處(2)求空腔中心處的電勢(shì)電勢(shì)也滿(mǎn)足疊加原理能夠當(dāng)作兩個(gè)均勻帶電球體產(chǎn)生電勢(shì)之差即假設(shè)上面球面上,有兩個(gè)無(wú)限小面原,計(jì)算,受到除了上電荷之處,球面上其他電荷正確靜電力,這個(gè)靜電力包括了上電荷對(duì)上電荷的作用力.同樣受到除了上電荷以外,球面上其他電荷對(duì)上電荷的作用力,這個(gè)力同樣包括了正確作用力.假如把這里的所受力相加,則之間的相互作用力相抵消。出于這個(gè)想法，目前把上半球面提成無(wú)限小的面元，把每個(gè)面元上所受的靜電力（除去各自小面元）相加，其和就是下半球面上的電荷對(duì)上半球面上電荷的作用力。求法:再觀測(cè)下,均勻帶電球面上的電場(chǎng)強(qiáng)度=?一般談?wù)摰谋砻嫔想妶?chǎng)強(qiáng)度是指什么?例:求均勻帶電球面,單位面積受到的靜電力解:令過(guò)程無(wú)限遲緩得出此過(guò)程中靜電力做功的體現(xiàn)式:或者算出并且能夠推廣到一般的面電荷在此面上電場(chǎng)強(qiáng)度例:一個(gè)半徑為R,帶電量為Q的均勻帶電球面,求上下兩半球之間的靜電力?解:標(biāo)準(zhǔn)上,這個(gè)作用力是上半球面上的電荷受到來(lái)自下半球面的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布,對(duì)上半球面上各電荷作用力之和,因?yàn)橄掳肭蛎嫔想姾伤a(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分布,因此這么計(jì)較有困難.例:求半徑為R,帶電量為Q的均勻帶電球面,外側(cè)的靜電場(chǎng)能量密度.解:靜電場(chǎng)(真空)能量密度本題球面外側(cè):推論:假如在上述帶電球體外側(cè)無(wú)限空間中布滿(mǎn)了相對(duì)電常數(shù)為的多向同性均勻電合質(zhì),下面求張力:它等于右半球表面所收到的靜電力之和前面求出過(guò)本小題:本題:導(dǎo)體球放在勻強(qiáng)電場(chǎng)中,產(chǎn)生感應(yīng)電荷的分布,令為因?yàn)橐髮?dǎo)體內(nèi)例:一個(gè)半徑為R,原不帶電的導(dǎo)體球放置于勻強(qiáng)電場(chǎng)中,求因?yàn)殪o電感應(yīng)所產(chǎn)生的感應(yīng)電荷,所帶來(lái)的兩半球之間新增的張力.解:預(yù)備知識(shí):=1\*GB2⑴一個(gè)半徑為R的均勻各向同性介質(zhì)在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受到極化,求極化電荷的分布.解:時(shí),=2\*GB2⑵求極化介質(zhì)球,因?yàn)闃O化電荷所產(chǎn)生的介質(zhì)球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度例:帶電圈環(huán):(均勻帶電)求圖中帶電圈環(huán)與帶電半直線之間的相互作用力.解:這題取下面措施:先求均勻帶電半直線產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度,對(duì)均勻帶電圈處的電荷的作用力上圖中圈環(huán)上的點(diǎn)離半直線兩端點(diǎn)的距離為R,環(huán)上P點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度,能夠用輔助圈弧()在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小.圈環(huán)受到合力在均為正值時(shí)，方向向左，大小為在達(dá)成靜電平衡的整個(gè)空間中，假如有一個(gè)處在靜電平衡的帶電面，在計(jì)算此面上某處受到的靜電力，無(wú)需用整個(gè)空間中的各帶電體，面，線，點(diǎn)，計(jì)算對(duì)其作用之和，只需先求出此面上該處的電場(chǎng)強(qiáng)度，該表面受到的靜電力。其原因是，這么的計(jì)算，已經(jīng)考慮了全空間電荷的作用，無(wú)須重復(fù)考慮。例：一個(gè)半徑為R，帶電量為Q的均勻帶點(diǎn)表面，求因表面帶電所增加的表面張力系數(shù)。解：法一：球面上取一個(gè)小面元，半徑為，此面受兩個(gè)力平衡：靜電力，沿徑向向處，大小為此面元邊界上新增表面張力的合力，徑向向里，設(shè)新增表面張力系數(shù)為大小為力平衡方程：柱對(duì)稱(chēng)電場(chǎng)場(chǎng)源EU無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線（）無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圈柱面（）()無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圈柱體（）（）3、帶電荷粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例1：一個(gè)帶點(diǎn)粒子從一開(kāi)始就在垂直于均勻帶電的長(zhǎng)直導(dǎo)線平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，它從這導(dǎo)線旁飛過(guò)，最后與開(kāi)始入射方向偏轉(zhuǎn)小角度α，如圖，假如當(dāng)粒子飛入帶電直線電場(chǎng)中時(shí)，它的動(dòng)能為，電量為e，導(dǎo)線單位長(zhǎng)度帶電量為λ，離導(dǎo)線距離γ處電場(chǎng)強(qiáng)度設(shè)為，求α=？解：本題情況，一般入射粒子速度比較大，因?yàn)樗俣瓤欤虼藥щ娭本€受到的橫向沖量就比較?。〞r(shí)間短），這么產(chǎn)生的α角度就會(huì)如題中通知是一個(gè)小量，利用微元法處理，當(dāng)帶電粒子抵達(dá)位置ψ時(shí)相距位矢量為，此刻帶電粒子受力大小，此刻y方向動(dòng)力方程為其中dt能夠利用x方向動(dòng)力學(xué)方程體現(xiàn)其中dx與dΨ滿(mǎn)足關(guān)系（如圖所示幾何關(guān)系）化簡(jiǎn)整頓利用例2：如圖所示一很細(xì)、很長(zhǎng)圓柱形的電子術(shù)由速度為V的勻速運(yùn)動(dòng)的低速電子組成，電子在電子束中均勻分布，沿電子束軸線每單位長(zhǎng)度包括n個(gè)電子，每個(gè)電子的電荷量-e（e>0）,質(zhì)量為m，該電子束從遠(yuǎn)處沿垂直于平行板電容極板方向射向電容器，其前端（右端）于t=0時(shí)刻剛好達(dá)成電容器左極板，電容器兩極板上多開(kāi)一個(gè)小孔使電子能夠不受妨礙地穿過(guò)電容器兩極板AB,加有如圖所示的變化電壓，電壓的最大最小值分別為，周期為T(mén)，若以表示每個(gè)周期中電壓處在最大的時(shí)間間隔，則是周期中電壓處在最小的時(shí)間間隔，已知的值恰好使在變化的第一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)電容器達(dá)電容器右邊的所有電子，能夠在某一個(gè)時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束。設(shè)兩級(jí)間距很小，，電子穿越時(shí)間，且,不計(jì)電子間相互作用滿(mǎn)足題給條件的，的值分別為？試在下圖中畫(huà)出t=2T那一刻，在0——2T時(shí)間內(nèi)通過(guò)電容器的電子在電容器的右側(cè)空間形成電流I,隨離開(kāi)右極板距離x的變化曲線，并在圖上標(biāo)出圖線特性點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)。取X正方向?yàn)殡娏髡较颍瑘D中x=0處為右極板B的小孔位置，橫坐標(biāo)單位解：（1）第一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的所有電子在通過(guò)前是一段速度為V的均勻電子束（孔的左側(cè)）。通過(guò)小孔以后，提成兩段速度不一樣的電子束。0——時(shí)間內(nèi)，所加電壓為，通過(guò)小孔后速度由V減小，設(shè)為V1，滿(mǎn)足關(guān)系——T時(shí)間內(nèi)，所加電壓為，通過(guò)小孔后速度由V增大，設(shè)為V2，滿(mǎn)足關(guān)系式，再由題中通知：的值恰好在的變化的第一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)電容器達(dá)右邊的所有電子，能夠在時(shí)刻形成均勻分布的一段電子束V此話要求①在t=時(shí)刻，達(dá)成小孔右側(cè)的這兩束電子束在前端應(yīng)當(dāng)在某處相重②達(dá)成小孔右側(cè)的兩電子束的長(zhǎng)度相等由此可寫(xiě)方程得到因此，因?yàn)?，觀測(cè)的就是這個(gè)時(shí)刻右側(cè)空間的電流分布，應(yīng)當(dāng)確定兩件事情：電流在空間位置的分布電流強(qiáng)度的大小分布電子束長(zhǎng)度4、靜電勢(shì)能、電勢(shì)例1：如圖所示N對(duì)e、-e離子，等間距a，沿直線排列設(shè),試確定某個(gè)e的電勢(shì)能和-e的電勢(shì)能N足夠大時(shí)，近似取小題（1）的結(jié)論，求系統(tǒng)的電勢(shì)能WN足夠大時(shí)，將非邊緣的一對(duì)離子e、-e一起遲緩地移到無(wú)限遠(yuǎn)，其他離子仍在原位，試求外力做的功A.提示解：（1）（2）足夠大的N,將一個(gè)正離子遲緩移到無(wú)限遠(yuǎn)處，余下系統(tǒng)電勢(shì)能此時(shí)該正離子的空位相鄰的一個(gè)負(fù)離子的所具備的電勢(shì)能為再將該負(fù)離子移到無(wú)限遠(yuǎn)處，余下系統(tǒng)的電勢(shì)能無(wú)限遠(yuǎn)處負(fù)離子移到正離子旁邊，這一對(duì)正負(fù)離子的電勢(shì)能利用動(dòng)能關(guān)系，求出外力做功例2如圖兩個(gè)點(diǎn)電荷位于X軸上，在他們形成的電場(chǎng)中，若取無(wú)限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，則X軸上多點(diǎn)的電勢(shì)如圖曲線所示，當(dāng)初，電勢(shì);當(dāng)，電勢(shì)，電勢(shì)為零的坐標(biāo)為;電勢(shì)極小值為的點(diǎn)的坐標(biāo)為（α>0）,試依照?qǐng)D線提供的信息，確定這兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電的符號(hào)，電量的大小以及在X軸的位置。解：由圖中信息可知，帶正電荷的電荷Q1在x=0處，因?yàn)樘庪妱?shì)為0，因此另一個(gè)點(diǎn)電荷必須為負(fù)（-Q2）.它在x<0的位置上（設(shè)距離x=0距離為a）利用圖中x=0點(diǎn)電勢(shì)為零方程：X在處，合電勢(shì)為,方程X在處，合電力等于0,方程聯(lián)立三個(gè)方程得到，，例3：在水平平面上有兩相垂直相交的內(nèi)壁光滑的聯(lián)通細(xì)管，管內(nèi)放置兩個(gè)質(zhì)量均為m，電荷量均為q的同號(hào)帶電質(zhì)點(diǎn)為A、B,初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)A至兩管交點(diǎn)O的距離為d，質(zhì)點(diǎn)B位于交點(diǎn)O處，速度相互垂直，方向如圖，大小均為求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)中，它們之間的最小距離解：一般，這里應(yīng)當(dāng)采取兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)處理。設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A,B兩質(zhì)點(diǎn)的位置矢量為,則相對(duì)位矢為分別寫(xiě)出A、B兩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程，然后寫(xiě)出相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程：（其中是B相對(duì)A的相對(duì)加速度）B在運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的力只有相反向的靜電力，這個(gè)靜電力是個(gè)有心力，同時(shí)又是一個(gè)保守力，上述兩個(gè)方程為角動(dòng)量守恒，守恒量可由初始值確定。初始時(shí)，相對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)為右圖，守恒方程——聯(lián)系初態(tài)和相距最近狀態(tài)，聯(lián)系消去，解得解之前利用聯(lián)立解得，例4：電荷均勻分布在半徑為R的圓面上，電荷量的密度為，試求園面邊緣的電勢(shì)。解：利用，其中（這里是r的函數(shù)）電勢(shì)和電勢(shì)能例1：當(dāng)電荷連續(xù)分布時(shí)，求靜電能量有兩個(gè)公式，試闡明這兩個(gè)公式的物理意義，并以平行板電容為例，分別利用上述公式求出它在電容C，蓄電量為Q時(shí)的靜電場(chǎng)。解：（1）利用計(jì)算（2）利用計(jì)算,導(dǎo)體旁移動(dòng)電荷，求外力做功例1：如圖一個(gè)本來(lái)不帶電電荷的同心球殼，內(nèi)外半徑分別為a，b，球心處放一個(gè)點(diǎn)電荷，電量為Q目前用外力把此點(diǎn)電荷從球心移到無(wú)限遠(yuǎn)處，求外力做功等于多少？解：因?yàn)樵赒移動(dòng)過(guò)程中，導(dǎo)體球殼表面感應(yīng)電荷變化，所產(chǎn)生的電場(chǎng)不是靜電場(chǎng)，因此需要另外想措施。初始時(shí)刻，Q未移動(dòng)之前，在Q處，導(dǎo)體球殼內(nèi)，外表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)有電勢(shì)，其值：（另Q=nq，然后逐一移動(dòng)q計(jì)算外力做功..外力做功之和其中初始吧Q=nq（分散），移到無(wú)限遠(yuǎn)，又把nq=Q（集中）,合起來(lái)做功為零。解法二：如圖外力做功例2：一塊接地?zé)o限大導(dǎo)體平板，離板距離為a處有一個(gè)帶電量為Q的點(diǎn)電荷，目前吧Q沿垂直于板的方向移到無(wú)限遠(yuǎn)處，求外力做多少功？解法一：上一例的解法解法二：。。。。解法三：設(shè)移動(dòng)Q過(guò)程中離板距離達(dá)成X，且移動(dòng)遲緩，移動(dòng)過(guò)程中外力一直等于作用在Q上的靜電力，即因此外力做功為電場(chǎng)線例1：計(jì)算在通過(guò)導(dǎo)體面上以0為圓心，R為半徑的圓上的電量等于由Q發(fā)出的所有電量二分之一的條件下，求R=?解：一個(gè)措施是先求出導(dǎo)體面上相對(duì)于0的表白感應(yīng)電荷面密度的分布，求出半徑為R的園面上電量為時(shí)，R=?這里采取初等措施，因?yàn)閷?dǎo)體板右側(cè)電場(chǎng)強(qiáng)度分布是由點(diǎn)電荷Q和導(dǎo)體板上感應(yīng)電荷共同激發(fā)產(chǎn)生，或者等價(jià)的以為：導(dǎo)體板右側(cè)電場(chǎng)分布是由點(diǎn)電荷Q及其對(duì)應(yīng)的電荷-Q共同激發(fā)產(chǎn)生。因?yàn)橛覀?cè)空間電場(chǎng)強(qiáng)度分布的非球形對(duì)稱(chēng)性，因此計(jì)算通過(guò)導(dǎo)體板上半徑為R的園面上電通量較困難，這是因?yàn)橛覀?cè)的電場(chǎng)，已經(jīng)由Q,-Q兩點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)疊加后形成的分布。這里采取措施是：在計(jì)算通過(guò)導(dǎo)體板上園面的電通量寧可不用疊加后的電場(chǎng)計(jì)算，而用疊加前的由Q發(fā)出，由-Q吸取的兩個(gè)球?qū)ΨQ(chēng)的電場(chǎng)來(lái)處理，其成果顯然是相同的。以Q為球心，r為半徑做一個(gè)球面假設(shè)由Q發(fā)出的電量為N,那么具備球?qū)ΨQ(chēng)的，由Q發(fā)出的電通量，通過(guò)圓的電通量為同樣，由-Q吸取電場(chǎng)線，通過(guò)導(dǎo)體上同一個(gè)園面上的電通量必為這個(gè)值，并且通量方向相同。寫(xiě)出通過(guò)圓面電通量的方程：對(duì)應(yīng)的R為：例2：一個(gè)半徑為R的接地導(dǎo)體球，球外距球心為d處放置一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷A,已知導(dǎo)體球面上，區(qū)域的感應(yīng)電荷量為，求解：本系統(tǒng)球外有一個(gè)點(diǎn)電荷Q和導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷共同激發(fā)產(chǎn)生的電場(chǎng)分布，或者說(shuō)球外有一個(gè)由電荷q及其對(duì)應(yīng)的電荷如圖幾何關(guān)系：化簡(jiǎn)整頓得：例3：點(diǎn)電荷+q和-q’（q’<q）分別位于x軸上A.B兩點(diǎn)，A,B的距離為L(zhǎng)，從+q發(fā)出的某一條電力線與連線AB成α角度，求：（1）求該電場(chǎng)線最后的場(chǎng)線與x軸間的夾角（2）求該電場(chǎng)線或其最后的場(chǎng)線與x軸的交點(diǎn)c的位置解：題給的那條由q發(fā)出的電場(chǎng)線將來(lái)去向何處，首先應(yīng)當(dāng)在q發(fā)出的千萬(wàn)條電場(chǎng)線中找出一條能達(dá)成B而未達(dá)成B的那條電場(chǎng)線在A發(fā)出時(shí)與AB的夾角α0因?yàn)辄c(diǎn)電荷發(fā)出或者接收的電通量與該電荷的電量成正比，因此在寫(xiě)電量時(shí)均對(duì)應(yīng)的電量表示，當(dāng)初，題給的電場(chǎng)線將在B點(diǎn)，設(shè)這條電場(chǎng)線最后與AB夾角為β解得當(dāng)初，解得當(dāng)初，c點(diǎn)即為B點(diǎn)如圖,ΔPCA中，ΔPCB中，利用，又三角形中，因此，另一個(gè)方程,例4.；兩條均勻帶電的無(wú)限平行直線，單位長(zhǎng)的電荷量分別為λ和-λ，相距2a，兩帶電線組成的平面為Z-X平面，使Z軸與兩線平行且距離相等，取直角坐標(biāo)，試證明。電勢(shì)為U的等勢(shì)面半徑為的圓柱面，其中，圓柱的軸線與兩帶電的直線平行且共面，位置在x軸上，處。在X-Y平面上，電場(chǎng)線的方程為，即圓心在y軸上的圓，其中b為常量。證明：本系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)Z軸具備一定對(duì)稱(chēng)性的系統(tǒng)，即在任意一個(gè)垂直于Z軸平面內(nèi)，電場(chǎng)的分不相同，因此可在X-Y平面內(nèi)討論寫(xiě)出P(X,Y)點(diǎn)處的電勢(shì)體現(xiàn)式，設(shè)為U，因?yàn)椋D后的得證在X-Y平面內(nèi)，如圖寫(xiě)出P(X,Y)點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為在P點(diǎn)電場(chǎng)線的斜率整頓得因此得證。例：兩個(gè)導(dǎo)體相距很遠(yuǎn)，其中一個(gè)導(dǎo)體帶電荷Q1，電勢(shì)為U1，另一個(gè)導(dǎo)體帶電荷為Q2，電勢(shì)為U2，電容為C電容器本來(lái)不帶電，目前用極細(xì)的導(dǎo)體將它與兩個(gè)導(dǎo)體相連，如圖所示，求，電容器充電后的電壓。解：用細(xì)導(dǎo)線相連，電容器沖電，并使電容器兩極板間電勢(shì)差為U,則此時(shí)電容器帶電量為Q=CU，因此導(dǎo)致兩導(dǎo)體帶電量變?yōu)椋≦1-CU）.(Q2-CU)因?yàn)楣铝?dǎo)體所帶電荷量與導(dǎo)體之比為Q/U,與其帶電量多少無(wú)關(guān)，因此，末態(tài)兩導(dǎo)體的電勢(shì)滿(mǎn)足,兩導(dǎo)體間電勢(shì)差等于電容器的兩極板間電勢(shì)差，即解得因?yàn)闊o(wú)限長(zhǎng)帶電直線上無(wú)限多個(gè)無(wú)限小線小線元與輔助半圓上無(wú)限多個(gè)無(wú)限小弧之具備對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此ΔL在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度與ΔL2在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度完全相同。因此P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度用同樣帶有λ的帶電輔助半圓在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度替代。下面計(jì)算：‘P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度大小——在P點(diǎn)放一個(gè)單位正電荷，它受帶電半圓的作用力大小?！狿點(diǎn)處單位正電荷對(duì)帶電半圓的作用力大小——它等于帶電半圓上單位長(zhǎng)帶電量受到P處單位正電荷的作用力,利用圖作一個(gè)輔助圓（以P點(diǎn)為圓心，a為半徑作半個(gè)圓（與常電直線相同）利用，帶入上式子無(wú)限長(zhǎng)帶電直線上任意一段無(wú)限小帶電線元ΔL在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向恰好等于同樣帶電線密度為λ的一段對(duì)應(yīng)的弧元ΔL2在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向。解法：如圖，在無(wú)限大帶電平面上，任取一無(wú)限帶電元ΔS,利用此式子告訴我們：在無(wú)限大均勻帶電平面上，任意一個(gè)無(wú)限小面元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度在Z方向分量恰好等于輔助半球面上對(duì)應(yīng)的小球面元ΔS2上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。再求無(wú)限長(zhǎng)帶電直線周?chē)妱?shì)分布（柱坐標(biāo)）因此，則P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度（一定期Z方向）等于例：如圖計(jì)算無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線周?chē)妶?chǎng)強(qiáng)度體現(xiàn)式解：措施一：利用高斯定理如圖：帶電直線為軸取高為ΔL1，半徑為r的高斯面，措施二：初等措施例：平面對(duì)稱(chēng)的電場(chǎng)，無(wú)限大帶電平面，，求周?chē)妶?chǎng)強(qiáng)度。解法一：利用高斯定理如圖取一個(gè)高斯面例：有三個(gè)同心的導(dǎo)體薄球殼，半徑分別為a，b，c，其中內(nèi)、外球殼均接地，而中間球殼是由兩個(gè)半球殼拼接而成，且其中帶有一定電量。試問(wèn)：三個(gè)球殼半a，b，c之間滿(mǎn)足什么關(guān)系，才能使中間球殼的兩部分不會(huì)相互分離解：設(shè)內(nèi)、外球殼因感應(yīng)產(chǎn)生帶電量分別為,中間球殼帶電量為Q依照題意可知，內(nèi)、外球殼接地，電勢(shì)為零，能夠列方程：再求中間球殼受力方向（向外為正）中間球殼兩半球不分離的條件是球殼上受到的合力小于等于零帶入Qa，整頓可得（兩半球不分離條件）用c>a.條件為例：在正N變形的頂點(diǎn)上依次分布著電荷，所帶電量公差為q的等差數(shù)列，即q，2q，3q…Nq,從N邊行中心到任意一個(gè)頂點(diǎn)的距離均為R，求多邊形中心電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小解：（1）先確定N邊行帶電系統(tǒng)在中心O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)方向當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，圖（b）作N1邊中垂線(過(guò)O點(diǎn))構(gòu)想以軸將正N邊行對(duì)折，即將右邊1,2,3…多點(diǎn)疊加在右邊N,N-1，N-2…上，各點(diǎn)電荷量均為（N+1）q，由對(duì)稱(chēng)性，各點(diǎn)在O點(diǎn)引起的電場(chǎng)元矢量和的方向垂直于軸，可知原系統(tǒng)在O點(diǎn)的和電場(chǎng)方向必與軸垂直。這是因?yàn)閷?duì)折前后沿方向電場(chǎng)分量為0當(dāng)N奇數(shù)時(shí)，同樣做中垂線，構(gòu)想以為軸將正N邊行對(duì)折，即將右邊1,2,3…多點(diǎn)疊加在右邊N,N-1，N-2…上，疊加后，除軸上的一個(gè)頂點(diǎn)的電量為（下端）除外，其他多點(diǎn)的電量均為（N+1）q。再將與圖（c）所示系統(tǒng)有關(guān)軸成完全對(duì)稱(chēng)的另一個(gè)系統(tǒng)（第二次疊加）與之疊加，疊加后的系統(tǒng)如圖（d），此新的系統(tǒng)多頂點(diǎn)的電量均為（N+1）q，因此這個(gè)系統(tǒng)的中心0點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度為0，因此圖（c）所示系統(tǒng)在O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度沒(méi)有沿軸方向的分量。由此可知，原系統(tǒng)在O點(diǎn)合場(chǎng)強(qiáng)方向必與軸垂直，綜上可知，無(wú)論N為何數(shù)，原系統(tǒng)在O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)方向垂直（2）現(xiàn)取N0為軸，將兩個(gè)N邊行帶電系統(tǒng)有關(guān)軸鏡像對(duì)稱(chēng)地疊加如圖（e），此時(shí)除N點(diǎn)電荷為2Nq，其他多點(diǎn)電荷均為Nq，顯然兩個(gè)系統(tǒng)疊加后再O點(diǎn)引起的合場(chǎng)強(qiáng)方向沿方向大小為,每個(gè)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)與關(guān)系為這就是原正N邊行中心處電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小電偶極子觀測(cè)遠(yuǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，可用一個(gè)量來(lái)代表這個(gè)電偶極子：電偶極距小結(jié)：（1）電偶極子的電偶極距（2）電偶極子在其延長(zhǎng)線方向和中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度分布如圖所示，（3）如圖所示，在p（r，θ）點(diǎn)處，電偶極子的產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度分量為（4）電偶極子在p（r，θ）處產(chǎn)生的電勢(shì)，如圖，或者E與U的關(guān)系,柱坐標(biāo)下（5）電偶極子在外電場(chǎng)的勢(shì)能（如圖所示）例：解：分析t=0時(shí)產(chǎn)生大的一個(gè)微粒，因?yàn)榇藭r(shí)以及隨即A板加上正電壓U0，因此這個(gè)帶負(fù)電的微粒，將被加速。這個(gè)微粒能夠有T/2的加速時(shí)間，在這段時(shí)間內(nèi)，設(shè)微粒能夠經(jīng)歷的旅程為X，依據(jù)所給體現(xiàn)式因此x>L這個(gè)闡明t=0時(shí)產(chǎn)生的第一個(gè)微粒能夠抵達(dá)A板設(shè)這段時(shí)間產(chǎn)生微粒恰好能所有抵達(dá)A板，這里最后產(chǎn)生的那個(gè)微粒剛好能到A板，這個(gè)微粒產(chǎn)生后向A板加速的時(shí)間設(shè)為Δt1，則，求t1，如圖所示找方程,設(shè)加速度a，五個(gè)方程，五個(gè)未知量，聯(lián)立求解得闡明：時(shí)刻產(chǎn)生的那個(gè)微粒未到A板假設(shè)某一個(gè)時(shí)刻產(chǎn)生的一個(gè)微粒，將要抵達(dá)不過(guò)尚未抵達(dá)A板，掉過(guò)來(lái)反向加速，求抵達(dá)B板需要多長(zhǎng)？（近A板時(shí)，速度為零